Đề thi duyên hải đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 năm 2016 đề đề xuất trường đh sư phạm HN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ ĐỀ NGHỊ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi co 01 trang)
Câu 1(4 điểm):
Với mỗi số tự nhiên k, gọi N(k) là số nghiệm của phương trình
2016x + 2017y = k, x  0, y  0.
N(k )
.
k 
k

Tính giới hạn sau L  lim
Câu 2 (4 điểm):

Cho tam giác ABC có AB < AC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC và CA tại
D, E tương ứng. Gọi M là trung điểm của BC và N là điểm đối xứng với D qua IM.
Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt AI tại P. Q là giao điểm thứ hai của AN với
(I). Chứng minh rằng DP  EQ.
Câu 3 (4 điểm):
Cho tam giác ABC. Kí hiệu a = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh rằng
sin

A
2

B
C
sin sin
2
2



Câu 4 (4 điểm): Cho n 

sin

B
2

C
A
sin sin
2
2




sin

C

2

A
B
sin sin
2
2

a  b  c
3
3abc

3

.

, S là tập tất cả các ước nguyên dương của 2016n. Giả

sử A là một tập con của S thoả mãn: a, b  S, a < b thì b a. Tìm max|A|.
Câu 5 (4 điểm):
Cho tập X = {1 ; 2 ; ... ; 2016}. Với 3 ≤ k ≤ 2016, ta kí hiệu Fk là họ các tập con gồm k
phần tử của X sao cho hai tập bất kì có chung không quá k  2 phần tử. Chứng minh
tồn tại tập con Mk của X sao cho |Mk| ≥ 11 và Mk không chứa tập con nào thuộc Fk.
----HẾT----