Đề thi duyên hải đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 năm 2016 đề đề xuất trường THPT chuyên điện biên

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ ĐỀ XUẤT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC: 2015 – 2016
Môn : Toán lớp 11
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )

ĐỀ BÀI
.

Câu 1. (5,0 điểm) Cho số thực a khác 2. Xét dãy số  xn  xác định bởi
x1  a ; xn 1 

xn 2  3
, n  1 . Tùy theo giá trị của a hãy tính giới hạn của dãy số đó.
2 xn  4

Câu 2. ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N 2  N sao cho với mọi số tự nhiên m, n ta có
các tính chất sau:
i)

f  0; m   m  1

ii) f  n  1;0   f  n;1
iii) f  n  1; m  1  f  n; f  n  1; m  
Tính f  3;2016  .
Câu 3. ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang, có hai đường chéo
AC, BD vuông góc với nhau tại điểm H và nội tiếp đường tròn (O) tâm O. Gọi M,
N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh DA, AB, BC, CD và gọi I, J, K, L lần lượt

là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:
1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm trên một đường tròn.
2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy tại một điểm.
Câu 4. ( 5,0 điểm) Cho tập hợp X  1;2;3;...;2016 . Tìm số k nguyên dương nhỏ
nhất sao cho với mọi tập con gồm k phần tử của tập hợp X đều chứa ít nhất 5 số
nguyên liên tiếp.
----------------------- HẾT --------------------


ĐÁP ÁN
Câu 1. (5,0 điểm) Cho số thực a khác 2. Xét dãy số  xn  xác định bởi
xn 2  3
x1  a ; xn 1 
, n  1 . Tùy theo giá trị của a hãy tính giới hạn của dãy số đó.
2 xn  4

Giải.
Ta có xn1  2 

xn 1

xn 2  3
x 2  4 xn  5
2  n
 0  xn  2, n  N * . Nên dãy số xác định.
2 xn  4
2 xn  4

 x  1
1  n

2

2 xn  4

; xn 1

 x  3
3  n

2

2 xn  4

, n  N *

-

Nếu a = 1 thì xn  1, n  N *  lim xn  1

-

Nếu a = 3 thì xn  3, n  N *  lim xn  3

-

Nếu a khác 1; 2 và 3 thì có

(1,5 điểm)

 x  1  ...   x1  1
xn 1  1  xn  1

 n 1
2
22
2n
xn 1  3  xn  3
 xn1  3
 x1  3
22

2



xn 1  1

 a  1
-

2

n



xn 1  3

 a  3

2

n



2n

2

 a  1   a  3
2

n

2n

(1)

(1,5 điểm)

Nếu a  1  a  3  4a  8  a  2 . Từ (1) có








2
 lim xn 1  lim  3 
  1  limx n  1
n
2

 a  1  1 


2n


a

3





-

(1 điểm)

Nếu a  1  a  3  4a  8  a  2 . Từ (1) có




2

 lim xn 1  lim 1 
2n

a  3

 1
2n

a

1







  3  limx n  3





(1 điểm)


Câu 2. ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N  N sao cho với mọi số tự nhiên m, n ta có các tính
2

chất sau:
i)

f  0; m   m  1

ii) f  n  1;0   f  n;1
iii) f  n  1; m  1  f  n; f  n  1; m  
Tính f  3; 2016  .
Giải: Từ i), ii) và iii) ta có:
f 1; n   f  0; f 1; n  1   f 1; n  1  1  ...  f  0;0   n  1  n  2(*)

( 1điểm)

f  2; n   f 1; f  2; n  1   f  2; n  1  1.2  ...  f  2;0   2n  f (1;1)  2n  2n  3 (**)

(1 điểm)

f  3; n   f  2; f  3; n  1   2 f  3; n  1  3

(1 điểm)

 f  3; n   3  2  f  3; n  1  3  ...  2 n  f  3; 0   3  2 n  f  2;1  3  2 n 3 (***)

( 1 điểm )

 f  3; 2016   22019  3

( 1 điểm)

Câu 3. ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang, có hai đường chéo AC, BD

vuông góc với nhau tại điểm H và nội tiếp đường tròn (O) tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm các cạnh DA, AB, BC, CD và gọi I, J, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H
trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:
1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm trên một đường tròn.
2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy tại một điểm.
Giải:


A
L

I

M

G

N

D
B

H

J
T

K

O

Q
P

j

C

a)

T
Ta có tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên nội tiếp được đường tròn (T) (0,5 điểm)

ˆ  QHC
ˆ  ABH
ˆ  ACD
ˆ  Q  HI  NIQ
ˆ  900
Có AHI
ˆ  MJP
ˆ  MLP
ˆ  900
tt : M  JH ,Q  LH , N  KH  NKQ

Vậy tám điểm M,N,P,Q,I,J,K,L đều thuộc đường tròn (T)
b) Gọi G là giao điểm của IK với JL. Ta có

(1 điểm)
( 0,5 điểm)
(0, 5 điểm)

H / (T )  HI .HQ  HJ .HM  HK .HN  HL.HP  k (1),T / (T )  TM .TP  TN .TQ(2)

Dùng phép nghịch đảo N cực H, phương tích k có: I, J, K, L tương ứng biến thành Q, M, N, P.
Vì tứ giác ABCD không phải là hình thang nên H không thuộc IK và JL nên phép nghịch đảo N
biến đường thẳng IK, JL tương ứng thành các đường tròn (HQN), (HMP) và do đó biến G thành
G’ là giao điểm khác H của hai đường tròn đó. Nên G’H là trục đẳng phương của hai đường tròn.
(3)
Từ (2) và (3) có T và G thuộc G’H .
Lại có tứ giác OPHM là hình bình hành do HM, OP cùng vuông góc DC; OM, PH cùng vuông
góc AB nên T là trung điểm của OH. Vậy OH đi qua điểm G ( ĐPCM)
( 2,5 điểm)
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tập hợp X  1; 2;3;...; 2016 . Tìm số k nguyên dương nhỏ nhất sao cho
với mọi tập con gồm k phần tử của tập hợp X đều chứa ít nhất 5 số nguyên liên tiếp.
Giải: Xét tập hợp A  X / 5k ,1  k  403  A  2016  403  1613
Với k không lớn hơn 1613, thì chọn bất kỳ tập hợp B là tập con gồm k phần tử của A, cũng là tập
con của X và B không thể chứa 5 số nguyên liên tiếp.
(1,5 điểm)
Nếu k = 1614. Xét C là một tập con của X gồm 1614 phần tử
Ai  5i  4;5i  3;5i  2;5i  1;5i ,i  1; 403, A404  2016

(1.5 điểm)

Nếu mỗi tập hợp trên chứa tối đa 4 phần tử thuộc C thì số phần tử của C không quá 4x403+1=
1613 ( vô lý). Vậy trong các tập hợp gồm 5 phần tử trên phải có 1 tập là con của C nên C chứa 5
số nguyên lien tiếp.
Vậy số k nhỏ nhất cần tìm bằng 1614.
------------------------- HẾT -----------------------------

(2 điểm)