Đề thi duyên hải đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 năm 2016 đề đề xuất trường THPT chuyên nam định

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG
NĂM HỌC 2015- 2016
KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN LỚP 11
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang

ĐỀ DỮ LIỆU

1
un e u
Bài 1. Cho dãy số thực  un  : u1  , un1 
, n 
2
1  eu
n

*

.

n

Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, BA  BC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn tâm
K đi qua các điểm O, A, C cắt BA và BC tại M và N tương ứng. Gọi P là điểm đối
xứng với K qua MN; E và F là hình chiếu vuông góc của P trên BA và BC tương ứng.
Chứng minh:
a. P là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BMN;
b. EF song song MN.
Bài 3. Cho đa thức P  x   a0 x n  a1 x n 1  ...  an với hệ số thực. Chứng minh rằng

nếu
ai2 

tất

cả

các

nghiệm

của

P x

là

số

thực

và

phân

biệt

thì

n  i 1 i 1

.
ai 1ai 1 , i  1,2,..., n  1.
ni
i

Bài 4. Cho dãy số  an  : a1 

*

, an 1  an3  2019, n 

*

. Chứng minh có nhiều nhất

1 số hạng của dãy là số chính phương.
Bài 5. Với n là số nguyên dương, một tập con của tập 1, 2,3,...,n được gọi là tốt nếu
sau khi ta sắp xếp thứ tự tăng các phần tử của nó thì thu được các số lẻ, chẵn, lẻ, …
theo thứ tự.
Ví dụ các tập con tốt là 1, 4,5,6 ,3, 4,7 , tập  . Tập 2,3,4,7 không là tập con tốt
do nó bắt đầu bởi số chẵn.
Tính số tập con tốt của tập 1, 2,3,...,n .
HẾT