Đề thi duyên hải đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 năm 2016 đề đề xuất trường THPT chuyên nguyễn trãi hải dương

KÌ THI HSG KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI –HẢI DƯƠNG
MÔN : TOÁN 11
THỜI GIAN : 180 PHÚT
Bài 1
Cho dãy số thực un được xác định bởi:
u  u  u  1 và u

1 2
3
n3

1  unu
n 2
un

Chứng minh : un là số nguyên với mọi n nguyên dương
Bài 2
Tứ giác lồi ABCD diện tích S và không có hai cạnh nào song song.Lấy điểm P1
nằm trên đường thẳng CD sao cho P1 và C nằm cùng phía so với đường thẳng AB
và S

ABP
1



S
.Tương tự cũng có các điểm P2,P3,P4 lần lượt nằm trên các đường
2

thẳng BC,AB và DA.Chứng minh P1, P2,P3,P4 thẳng hàng.
Bài 3
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2  1 .
(b  c)2
(a  c)2
(a  b)2


Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức: A 
b2  c 2  2 a 2  c 2  2 a 2  b2  2

Bài 4
Giải phương trình sau trên tập hợp số tự nhiên : x2 y2  y2 z 2  z 2 x2  x4


Bài 5
Gọi f(n) là số cách chọn các dấu cộng,trừ đặt giữa biểu thức: En  1  2  ... n sao
cho En  0 .Chứng minh rằng:
a) f(n)=0 khi n  1,2(mod 4)

 2
b) Khi n  0,3(mod 4) ta có
2

n

1 n 
 f (n)  2n  2  2 

-Hết-