Chuyen de bat dang thuc cosi - toán THCS THPT

Trường THPT chun Quang Trung

GV: Nguyễn Việt Hải

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
AM-GM (CAUCHY)
 Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số.
Đối với một số BĐT đồng dạng khơng đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị
của các biến tướng ứng khơng bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài
tốn BĐT (hay cực trị) dạng khơng đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản
nhất chính là xây dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi).
Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để
tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình
xác định chúng có nghiệm.

 Một số bất đẳng thức cơ bản
 Bất đẳng thức Cauchy
n
Cho
số

a1 a2  an
n

thực

không

a1 , a2 ,..., an (n 2)

âm

a1a2 ...an . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1

n

ta

luôn

a2

 an .

có

 Một vài hệ quả quan trọng:

(a1 a2  an )

1
a1

1
1

a2
an

n2 với ai

0, i 1, n

n2
với ai 0, i 1, n
a1 a2  an
Cho 2n số dương ( n Z , n 2 ): a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ta có:
1
a1

n

1
1

a2
an

(a1 b1 )(a2 b2 )...(an bn )

n

a1a2 ...an

n

b1b2 ...bn

Bài tốn mở đầu:
VD1. Cho

. Khi đó ta có hệ quả với

. Ta có

thì

Rõ ràng với bài tốn trên là kết quả của BĐT Cauchy.
Nếu thay điều kiện

bởi

Bài 1: Cho a 3 . Tìm Min của S

Chun đề BĐT cauchy

hay
a

hay

… thì lời giải bài tốn như nào??

1
a

1


Trường THPT chuyên Quang Trung

GV: Nguyễn Việt Hải

Bình luận và lời giải :
+Sai lầm :
S

1
a

a

2 a.

1
a

2

1
a

1

min S

2

+Nguyên nhân :
min S

2

a

điều này mâu thuẫn với giả thiết a 3
+Xác định điểm rơi :
Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và
10
min S
a 3 . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau
3
a
1
nên ta đưa tham số
sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số
và
phải bằng nhau.
Với a=3 cho cặp số

a

3
3

1
a

1
3

1
3

9

+Lời giải đúng :

S

a

1
a

a
9

1
a

Đẳng thức xãy ra
Bài 2: Cho a

8a
9
a

2

a 1

.
9 a

8.3
9

10
3

MinS

10
3

3

2 .Tìm Min của S

a

1
a2

+Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số

Chuyên đề BĐT cauchy

2

Trường THPT chuyên Quang Trung
a

GV: Nguyễn Việt Hải

2
2

1
a2

1
4

1
4

8

+Sai lầm :

S

a

1
a2

a
8

1
a2

7a
8

2

a 1
.
8 a2

7a
8

2
8a

7a
8

2
8.2

7.2
8

9
4

9
4

Với a=2 thì min S

+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a

2 thì

2
8a

2
là đánh giá
4

sai “
Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số
+Lời giải đúng :

S

a

1
a2

a
8

Đẳng thức xãy ra

Bài 3: Cho

a
8

1
a2

a

6a
8

33

a a 1
. .
8 8 a2

6.2
8

9
4

min S

9
4

2

a, b 0
.Tìm min của S
a b 1

ab

1
ab

+Sai lầm :

Chuyên đề BĐT cauchy

3


Trường THPT chuyên Quang Trung
S

1
ab

ab

2

min S

GV: Nguyễn Việt Hải

2

+Nguyên nhân :
min S

2

ab

1
ab

1

ab

a b
2

1
2

1

1

2

(vô lí )
+Lời giải đúng :
Đặt
1
ab

t

t

1
ab

1
a b
2

4

2

điều này dẫn đến một bài toán mới

Cho t

4 .Tìm min của S

1

t

t

Với
t
t

4
4

4

1
t

1
4

1
4

16

Ta có :

S

t

Với t

1
t

t 1
16 t

4 hay a

b

15t
16

2

t 1 15.4
.
16 t
16

1
thì min S
2

17
4

17

4

Lời giải bài 3:
Do

Chuyên đề BĐT cauchy

4


Trường THPT chuyên Quang Trung
t

4

a

b

GV: Nguyễn Việt Hải

1
2

nên
S

ab

1

ab

ab

1
16ab

15
16ab

a

1
2

Đẳng thức xãy ra

b

2 ab.

Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a b c

1
b2

a2

S

1
c2

b2

1
16ab

15
16

2

a b
2

17
4

min S

17
4

3
.Tìm min
2

1
a2

c2

+Sai lầm :

S

33

a2

1
. b2
2
b

1
. c2
2
c

1
a2

36 2 a 2 .

1
b2

2 b2.

1
c2

2 c2.

1
a2

3.6 8

3 2

min S

3 2

+Nguyên nhân :
min S

3 2

a

b

c

1
a

1
b

1
c

1

a b c

3

3
2

trái với giả thiết .

+Xác định điểm rơi :

Chuyên đề BĐT cauchy

5


Trường THPT chuyên Quang Trung

a

b

a2

1
2

c

b2

1
a2

1
4
1
c2

c2
1
b2

GV: Nguyễn Việt Hải

1
4

4

4

16

+Lời giải đúng :

1
1
...
2
2
16
b16
b

a2

S

b2

1
1
...
2
2
16
c16
c

16

17.17

a2
1616 b 32

3 17.17

Với a

16

17.17

1
16 a 5 b 5 c 5

b

8

c

a2
1616 b 32

a b c

9
2b

16

a2
1616 b 32

17

17

a
16 b16
8

3 17

217 (2a.2b.2c)

1
thì min S
2

3
a

17.17

3 17
5

217

2a 2b 2c
3

15

17

b
16 c16
8

17

c
16 a 16
8

3 17
2

3 17
.
2

Bài 5: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c
S

1

1
...
2
2
16
a 16

a

c2

20 .Tìm min của

4
c

Chuyên đề BĐT cauchy

6


Trng THPT chuyờn Quang Trung

GV: Nguyn Vit Hi

Li gii : Ta d oỏn c S=1 ti im ri a=2 , b=3 , c=4 .S dng BT Cauchy ta cú :
a

4
a

2 a.

4
a

4

3
a
4

4
a

3

b

9
b

2 b.

9
b

6

1

b
2

9
b

3

c

16
c

2 c.

16
c

1
16
c
4
c

8

3a
4

b

2

c
4

3
a

9
2b

4
c

8

2

(1)

M
a 2b 3c

a
4

20

b
2

3c
4

5

(2)

Cng (1) v (2) v theo v c

S 13

min S 13

ng thc xóy ra

a

2, b

3, c

4

* Baứi taọp tửụng tửù:

Bi 6: Cho

a, b, c 0
ab 12; bc 8

Chng minh rng:
S

( a b c) 2

1
ab

1
bc

1
ca

8
abc

121
2

Bi 7: Cho a,b,c>0 v a=max{a,b,c} . Tỡm min ca

S

a
b

Chuyờn BT cauchy

2 1

b
c

33 1

c
a

7


Trường THPT chun Quang Trung

GV: Nguyễn Việt Hải

Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của
T

sin A sin B sin C

1
sin A

1
sin B

1
sin C

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của

T

1
cos2 B

sin 2 A

1
cos2 C

sin 2 B

x, y , z
Bài 10. Cho 1 1
x y

0
1
z

4

sin 2 C

1
cos2 A

. Tìm GTLN của P

1
2x y z

1
x 2y z

x

1
.
y 2z

5 1
18 x

1
z

10
9

Lời giải
Sai lầm 1:

1 1
9 2x

Ta có P

MaxP

1
y

1
z

1 1
9 x

1
2y

1
z

1 1
9 x

1
y

1
2z

1
y

10

9

Sai lầm 2:

P

33

1
2 xyz

33

1
x.2 yz

33

1
xy 2 z

11 1
3 3 2x

1
y

1
z

11 1
33 x

1
2y

1
z

11 1
33 x

1
y

1
2z

10
9

Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm

rơi. MaxP

10
9

2x

y

z

2y
2z

x
x

z
y

1
x

1
y

1
z

(vn) , tức là không tồn tại ( x, y, z ) D : P
4

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại x
số 2x

10
9

y

z

4
nên tách các
3

x x ra cho dấu bằng xẩy ra.

Chun đề BĐT cauchy

8


Trường THPT chun Quang Trung

1
2x y z

Cách 1: Ta có
1
16

P

2
x

1
y

1
z

Cách 2: Ta có 2 x

4

1 1 1 1
. . .
x x y z

P

1
1
.4
16
x

1
y

MaxP 1 khi x

1
x x

1
x

2
y

y z

1 1
4 x

1
x
1
z

y

GV: Nguyễn Việt Hải

1
z

x x

1
y

1
z

y z
1
x

y z

1 1
16 x
1
y

1
x

2
z

1
2x y z

4 4 x.x. y.z

1
2x y z

1
, tương tự và ta có:
z

1 , vậy MaxP 1 khi x

1 2
16 x

1 . Dấu “=” xảy ra khi x

z

1
y

y

1
y

z

1
4

2

4 x yz

y

z

4
.
3

, mặt khác:

1
, tương tự ta có:
z

1
, suy ra:
4

1
.
4

Ta có thể thể mở rộng bài tốn 10. Thành bài tốn tổng qt sau.

x, y , z
Cho 1 1
x y
Với

, ,

0
1
z

4

. Tìm GTLN của P

x

1
y

z

x

1
y

z

x

1
y

z

.

N

Chun đề BĐT cauchy

9