Bài giải một số bài tập về biến đổi tuyến tính và ma trận chuyển cơ sở

Toán3



NguyễnThịVân

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI 5
( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)

Maths is your friend if you meet with him every day, he becomes your best friend.
If you leave for a time, he forgets you and you forget him.

PHẦN 9:
+ Khái niệm biến đổi tuyến tính.
+ Ma trận của phép biến đổi tuyến tính. Ảnh của một véc tơ qua phép biến đổi tuyến tính.
+ Thế nào là ma trận chuyển cơ sở? Cách tìm ma trận chuyển cơ sở.
+ Mối liên hệ tọa độ của một vectơ trong hai cơ sở khác nhau.

1. Tìm m để ánh xạ sau là biến đổi tuyến tính T: ! 3 ⟶ ! 3 xác định bởi
( x1, x2, x3 ) ⟼ ( x1, 2x2+ x3, mx1x3 ).
Đs: m = 0
2. (12t437)Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính biến (1,1) thành (2,2), biến (2,0) thành (0,0).
Tìm T(v) với
(a) v = (2,2)
Đs:a) ( 4, 4)

(b)

v = (3,1)

b) ( 2, 2)

(c) v = (-1,1)






c) ( 2, 2)

3
3. Cho phép biến đổi tuyến tính T : ! 3 ⎯
⎯→ ! thỏa mãn:

T[(1, 1, 1 )]= ( 1, 0 , -1 ),

T[( 1, 1, 0 )] = ( 0, 1, 0 ),

T[( 1, 0, 0)] = ( 0, 1, 0 ).

Tìm T [(2, -4, 6)].
⎡ 2 ⎤ ⎡6 ⎤
Đs: T ⎢ −4 ⎥ = ⎢ −4 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣6 ⎥⎦ ⎢⎣ −6 ⎥⎦

4. Cho {e1, e2} là cơ sở chính tắc của ! 2. Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ ! 2 vào ! 2 thoả
điều kiện

T(e1 + e2) = (1, 1); T(2e1 + e2) = (0, 1).
1




Toán3



NguyễnThịVân

(a) Tìm ma trận chính tắc của T.
(b) Tìm vectơ u ∈ ! 2 sao cho T(u) = (2, -1).
Đs

⎡ −1 2⎤
⎥
⎣ 0 1⎦

a) Ma trận chính tắc của T trong cơ sở chính tắc của ! 2 là ⎢

!
u
b) = ( − 4,1)
!" !" !"

5. Cho {e1, e2 ,e3} là cơ sở chính tắc của ! 3 , T là phép biến đổi tuyến tính từ ! 3 vào ! 3 , thoả
⎡3⎤
⎡4⎤
⎡1 ⎤
!" !" !" ⎢ ⎥
!" !" ⎢ ⎥
!" ⎢ ⎥
mãn điều kiện: T e1 + e2 + e3 = ⎢3⎥ ,T e1 + 2e2 = ⎢1 ⎥ ,T e3 = ⎢ 2 ⎥
⎢⎣3⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦

(

)

(

)

( )

(a) Tìm ma trận chính tắc của T?
⎡1 ⎤
!
! ⎢ ⎥
(b) Với v = ⎢ 2 ⎥ thì T (v ) = ?
⎢⎣3 ⎥⎦

Đs:

⎡0 2 1 ⎤
a) ⎢⎢1 0 2 ⎥⎥
⎢⎣ 2 1 0 ⎥⎦

⎡7 ⎤
b) T ( v ) = ⎢7 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 4 ⎥⎦

6. Cho phép biến đổi tuyến tính

T : !2 → !2
(x, y) " (2x + 3y,3x + 2 y)
Xác định ma trận chính tắc của T.

⎡2 3⎤
⎥
⎣3 2⎦

Đs: Ma trận chính tắc của T là ⎢

7. Cho phép biến đổi T: ! 2 → ! 3 xác định như sau T(v) = xu1 + yu2 +(x + y)u3, trong đó
v = (x, y), u1 =(1, 0, 0), u2 =(1, 1, 0), u3 =( 1, 1, 1). Chứng minh rằng T là một biến đổi tuyến
tính. Tìm ma trận chính tắc của T.

⎡2 2⎤
Đs: Ma trận chính tắc của T trong cơ sở của ! 2 là ⎢ 1 2 ⎥
⎢
⎥

⎢⎣ 1 1 ⎥⎦
2



Toán3



NguyễnThịVân

⎡1⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
8. Cho cơ sở F = {v1, v2, v3} của ! với v1 = 1 , v2 = 1 , v3 = ⎢0 ⎥ . Cho T là phép biến đổi
⎢⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦
3

tuyến tính từ ! 3 vào ! 3 xác định bởi T( x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1+ x2 + x3)v1 + (2x1 + x3)v2 – (2x2
+ x3)v3
(a) Tìm ma trận chính tắc của T.

(b) Với v = (1, 1, -1), tìm T(v).

⎡ 1 −2 4 ⎤
Đs: a) ⎢ 2 −1 2 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 1 0 0 ⎥⎦

b)

⎡ −5 ⎤
⎢ −1 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣1 ⎥⎦

9. Cho phép biến đổi tuyến tính T : ! 2 → ! 2

! ⎡ x1 ⎤
! ⎡ 2x1
⎥ " T (v ) = ⎢
v=⎢
⎢ x2 ⎥
⎢ x1 + x2
⎣
⎦
⎣

⎤
⎥
⎥

⎦

Tìm ma trận chính tắc của T.
Đs:

⎡2
A=⎢
⎣1

0⎤
1 ⎥⎦

10. Cho E = {(1, 2); (2, 3)} và F = {(1, 1); (2, 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang F và từ
F sang E. Biết tọa độ của vectơ v theo cơ sở E là (1, -1), tìm tọa độ của v theo cơ sở F.

⎡ −1 −4⎤
3 ⎥⎦
⎣1

Đs: Ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là AE →F = ⎢

⎡3 4⎤
⎥
⎣ −1 −1⎦

Ma trận chuyển cơ sở từ F sang E là BF →E = ⎢

!

⎡ −1

Tọa độ của v theo cơ sở F là ⎡ v ⎤ = ⎢
⎣ ⎦F
⎣ 0

⎤
⎥
⎦

11. Trong không gian ! 2 cho hai cơ sở :

! ⎡ 2 ⎤ ⎪⎫
⎡ −3 ⎤ ⎪⎫
⎪⎧ !" ⎡ 1 ⎤ !"
⎪⎧ !" ⎡ 2 ⎤ "
B = ⎨u1 = ⎢
⎥ ,u2 = ⎢
⎥ ⎬ , B' = ⎨u'1 = ⎢
⎥ ,u '2 = ⎢
⎥⎬
⎪⎩
⎪⎩
⎣ 2 ⎦
⎣ 3 ⎦ ⎪⎭
⎣ 1 ⎦
⎣ 4 ⎦ ⎪⎭
3



Toán3

NguyễnThịVân

(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’
(b) Cho w = 3u1 – 5u2. Tính tọa độ của w trong cơ sở B’.

⎡ −4
⎣3

Đs: Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là M B→B ' = ⎢

17 ⎤
−10⎥⎦

!
⎡
⎤
⎡
⎤ = ⎢ −5 ⎥
v
Tọa độ của v theo cơ sở B’ là
⎣ ⎦ B'
⎣ −1 ⎦
HƯỚNG DẪN GIẢI
1. T là phép biến đổi tuyến tính khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

!"
!"

!
!" !"
!
!"
!"
!
∀v1 ( x1 , x2 , x3 ) ,v2 ( y1 , y2 , y3 ) ∈# 3 : T v1 + v2 = T v1 + T v2
!"
!"
∀c ∈# : T cv1 = cT v1
( 2)

( )

( )

(

) ( ) ( )

(1)

⎛ ⎡ x1 ⎤⎞
⎛ ⎡ cx1 ⎤⎞ ⎡ cx1
⎤
!"
⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
T cv1 = T ⎜ c ⎢ x2 ⎥⎟ = T ⎜ ⎢ cx2 ⎥⎟ = ⎢ 2cx2 + cx3 ⎥ ;
⎜⎝ ⎢ x ⎥⎟⎠
⎜⎝ ⎢ cx ⎥⎟⎠ ⎢ mc 2 x x ⎥
⎣ 3⎦
⎣ 3⎦
⎣
⎦
1 3
⎛ ⎡ x1 ⎤⎞
⎡ x1
⎤
!"
⎢
⎥
⎜ ⎢ ⎥⎟
cT v1 = cT ⎜ ⎢ x2 ⎥⎟ = c ⎢ 2x2 + x3 ⎥
⎢ mx x ⎥
⎜⎝ ⎢ x ⎥⎟⎠
⎣ 3⎦
⎣ 1 3 ⎦

( )

( )

)
⎯(⎯
→ mc 2 x1x3 = mcx1x3 , ∀x1 , x3 ,c ∈# → m = 0
2

Với m = 0 thì
⎛ ⎡ x1 ⎤⎞
⎛ ⎡ y1 ⎤⎞ ⎡ x1
⎤ ⎡ y1
⎤ ⎡ x1 + y1
⎤
!" !"
!
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎜ ⎢ ⎥⎟
⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎢
T v1 + v2 = T ⎜ ⎢ x2 ⎥⎟ + T ⎜ ⎢ y2 ⎥⎟ = ⎢ 2x2 + x3 ⎥ + ⎢ 2 y2 + y3 ⎥ = ⎢ 2x2 + x3 + 2 y2 + y3 ⎥ = T
⎥ ⎢0
⎥ ⎢0
⎥
⎜⎝ ⎢ x ⎥⎟⎠
⎜⎝ ⎢ y ⎥⎟⎠ ⎢0
⎣ 3⎦
⎣ 3⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦

(

)

⎡ x1 + y 1 ⎤
!"
!"
!
⎢
⎥
x
+
y
=
T
v
+
T
v
2⎥
1
2
⎢ 2
⎢x + y ⎥
⎣ 3 3⎦

( ) ( )

Vậy f là phép biến đổi tuyến tính

2.a) T (( 2, 2)) = T ( 2 (1,1)) = 2T (1,1) = 2 ( 2, 2) = ( 4, 4)
b) T (3,1) = T ((1,1) + ( 2,0)) = T (1,1) + T ( 2,0 ) = ( 2, 2 ) + (0,0 ) = ( 2, 2 )
c) T ( −1,1) = T ((1,1) − ( 2,0)) = T (1,1) − T ( 2,0 ) = ( 2, 2 ) − (0,0 ) = ( 2, 2 )
4



Toán3

3.



NguyễnThịVân

⎡2 ⎤
⎡1⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
⎢ −4⎥ = x ⎢1⎥ + y ⎢1 ⎥ + z ⎢0⎥ → x = 6, y = −10, z = 6
⎢ ⎥
⎢⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦

⎛ ⎡1⎤

⎡2 ⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤ ⎞
⎡1 ⎤
⎡ 0⎤
⎡ 0⎤ ⎡ 6 ⎤
⎜ ⎢⎥
⎟
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
T ⎢ −4⎥ = T ⎜ 6 ⎢1⎥ − 10 ⎢1 ⎥ + 6 ⎢0⎥ ⎟ = 6 ⎢0 ⎥ − 10 ⎢1 ⎥ + 6 ⎢⎢1 ⎥⎥ = ⎢⎢ −4⎥⎥
⎜ ⎢1⎥
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦ ⎟⎠
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎢⎣ 0⎥⎦ ⎢⎣ −6⎥⎦
⎝ ⎣⎦

!"
!"

4. a) T e1 + T e2

!"
!"
= (1, 1); 2 T e1 + T e2 = (0, 1).

() ( )
()
!"
!"
→ T ( e ) = ( −1,0 ) ; T ( e ) = ( 2,1)
1

( )

2

⎡ −1 2⎤
⎥
⎣ 0 1⎦

Ma trận chính tắc của T trong cơ sở chính tắc của R2 là ⎢
b) Giả sử u ∈ R2 có tọa độ (x,y) nên

!
!
!
!
!
!

⎡ −1 ⎤
⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤
u = xe1 + ye2 → T u = xT (e1 ) + yT e2 = x ⎢
+
y
⎥
⎢
⎥=⎢
⎥
0
1
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣ −1 ⎦

()

( )

→ y = −1; x = −4
!
Vậy véc tơ u = ( − 4,1)
5.

⎡3⎤
!" !" ⎢ ⎥
a)T e1 + e2 = ⎢3⎥ −
⎢⎣3⎥⎦

(

)

⎡1 ⎤ ⎡ 2 ⎤
⎡4⎤
⎡2⎤
⎡0 ⎤
!"
!" ⎢ ⎥
!" ⎢ ⎥
!" ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥ = ⎢1 ⎥ ,T e1 + 2e2 = ⎢1 ⎥ → T e2 = ⎢0 ⎥ → T e1 = ⎢1 ⎥
⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣3 ⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦

(

)

( )

()

⎡0 2 1 ⎤
Vậy ma trận chính tắc là ⎢⎢1 0 2 ⎥⎥
⎢⎣ 2 1 0 ⎥⎦

⎡
⎤
⎡1 ⎤
! ⎢ ⎥ "!
"! "!
!
"!
"!
"! ⎢ 7 ⎥
b) v = ⎢ 2 ⎥ = e1 + 2e2 + 3e3 → T v = T e1 + 2T e2 + 3T e3 = ⎢ 7 ⎥
⎢ 4 ⎥
⎢⎣3 ⎥⎦
⎣
⎦

() ( )

( )

( )

!
⎡ 2v1 + 3v2 ⎤
6. T v = T ( v1 ,v2 ) = ⎢
⎥
3v
+
2v
⎣ 1
2⎦

()

5



Toán3



!"
⎡2⎤
T e1 = T (1,0 ) = ⎢ ⎥ ;
⎣3 ⎦

()

NguyễnThịVân

!"
⎡3 ⎤
T e2 = T ( 0,1) = ⎢ ⎥
⎣2⎦

( )

⎡2 3⎤
⎥
⎣3 2⎦

Ma trận chính tắc của T là ⎢

7. Muốn chứng minh T là ánh xạ tuyến tính cần chứng minh:

!"
!"
!
!" !"
!
!"
!"
!
∀v1 ( x1 , y1 ) ,v2 ( x2 , y2 ) ∈# 2 : T v1 + v2 = T v1 + T v2
!"
!
!"
!
!"
!
∀v ( x , y ) ,∀c ∈# : T cv = cT v

( )

(

) ( ) ( )
( )

T(v) = T(x,y) = xu1 + yu2 +(x + y)u3

!"
!" !"
! !"
T e1 = T (1,0 ) = u1 + 0u2 + u3 = (1,0,0 ) + 0.(1,1,0 ) + (1,1,1) = ( 2,1,1)
!" !"
! !"
T ( e2 ) = T ( 0,1) = 0u1 + u2 + u3 = 0.(1,0,0 ) + (1,1,0 ) + (1,1,1) = ( 2,2,1)

()

⎡2 2⎤
Ma trận chính tắc của T trong cơ sở của R2 là ⎢ 1 2 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 1 1 ⎥⎦
8. a) T( x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1+ x2 + x3)v1 + (2x1 + x3)v2 – (2x2 + x3)v3

⎛ ⎡1⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤ ⎞
⎡1⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
⎜
⎟
T ⎜ x1 ⎢1⎥ + x2 ⎢1 ⎥ + x3 ⎢0⎥ ⎟ = ( x1 + x2 + x3 ) ⎢1⎥ + ( 2 x1 + x3 ) ⎢1 ⎥ − ( 2 x2 + x3 ) ⎢0⎥
⎢⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥

⎢⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎜ ⎢1⎥
⎟
⎢⎣0 ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦ ⎠
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎝ ⎣⎦
⎛ ⎡ x1 + x2 + x3 ⎤
⎜
⎥
→ T ⎜ ⎢⎢ x1 + x2
⎥
⎜ ⎢x
⎥⎦
⎝⎣ 1

⎞ ⎡3x1 − x2 + x3 ⎤
⎟ ⎢
⎥
⎟ = ⎢3x1 + x2 + 2 x3 ⎥
⎟ ⎢x + x + x ⎥
⎠ ⎣ 1 2 3 ⎦

Đặt x = x1 + x2 + x3; y = x1 + x2 ; z = x1 → x1 = z; x2 = y − z; x3 = x − y

⎛ ⎡x ⎤

⎜
T ⎜⎢y ⎥
⎢ ⎥
⎜ ⎢z ⎥
⎝⎣ ⎦

⎞ ⎡3 z − ( y − z ) + ( x − y ) ⎤ ⎡ x − 2 y + 4 z ⎤
⎥ ⎢
⎟ ⎢
⎥
=
3
z
+
y
−
z
+
2
x
−
y
(
)
(
)
⎥ = ⎢2 x − y + 2z ⎥
⎟ ⎢
⎟ ⎢z + y − z + x − y ⎥ ⎢x
⎥⎦

) (
) ⎦ ⎣
⎠ ⎣ (

6



Toán3



⎛ ⎡1
!"
⎢
T e1 = T ⎜ ⎢0
⎜
⎜⎝ ⎢0
⎣

()

⎤
⎥
⎥
⎥⎦

⎞ ⎡1 ⎤
⎟ = ⎢2⎥
⎟ ⎢ ⎥

⎟⎠ ⎢1 ⎥
⎣ ⎦

⎛ ⎡0
!"
⎢
T e2 = T ⎜ ⎢1
⎜
⎜⎝ ⎢0
⎣

( )

⎤
⎥
⎥
⎥⎦

NguyễnThịVân

⎞ ⎡ −2 ⎤
⎟ = ⎢ −1 ⎥
⎟ ⎢ ⎥
⎟⎠ ⎢0 ⎥
⎣ ⎦

⎛ ⎡0 ⎤
!"
⎢ ⎥
T e3 = T ⎜ ⎢0 ⎥

⎜
⎜⎝ ⎢1 ⎥
⎣ ⎦

( )

⎞ ⎡4⎤
⎟ = ⎢2⎥
⎟ ⎢ ⎥
⎟⎠ ⎢0 ⎥
⎣ ⎦

⎡ 1 −2 4 ⎤
Ma trận chính tắc của T là ⎢ 2 −1 2 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 1 0 0 ⎥⎦
b)

⎛ ⎡1 ⎤⎞ ⎡ 1 −2 4 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −5⎤
!
!
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
T v = Av → T ⎜ ⎢1 ⎥⎟ = ⎢ 2 −1 2 ⎥ ⎢1 ⎥ = ⎢ −1⎥
⎜
⎟
⎜⎝ ⎢ −1⎥⎟⎠ ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢1 ⎥
⎣ ⎦

⎣
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

9.

! ⎡1 ⎤ ! ⎡0 ⎤
!
!
⎡2⎤
⎡0 ⎤
e1 = ⎢ ⎥ ; e2 = ⎢ ⎥ ; T e1 = ⎢ ⎥ ; T e2 = ⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎣1 ⎦
⎣1 ⎦
⎣1 ⎦

()

( )

( )

!

( )

Ma trận chính tắc cuả T là A = ⎡T e1

⎣

!
⎡ 2
T e2 ⎤ = ⎢
⎦ ⎣ 1

( )

0 ⎤
⎥
1 ⎦

10. Ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là

AE→F

⎡1 2⎤
=⎢
⎥
⎣ 2 3⎦

−1

⎡1 2⎤
1 ⎡ 3 −2⎤ ⎡1 2⎤
=
⎢1 1 ⎥ −1 ⎢ −2 1 ⎥ ⎢1 1 ⎥ = −
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣

⎦

⎡ 1 4 ⎤ ⎡ −1 −4⎤
⎢ −1 −3⎥ = ⎢ 1 3 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦

Ma trận chuyển cơ sở từ F sang E là

BF →E

⎡1 2⎤
= ⎢
⎥
⎣1 1 ⎦

−1

⎡1 2⎤
⎡ −3 − 4⎤ ⎡ 3 4 ⎤
1 ⎡ 1 −2⎤ ⎡1 2⎤
=
=
−
=
⎢2 3⎥ −1 ⎢ −1 1 ⎥ ⎢ 2 3⎥
⎢1
1 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 −1⎥⎦
⎣

⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣
−1

−1

Hoặc BF →E = A

E →F

⎡−1 −4⎤
⎡3 4⎤
=⎢
=
⎥
⎢ −1 −1⎥
⎣1 3⎦
⎣
⎦

!
!
⎡ 3
⎡
⎤
⎡
Tọa độ của v theo cơ sở F là v = BF→E v ⎤ = ⎢

⎣ ⎦F
⎣ ⎦E
⎣ −1
11.

4 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −1 ⎤
⎥⎢ ⎥ =⎢
⎥
−1 ⎦ ⎣ −1⎦ ⎣ 0 ⎦

Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là

⎡1 2⎤
M B→B ' = ⎢
⎥
⎣ 2 3⎦

−1

⎡2 −3⎤
1 ⎡ 3 −2⎤ ⎡ 2 −3⎤
⎢1 4 ⎥ = −1 ⎢ −2 1 ⎥ ⎢1 4 ⎥ = −
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦

⎡ 4 −17 ⎤ ⎡ −4 17 ⎤
⎢ −3 10 ⎥ = ⎢ 3 −10⎥

⎣
⎦ ⎣
⎦
7




Toán3



NguyễnThịVân

!"

⎡ 3
Tọa độ của w theo cơ sở B là w = 3u1 – 5u2 → ⎡ w ⎤ = ⎢
⎣ ⎦B

⎣ −5

⎤
⎥
⎦

Ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là
−1

⎡−4 17 ⎤

1 ⎡10 17 ⎤
N B '→B = M B→B ' = ⎢
=
⎥
11 ⎢⎣ 3 4 ⎥⎦
⎣ 3 −10⎦
−1

Tọa độ của v theo cơ sở B’ là

!
!
⎡
⎡v ⎤ = N
⎡ v ⎤ = 1 ⎢ 10
B'→B
⎣ ⎦ B'
⎣ ⎦ B 11 3
⎣

17 ⎤ ⎡3 ⎤ 1 ⎡ −55 ⎤ ⎡ −5 ⎤
⎥⎢ ⎥ = ⎢
⎥= ⎢
⎥
4 ⎦ ⎣ −5⎦ 11 ⎣ −11 ⎦ ⎣ −1 ⎦



8