MỘT SỐ BÀI TOán ứng dụng max min

Ứng dụng các bài toán Min-Max
Biên soạn: NGUYỄN ĐÌNH HOÀN
Bài toán 1: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy
với dung tích 1000cm 3 . Hãy xác định bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết
kiệm nguyên vật liệu nhất.
V
Giả sử thùng sơn có nắp đậy có bán kính x x  0 . Khi đó: V   x 2h  h 
.
x2
Để tiết kiệm nhiên liệu ta cần thùng sơn có diện tích toàn phần bé nhất.
2000
 2 x 2  f x
Diện tích toàn phần thùng sơn là: S  2 xh  2 x 2 
x





 

Khảo sát đồ thị và lập bảng biến thiên ta tìm được bán kính cần tìm là x 

10 3 5

cm .

Bài toán 2: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng
inox để chứa nước, tính bán kính của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn
chưa đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy ( Đơn vị: met)

1
Ta có: V  h R2  1  h 
 R2
1
2
Stp  2 R2  2 Rh  2 R2  2 R.
 2 R2   f  R  R  0 
2
R
R
1
1
Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được: f  R  nhỏ nhất khi: R  3
h
2
1
3
4 2
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức, ta có:
3

1
2
1 1
1 1
 2 R2   2 R2    3. 3 2 R2 . .  3. 3 2
2
R
R R
R R

R
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: R3 
2
Bài toán 3: Người ta cần thiết kế một bồn chứa dạng hình nón có thể tích 1000 lít. Yisnh
bán kính đáy của hình nón sao cho diện tích xung quanh của hình nón đạt giá trị nhỏ
nhất.
1
3
Ta có: V  .h. .r 2  1  h  2
3
r
1
1 2 2
Sxq  . đường sinh.chu vi đáy 
h  r .2 r
2
2
Stp  2 R2  2 Rh  2 R2  2 R.

9
 9

  r 2 h2  r 2   r 2  4  r 2   
 r4
2
r
r







Đặt: f  r  

9
 r 4 . Nhận xét: Sxq min  f  r  min
 r2

Cách 1: Khảo sát hàm số.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức, ta có:

9
9
9
9
9
81
 r4 

 r 4  3. 3
.
.r 4  3 3
2
2
2
2
2

r
2 r
2 r
2 r 2 r
4 2

 f  r  min 

9
9
 r4  r  6
.
2
2
2 r

Bài toán 4: Trong cuộc thi thiết kế mái cho một sân vận động có diện tích 20000 m2 có
hai đồ án như sau: Công ty A thiết kế sân vận động hình vuông với mái là hình chóp tứ
giác đều có chiều cao bằng 70m, công ty B thiết kế sân vận động hình tròn với mái là
nửa mặt cầu. Hỏi thiết kế của công ty nào giúp tiết kiện diện tích mái hơn?
Phương án A: Hình chóp tứ giác đều:
Chiều cao của cạnh bên là:



h 2  50 2



2

 4900  5000  30 11 ( h  70 )

Độ dài cạnh đáy là: 20000

 

1
Sxq  4. . chiều cao mặt bên.cạnh đáy  2.30 11.100 2  6000 22 m2
2
Phương án B: Mặt cầu:
Diện

tích

hình

Smai  2 R2  2 .

20000



tròn

lớn

bằng

20000m 2   R2  20000  R 

20000



 

 40000 m2

Kết luận: Vậy phương án A giúp tiết kiện diện tích mái hơn.
Bài toán 5: Người ta cần thiết kế một bồn chứa chất lỏng có thể tích 10000 lít. Phương
án thứ nhất thiết kế theo dạng hình cầu, phương án thứ hai thiết kế theo dạng hình trụ
có chiều cao bằng đường kính đáy. Hỏi thiết kế nào giúp tiết kiệm nguyên vật liệu hơn?
Vì sao?

4
30 15
15

R 3
a) Hình cầu: V  10000  l   10m3  . .R3  10  R3 
3
4 2
2


 Smc  4. R2  4 . 3

225 3
 16225

4 2

b) Hình trụ: h  2R . Ta có: Vtru  h. .R2  2 R3  10  R 

3

5



Ta có: Sxq  2 R2  2 Rh  2 R2  2 R.2R  6 R2  3 21625
Kết luận: Vậy thiết kế hình cầu giúp tiết kiệm nguyên vật liệu hơn.