CHUONG16 PHUONG TRINH MAXWELL VA SONG DIEN TU

CHƢƠNG 16 : CÁC PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ SÓNG ÐIỆN TỪ

I.

II.

III.

ÐIỆN TRƢỜNG XOÁY - PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL-FARADAY
1.

Ðiện trƣờng xoáy.

2.

Phƣơng trình Maxwell-Faraday.

DÒNG ÐIỆN DỊCH - PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL-AMPÈRE
1.

Dòng điện dịch.

2.

Phƣơng trình Maxwell -Ampère.

HỆ PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL
1.

Hệ phƣơng trình Maxwell thứ nhất

2.

Hệ phƣơng trình Maxwell thứ hai.

3.

Giá trị của thuyết Maxwell.

IV.

SÓNG ÐIỆN TỪ TỰ DO

V.

NĂNG LƢỢNG SÓNG ÐIỆN TỪ

Phân tích những hiện tƣợng điện và từ và định luật chi phối chúng, MAXWELL nhận thấy rằng
giữa từ trƣờng và điện trƣờng có mối quan hệ rất chặt chẽ. Trên cơ sở đó, Maxwell nêu lên lý thuyết về
điện từ trƣờng. Theo thuyết này, giữa điện trƣờng và từ trƣờng có mối quan hệ biện chứng, chúng có thể
chuyển hoá lẫn nhau. Mọi sự biến đổi của điện trƣờng đều làm xuất hiện từ trƣờng và ngƣợc lại. Thuyết
Maxwell giúp ta hiểu khái quát những hiện tƣợng điện và từ đã biết trƣớc đây và những hiện tƣợng điện từ
mới. Trên cơ sở quan niệm về sự tồn tại của điệûn từ trƣờng, Maxwell đã đề ra những phƣơng trình diễn
tả điện từ trƣờng trong những trƣờng hợp tổng quát của môi trƣờng.
I. ÐIỆN TRƢỜNG XOÁY - PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL-FARADAY
1. Ðiện trƣờng xoáy

TOP

Theo định luật Faraday về hiện tƣợng cảm ứng điện từ, mỗi khi từ thông qua một mạch điện biến
thiên thì trong mạch xuất hiện một suất điện động cảm ứng. Nếu mạch là một dây dẫn kín, thì trong mạch

sẽ xuất hiện dòng điện cảm ứng. Suất điện động cảm ứng sẽ xuất hiện trong hai trƣờng hợp: hoặc là mạch
đứng yên trong một từ trƣờng biến thiên, hoặc là mạch thẳng chuyển động trong từ trƣờng. Ở đây, chúng
ta chỉ xét trƣờng hợp mạch đứng yên trong từ trƣờng biến thiên. Trong mạch có xuất hiện suất điện động,
chứng tỏ rằng có những lực lạ (khác với lực tĩnh điện) tác dụng lên điện tích, và trong mạch có một trƣờng
lực lạ ở đây chính là điện trƣờng. Nếu mạch là một dây dẫn kín, thì điện trƣờng này tác dụng lực lên các
điện tích và tạo nên dòng điện cảm ứng trong mạch. Lực lạ trong trƣờng hợp này là lực điện trƣờng.
Ðiện trƣờng này không phải là trƣờng tĩnh điện. Vì trƣờng tĩnh điện là trƣờng thế nên lƣu số của vectơ
trƣờng tĩnh điện dọc theo một đƣờng cong kín phải bằng không. Vì thế, trƣờng tĩnh điện không thể duy trì


sự dịch chuyển điện tích theo mạch kín, tức là không thể làm xuất hiện suất điện động. Trái lại, điện
trƣờng xuất hiện trong hiện tƣợng cảm ứng điện từ là điện trƣờng xoáy, có đƣờng sức khép kín. Trƣờng
này tác dụng lên những phần tử mang điện những lực làm cho chúng dịch chuyển theo những quỹ đạo
khép kín, do đó làm xuất hiện suất điện động trong mạch. Ðiện trƣờng xoáy có những đặc tính là lƣu số
của điện trƣờng xoáy theo đƣờng cong kín có giá trị khác không, còn lƣu số giữa hai điểm thì phụ thuộc
vào dạng đƣờng cong mà ta lấy tích phân.
Qua thực nghiệm, Maxwell thấy rằng sự xuất hiện của suất điện động trong mạch không phụ thuộc
vào trạng thái, bản chất và điều kiện vật lý của vật dẫn cấu tạo nên mạch. Ðiều đó chứng tỏ rằng, sự xuất
hiện của sức điện động cảm ứng, hay nói khác đi, điện trƣờng xoáy không có liên quan đến vật dẫn cấu
tạo nên mạch, mà nó đƣợc quyết định bởi từ trƣờng.
Tổng quát ta xét trƣờng hợp "mạch" là một đƣờng cong kín bất kỳ đặt trong từ trƣờng. Mỗi khi từ
trƣờng biến thiên, từ thông qua diện tích của mạch cũng biến thiên. Khi đó, tại mỗi điểm trên đƣờng cong
đó xuất hiện điện trƣờng xoáy, mà lƣu số của điện trƣờng này theo đƣờng cong kín của mạch cho ta sức
điện động cảm ứng trong mạch.
Từ những nhận xét trên đây, Maxwell đã rút ra kết luận quan trọng có tính tổng quát sau: "Mọi từ trƣờng
biến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện điện trƣờng xoáy".
2. Phƣơng trình Maxwell-Faraday
TOP
Kết luận trên có thể diển tả một cách định lƣợng, dựa trên định luật cơ bản của hiện tƣợng cảm ứng
điện từ: Thế điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch có giá trị bằng tốc độ biến thiên của từ thông qua

điện tích giới hạn bởi mạch:


Biểu thức (16.1) là một trong những phƣơng trình cơ bản của thuyết Maxwell. Phƣơng trình này
đƣợc rút ra từ định luật Faraday về hiện tƣợng cảm ứng điện từ, nên đƣợc gọi là phƣơng trình MaxwellFaraday.
Chú ý rằng khi viết các biểu thức trên đây, ta vẫn áp dụng các qui tắc về dấu của
các đại lƣợng và chiều của mạch theo qui ƣớc ở phần điện trƣờng và từ trƣờng.

Phƣơng trình (16.1) cho ta biết mối quan hệ giữa tốc độ biến thiên của từ thông qua diện tích giới
hạn bởi mạch và lƣu số của cƣờng độ điện trƣờng xoáy trên mạch, tức là mối quan hệ giữa điện trƣờng và
từ trƣờng ở những điểm khác nhau trong trƣờng. Ðể có thể diễn tả mối quan hệ giữa điện trƣờng và từ
trƣờng ở cùng một điểm, ta cần thiết lập những phƣơng trình dƣới dạng vi phân. Muốn thế, ta áp dụng
phƣơng trình (16.1) cho những mạch vô cùng bé.


II. DÕNG ÐIỆN DỊCH - PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL-AMPÈRE
1. Dòng điện dịch

TOP

Ta đã thấy rằng mọi từ trƣờng biến thiên đều gây nên điện trƣờng (xoáy). Phân tích các hiện tƣợng
điện từ khác nhau, Maxwell đi đến kết luận rằng phải tồn tại hiện tƣợng ngƣợc lại là: "Mọi điện trƣờng
biến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện từ trƣờng".
Vì từ trƣờng là dấu hiệu cơ bản và tất yếu của mọi dòng điện, nên nếu nhƣ điện trƣờng biến thiên
tạo ra từ trƣờng, thì từ trƣờng cũng có tác dụng giống nhƣ một dòng điện. Maxwell gọi dòng điện ở trƣờng
hợp trên là dòng điện dịch, để phân biệt với dòng điện dẫn là dòng chuyển động của các điện tích. Dòng
điện dịch có tính chất cơ bản giống nhƣ dòng điện dẫn, nó gây ra từ trƣờng trong không gian quanh nó,
nhƣng không giống với điện dẫn về tính chất khác.

Trong khoảng thời gian ngắn đó, tụ điện đƣợc tích điện, trong dây dẫn có dòng điện bóng đèn loé

sáng lên.


Dòng điện này mất đi khi tụ điện đã tích điện xong. Sau khi tụ điện đã tích điện xong, ta đổi chiều
dòng điện mắc vào mạch nhờ cái đảo điện, mỗi lần ta đổi chiều dòng điện, trong mạch lại có một dòng
điện ngắn, đèn lại loé sáng lên. Nếu ta đảo chiều nguồn điện một cách liên tục, trong mạch có dòng điện
xoay chiều chạy qua. Ta cũng có thể thấy hiện tƣợng trên mà không cần đảo điện, nếu ta mắc tụ điện và
bóng đèn vào một nguồn điện xoay chiều, ta thấy bóng đèn hình nhƣ sáng liên tục. Qua thí nghiệm này ta
nhận xét là khác với dòng điện không đổi, dòng điện biến thiên có thể "chạy" trong mạch hở. Rõ ràng là
dòng điện chạy giữa hai bản tụ không phải là dòng điện thông thƣờng (ở đó không có điện tích tự do). Ðể
phân biệt với dòng điện dẫn thông thƣờng, Maxwell đƣa ra khái niệm dòng điện dịch. Mỗi khi trong mạch
hở có dòng điện (dòng điện dịch) thì ở giữa hai đầu hở của mạch (trong thí nghiệm trên, hai đầu hở là hai
bản tụ điện) có một điện trƣờng biến thiên. Nhƣ thế, dòng điện dẫn trong dây dẫn của mạch đƣợc nối tiếp
bằng dòng điện dịch ở chỗ hở của mạch.


Trên đây ta đã xét một trƣờng hợp riêng của dòng điện trong phần điện môi giữa hai bản tụ điện.
Nhƣng ngay cả trong vật dẫn cũng có thể có dòng điện dịch. Thật vậy, nếu trong dây dẫn có dòng điện
biến thiên, thì cũng đồng thời có điện trƣờng biến thiên, tức là có dòng điện dịch. Nhƣ trên đã nói, dòng
điện dịch, cũng nhƣ dòng điện dẫn gây ra quanh nó một từ trƣờng, do đó trong trƣờng hợp tổng quát khi
xét từ trƣờng trong vật dẫn ta xét nó nhƣ đƣợc gây ra bởi cả dòng điện dẫn và dòng điện dịch, tức là dòng
điện toàn phần. Dòng điện toàn phần có mật độ bằng tổng mật độ dòng điện dẫn và dòng điện dịch:

Tuỳ theo tính chất dẫn điện của môi trƣờng, và tuỳ theo tốc độ biến thiên của điện trƣờng mà hai
số hạng trong (16.5) có vai trò khác nhau. Trong các vật dẫn điện tốt, và với điện trƣờng biến thiên chậm
(tần số biến thiên thấp), thì dòng điện dịch rất nhỏ so với dòng điện dẫn. Ngƣợc lại, trong các chất dẫn
điện kém (điện môi chẳng hạn), và với điện trƣờng biến thiên nhanh (tần số cao), dòng điện dịch đóng vai
trò chủ yếu trong dòng toàn phần.
Trong thí dụ của tụ điện đang xét ở trên, nếu tần số biến thiên của dòng điện không lớn quá, ta có
thể coi dòng toàn phần trong dây dẫn và trên các bản chỉ là dòng điện dẫn, còn ở trong điện môi giữa hai

bản chỉ là dòng điện dịch. Mật độ dòng điện dịch ở bề mặt bản và mật độ dòng điện dịch ở trong điện môi
là bằng nhau và cùng hƣớng.


Trong trƣờng hợp tổng quát, dòng điện toàn phần bao giờ cũng khép kín.
2 Phƣơng trình Maxwell - Ampère

TOP

Theo giả thuyết của Maxwell, dòng điện dịch cũng gây ra từ trƣờng. Chiều của từ trƣờng này cũng
đƣợc xác định theo qui tắc vặn nút chai giống nhƣ với dòng điện dẫn. Hình 16.5 vẽ đƣờng sức của trƣờng
gây bởi dòng điện dịch giữa hai bản tụ điện khi tụ tích điện (a) và phóng điện (b).
Trong trƣờng hợp tổng quát, từ trƣờng đƣợc sinh ra bởi dòng toàn phần, gồm cả dòng điện dẫn và
dòng điện dịch. Ta có thể biểu diễn mối quan hệ định lƣợng giữa từ trƣờng và dòng điện toàn phần nhờ
định lý Ampère về lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng (xem chƣơng 14 ).
Xét một vật dẫn, trong đó có các dòng điện biến thiên, ta vẽ trong đó một mặt phẳng bất kỳ S, giới
hạn bởi một đƣờng cong kín L.
Ứng dụng định lý Ampère nhƣng chú ý rằng trong trƣờng hợp tổng quát của dòng điện biến thiên,
từ trƣờng xác định bởi dòng toàn phần, ta có:

Biểu thức này nêu lên quan hệ định lƣợng giữa dòng điện toàn phần và từ trƣờng, hay nói khác đi,
nó nêu lên quan hệ giữa từ trƣờng và điện trƣờng biến thiên. Ðó là phƣơng trình cơ bản thứ hai của thuyết
Maxwell. Phƣơng trình này đƣọc rút ra từ định lý Ampère về lƣu số của cƣờng độ từ trƣờng, nên đƣợc gọi
là phƣơng trình Maxwell-Ampère.
Trong biểu thức này, ta vẫn dùng những qui ƣớc về dấu của dòng điện và lƣu số nhƣ đã nêu ra ở
chƣơng điện trƣờng và từ trƣờng.
Ðể có thể diễn tả quan hệ định lƣợng giữa cƣờng độ từ trƣờng và dòng điện toàn phần tại cùng một
điểm, ta chuyển phƣơng trình trình từ dạng tích phân (16.6) sang dạng vi phân. Muốn thế ta cũng làm nhƣ
trong phần I, áp dụng định lý vể lƣu số của một véctơ dọc theo một đƣờng cong kín ta có thể viết gọn hệ
phƣơng trình đó dƣới dạng vectơ:

III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH MAXWELL

TOP

Trên đây ta đã xét những luận điểm cơ bản của thuyết Maxwell, theo những luận điểm đó, từ
trƣờng biến đổi theo thời gian sinh ra điện trƣờng xoáy, ngƣợc lại điện trƣờng biến đổi theo thời gian sinh
ra từ trƣờng.
Tổng quát, từ trƣờng biến thiên một cách bất kỳ nghĩa là đạo hàmĠ cũng biến thiên theo thời gian,
do đó điện trƣờng xoáy xuất hiện cũng biến thiên theo thời gian. Ðiện trƣờng biến thiên này (tức là dòng
điện dịch), đến lƣợt nó, cũng lại gây ra một từ trƣờng. Vì điện trƣờng nói chung biến thiên một cách bất
kỳ, nên dòng điện dịch cũng biến thiên theo thời gian và từ trƣờng gây ra cũng biến thiên theo thời gian.
Nhƣ thế điện trƣờng và từ trƣờng liên hệ chặt chẽ với nhau, và chuyển hoá lẫn nhau. Chúng đồng
thời tồn tại trong không gian, tạo thành trƣờng thống nhất là trƣờng điện từ. Khái niệm về trƣờng điện từ
đã đƣợc Maxwell nêu lên đầu tiên. Trƣờng điện từ là một dạng của vật chất. Trong các phần sau, chúng
ta lần lƣợt nghiên cứu các tính chất của trƣờng điện từ.
Ðể diễn tả trƣờng điện từ một cách định lƣợng, Maxwell đã thiết lập nên hệ phƣơng trình mang tên
Maxwell. Trong phần I và phần II, chúng ta đã nghiên cứu hai phƣơng trình cơ bản của hệ phƣơng trình
đó. Các phƣơng trình Maxwell đƣợc ghép thành hai hệ phƣơng trình.
1. Hệ phƣơng trình Maxwell thứ nhất.
TOP
Hệ phƣơng trình Maxwell thứ nhất, đƣợc thiết lập trên cơ sở phƣơng trình Maxwell -Ampère:


Các phƣơng trình (16.6) (16.9) (16.10) (16.11) lập thành hệ phƣơng trình Maxwell thứ nhất dƣới
dạng tích phân, còn dạng vi phân của hệ phƣơng trình Maxwell thứ nhất là:

2. Hệ phƣơng trình Maxwell thứ hai

TOP

Hệ phƣơng trìng Maxwell thứ hai đƣợc thiết lập trên cơ sở phƣơng trình Maxwell-Faraday (16.1)


Các phƣơng trình của hệ phải đƣợc giải đồng thời. Nhờ hệ phƣơng trình thứ nhất, ta có thể xác
định đƣợc từ trƣờng do dòng điện và điện trƣờng biến thiên gây nên. Nhờ hệ phƣơng trình thứ hai, ta xác
định đƣợc điện trƣờng xoáy do từ trƣờng biến thiên gây nên.

Ngoài ra, vì các phƣơng trình vừa xét có chứa các đại lƣợng phụ thuộc thời gian nên ta cần phải
biết thêm các điều kiện ban đầu nữa.
Trong các phần sau, khi nghiên cứu sâu hơn về sóng điện từ, chúng ta sẽ xét một vài trƣờng hợp cụ
thể, bằng cách ứng dụng các phƣơng trình đó
3. Giá trị của thuyết Maxwell
TOP
Trƣớc Maxwell, những hiểu biết của con ngƣời về các hiện tƣợng điện còn rời rạc, chƣa đƣợc tập
hợp và tổng quát hoá lại. Ngay đến khoảng năm 1820, ngƣời ta vẫn còn quan niệm là điện và từ là hai hiện
tƣợng khác nhau, không có liên hệ gì với nhau cả.


Thí nghiệm của Oersted năm 1820 đã chứng tỏ rằng giữa điện và từ có liên quan, và dòng điện
cũng gây nên tác dụng từ. Ampère sau khi nghiên cứu kỹ về các hiện tƣợng điện từ, đã kết luận rằng mọi
hiện tƣợng từ trong tự nhiên, kể cả từ tính của nam châm vĩnh cửu, đều đƣợc gây nên bởi dòng điện (giả
thuyết về dòng điện phân tử của Ampère).
Sau đó, là những phát minh lớn của Faraday về hiện tƣợng cảm ứng điện từ. Xuất phát từ quan
điểm đúng đắn về sự liên quan chặt chẽ giữa các hiện tƣợng tự nhiên, Faraday cho rằng nếu dòng điện có
thể gây nên tác dụng từ thì ngƣợc lại, nam châm (hay các dòng điện) cũng có thể gây nên dòng điện. Sau
nhiều thí nghiệm, Faraday chứng minh đƣợc rằng điều đó là đúng. Ðồng thời Faraday nêu lên ý kiến về
vai trò của môi trƣờng trung gian trong các hiện tƣợng điện. Ông không thừa nhận sự tƣơng tác xa, và cho
rằng tƣơng tác điện và từ truyền qua một môi trƣờng nào đó, và môi trƣờng đó đóng vai trò cơ bản trong

quá trình điện và từ.
Maxwell đã phát triển những ý kiến của Faraday một cách sâu sắc và đã xây dựng nên những
thuyết định lƣợng, dùng công cụ toán học. Sự liên quan chặt chẽ giữa điện trƣờng và từ trƣờng đƣợc xây
dựng trên cơ sở lý thuyết chắc chắn, và đƣợc biểu diễn bằng các phƣơng trình Maxwell. Vì thế thuyết
Maxwell là một bƣớc phát triển mới, hoàn thiện những hiểu biết của con ngƣời về điện. Nó đƣa ra khái
niệm về điện từ trƣờng, bao gồm điện trƣờng và từ trƣờng, có liên hệ chặt chẽ và chuyển hoá lẫn nhau.
Các phƣơng trình Maxwell bao gồm mọi định luật cơ bản của điện trƣờng và từ trƣờng, đó là
những phƣơng trình cơ bản, tổng quát của điện từ trƣờng trong các môi trƣờng đứng yên.
Thuyết Maxwell không những giải thích đƣợc các hiện tƣợng đã biết, mà còn tiên đoán đƣợc nhiều
hiện tƣợng mới, quan trọng. Giả thuyết hoàn toàn mới trong thuyết của Maxwell là giả thuyết về trƣờng
của dòng điện dịch. Trên cơ sở đó, Maxwell đã tiên đoán bằng lý thuyết sự tồn tại của sóng điện từ, tức là
từ trƣờng biến thiên, truyền trong không gian với vận tốc xác định.
IV. SÓNG ÐIỆN TỪ TỰ DO
TOP


Trên đây, ta xét sự lan truyền sóng một cách định tính, sau đây, ta sẽ xét hiện tƣợng một cách chi
tiết bằng cách áp dụng hệ phƣơng trình Maxwell dƣới dạng vi phân.


Ta có thể sắp xếp bốn phƣơng trình còn lại: (16.19 và 16.20) (16.23 và 16.24) thành hai hệ độc lập.
Một hệ liên hệ thành phần trên trục y của điện trƣờng với thành phần trên trục z của từ trƣờng:


Ðể thấy rõ tính chất của điện từ trƣờng trong trƣờng hợp này, ta hãy giải tiếp hệ phƣơng trình vừa
thu đƣợc.


Những phƣơng trình có dạng nhƣ thế là những phƣơng trình truyền sóng, diễn tả những sóng lan
truyền trong không gian, với vận tốc truyền của sóng là v. Một đại lƣợng A nào đó nếu thoả mãn phƣơng

trình truyền sóng thì nó diễn tả sự lan truyền trong không gian dƣới dạng sóng. Nghiệm của những
phƣơng trình truyền sóng đó có dạng tổng quát:


Ðại lƣợng này có giá trị đúng bằng vận tốc của ánh sáng trong chân không. Vậy trong môi trƣờng
có hằng số điện môi ( và độ từ thẩm (, vận tốc lan truyền của sóng điện từ là:



V. NĂNG LƢỢNG SÓNG ÐIỆN TỪ

TOP

Sóng điện từ bao gồm điện trƣờng biến thiên và từ trƣờng biến thiên lan truyền trong không gian.
Ðiện trƣờng và từ trƣờng là những dạng của vật chất, có thuộc tính của vật chất và chúng có năng lƣợng.
Vì thế sóng điện từ nói riêng hay điện từ trƣờng nói chung, cũng có năng lƣợng. Quá trình truyền của sóng
điện từ cũng chính là quá trình truyền của năng lƣợng điện từ.



Trên đây, ta đã xét một tính chất rất quan trọng của sóng điện từ: sóng điện từ có mang theo năng
lƣợng. Tiếp tục khảo sát sóng điện từ, ta có thể tìm đƣợc những tính chất khác của nó, nhƣ sóng điện từ có
xung lƣợng và trƣờng điện từ có khối lƣợng. Những tính chất đó của trƣờng điện từ cho ta thấy rõ bản
chất vật chất của nó: Trƣờng điện từ là một dạng của vật chất.
TRỌNG TÂM ÔN TẬP
***&&&***
1.
2.
3.
4.

Phƣơng trình Maxwell-Faraday; Phƣơng trình Maxwell-Ampère.
Hai hệ Phƣơng trình Maxwell.
Sóng điện từ tự do.
Năng lƣợng sóng điện từ.
CÂU HỎI ĐIỀN THÊM
***&&&***

1.
2.
3.
4.
5.

Mọi từ trƣờng biến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện...
Ðƣờng sức của điện trƣờng xoáy là ...
Mọi điện trƣờng biến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện...
Dòng điện dịch tạo ra khi ...
Sự biến thiên của điện trƣờng và từ trƣờng trong không gian tạo ra...


6.
7.

Mật độ năng lƣợng sóng điện từ là ...
Sóng điện từ tự do là ...
PHÂN TÍCH NHỮNG CÂU PHÁT BIỂU ĐÖNG SAI
***@@@***

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

***&&&***