ĐỀ LUYỆN HSG TOÁN 8 năm 2015 2

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 1.
Câu 1
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10) +128
2. Cho ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 = ( a + b − 2c ) 2 + ( b + c − 2a ) 2 + ( c + a − 2b ) 2 .
Chứng minh a = b = c.
3. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a ∈ Z. Từ đó suy ra a5 và a có chữ số tận
cùng giống nhau.
Câu 2
a + b + c = 0

1. Cho các số a,b c thoả mãn điều kiện : 

 a + b + c = 14
2

2

2

Tính a 4 + b 4 + c 4

2. Cho các số a, b, c thoả mãn các hệ thức: a3 - 3a2 +5a -17= 0, b3 -3b2 +5b+11= 0

Tính a + b
3. Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng:

a
b
c
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2

Câu 3
1. Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a 2 + a = 3b 2 + b .
Chứng minh rằng: a − b và 3a + 3b + 1 là các số chính phương.
2. Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn

6x + 5y + 18 = 2xy

Câu 4 Cho ∆ABC các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Qua B kẻ đường thẳng Bx
vuông góc với AB. Qua C kẻ đường thẳng Cy vuông góc với AC. Hai đường thẳng Bx và
Cy cắt nhau tại D.
1. Chứng minh tứ giác BDCE là hình bình hành.
2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M cũng là trung điểm của ED.
3. ∆ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì D, M, A thẳng hàng.
Câu 5
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117

Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2016, người ta làm như sau lấy ra hai số bất
kì và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng . Có thể
làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Tại sao?
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO
ĐỀ SỐ 2.
Câu 1

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x7 + x2 + 1
2. Cho (x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) = -19
Tính giá trị của biểu thức A = x + 3y
Câu 2
1. Giải phương trình : (x2 +3x +2)( x2 +7x+12) – 24 = 0
2. Chứng minh: a 2 + 5b 2 − (3a + b) ≥ 3ab − 5
3. Cho số tự nhiên a = ( 2 9 )

2009

, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của

b, d là tổng các chữ số của c. Tính d.
Câu 3
1

a

1
b

1
c

1. Cho 3 số thực a, b c khác không thoả+ mãn a+b+c =2012 và + + =

1
.
2012

Chứng minh rằng trong 3 số a , b, c có ít nhất một số bằng 2012
2. Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx .
3. Tìm số tự nhiên a và b thỏa mãn: a – b =

a
.
b

Câu 4
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là điểm tùy ý thuộc cạnh BC . Trên các
cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm F và E sao cho ME//AB, MF// AC. Gọi O là trung
điểm của đoạn thẳng AM, Gọi P và Q thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ F và E
xuống cạnh BC.
a) Chứng minh ba điểm E, O ,F thẳng hàng.
b) Khi M di chuyển trên cạnh BC thì FP + EQ có độ dài không đổi.
c) Tìm vị trí điểm M trên BC để FE//BC

2. Cho ∆ ABC, Cx là phân giác ngoài của góc C.Trên Cx lấy M( khác C).
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Chứng minh rằng : MA + MB > CA + CB

x2
=3
Câu 5Giải phương trình : x +
( x + 1)2
2

.................................... Hết ......................................
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 3.
Câu 1(4 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a+1)4 + a2( a+ 1)2 + 2a(a+1) +1
2. Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn: (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a )3 = 210 . Tính giá
trị của biểu thức A = (a - b) (b - c) (c - a) và H = a − b + b − c + c − a .
Câu 2(5 điểm)
1. Giải phương trình: (6 x + 8)(6 x + 6)(6 x + 7) 2 = 72 .

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ( x − 2015) 2 + ( x + 2016) 2 .
3. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 - xy - y2 + 3x + 3y – 9=0
Câu 3 (4 điểm)
1. Cho 3 số p, p + k, p + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh k chia
hết cho 6.
2. Cho đa thức f(x) = ( x 2 − x + 1)

2015

+ ( x 2 + x − 1)

2016

- 2. Chứng minh đa thức f(x) chia

hết cho x2 – x.
Câu 4 (6 điểm)
1. Cho hình chữ nhật ABCD có ·ADB = 600 . Qua điểm A kẻ đường thẳng song song
với BD, đường thẳng này cắt tia phân giác của góc ADB tại M. Gọi N và K lần lượt là
chân các đường vuông góc kẻ từ M xuống các đường thẳng AD và AB.
a) Chứng minh tứ giác AMBD là hình thang cân.
b) Gọi giao điểm của NK với BD là E. Chứng minh ba điểm M, E, C thẳng hàng.
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


2. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, H l im nm trong tam giỏc. Gi K, P, Q
th t l chõn cỏc ng vuụng gúc k t H xung cỏc cnh BC,CA, AB. Chng minh
BK 2 + CP 2 + AQ 2 = CK 2 + AP 2 + BQ 2 T ú tỡm v trớ ca im H BK 2 + CP 2 + AQ 2 t giỏ

tr nh nht.
Cõu 5(1 im)
Cho cỏc s dng x, y, z tha món x + y + z = 3 .
1

1

1

3

Chng minh: x 2 + x + y 2 + y + z 2 + z 2 .
.................................... Ht ......................................
PHềNG GD & T YấN DNG
LUYN U NM HSG CP TNH
NM HC 2016-2017
TRNG THCS TH TRN
Mụn: Toỏn - Lp 8
NEO
Thi gian lm bi: 150 phỳt
S 4.
Cõu 1
1. Phõn tớch thnh nhõn t: a8 + a4 +1
2. Chng minh rng vi n N * thỡ n 3 + n + 2 l hp s.
Cõu 2
2
2
2
2
2

2
1. Cho các số a, b , c khác 0 thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y2 + z 2 .

a +b +c

a

b

c

Tính gá trị của biểu thức : A = x 2008 + y 2008 + z 2008
2. Chứng minh rằng 12 +22 + 32 +......+n2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6
x

y

z

3

3. Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 2 x + y + z + 2 y + x + z + 2 z + x + y =
4
Cõu 3
1. Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 x 4 y + 2016
2. Cho a thc P(x) = x2 + ax + b vi a, b l cỏc s nguyờn. Bit rng a thc x 4 +
6x2 + 25 v a thc 3x4 + 4x2 + 28x + 5 cựng chia ht cho P(x) . Chng minh 2020 chia

ht cho P(-3)
R ca s hc tp thỡ ng Qu ca s hc tp thỡ ngt
Biờn son: Thy giỏo Phm Huy Huõn ST 0982.176.117


3. Giải phương trình:

1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
=
x − 5 x + 6 x − 7 x + 12 x − 9 x + 20 x − 11x + 30 8
2

Câu 4
1. Cho VABC đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a) Tính số đo các góc VACM
b) Chøng minh AM ⊥ AB
c) Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR VMNP đều.
2. Cho góc nhọn xOy và điểm A trong góc đó. Tìm trên Ox điểm B và trên Oy
điểm C sao cho chu vi ∆ ABC là nhỏ nhất.
Câu 5
1. Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1. CMR:
2. Tìm giá trị lớn nhất của M =
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG

1
1
1
3
+
+
≥
2
2
2
1 + a 1 + b 1 + c 1 + abc

3x 2 + 6 x + 10
x2 + 2x + 3

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO
ĐỀ SỐ 5.
Câu 1
1. Phân tích thành nhân tử:
a) (x2 – x +2)2 + (x-2)2

b) 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1

2. Cho M = a5 – 5a3 +4a với a ∈ Z. Chứng minh M M120
3. Cho a, b, c thoả mãn:
b
a

c
b

a+b−c
b+c−a
c+a −b
=
=
c
a
b

Tính giá trị M = (1 + )(1 + )(1 +

a
)
c

Câu 2
1. Tìm các số x, y biết 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0
x

2. Tìm giá trị lớn nhất của P = ( x + 10)2
3. Tìm dư trong phép chia x100 cho (x – 1)2.
Câu 3

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


ab

1.Tìm các số ab sao cho a − b là số nguyên tố
2. Tìm a, b để M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + 1 là bình phương của một đa thức khác.
3. Gi¶i ph¬ng tr×nh :

1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
2

Câu 4

·
Cho xOy
= 900 Trên Ox lấy về hai phía của O hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB =
2cm. Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB. MA, MB cắt nhau
với Oy ở C và D. Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD.
a) Chøng minh MF + ME =

1

(AC+BD)
2

b) Đường thẳng CF cắt Ox tại P. Chứng minh P là một điểm cố định khi M di
chuyển trên đường trung trực của AB.
Câu 5
a2
b2
c2
a
b
c
+
+
1. Cho a, b, c > 0 Chøng minh 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥
b +c c +a a +b
b+c c+a a +b

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y =

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

4x + 3
x2 + 1

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 6.
Câu 1(4,5 điểm)
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


1. Rút gọn biểu thức

P =

a 3 − 4a 2 − a + 4
a 3 − 7a 2 + 14a − 8

Với a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ 4 .

2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 x 4 − 7 x3 + 17 x 2 − 20 x + 14
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2010x + 2680
x2 + 1

Câu 2(4,5 điểm)
1. Cho x, y lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh
1
1
2
+
≥

2
2
1 +x
1+y
1 + xy

2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn

a 2 + b2
là một số nguyên. Tính giá trị
ab

a 2 + b2
của biểu thức
ab

3. Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn x y + 1 = z .
Ta thấy nếu x lẻ => VT chẵn => z chẵn ko phải số nguyên tố
Vậy x chỉ là số chẵn mà nguyên tố => x= 2
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Với y=2 => z= 5 thỏa đk đề bài
Nếu y>2 => y lẻ (vì y nguyên tố)
=> y =2k +1
=> 2^(2k+1) +1 = 2.4^k + 1 = 2.(3p+1) + 1 = 3m
Như vậy khi x=2 và y nguyên tố > 2 thì VT luôn chia hết cho 3
=>z chia hết cho 3 không thỏa đk
Vậy x=y=2; z= 5 là duy nhất

Câu 3 (4 điểm)
1. Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x - 3 dư 2, f(x) chia cho x + 4 dư 9. Còn
f(x) chia cho x2 + x – 12 thì được thương x2 + 3 và còn dư.

2. Giải phương trình: x3 – 7x2 + 12x – 6 = 0
Câu 4 (6 điểm)
Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP
và
BMLK. Gọi C là giao điểm của PM và AN, đường thẳng BL cắt MK và AN thứ tự tại D
và O.
1. Chứng minh OM = CD.
·
2. Tìm vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để MCD
= 450

3. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB, chứng minh rằng trung điểm của đoạn
thẳng
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


OM luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5 (1 điểm)
A0
 x y
x2 y2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 + 2 − 3  + ÷+ 5
y
x
 y x

(với x ≠ 0, y ≠ 0 )

.................................... Hết ......................................
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 7.
Câu 1: (4 điểm)
 3x 2 + 3
x −1
1 
x −1
 . 2
− 2
−
3
 x − 1 x + x + 1 x − 1  2x − 5x + 5

1. Cho phân thức: B = 
a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B.

2. Cho a, c, b là 3 số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh
2

1 1 1
1 1 1 1 1 1
+ 2 + 2 =  + + ÷ Từ đó suy ra 2 + 2 + 2 là bình phương của một số hữu tỷ.
2
a b c
a b c a b c

M=1/a^2+1/b^2+1/c^2 = (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/a^2b^2c^2
Bình phương 2 vế a+b+c=0
=> a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)
=> (a^2 +b^2 +c^2)^2 =4 [a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a+b+c)]
=> (a^2 +b^2 +c^2)^2/4 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2
=> M = [(a^2 +b^2 +c^2)/2abc]^2
Vì a,b,c là cać số hưu tỷ
=> M là binh
̀ phương cua
̉ số hưu tỷ
Câu 2: (5điểm)
1. Giải phương trình:
a)

x − 214 x − 132 x − 54
+
+
=6
86
84

82

b) y 2 + 4 x + 2 y − 2 x +1 + 2 = 0

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


2. Tìm các số x, y biết: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0
Ta có:
x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0
=>x^2+2xy+y^2+y^2+xy-(x+y)=-3
=>(x+y)^2+y(x+y)-(x+y)=-3
=>(x+y)(x+2y-1)=-3
Nên x+y, x+2y-1 là ước của -3 và x+y, x+2y-1 khác dấu
Nếu x+y=-3, x+2y-1=1 =>x+2y-x-y=2+3=5
=> y=5
=>x=-8
Nếu x+y=-1, x+2y-1=3 => y=5, x=-6
Vậy (y,x) là (5,-8);(5,-6)
Câu 3: (4điểm)Chứng minh rằng :
a)

a
b
c
+
+
= 1 biết abc=1
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

do abc = 1 nên tồn tại x, y, z sao cho: a = x/y; b = y/z, c = z/x
P = (x/y) /(x/z+x/y+1)+ (y/z) /(y/x+y/z+1)+ (z/x) /(z/y+z/x+1)
P = xz /(xy+xz+yz)+ xy/(yz+xy+xz)+ yz/(xz+yz+xy)
P = (xz+xy+yz)/ (xy+yz+xz)= 1
cáchkhác:
P = a/(ab+a+1)+ b/(bc+b+1)+ c/(ac+c+1)
P = a/(ab+a+1)+ ab/(abc+ab+a)+ abc/(aabc+abc+ab)
P = a/(ab+a+1)+ ab/(1+ab+a)+ 1/(a+1+ab)= (a+ab+1)/(ab+a+1)= 1

a2 b2 c2 c b a
b) 2 + 2 + 2 ≥ + +
b a c
b
c
a

C©u 4: (6 ®iÓm)

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


1. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao
cho AE = CF
a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF.
Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên

AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a) DE có độ dài nhỏ nhất

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Câu 5: (1điểm)
Với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c = 3.Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3 ≥ 3

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


TRNG THCS TH TRN
NEO

NM HC 2016-2017
Mụn: Toỏn - Lp 8
Thi gian lm bi: 150 phỳt

S 8.
Cõu 1
1. Rỳt gn: A = (1-

4
4
4
)
2 )(1- 2 ).....(11
3
1992

2. Cho x2 x 3 = 0 Tớnh giỏ tr ca biu thc M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
3. Xỏc nh a, b sao cho f(x) = ax4+bx3+1 chia ht cho g(x) = (x-1)2.
Cỏch 1. Thc hin phộp chia ax4 + bx3 + 1 cho x2 2x + 1, ta c
ax4 + bx3 +
+ 1 | x2 2x + 1
ax4 2ax3 + ax2
ax2 + (2a+b)x + 3a + 2b
(2a+b)x3 ax2
(2a+b)x3 2(2a+b)x2 + (2a+b)x
(3a+2b)x2 (2a+b)x + 1
(3a+2b)x2 2(3a+2b)x + 3a + 2b
(4a + 3b)x + 1 3a 2b
Nh võy phn d l (4a + 3b)x + 1 3a 2b. Muụn ax 4 + bx3 + 1 chia hờt cho (x-1)2 thi iờu kin
cn v l 4a + 3b = 0 v 1 3a 2b = 0. T ú suy ra a = 3, b = -4.
Cỏch 2. P(x) = ax4 + bx3 + 1 chia hờt cho (x-1) 2 thi trc hờt ta phai cú P(1) = 0, tc l a + b +
1 = 0. Suy ra b = 1 a. T ú
P(x) = a(x4-x3) x3 1 = (x-1)(ax3 x2 x 1)
P(x) chia hờt cho (x-1)2 thi ta phai cú Q(x) = ax3 x2 x 1 chia hờt cho x 1. iờu ny
tng ng vi Q(1) = 0, tc l a = 3. T ú b = -4.

Cõu 2

1. Cho 3 số thực a, b c khác không thoả mãn a+b+c 0 và

1 1 1
1
+ + =
.
a b c a+b+c

Chứng minh rằng trong 3 số a , b c luôn có hai số đối nhau. Từ đó suy ra Với mọi số
nguyên n le thì

1 1 1
1
+ n+ n = n
n
a b c
a + bn + c n

R ca s hc tp thỡ ng Qu ca s hc tp thỡ ngt
Biờn son: Thy giỏo Phm Huy Huõn ST 0982.176.117


1 1 1
1
1 1 1
1
+ + =
⇔ + + −
=0
a b c

a +b + c
a b c a +b +c
a +b
a +b
⇔
+
=0
ab
c(a +b +c )
a +b
a +b
⇔
+
=0
ab
c(a +b +c )
1

1
⇔( a +b) 
+
 =0
ab c (a +b +c ) 
⇔( a +b)(b + c)(c + a ) = 0
a =−b
⇔
b =−c

c = −a

VËy trong 3 sè a , b c lu«n cã hai sè đối nhau.
2. Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

1
2
+
2
x +y
xy
2

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

1
2
+
x 2 + y 2 xy

a có: 1/(x² + y²) + 1/2xy ≥ 4/(x + y)² ≥ 4 (Do x + y ≤ 1)
Câu 3
1. Giải phương trình nghiệm nguyên x2y2 - x2 - 8y2 = 2xy

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn

a 3 + b3
là một số nguyên. Tính giá trị
2a 2b

a 3 + b3
của biểu thức 2
ab

Câu 4 Cho tam giác ABC (AC>AB), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua điểm
B song song với AC cắt AM kéo dài tại E.
1. Chứng minh AC = BE và AB = EC.
2. Trên tía đối của tía BA lấy điểm I sao cho AB = BI, Trên tía đối của tía CA lấy
điểm J sao cho AC = JC. Chứng minh ba điểm I,E, J thẳng hàng.
3. Lấy điểm H thuộc đoạn AC Sao cho AB=HC, đường thẳng HM cắt BE tại K.
tính số đo góc BAK biết góc BAC bằng 860
Câu 5 Cho a , b , c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh
1
1
1
3
+
+
≥
2
a 2 ( b + c ) b 2 ( c + a ) c2 ( a + b )

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 9.
Câu 1:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2011x 2 + 2010 x + 2011
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( x 2 + y 2 + 1) – 5 x 2 – 4 y 2 – 5 = 0 .
2

c) Tìm các hằng số a và b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7; chia cho x − 2 dư
Vì f(x) chia x + 1 thì dư 7 nên f(x) - 7 chia hết cho x + 1; suy ra f(-1) - 7 = 0; suy ra -1 - a + b - 7 = 0, hay a - b = -8 (1).
Vì f(x) chia cho x - 2 dư 4 nên f(x) - 4 chia hết cho x - 2; suy ra f(2) - 4 = 0; suy ra 8 + 2a + b - 4 = 0, hay 2a + b = -4 (2).
Giải hệ gồm (1) và (2) được kết quả a = -4 và b = 4.

Câu 2:
a) Tính giá trị biểu thức:
2
2
2
A= x + y + 5 + 2 x − 4 y − − ( x + y − 1) + 2 xy với x = 2 2011 ; y = 16 503
x 2 − 2 x + 2011
b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B =
với x > 0.
2

x

Câu 3: Chứng minh rằng
a)

20113 + 113
2011 + 11
=
3
3
2011 + 2000
2011 + 2000

b) Nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m 2 + m = 5n 2 + n thì :
m − n và 5m + 5n + 1 đều là số chính phương.
1

1

c) Cho các số dương x, y có tổng không quá 1. Chứng minh x 2 + xy + y 2 + xy ≥ 4
Câu 4
Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng a, H là trực tâm của tam giác,
đường cao AD. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M
trên AB, AC , gọi I là trung điểm của đoạn AM. ID cắt EF tại K.
1. Tính AD theo a.
2. Chứng minh tứ giác IEDF là hình thoi.
3. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.
4. Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích tứ giác IEDF nhỏ nhất.
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117

Câu 5
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤ 6 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P =

ab
bc
ca
+
+
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b

PHÒNG GD&ĐT
TP. BẮC GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4 điểm)
a/Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức A có giá trị là số nguyên
A=

x 3 − 4 x 2 + 4 x − 10
x −3

3
3

3
3
b/ Cho a, b, c, d là các số nguyên thoã mãn 5(a + b ) = 13 ( c + d ) .

Chứng minh a+b+c+d chia hết cho 6
Bài 2: (4 điểm)
a/ Tìm x, y cặp số nguyên không âm (x,y) thoã mãm 3x − y 3 = 1
b/ Cho a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 .
Chứng minh N=1 − ( ab + 2c

2

) ( bc + 2a ) ( ca + 2b )
2

2

là số dương

Bài 3: (5 điểm)
a/ Cho số thực a, b, c thoã mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 = 3 và a+ b + c + ab + bc + ca
= 6.
a 30 + b 4 + c1975
a 30 + b 4 + c 2014
 b  c   a 
b/ Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ = 8
 a  b   c 
a
b
c

3
ab
bc
ca
Chứng minh a + b + b + c + c + a = 4 + ( a + b ) ( b + c ) + ( b + c ) ( c + a ) + ( c + a ) ( a + b )

Tính giá trị của biểu thức A =

Bài 4: (6 điểm)

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( ABtrờn cnh BC ly M sao cho CM=CA. Tia phõn giỏc gúc ABC ct AM ti E, tia phõn
giỏc gúc ACB ct AN ti D.H l giao im ca MD v NE.
a/ Tớnh gúc MAN
b/ AH ct BC ti K . Chng minh

HK HD HE
+
+
=1
AK MD NE

c/ Gi G v I ln lt l trung im ca AH v MN. Chng minh t giỏc EIDG l hỡnh
vuụng
Bi 5: (1 im)
Cho a, b l cỏc s nguyờn t thoó món a 1Mb v b3 1Ma . Chng minh a = b 2 + b + 1

x = by + cz

Bài 6 : Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn : y = cz + ax
z = ax + by


Biết a, b,c khác -1. Tính giá trị của biểu thức A =
Bài 7: Cho ba số a, b , c khác 0 thoã mãn:
Bài 8: Cho số x > 0 thoã mãn:

x2 +

1
1
1
+ + =0
a
b
c

1
=7 .
x2

1
1
1
+
+
1+ a 1+ b 1+ c

. Hãy tính P =

Hãy tính P = x 5 +

ac bc ac
+
+
c2 a2 b2

1
x5

a
b
c
+
+
=0
bc ca ba
a
b
c
Chứng minh rằng : (b c)2 + (c a)2 + (b a) 2 = 0

Bài 9: Cho ba số a,b,c khác nhau và :

Bài 10: Cho a,c,b là 3 số khác nhau và a+b+c =0
a
b

a - b b - c c - a c
+
+
+
+
Chứng minh rằng :
ữ
ữ= 9
a
b a - b b - c c - a
c

R ca s hc tp thỡ ng Qu ca s hc tp thỡ ngt
Biờn son: Thy giỏo Phm Huy Huõn ST 0982.176.117