LÝ THUYẾT dầm EULER

LÝ THUYẾT DẦM EULER – BERNOULLI
Ví dụ 2.1.1: Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli
Khảo sát độ uốn và duỗi của dầm Euler – Bernoulli trên một nền tuyến tính đàn
hồi (modulus, k) và bài toán về tải ngang q(x) (Hình 2.1.5). Ta giả định độ tải cực
nhỏ. Giả sử có sự dịch chuyển từ một điểm (u, v, w) dọc theo hướng (X, Y, Z) = (x,
y, z) được cho bởi
(Công thức) (2.1.11)
u0 và w0 biểu thị di chuyển theo trục dọc và ngang của một điểm trên trục x của
dầm. Khi đó chỉ có 1 tuyến tính đàn hồi khác 0 (nonzero):
(Công thức) (2.1.12)
Khi nội và ngoại công giả tưởng được cho bởi
(Công thức) (2.1.13)
(2.1.14)
(Hình 2.1.5)
Khi k là modulus của nền đàn hồi, L là chiều dài, và A là mặt cắt của dầm, Nxx và
Mxx là lực theo chiều dọc và độ võng mo men (theo trục y), tương ứng với
(Công thức) (2.1.15)
Lực phản ứng nền Fs thay được thế với Fs = -kw0(x) sử dụng tuyến tính đàn hồi
cho phương trình hình thành nền.
Ghi lại biểu hiện trong 2.1.14 cho nội công giả tưởng là độc lập với thành phần
của dầm. Ta không sử dụng các mối quan hệ cấu thành trong việc đưa ra các biểu
hiện.
Cho một quan hệ biến dạng ứng suất thời kì, tổng hợp ứng suất N xx và Mxx trong
(2.1.15) có thể thể hiện trong điều kiện chuyển vị của u0 và w0.

VD 2.2.1:


Khảo sát nội và ngoại công giả tưởng trong Eqs. (2.1.13) và (2.1.14) của VD 2.1.1
liên quan tới dầm Euler – Bernoulli trên một nền tuyến tính đàn hồi (modulus, k)
và bài toán về tải ngang q(x) (Hình 2.1.5). Nguồn gốc của công giả tưởng cần thiết:

(Công thức) (2.2.11)
Fk là phần trăm đơn vị độ dài được dùng bởi lớp nền, Fk(x) = kw0(x) và α là biến
thuộc (0,1). Chia mỗi phép toán với ∆x và các giới hạn lim ∆x → 0 (để đạt được
phương trình tại điểm x duy nhất), ta được
(Công thức) (2.2.16)
(2.2.17)
(2.2.18)
Thay V từ Eq. (2.2.17) vào (2.2.18) được (2.2.13)

VD 2.2.3:
Khảo sát lý thuyết dầm Timoshenco của ví dụ 2.2.2. Với trường tĩnh, nguyên lý
chuyển vị giả tưởng đòi hỏi:
(CT)
δW1 và δWE được cho ở Eq. (2.2.6). Khi đó, ta có:
(CT) (2.2.42)
Sử dụng quan hệ bảo tòan đơn trục:
(CT) (2.2.43)
Hợp lực ứng suất Nxx, Mxx, Qx của Eq. (2.2.27) được thể hiện trong điều kiện
chuyển vị (u0, w0, φ):
(CT) (2.2.44)


Với A là diện tích mặt cắt, I là mô – men quán tính, Ks là hệ số điều chỉnh lực cắt
của dầm.
Viết lại công thức (2.2.42) trong điều kiện chuyển vị , ta được:
(CT) (2.2.45)
Bước cuối cùng liên quan đến đẩy ký tự biến phân ra khỏi toàn bộ các biểu hiện
(2.2.45) bằng việc xem xét hoạt động của nó với các biến phụ thuộc u0, w0, và φ.
Ta được:
(CT)(2.2.46)

Với П là nền thế năng tòan phần cho lý thuyết dầm Timoshenko:
(CT) (2.2.47)
Tóm lại, nguyên lý chuyển vị giả tưởng cho trường đàn hồi tuyến tính trở thành
nguyên lý của thế năng toàn phần nhỏ nhất δW = δП = 0.