Lý thuyết cán - Chương 5

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

58
Chơng 5
Lực cán và mômen cán
5.1- Khái niệm chung

á
p lực của kim loại lên trục cán là nguyên nhân chính tạo ra trạng thái ứng
suất trong vùng biến dạng, đặc điểm biến dạng của trục cán. áp lực từ phía trục cán
lên kim loại có sự tơng tác với vợt trớc, sự dãn rộng, điều kiện ăn kim loại. Từ
điều kiện và các thông số công nghệ ta có thể tính đợc áp lực của kim loại lên trục
cán và qua đó xác định đợc mômen cán, công suất cán, công suất động cơ và tiêu
hao năng lợng trong quá trình cán.
Trị số và sự phân bố áp lực trên cung tiếp xúc của vùng biến dạng có ảnh
hởng trực tiếp đên mức độ mòn trục cán và do đó ảnh hởng đến thời gian làm
việc của trục. Trị số mômen và công suất cán là các thông số cần thiết để tính các
kích thớc giá cán và các chi tiết máy cán. Trị số mômen không chỉ phụ thuộc vào
áp lực mà còn phụ thuộc vào điểm đặt lực tổng hợp trên cung tiếp xúc.
Nhiều kết quả nghiên cứu cho thấy áp lực của kim loại lên trục cán bao gồm
hai thành phần chính:
1. Bản thân trở kháng của vật liệu cán (
S
). Trị số của
S
phụ thuộc vào
thành phần hoá học của vật liệu và đợc xác định trên cơ sở thử kéo (nén) ở trạng
thái ứng suất đờng thuần túy và tĩnh (với mỗi một vật liệu, ở những trạng thái nhiệt
độ khác nhau và trạng thái gia công cơ, nhiệt khác nhau đều đợc đo trị số

S
bằng
thực nghiệm).
2. Các thông số công nghệ diễn biến tức thời trong quá trình cán nh là:
ma sát tiếp xúc trên bề mặt, kể cả khi có ngoại lực khác tác động vào quá trình cán
(ví dụ: lực kéo trớc và sau vật cán) (n

); vùng cứng (vùng không biến dạng) kề sát
ngoài vùng biến dạng (n
c
); sự thay đổi và diễn biến của chiều rộng vật cán trong
vùng biến dạng (sự tác động của ứng suất chính trung gian

2
) (n

); tốc độ biến
dạng khi cán (n
v
); sự biến cứng, hồi phục và kết tinh lại trong quá trình biến dạng
khi cán (n
H
). Trên cơ sở của các thông số nếu trên, ta có thể coi áp lực trung bình P
có dạng tổng hợp sau:
P = n

.n
c
.n

.n
v
.n
H
.

S
(5.1)
5.2- Đặc điểm trở kháng biến dạng (
S
)
Trên thực tế, trong quá trình cán trị số

S
là một đại lợng biến đổi tùy theo
mức độ biến dạng, tùy theo tính chất của từng kim loại có mức độ biến cứng nhiều
hay ít khác nhau (thực chất là cấu trúc mạng của kim loại).
Nh ở hình 5.1, tùy thuộc vào vật liệu cán và trớc đó đã đợc biến dạng
nguội mà trị số trở kháng biến dạng có sự thay đổi khác nhau. Trị số

S
không
những chỉ biến đổi theo lợng biến dạng nguội mà trong quá trình cán nóng, trên
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

59
một độ dài cung tiếp xúc từ thời điểm vật cán đi vào trục cho đến lúc ra khỏi trục
cán giá trị

S
cũng thay đổi, vì rằng trong quá trình cán lợng ép

h tăng dần lên
theo sự biến đổi chiều cao vật cán h
x
trong vùng biến dạng.















Nh hình 5.2, giả thiết ta có tốc độ biến dạng là U
x
có giá trị biến thiên theo
hai giá trị h
x
và C
y

. Kết quả thực nghiệm cho thấy trị số trở kháng biến dạng có giá
trị lớn nhất ở giữa cung tiếp xúc.













Tùy theo các thông số công nghệ phát sinh trong quá trình cán mà trị số trở
kháng biến dạng
S
có những giá trị khác nhau. Vì vậy, việc tính trị số áp lực trung
bình theo biểu thức (5.1) sẽ gặp khó khăn. Do đó trong thực tế tính toán, ngời ta
thờng lấy giá trị không đổi đã đợc thực nghiệm đo đạc khi thử kéo (nén) theo các
điều kiện kỹ thuật nhất định nh đã trình bày ở trên, hoặc theo các công thức thực
nghiệm đợc tiến hành trong một số công nghệ cụ thể.
60
80
100
0 20 40 60
%

S

(Kg/mm
2
)

0%
20%
40%
60%
Hình 5.1- ảnh hởng của mức độ biến dạng đến trở
kháng biến dạng theo mác thép.
a) 0,63%C và 0,62%Mn; b) 0,10%C và 0,45%Mn;
c) 0,93%C và 0,62%Mn
40
60
80
0 20 40 60

%

S
(Kg/mm
2
)

0%
20%
40%
60%
60
80

100
0 20 40 60

%

S
(Kg/mm
2
)

0%
20%
40%
60%
120
a) b)
c)
C
x
C



H

C
y
h
1
h

x
x

l
x
4
6
8
0,35
0,2
0,4



S


2
0

S




Hình 5.2- Sự thay đổi của

S
, tốc độ biến dạng u
và mức độ biến dạng dọc theo cung tiếp xúc

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

60
5.3- Các phơng pháp tính áp lực cán
5.3.1- Giải phơng trình vi phân cân bằng khi cán
Nh ta đã biết, lực cán làm ảnh hởng đến sự phân bố ứng suất trong vùng
biến dạng. Vì vậy, nếu tìm đợc quy luật phân bố ứng suất thì ta có thể xác định
đợc lực cán. Chính phơng trình vi phân cân bằng cho ta quy luật phân bố ứng suất
và khi giải nó ta có thể tìm đợc giá trị ứng suất trong vùng biến dạng khi cán.
Thực chất của phơng pháp giải phơng trình vi phân cân bằng khi cán là ta
tách từ vùng biến dạng ra một phân tố thể tích vô cùng bé, chọn một hệ toạ độ thích
hợp rồi đa phân tố đó vào, với giả thiết rằng chúng ta có tất cả các ứng suất đã tác
động lên phân tố ấy và ở trong điều kiện cân bằng. Trong quá trình thực hiện bài
toán sẽ phải kết hợp với các điều kiện và phơng trình phụ khác để đảm bảo cho bài
toán có thể giải đợc.
Ví dụ nh hình 5.3, giả thiết
trong vùng biến dạng ABCD
ta tách ra một phân tố abcd.
Trên phân tố này, mặt bd cách
mặt phẳng gốc toạ độ là x,
chịu tác dụng một ứng suất
nén

x
, mặt ac cách mặt bd
một đoạn là dx chịu tác dụng
một ứng suất nén là (

x
+d

x
).
Trên mặt cung tiếp xúc ab và
cd có độ dài dl chịu tác dụng
các ứng suất pháp P
x
và ứng
suất tiếp

x
, phơng của ứng suất pháp P
x
làm với phơng thẳng đứng ở góc tọa độ
một góc nào đó. Giả thiết rằng, mọi lực khác (lực quán tính, lực kéo căng...) tác
dụng lên phân tố abcd coi nh không đáng kể và bỏ qua.
Nh vậy, từ các giá tị ứng suất ta có thể tìm đợc lực tác dụng lên phân tố
nh hình 5.3. Bỏ qua lợng dãn rộng và với B = b = 1, ta có:
Từ phía phải của phân tố:



sin
cos
dx
P2;y2
xx

Từ phía trái của phân tố:

()()


++ cos
cos
dx
2;dyy2d
xxx

(giả thiết chiều của trạng thái ứng suất tiếp cùng chiều với hớng cán, vũng trễ)
với y = h/2.
Điều kiện để phân tố ở trạng thái cân bằng là:

X = 0, vì thế nếu ta chọn
H
A
h



x
l
x
Hình 5.3- Sơ đồ tách phân tố trong vùng biến
dạng để thành lập phơng trình vi phân
P
x
B

x
D
C

x

x
+d

x

XX
a
b
d
c
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

61
chiều của toạ độ ngợc hớng cán, ta có:

()()
0y2sin
cos
dx
P2cos
cos

dx
2dyy2dX
xxxxx
=+

+

++=
Vì x, y là toạ độ của cung tiếp xúc nên:

dl
cos
dx
và
dx
dy
tg =

=
(5.3)
Khai triển và rút gọn biểu thức (5.2), thay tg

= dy/dx, bỏ qua đại lợng vô
cùng bé ta sẽ nhận đợc biểu thức sau:

0
ydx
dy
.
y

P
dx
d
xxxx
=

+



(5.4)
Nếu nh chiều của ứng suất tiếp ngợc hớng cán (vùng vợt trớc) thì bằng
cách làm nh trên ta nhận đợc phơng tình:

0
ydx
dy
.
y
P
dx
d
xxxx
=





(5.5)

Hai biểu thức (5.4) và (5.5) chính là phơng trình vi phân của quá trình cán
dọc khi có biến dạng hai chiều và khi viết tổng hợp cho cả vùng trễ và vùng vợt
trớc có dạng:
0
ydx
dy
.
y
P
dx
d
xxxx
=





(5.6)
Trong biểu thức (5.6) ta có 3 ẩn số:

x
, P
x
,

x
. Vậy muốn giải phơng trình
này ta cần phải có thêm 2 phơng trình, đó là phơng trình dẻo (5.7) và phơng
trình quan hệ giữa ứng suất tiếp và ứng suất pháp trên độ dài cung tiếp xúc (5.8).

(
1
-
2
)
2
+ (
2
-
3
)
2
+ (
3
-
1
)
2
= 2
S
2
(5.7)

x
= f.P
x
(5.8)
(thừa nhận lực ma sát tuân theo định luật Amonton)
Vì ta đã giải thích là biến dạng hai chiều nên ứng suất pháp chính trung gian

2
trong phơng trình (5.7) có giá trị:

2
31
2
+
= (5.9)
Thay trị số
2
ở (5.9) vào (5.7), ta đa biểu thức này về dạng rút gọn:

1
-
3
= 1,15
S
(5.10)
đặt K = 1,15

S
, suy ra:

1
-

3
= K (5.11)
Mà:

1
= P
x
và

3
=

x

Vì vậy, P
x
-

x
= K (5.12)
Lấy vi phân biểu thức (5.12), ta có:
dP
x
= d

x
(5.13)
Trên cơ sở các biểu thức (5.11), (5.12), (5.13) thay vào biểu thức (5.6), ta có
dạng của phơng trình vi phân của quá trình cán dọc khi biến dạng hai chiều:
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

62

0
ydx
dy
y
K
dx
dP
xx
=

(5.14)
hay:
0
y
P.f
dx
dy
y
K
dx
dP
xx
=
(5.15)
Biểu thức (5.15) do ông Carman tìm ra và đợc gọi là phơng trình Carman.
Giải phơng trình Carman ta sẽ tìm đợc lực cán trong quá trình biến dạng:

+=



dy.e
y
K
CeP
dx
y
f
dx
y
f
x
(5.16)
Trong biểu thức (5.16) thì C là hằng số tích phân, nó đợc xác định theo điều
kiện biên của bài toán. Vì vậy để xác định đợc hằng số C cần phải có các điều kiện
biên của vùng biến dạng khi cán. Vấn đề điều kiện biên đã đợc rất nhiều ngời đề
cập đến, trong đó có Sêlicôp. Ông đa ra một số giả thiết để có thể coi là điều kiện
biên của bài toán:
- Biến dạng theo chiều cao của vật cán là đồng đều.
- Vùng biến dạng chỉ tồn tại hai vùng trợt (vùng trễ và vợt trớc),

không có vùng dính.
- Hệ số ma sát f không đổi theo dọc cung ăn.
- Quan hệ giữa ứng suất tiếp pháp

= f.P, tuân theo định luật Amôtôn.
- Trở kháng biến dạng

s
là không đổi trên độ dài cung tiếp xúc (thực
chất là có biến dạng khi cán nguội).
- Độ dài cung tiếp xúc đợc thay bằng dây cung.
Với các giả thiết trên, sau khi giải phơng trình (5.15) tác giả tìm đợc giá trị
của ứng suất pháp trong vùng trễ và vùng vợt trớc:

()








+

=

1
h
H
1
K
P
x
x
(5.17)

()

+

=

1
h
H
1
K
P
x
x
(5.18)
ở đây,

là một tham số đợc đặc trng bởi các giá trị:

h
l.f2
x

=
(5.19)
h
x
: chiều cao vật cán mà tại đó xác định điều kiện biên.

Trên đây chúng ta nghiên cứu phơng trình vi phân trong vùng biến dạng ở
hệ toạ độ XOY (Đềcạc). Chúng ta cũng nghiên cứu ở một hệ tọa độ khác nh hệ toạ
độ trụ hoặc hệ toạ độ cực, kết quả đem lại đều giống nhau. Ví dụ, nếu ta viết
phơng trình vi phân (5.6) trong hệ toạ độ trụ thì chỉ việc thay thế chỗ các ký hiệu
ứng suất:

x
=


; P
x
=


;

x
=


(5.20)
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

63
Với y = h/2, ở đây h là chiều cao của vật cán tại tiết diện khảo sát.
Nh vậy, phơng trình vi
phân trong vùng biến dạng

(hình 5.4) viết trong hệ tọa
độ trụ có dạng:

0
h.
2
hdh
d
=









Trong biểu thức (5.21)
trên, ta có;
= x; h = x; dh = dx
với: là góc đợc giới hạn
bởi phân tố chịu tác dụng của
các ứng suất (hình 5.4).
Nếu ta để ý đến dấu của ứng suất tiếp ở vùng trễ và vùng vợt trớc ta có thể
đa hai phơng trình (5.17) và (5.18) về dạng xác định trị số ứng suất tiếp:

()

+










=


1
h
H
1
f
K
x
x
, trong vùng trễ (5.22)

()

















+

=


1
h
H
1
f
K
x

x
, trong vùng vợt trớc (5.23)
Khi giải phơng trình vi phân chúng ta đã giả thiết
x
= f.P
x
và trong vùng
biến dạng chỉ tồn tại hai vùng trợt và chiều của ứng suất tiếp trên hai vùng trợt
ngợc chiều nhau, điều đó có nghĩa là tại một điểm nào đó trị số ứng suất tiếp bằng
0 và đợc đổi dấu.
Ngời ta có những giả thiết khác nhau về sự đổi dấu của ứng suất tiếp: đổi
dấu đột ngột và đổi dấu từ từ. Nếu cho rằng trị số ứng suất tiếp đổi dấu từ từ thì
trong vùng biến dạng tồn tại một vùng thứ ba đợc gọi là vùng dính hoặc vùng
ngng là ranh giới giữa vùng trễ và vùng vợt trớc.
Giả thiết rằng từ điều kiện biên khi xác định ứng suất tiếp ở vùng vợt trớc
(5.23) ta có h
x
=h
VT
và trong vùng trễ (5.22) ta có h
x
= h
T
, ta nhận đợc:

()
2
K
1
h

H
1
K.f
P.f
x
xxT
=








+










==

(5.24)

()
2
K
1
h
H
1
K.f
P.f
x
xxVT
=

















+

==

(5.25)
Vậy tại điểm các giá trị ứng suất tiếp của hai vùng bằng nhau, từ (5.24) và
(5.25) suy ra:
H
A
h


l
x
Hình 5.4- Vùng biến dạng trong hệ tọa độ trụ
C




x
+
d
x



d

h/2

1

0
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

64

=
1
T
1
f2
1
H
h
(5.26)














+
+

=
1
VT
1
1
f2
h
h
(5.27)
Từ hai biểu thức (5.26) và (5.27) ta thấy, nếu nh f = 0,5 thì h
T
= H và h
VT
=
h. Có nghĩa là khi hệ số ma sát đạt tới một giá trị tới hạn thì vùng hãm sẽ phân bố
theo toàn bộ bề mặt tiếp xúc.
Nh vậy để tính lực cán bằng cách giải phơng trình vi phân cân bằng thì giá
trị ứng suất tiếp biến đổi trên toàn cung tiếp xúc theo biểu thức T = f.P đợc phân
định trên vùng hãm và vùng dính theo điều kiện dẻo khác nhau (hình 5.6).
Ví dụ với vùng trợt (trễ và vợt trớc) trị số ứng suất tiếp tăng (
x
= f.P
x
),
lực pháp tuyến tăng. Phơng trình dẻo có dạng (5.12):
P
x
-
x

= K
với vùng hãm, trị số ứng suất tiếp đạt đến giá trị tới hạn (
x
= K/2) lực pháp tuyến
tiếp tục tăng do lợng biến dạng tăng (
S
). Phơng trình dẻo có dạng:
P
x
-

x
= 0 (5.28)
ở vùng ngng trị số ứng suất tiếp biến đổi theo biểu thức:

c
x
h
x
2
K
= , trong phạm vi vùng trễ (5.29)

1
c
x
h
x
2
K

= , trong phạm vi vùng vợt trớc (5.30)
Giá trị x, h
c
và h
c1
xem hình (5.5) và (5.6). Từ hình vẽ và qua các biểu thức
(5.29) và (5.30) ta thấy, khi x = 0 thì trị số ứng suất tiếp trong vùng trễ vàvợt trớc
có giá trị nh nhau về trị số tuyệt đối song khác dấu, đồng thời h
c
= h
c1
= h
T
= h
VT
.










Hình 5.5- Sơ đồ phân vùng biến đổi
trị số ứng suất tiếp trên cung tiếp xúc
h
1

x
l
x
N
D

1
H
0
x
l
0
l
0t
N

0
-1,0
-2,0
-3,0
-4,0
-5,0
-6,0
-7,0
K
P
x
f = 0
f = 0,2
f = 0,5

f = 0,3
N
N
Hình 5.6- Đồ thị ứng suất tiếp khi không có
và có vùng hãm. Đờng trung hoà NN tơng
ứng f=0,3; H=3mm; h=1,5mm; D=750mm