CHƯƠNG 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

CHƯƠNG 1

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.TÍNH CHẤT CỦA VECTƠ
®

®

Cho 2 vectơ a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3)
Ta có:
ìa1 = b1
ï
a = b Û í a 2 = b2
ïa = b
3
î 3

®

®

®

®

a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 )
®

k a = (ka1 , ka2 , ka3 )
®2

( k ÎR )

®2

a =a

®

a = a12 + a22 + a32

® ®

a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3
® ®

a .b
æ® ®ö
cos ç a, b ÷ = ® ®
è
ø
ab
®

®

® ®

a ^ b Û a .b = 0

194


II. TÍNH CHẤT CỦA ĐIỂM
Cho 2 điểm A(xA, yA, zA,), B(xB, yB, zB)
Ta có:
= (xA, yA, zA)
= (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
®

OA = OA = x A2 + y A2 + z A2
®

AB = AB =

(xB - x A )2 + ( yB - y A )2 + (z B - z A )2

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k ≠ 1) ó

= k.

x A - kxB
ì
ï xM = 1 - k
ï
y A - kyB
ï
ó í yM =
1- k
ï

z A - kzB
ï
z
=
M
ï
1- k
î

x A + xB
ì
x
=
ï I
2
ï
y A + yB
ï
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB: í y I =
2
ï
zA + zB
ï
ïz I =
2
î
Chú ý: Cho điểm M(x,y,z)
1/ M Î(Oxy) Þ M(x,y,0)
M Î (Oyz ) Þ M(0,y,z)
195

M ẻ (Oxz ) ị M ( x,0, z )
2/ M ẻ Ox ị M(x,0,0)
M ẻ Oy ị M(0,y,0)
M ẻ Oz ị M(0,0,z)
III. TCH Cể HNG CA HAI VECT
đ

đ

Cho 2 vect: a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3)
Tớch cú hng ca hai vect

v

đ đ
ộđ đ ự
, ký hiu ờ a, b ỳ (hoc a b ),
ở
ỷ

l 1 vect cú ta :
[

]=

Tớnh cht:
đ
đ

ộđ đ ự
1/ Vect ờ a, b ỳ vuụng gúc vi c 2 vect a v b , tc l:
ở
ỷ

ộđ đ ự đ ộđ đ ự đ
ờở a , b ỳỷ. a = ờở a , b ỳỷ. b = 0
ộđ đ ự
ộđ đ ự
2/ ờ a , b ỳ = - ờ b , a ỳ
ở
ỷ
ở
ỷ

ộđ đ ự đ đ ổ đ đ ử
3/ ờ a , b ỳ = a b sinỗ a , b ữ
ở
ỷ
ố
ứ
IV. NG DNG CA TCH Cể HNG
1/ Chng minh 2 vect cựng phng:
đ

đ

Cho 2 vect a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3)
196

Ta cú:
đ

ộđ đ ự đ
ờ a, b ỳ = 0
ở
ỷ

đ

a v b cựng phng

đ
đ
ổđ đử
$k ẻ R : a = k . b ỗ b ạ 0 ữ
ố
ứ



a1 a2 a3
( b1.b2.b3 ạ 0 )
=
=
b1 b2 b3

2/ Chng minh 3 vect ng phng:
đ đ

ộđ đ ự đ
a , b , c ng phng ờ a , b ỳ. c = 0
ở
ỷ

đ

3/ Tớnh din tớch tam giỏc ABC:
S=

ộ
ự
1ờđ đ ỳ
AB, AC
ỳ
2ờ
ở
ỷ

4/ Tớnh din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD:
ộđ đ ự
S = ờ AB, AD ỳ
ờ
ỳ
ở
ỷ
5/ Tớnh th tớch t din ABCD:
V=

1

6

ộđ đ ự đ
ờở AB, AC ỳỷ AD

6/ Tớnh th tớch hỡnh hp ABCD.ABCD:
ộđ đ ự đ
V = ờ AB, AD ỳ AA'
ở
ỷ
197


V. MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu:
( x – a )2 + ( y – b )2 + ( z – c )2 = R2
là phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0)
là phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 - d
TỌA ĐỘ, VECTƠ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Vấn đề 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Phương pháp:
®

A, B, C, thẳng hàng ó AB cùng phương
®
é® ® ù ®
AC Û ê AB, AC ú = 0
ë
û

Suy ra:
A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác ó A, B, C không thẳng hàng
®
é® ® ù
Û ê AB, AC ú ¹ 0
ë
û

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm là bốn đỉnh của 1 tứ diện.
Phương pháp:
A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện ó
phẳng đđ
é® ® ù ®
Û ê AB, AC ú . AD ¹ 0
ë
û

Vấn đề 3: Tính các góc của 1 tam giác.
198

,

,

không đồng


Phương pháp:
Để tính góc A của D ABC, ta áp dụng công thức:

®

®

æ ® ® ö AB AC
cos A = cosç AB, AC ÷ = ® ®
è
ø AB AC

Các góc B và C được tính tương tự
Suy ra:
®

®

Góc A vuông Û AB . AC = 0
®

®

Góc A nhọn Û cos A > 0 Û AB . AC > 0
®

®

Góc A tù ó cosA < 0 Û AB . AC < 0
Chú ý rằng một tam giác có nhiều nhất 1 góc tù.
Vấn đề 4: Các yếu tố liên quan đến D ABC
1/ Trọng tâm G:
1

ì
ï xG = 3 (x A + xB + xc )
ï
1
ï
í yG = ( y A + yB + yC )
3
ï
1
ï
ï zG = 3 ( z A + z B + zC )
î

2/ Trực tâm H:
Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện:

199


ó
3/ Chân đường cao A’ của đường cao AA’:
Tìm tọa độ điểm A’ từ điều kiện:

4/ Tâm đường tròn ngoại tiếp I:
Tìm tọa độ điểm I từ điều kiện:
ó
Chú ý:
Nếu D ABC vuông tại A thì:
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp: R =

AB
= IA = IB = IC
2

Nếu D ABC đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trọng tâm
của D ABC.
5/ Chân đường phân giác trong và ngoài:
Gọi D, D’ là chân đường phân giác trong và ngoài của góc
Ta có:
DB D ' B AB
=
=
DC D' C AC
®

Þ DB = ®

D' B =

200

AB ® ,
× DC
AC

AB ®
× D' C
AC

Chú ý:
Để tìm tâm của đường tròn nội tiếp:
- Vẽ đường phân giác trong của góc B cắt AD tại I: I chính là tâm
đường tròn nội tiếp.
- Tìm I từ công thức:

Vấn đề 5: Xác định hình tính của tứ giác.
1/ ABCD là hình bình hành ó

ó

2/ ABCD là hình chữ nhật ó

3/ ABCD là hình vuông ó

BÀI TẬP
Bài 1: Cho 3 vectơ
a/ Tìm m để

= (1,m,2),
vuông góc .

b/ Tìm m để ,
c/ Tìm m để

= (0,m-2,2)

đồng phẳng
=

Giải
201


a/ Ta có:
ó

= 0 ó m+1+2m+2=0 ó m = -1

b/ Ta có:
= (m-4, 2m+1, -m2-m+2)
.

= (m-2)(2m+1)+2(-m2-m+2) = -5m +2

Do đó:
đồng phẳng ó

,

c/ Ta có: +

= 0 ó -5m+2 = 0 ó m =

.

= (m+2, m+2, 3)

Do đó:

=

ó

2

=

2

ó (m+2)2 + (m+2)2 +9 = (m-2)2 + 4

ó m2 + 12m + 9 = 0 ó m = -6 ± 3
Bài 2: Cho = (1,-2,3). Tìm tọa độ vectơ cùng phương với vectơ ,
biết rằng tạo với trục tọa độ Oy một góc nhọn và
=
.
Giải:
Gọi

= (x,y,z); Oy có vectơ đơn vị = (0,1,0). Ta có:
ó

ó

ó
ó

Vậy
202

= (-1,2,-3)


Bài 3: Cho = (1,1,1), = (1,-1,3). Tìm tọa độ biết
= 3 và tạo với trục Oz một góc tù.

, ^ ,

Giải:
Gọi = (x,y,z). Trục Oz có vectơ đơn vị

= (0,0,1)

Ta có:

ó

(1) và (2) cho: x=-2z, y=z
Thay vào (3): 4z2+z2+z2=9 ó z2 = ó z= ð x=
Vậy:

=(

=-

(do z < 0)

, y=,

)

Bài 4: Cho 3 điểm: A (-2,0,2), B (1,2,3), C(x,y-3,7).
Tìm x,y để 3 điểm A,B,C thẳng hàng
Giải:
Cách 1:
= (y-13, 13-x, 2x-3y+13)
ó

®

= 0 ó

ó x = y = 13
Cách 2:
A, B, C thẳng hàng ó

ó x = y = 13
203


Cách 3:
A, B, C thẳng hàng ó

ó
ó

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(-4, 1, 2), B(2a, a2
-3, 2)
Tìm a để 3 điểm O,A,B là 3 đỉnh của một tam giác.

Giải:
Ta có:
a2 -3, 2)
=>

= (2a2-8, -4a-8, 4a2+2a-12)

O, A, B là 3 đỉnh của một tam giác ó
é 2a 2 - 8 ¹ 0
®
ê
ó a≠ - 2
0 Û ê - 4a - 8 ¹ 0
ê4a 2 + 2a - 12 ¹ 0
ë

≠

Bài 6: Cho 2 điểm A(1,1,2), B(-1,3,-9)
a/ Tìm điểm M trên trục Oz sao cho ∆ABM vuông tại M
b/ Gọi N là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oyz).
Hỏi điểm N chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm N?
c/ Gọi α, β, γ là góc tạo bởi đường thẳng AB và các trục tọa độ.
Tính giá trị của P = cos2α + cos2β + cos2γ
Giải:
a/ M Î Oz => M(0,0,z)
ó

.

= 0 ó -1+3+(z-2)(z+9)= 0

ó z2 +7z -16 = 0 ó z =
b/ N = AB
204

(Oyz) => N(0,y,z)


= (-1, 3-y, -9-z)
Điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k ó
=k

ó

ó
Vậy : k = -1, N(0,2,

)

c/
= (-2, 2, -11); các vtcp của Ox, Oy, Oz lẩn lượt là =
(1,0,0), = (0,1,0),
= (0,0,1)
Ta có: cosα =

=

Cosβ =

=

Cosγ =

=

Þ P = cos2α + cos2β + cos2γ = 1
Bài 7: Cho 3 điểm: A(1,1,1), B(-1,-1,0), C(3,1,-1)
a/ Tìm điểm M trên trục Oy cách đều 2 điểm B, C
b/ Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều 3 điểm A, B, C.
c/ Tìm điểm P trên mặt phẳng (Oxy) sao cho PA + PC nhò nhất.
Giải:
a/ M Î Oy => M(0,y,0)
M cách đều 2 điểm B,C ó MB = MC ó MB2 = MC2
ó 1+(y+1)2 = 9+(y-1)2 +1 ó y=
Vậy M(0, , 0)
b/ N Î (Oxy) => N(x, y, 0)
N cách đều 3 điểm A, B, C ó
ó

205


ó
ó
Vậy N (2, - , 0)
c/ PÎ(Oxy) => P(x,y,0)
Nhận thấy A và C nằm khác phía đối với mp (Oxy) (do zA.zC = 1 <0)
Ta có: PA +PC ≥ AC
Do đó: PA+PC nhỏ nhất

ó PA+PC = AC
ó P = AC ∩ (Oxy) ó A, P,C
thẳng hàng
Ta có:
A, P, C thẳng hàng ó

và

cùng phương ó

ó

ó
Vậy P(2, 1, 0)
Bài 8: Cho 2 vectơ

= (1,-3,4),

= (2,-6,8)

Tìm tọa độ biết ngược hướng với
Giải:
Gọi = (x,y,z) ;
206

= (3,-9,12)

và

=3

=k


Ta có:
ó

ó
ó
Vậy = (-9,27,-36)
Bài 9: Cho ABC có A(0,0,1), B(1,4,0), C(0,15,1)
a/ Tính độ dài đường cao AK của ABC.
b/ Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC.
c/ Tìm trực tâm H của ABC.
Giải:
= (1,4,-1),

= (0,15,0),

= (-1,11,1)

= (15,0,15) => SABC = |
Ta cũng có: SABC = AK.BC =

]| =
=> AK =

=

b/ Gọi I(x,y,z). Ta có:

ó

ó

ó

207


Vậy I(-

)

c/ Gọi H(x,y,z). Ta có:
ì AH .BC = 0
ïï
í BH . AC = 0
ï
ïî AB, AC , AH đång ph¼ng
ì AH .BC = 0
ì- x + 11y + z - 1 = 0
ì x = 22
ïï
ï
ï
ó í BH . AC = 0
Û íy - 4 = 0
Û íy = 4
ï
ïx + z - 1 = 0

ï z = -21
î
î
ïî AB, AC . AH = 0

[

]

Vậy: H(22,4,-21)
Bài 10: Cho 4 điểm: A(1,0,1), B(-1,1,2), C(-1,1,0), D(2,-1,-2)
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AB và CD.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
Giải:
a) A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện ó
đồng phẳng ó [
].
≠0

,

,

Ta có:
[

]= (-2,-4,0)

=> [

].

=2≠0

=>A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b)

= (3,-2,-2),

.

cos(AB,CD) = |cos(
c) VABCD = |[

208

].

= -10
,

)|=
|=

=

=

không

Ngoài ra: VABCD = SBCD.AH =
[

=> AH =

] = (-4,-6,0) => SBCD = |[

]| =

=

=>AH =
Bài 11: Cho ABC có A(1,1,1), B(5,1,-2), C(7,9,1)
a) Tính cosin của góc A.
b) Chứng minh rằng góc B nhọn.
c) Tính độ dài đường phân giác trong của góc A.
d) Tìm tọa độ chân đường cao vẽ từ A.
Giải
a)

= (4,0,-3),

= (6,8,0),

cosA = cos(
b)

= (-4,0,3),

=>

.

= (2,8,3)

)=

=

=

= (2,8,3)

= 1 > 0 => góc B nhọn.

c) Gọi D(x,y,z) là giao điểm đường phân giác trong của góc A với
cạnh BC.
Ta có:

=

=

= (7-x,9-y,1-z),

=

=>

= -2

= (5-x,1-y,-2-z)

Do đó:
= -2

ó

ó

=> D(

)

209


=> AD =

=

d) Gọi H(x,y,z) là chân đường cao AH. Ta có:

ìï AH .BC = 0
í
ïî BH cïng ph- ong BC
= (x-1, y-1, z-1),

(I)
= (x-5, y-1, z+2),

= (2,8,3)

Do đó:
387
ì
ï x = 77
ï
ì2( x - 1) + 8( y - 1) + 3( z - 1) = 0
85
ï
ï
(I) Û í x - 5 y - 1 z + 2
Û íy =
77
ïî 2 = 8 = 3
ï
151
ï
ï z = - 77
î
Þ H(

387 85 -151
, ,
)
77 77 77

Bài 12: Định m để các phương trình sau là phương trình mặt cầu:
a) x2 + y2 + z2 – 4mx + 2my – 2(m-1)z + 5m2 + m + 5 =0(1)
b) x2 + y2 + z2 + 2(m+3)x – 6my + 4mz + 13m2 + 2m + 5 =0 (2)
Giải
a) (1) là pt mặt cầu ó 4m2 + m2 + (m-1)2 - 5m2 – m - 5 > 0
ó m2 – 3m - 4 > 0
ó m<-1 v m>4
b) (2) là pt mặt cầu ó (m+3)2 + 9m2 + 4m2 – 13m2 – 2m – 5 > 0
ó m2 + 4m + 4 > 0ó (m+2)2 > 0 ó m ≠ -2
Bài 13: Cho 2 điểm A(-1,0,-3), B(1,2,-1). Viết phương trình mặt
cầu (S):
210


a) Có đường kính AB.
b) Có tâm I thuộc trục Oy và qua 2 điểm A,B.
Giải:
a) (S) có tâm I là trung điểm AB và bán kính R = IA
I(0,1,-2), R = IA =

=

=> (S): x2 + (y-1)2 + (z+2)2 = 3
b) Cách 1:
I

Oy => I(0,b,0)

(S) qua 2 điểm A,B ó IA = IB ó IA2 = IB2
ó 1 + b2 + 9 = 1 + (b-2)2 + 1 ó b = -1

=> I(0,-1,0), R = IA =
=> (S): x2 + (y+1)2 + z2 = 11
Cách 2:
I

Oy => I(0,b,0) => (S): x2 + y2 + z2 – 2by + d = 0
ó

ó

=> (S): x2 + y2 + z2 + 2y – 10 = 0
Bài 14: Viết pt mặt cầu (S) qua 3 điểm A(1,2,4), B(1,-3,-1), C(2,2,-3)
và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy)
Giải
Gọi I là tâm của (S)
I

(Oxy) => I(a,b,0)

=> (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by + d = 0
Ta có:
A

(S) ó -2a – 4b + d + 21 = 0 (1)

B

(S) ó -2a + 6b + d + 11 = 0 (2)
211

C

(S) ó -4a – 4b + d + 17 = 0 (3)
(1), (2), (3) cho a = -2, b = 1, d = -21
=>(S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y - 21 = 0

Bài 15: Cho 3 điểm A(2,0,1), B(-1,1,3), C(1,2,0)
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz) và
tiếp xúc mặt phẳng (ABC) tại A.
Giải:
I

(Oyz) => I (0,b,c)

Ta có:
Û

(S) tiếp xúc (ABC) tại A ó
= (-2, b, c-1),

= (-3,1,2),

(1)

= (-1,2,-1)

Do đó:
ó

(1)ó

=> I(0,-2,-1)

Bán kính (S): R = IA = 2
=> (S): x2 + (y+2)2 + (z+1)2 = 12
Bài 16: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1,-3,6) và cắt trục Ox
tại 2 điểm M,N sao cho MN = 8.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của I trên Ox => H là trung điểm MN.
HM = HN =

= 4; IH = d(I,Ox) =

Gọi R là bán kính của (S): R2 = IM2 + IH2 = 61
=> (S): (x-1)2 + (y+3)2 + (z-6)2 = 61

212


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Chứng minh 3 điểm A(1,1,1), B(-4,3,1), C(-9,5,1) thẳng hàng.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Biết A(-3,-2,0), B(3,-3,1), C(5,0,2)
Tìm tọa độ đỉnh D và góc giữa 2 vectơ

và

Bài 3:
a) Tìm vectơ đơn vị vuông góc với trục Ox và vuông góc với
(3,6,8)

b) Tìm cùng phương với = (2 ,-1,4) biết rằng | | = 10
Bài 4: Cho
bằng 45o

= (1,1,-2),

= (1,0,m). Tìm m để góc giữa

=

và

Bài 5: Cho 2 điểm A(-2,3,1), B(5,6,-2). Đường thằng AB cắt mặt
phẳng (Oxz) tại điểm M.
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào ? Tìm tọa độ điểm M.
Bài 6: Cho 3 điểm A(1,0,2), B(-2,1,1), C(1,-3,-2). Gọi M là điểm chia
đoạn AB theo tỉ số -2; N là điểm chia đoạn BC theo tỉ số 2. Tính độ
dài đoạn MN.
Bài 7: Cho 3 vectơ = (3,-2,4), = (5,1,6), = (-3,0,2). Tìm vectơ
thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện: . = 4, . = 35, vuông góc .
Bài 8: Cho 2 điểm A(1,2,3), B(2,0,-1)
a) Tìm điểm M thuộc trục Ox cách đều 2 điểm A và B.
b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy) cách đều 2 điểm A,B và
cách gốc O một khoảng bằng
Bài 9: Cho 2 điểm A(0,1,2), B(-1,1,0)
a) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆OAB
b) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆OAB
Bài 10: Cho 4 điểm A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(-2,1,-1)
a) Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
213

b) Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD
c) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Bài 11: Cho 2 điểm A(2,-1,0), B(-3,1,1)
a) Tìm điểm M Î mặt phẳng (Oyz) để MA + MB nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N Î mặt phẳng (Oyz) để |NA – NB| lớn nhất.
Bài 12: Cho ∆ABC có A(4,0,1), B(2,-1,3), C(5,-1,-1)
Tính độ dài đường phân giác trong của góc B.
Bài 13: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(4,-2,1) biết:
a) (S) tiếp xúc mặt pẳng (Oxz).
b) (S) tiếp xúc trục Ox.
c) (S) cắt trục Oy tại 2 điểm A,B với AB = 10.
Bài 14: Viết pt mặt cầu (S) qua điểm A(1,-1,4) và tiếp xúc với 3 mặt
phẳng tọa độ
Bài 15: Cho tứ diện OABC có A(4,0,0), B(0,-2,0), C(0,0,2), 0 là gốc
tọa độ.
a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
b) Tìm hình chiếu của đỉnh O trên mặt phẳng (ABC).
Bài 16: Cho 3 điểm A(-2,1,-2), B(2,1,1), C(-1,0,5). Viết phương trình
mặt cầu có đường tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

214