HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (Minh)

Hình học 12 chương trình chuẩn
Ngày soạn: 01/12 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Tiết: §1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Xây dựng hệ tọa độ, tọa độ của điểm, của vectơ
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng của nó
Phương trình mặt cầu
2. Kỹ năng: Biết xác định tọa độ của một điểm trong gian và tọa độ của một vectơ cùng với các phép
toán về vectơ
Biết tích tích vô hướng của hai vectơ , khoảng cách giữa hai điểm, độ dài của vectơ, góc giữa hai
vectơ.
Biết viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính và ngược lại
3. Tư duy: Biết quy lạ về quen, phát triển tư duy logit.
4. Thái độ: Nghiêm túc trong giờ học, cẩn thận chính xác trong tính toán
II. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở đan xen hoạt động nhóm
III. Chuẩn bị của thầy và trò:
GV: giáo án , phấn , thước kẽ
HS: xem lại chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10
IV. Tiến trình bài giảng:
Hoạt động 1: Chiếm lĩnh kiến thức tọa độ của điểm và vectơ
Phan Huyền Minh ttgdtx-Bình Đại Trang 34
O
A
B
C
M
M'
x
y
z

Hình học 12 chương trình chuẩn
Hoạt động 2: Chiếm lĩnh biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Trong mặt phẳng Oxy hãy
nhắc lại công thức tính
tổng , hiệu hai vectơ, tích
của vectơ với một số
Tương tự trong không gian
cũng quy định tính tổng ,
hiệu hai vectơ, tích của
vectơ với một số
Trong mp Oxy cho
);(
21
aaa
=

,
);(
21
bbb
=

Ta có:
a)
);(
2211
bababa ++=+



b)
);(
2211
bababa
−−=−


c)
);(
21
kakaak
=

với k là
một số thực
Ghi nhận định lí
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP
TOÁN VECTƠ
Định lí: Trong không gian cho hai vectơ
);;(
321
aaaa
=

và
);;(
321
bbbb
=


. Ta có:
a)
);;(
332211
babababa
+++=+


b)
);;(
332211
babababa
−−−=−


c)
);;(
321
kakakaak
=

với k là một số thực
chứng minh (sgk )
Phan Huyền Minh ttgdtx-Bình Đại Trang
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Hãy nhắc lại khái niệm
hệ tọa độ Oxy trong mặt
phẳng
Cho hs xem mô hình hệ

tọa độ Oxyz
Vẽ hình
Hãy nêu các khái niệm
về hệ trục tọa độ Oxyz
trong không gian
Vì
kji


,,
là các vectơ
đơn vị ta có kết luận gì
về độ dài của chúng ?
kji


,,
đôi một vuông
góc ta được ?
Hướng dẫn biểu diễn
vectơ
OM
theo 3 vectơ
kji


,,
Nhắc lại khái niệm hệ
tọa độ Oxy trong mặt
phẳng

Vẽ hình
nêu các khái niệm về hệ
trục tọa độ Oxyz trong
không gian
1
===
kji


⇒

1
222
===
kji


0...
===
kikjji




Quan sát trã lời câu hỏi
của GV để xác định tọa
độ điểm M
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
1. Hệ tọa độ:
Hệ gồm 3 trụ x’Ox,

y’Oy, z’Oz đôi một
vuông góc trên đó đã
chon các vectơ đơn vị
lần lượt là
kji


,,
gọi
là hệ trục tọa độ Đề-
các vuông góc Oxyz
trong không gian
Vì
kji


,,
là các
vectơ đơn vị đôi một vuông góc nên
1
222
===
kji


và
0...
===
kikjji





2. Tọa độ của một điểm.
kzjyix
OCOBOA
OCOMOM

++=
++=
+=
'

Viết:
);;( zyxM
=

hoặc
);;( zyxM
Cho
a

bao giờ cũng phân
tích được theo 3 vectơ
kji


,,
thành
kajaiaa



321
++=
khi đó
ta nói
a

có tọa độ là
);;(
321
aaa
Rút ra nhận xét
Cho hs tiến hành hoạt
động 2 sgk
Nghe giảng và ghi nhận
Tiến hành hoạt động 3
3. Tọa độ của vectơ.
Trong không gian Oxyz cho
a

bao giờ cũng tồn
tại bộ 3 số
);;(
321
aaa
sao cho :
kajaiaa



321
++=
Viết
);;(
321
aaaa
=

hoặc
);;(
321
aaaa

Nhận xét:
);;( zyxM
=

⇔
);;( zyxOM
=
35
Hình học 12 chương trình chuẩn
Đưa ra ví dụ 1.
Từ định lí c) ta có
bka


=

khi nào ?

?
⇔=
ba


Hãy cho biết tọa độ của
vectơ
0

Hãy định nghĩa hai vectơ
cùng phương
Theo quy tắc 3 điểm ta có
OAOBAB
−=
tiếp theo
dựa vào định lí b) ta có ?
Khi đó tọa độ trung điểm M
của AB là ?
Giải ví dụ 1
332211
;; kbakbakba
===
332211
;; bababa
ba
===
⇔=


)0;0;0(0

=

a

cùng phương
b


bkaRk


=∈∃⇔
:
( )
ABABAB
zzyyxx
OAOBAB
−−−
=−=
;;
VD1 : Cho
)1;3;2(
−=
a

và
)5;1;0(
−=
b


tính
ba


+
,
ba


32
−
Hệ quả:
a) Cho hai vectơ
);;(
321
aaaa
=

và
);;(
321
bbbb
=

. Ta có:
332211
;; babababa
===⇔=



b) Vectơ
0

có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 0 )
c) Với
0

≠
b
thì
a

cùng phương
b


:Rk
∈∃⇔
332211
;; kbakbakba
===
d) Nếu cho hai điểm A(x
A ;
y
A
; z
A
) và B(x
B
;y

B
;z
B
)
thì :
( )
ABABAB
zzyyxxOAOBAB
−−−=−=
;;
Tọa độ trung điểm M của AB là .






−−−
2
;
2
;
2
ABABAB
zzyyxx
M
Hoạt động 3 : Chiếm lĩnh kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ
Hoạt động 4 : Chiếm lĩnh kiến thức về phương trình mặt cầu
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Phan Huyền Minh ttgdtx-Bình Đại Trang

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Hãy phát biểu định lí tích vô
hướng của 2 vectơ trong mặt
phẳng
Tương tự ta có định lí tích
vô hướng của 2 vectơ trong
không gian
Hướng dẫn chứng minh
Cho
);;(
321
aaaa
=

tính
?.
=
aa

, tứ đó tính
a

?
)z;y;B(x
);;(
BBB
=⇒




AB
zyxA
AAA
, từ đó tính
độ dài AB = ?
Hãy viết công thức tính góc
giữa 2 vectơ trong mặt
phẳng
Hoàn toàn tương tự hãy viết
công thức tính góc giữa 2
vectơ trong không gian
HĐ3. cho
)1;0;3(
=
a

,
)1;1;2(),2;1;1(
−=−−=
cb


Hãy tính
( )
?ba ; ?.
=+=+





cba
Phát biểu định lí tích vô
hướng của 2 vectơ trong
mặt phẳng
Đọc định lí sgk
Chứng minh
2
3
2
2
2
1
. aaaaa
++=

Vì
⇒=
2
2
aa


2
3
2
2
2
1
aaaa
++=


Nhe hiểu nhiệm vụ trả lời
ba
ba
ba






.
.
),cos(cos
==
ϕ
Viết công thức
III. TÍCH VÔ HƯỚNG
1) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Định lí : trong không gian Oxyz, tích vô hướng
của hai vectơ
);;(
321
aaaa
=

và
);;(
321
bbbb

=

được xác định bởi công thức
332211
. babababa
++=


2. ứng dụng :
a) Cho
);;(
321
aaaa
=

có
2
3
2
2
2
1
aaaa
++=

b) Cho
);;(
AAA
zyxA
và

)z;y;B(x
BBB
ta có
( ) ( ) ( )
222
ABABAB
zzyyxx
ABAB
−+−+−=
=
c) Gọi
ϕ
là góc giữa hai vectơ
);;(
321
aaaa
=

và
);;(
321
bbbb
=

với
0,


≠
ba

ta có:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
.

.
.
),cos(cos
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba
++++
++
=
==







ϕ
Vậy
0
332211
=++⇔⊥
babababa


HĐ3. KQ:
( )
23ba ; 6.
=+=+




cba
36
Hình học 12 chương trình chuẩn
Đưa ra bài toán
Hãy nhắc lại định nghĩa mặt
cầu tâm I bán kính r.
Từ OM= r ta có điều gì?
Hãy phát biểu bài toán trên
thành định lí
Đưa ra ví dụ 1

Đưa ra ví dụ 2
Áp dụng công thức bình
phương của một hiệu vào
phương trình (*) được ?
Khi nào phương trình (**) là
phương trình đường tròn ?
Đưa ra ví dụ 3
Ghi nhận đề toán
Nhắc lại định nghĩa
ROM
=
dẫn đến phương
trình mặt cầu
Phát biêu3 định lí.
Giải ví dụ 1
Giải ví dụ 2
Viết dạng khai triển của
phương trình (*)
Rút ra nhận xét
Giải ví dụ 3
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Bài toán: Viết phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c)
bán kính r
Gọi M(x; y; z) là một điểm nằm trên mặt cầu khi
đó ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
222
222

rczbyax
rczbyaxOM
=−+−+−⇔
=−+−+−=
Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm
I(a; b;c) bán kính r có phương trình là :
( ) ( ) ( )
2
222
rczbyax
=−+−+−
(*)
VD
1
: phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) bán kính
r = 5 là
( ) ( ) ( )
25321
222
=−+++−
zyx
VD
2
: Phương trình mặt cầu tâm O bán kính r là
2222
rzyx
=++
Phương trình (*) có dạng khại triển là:
0222
222

=+−−−++
dczbyaxzyx
(**)
Với
2222
rcbad
−++=
Nhận xét:
Mọi phương trình có dạng
0222
222
=+−−−++
dczbyaxzyx
với
0
222
>−++
dcba
là phương trình mặt cầu tâm
I(a;b;c) bán kính
dcbar
−++=
222
VD3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu có
phương trình :
011264
222
=+−+−++ zyxzyx
Giải . Phương trình mặt cầu có dạng
0222

222
=+−−−++
dczbyaxzyx





=
−=
=
⇔





=−
=−
−=−
⇒
1
3
2
22
62
42
c
b
a

c
b
a
Vậy tâm I(2;-3;1) bán kính
3
222
=−++=
dcbar
Củng cố : cho hs nhắc lại các định nghĩa và định lí sau :
• Định nghĩa hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz
• Viết công thức tọa độ của tổng , hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số
• Phát biểu định lí tích vô hướng của hai vectơ
• Viết công thức tính cosin của góc tạo bởi hai vectơ khác
0

• Viết công thức tính khoảng cách của hai điểm
• Viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính r
Hướng dẫn về nhà giải ccác bài tập sgk

Ngày soạn: 01/01 Luyện tập:§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Tiết:
Phan Huyền Minh ttgdtx-Bình Đại Trang 37
Hình học 12 chương trình chuẩn
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức: luyện giảib các bài tập về các phép toán trên vectơ, ứng dụng của tích vô hướng, phương
trình mặt cầu
2. Kỹ năng: Vận dụng thành thạo các công thúc tổng, hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số
Biết tính tích vô hướng của hai vectơ. Tọa độ của một điểm
Biết viết phương trình của mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
3. Tư duy: Vận dụng linh hoạt kiến thức hệ tọa độ trong mặt phẳng vào không gian

Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
4. Thái độ: HS tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng
động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới
II. Phương pháp: Đàm thoại gợi mở, đan xen hoạat động nhóm
III. Chuẩn bị:Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …
Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
a.Kiềm tra bài cũ:
HS1: Trong kg Oxyz cho
a

= (2 ; -5 ; 3),
b

= (0 ; 2 ; -1)
Tính
ba


+
và cos(
ba


,
)
Cho một VD về một vectơ
c

cùng phương với

a

HS2: Viết phương trình tổng quát của mặt cầu tâm I(1; -1; 0), bán kính r = 3
Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết
)1;0;2(A
,
)1;2;0(
−−
B
HS3: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình
0311062
222
=+−+−++
zyxzyx
b. Bài tập:
Bài1: Cho ba vectơ
a

= (2 ; -5 ; 3),
b

= (0 ; 2 ; -1),
c

= (1 ; 7 ; 2).
a) Tính toạ độ của vectơ
cbad





3
3
1
4
+−=
b) Tính toạ độ của vectơ
e

=
a

- 4
b

- 2
c

.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Ghi đề
Hãy cho biết cách giải..
Có thể gợi ý thêm cho HS
Nghe hiểu nhiệm vụ trả lời
Tiến hành giải theo gợi ý của
GV
a)
)12;20;8(4
−=
a


)
3
1
;
3
2
;0(
3
1
−=−
b


)6;21;3(3
=
c








=+−=
3
55
;
3

1
;113
3
1
4 cbad




b/
e

=
a

- 4
b

- 2
c

= (0;-27;3)
Bài 2: Cho ba điểm A = (1 ; - 1 ;1 ), B = ( 0 ; 1 ; 2 ), C = ( 1 ; 0 ; 1 ).
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC .
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
G là trọng tâm của tam giác
ABC ta có ?
Từ đó hãy chỉ ra công thức
tính tọa độ điểm G.
0

=++
GCGBGA
( )
OCOBOAOG
++=
3
1
Viết công thức và giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có
( )
OCOBOAOG
++=
3
1
Phan Huyền Minh ttgdtx-Bình Đại Trang 38