Một số kiến thức toán học áp dụng giải bài tập vật lí THPT

Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

PHẦN I
MỞ ĐẦU
1/ Lí do chọn đề tài:
Xuất phát từ tình hình thực tế tôi đang giảng dạy hiện nay, đa số học sinh tiếp

thu khá tốt kiến thức lí thuyết Vật lí của bài giảng. Tuy nhiên, khi giải bài tập thì
nhiều học sinh còn gặp khó khăn, nhất là khâu áp dụng các kiến thức toán học cơ bản
cho bài tập Vật lí, các em chưa hình dung các kiến thức toán (đường hyperbol, elip,
tròn; đồ thị hàm số, đạo hàm, tích phân; số phức …) được áp dụng như thế nào cho
Vật lí. Điều này không chỉ các em học sinh yếu mà cả học sinh giỏi khi dạy đội
tuyển ở trường.
Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề “Một số kiến thức toán học
áp dụng giải bài tập vật lí THPT” nhằm giúp các em học sinh áp dụng kiến thức
toán học giải bài tập vật lí được tốt hơn.
Với những kiến thức và kinh nghiệm của bản thân, tôi đã cố gắng trình bày
chuyên đề một cách ngắn gọn và đầy đủ nhất để các em học sinh dễ hiểu. Rất mong
sự đóng góp ý kiến của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp để chuyên đề thật sự
là tài liệu tham khảo bổ ích.
2/ Phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.
* Để hoàn thành đề tài này tôi chọn các phương pháp nghiên cứu sau đây:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
+ Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên phổ thông, các sách Đại học và tư liệu từ
các bạn đồng nghiệp trên mạng Internet.
+ Đọc các sách lí luận để làm cơ sở cho việc trình bày hệ thống lý thuyết của
chuyên đề.
* Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài này nghiên cứu các dạng bài tập thuộc chương trình Vật lí THPT.

Trang 1


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

PHẦN II: NỘI DUNG
Vấn đề 1

TÍCH PHÂN
(Áp dụng cho bài toán chuyển động cơ và điện …)

KIẾN THỨC TÍCH PHÂN

Tích phân là mảng kiến thức Toán học xuất hiện được khoảng 5 thế kỷ, nhưng đã có
ứng dụng vô cùng mạnh mẽ vào hầu hết tất cả các ngành khoa học nghiên cứu khác, đặc
biệt là Vật lí học. Người đầu tiên tính Tích phân là nhà toán học Archimedes (Ác-si-mét),
sống cách đây 2 thiên niên kỷ, nhưng những người đầu tiên đưa ra các khái niệm và ứng
dụng rõ ràng của Tích phân lại là hai nhà toán học Newton và Lepniz. Trong khoa học và
đời sống nói chung - Vật lí học nói riêng. Nếu có một đại lượng nào biến thiên theo một
quy luật hàm trong một khoảng (có thể là khoảng thời gian hoặc khoảng không gian), thì
các thành phần liên quan đến đại lượng đó (giá trị tích phân cần tìm) đều có thể biểu
diễn dưới dạng một Tích phân!
1. Định nghĩa tích phân xác định
Tích phân xác định của hàm số y = f(x) cho trên khoảng đóng  a , b  trong giới hạn từ
a đến b là một số xác định như sau:
+ Chia khoảng  a , b  ra n phần bởi các số tùy ý là x1, x2, …, xn-1 bằng cách chọn sao cho
a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b

+ Trong mỗi khoảng  xi 1 , xi  chọn ra một số tùy ý i sao cho xi 1  i  xi .
+ Nhân các giá trị f (i ) của hàm số f(x) tại các điểm đã chọn với các hiệu số xi 1  xi  xi1
tương ứng.
+ Cộng tất cả n tích f ( i ) . xi 1 vừa nhận được lại.
n

+ Tính giới hạn của tổng nhận được:

 f ( ).x

i 1

i

.

i 1

Khi độ dài mỗi khoảng sơ cấp xi1 dẫn đến 0 (do đó n   ). Nếu giới hạn đó tồn
tại và không phụ thuộc vào cách chọn các số xi và i thì nó được gọi là:
b

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH


a

n

f ( x)dx  lim

 f ( ).x

xi1  0
i 1
n 

i

i 1

.

Lưu ý:
* Tích phân trên là tồn tại – tức là giới hạn tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn các
số xi và i .
Trang 2


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

* Giá trị của tích phân chỉ phụ thuộc vào dạng của hàm số f(x) và các cận a, b và không
b

phụ thuộc vào biến lấy tích phân:



a

b

b

f ( x) dx   f (t ) dt  f ( z ) dz  ...
a

a

* Tích phân là quá trình phân chia rồi tổng hợp lại (Dấu tích phân  có nguồn gốc từ
chữ La tinh S – chữ đầu của danh từ Somma, nghĩa là TỔNG).
ỨNG DỤNG VẬT LÍ

Dạng 1: Đại lượng cần tìm có dạng “tích” giá trị hàm và biến số thì dùng phép tính tích
phân để tính. Chẳng hạn:
+ Lực đàn hồi F là hàm số của độ biến dạng x  ta biểu diễn dạng tính phân để tính công
x2

A=

toàn phần A.

 F ( x)dx
x1

+ Dòng điện i là hàm số của thời gian t  ta biểu diễn dạng tính phân để tính điện tích q.
t2

q   idt
t1

+ Vận tốc v là hàm số của thời gian t  ta biểu diễn dạng tính phân để tích quãng đường
t2

đi được S.

S

  A sin( t   ) dt
t1

+ v.v…
Dạng 2: Từ phương trình các cơ bản của Vật lí  chuyển về các phương trình dạng vi
phân (biến của vi phân nào thì nằm cùng vế của vi phân đó)  lấy tích phân hai vế theo
các cận xác định  suy ra đại lượng cần tìm!

BÀI TẬP

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu của một lò
xo có độ cứng k và khối lượng không đáng kể như hình vẽ. Vật m có thể trượt không
ma sát. Từ vị trí cân bằng O kéo lò xo dãn một đoạn nhỏ
rồi buông nhẹ, ta thấy vật dao động quanh vị trí cân bằng
O. Xác định công của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x1 đến
vị trí x2.
Hướng dẫn:
+ Vì lực đàn hồi thay đổi theo độ biến dạng x, nên ta chia nhỏ độ biến dạng toàn
phần thành n đoạn biến dạng vô cùng nhỏ x sao cho tương ứng với độ biến dạng
này lực đàn hồi F được coi là không đổi.

n

+ Ta tính giới hạn của tổng:

 F .x .
i 1

Trang 3


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành
x2

+ Khi x dẫn đến không (do đó n   ). Ta có:

n

 F ( x)dx  lim  F .x
x  0
n  i 1

x1

+ Công toàn phần A của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2 là:
x2

A=

 F ( x)dx

x1


3

Bài 2: Dòng điện xoay chiều chạy trong dây dẫn có biểu thức i  2cos(100 t  ) (A)
(t tính bằng giây). Tính điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong
1/300 (s) kể từ lúc t = 0.
Hướng dẫn:
+ Dòng điện là hàm số của thời gian t. Áp dụng lí luận phần trên, ta có:
t2

1/ 300

t2


2

+ Điện lượng: q   idt   2cos(100 t  )dt 
sin(100 t  )
3
100
3 0
t1
t1

 5, 513mC

Bài 3: Một vật khối lượng m = 1 kg, vận tốc ban đầu v0 = 10 m/s, chịu lực cản có độ
lớn Fc = kv, v là vận tốc của vật, hằng số k = 1 kg/s).
a. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t.
b. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng.
Hướng dẫn:
a. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t.
+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động
+ Định luật II Niu-tơn:  Fc  ma
dv
dv
dv
  Fc  m
  kv  m
 dt   m

dt
dt
k .v
 t 

t

v

dv

 d t    m k .v
0

v0

m
m
v
(ln v  ln v 0 ) 
ln ( )
k
k
v0

 v  v0 e



k
t
m

b. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng.
v

+ Ta có:  dv  
v0

s

k
k
ds  v  v0   s


m0
m

+ Khi vật dừng lại v = 0: s 

v0 m 10.1

 10m
k
1

 2

Bài 4: Mét dßng ®iÖn xoay chiÒu i = I0 sin  t    ch¹y qua mét ®o¹n m¹ch cã
 T

®iÖn trë thuÇn R. H·y tÝnh nhiÖt l­îng Q táa ra trªn ®o¹n m¹ch ®ã trong thêi gian
mét chu k× T.
Trang 4


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Hướng dẫn:
T

T

 2

+ Ta cã: Q =  Ri 2 dt   RI 20 sin 2  t    dt
 T

0
0

 2

1  cos2 
 
 T
 dt
 RI 20 
2
0
T

T

RI 2 
T
RI 2
 2

 0  t  sin 2  t      0 T
2  4
2

 T
 0

Bài 5: §Æt vµo mét ®o¹n m¹ch mét hiÖu ®iÖn thÕ xoay chiÒu u = U0 sin

2
t . Khi ®ã
T

 2

trong m¹ch cã dßng ®iÖn xoay chiÒu i = I0 sin  t    víi  lµ ®é lÖch pha gi÷a
 T

dßng ®iÖn vµ hiÖu ®iÖn thÕ. H·y tÝnh c«ng cña dßng ®iÖn xoay chiÒu thùc hiÖn
trªn ®o¹n m¹ch ®ã trong thêi gian mét chu k×.
Hướng dẫn:
T

T

 2
 2
+ Ta cã: A =  uidt   U 0 I 0 sin  t    sin tdt
T
 T

0
0
T

1
 4

 U 0 I 0   cos  cos  t     dt
2
 T

0
T

U I 1
 4

 0 0   cos  cos  t     dt
2 0 2
 T

T

U I 
T
U I
 4

 0 0  tcos  sin  t      0 0 Tcos
2 
4  T
2
 0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Trang 5


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Vấn đề 2

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

ĐỒ THỊ HÀM SỐ
(Áp dụng cho bài toán chuyển động cơ, sóng, dao động điện …)

KIẾN THỨC HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM

1. Khái niệm hàm số
1.1. Định nghĩa
Cho X R, một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi giá trị
của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y. Kí hiệu y = f(x). Với:
+ x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc.
+ X được gọi là miền xác định của hàm số.
+ Tập Y =

được gọi là miền giá trị của hàm số.

1.2. Các phương pháp cho hàm số
Phương pháp giải tích, phương pháp bảng và phương pháp đồ thị. Mỗi phương pháp
cho hàm số đều có những ưu và nhược điểm:
+ Phương pháp giải tích: Ta tìm được giá trị y của hàm số ứng với bất kỳ giá trị x nào của đối số thuộc

tập xác định của hàm, nhưng không thấy ngay được mà phải tính toán.
+ Phương pháp bảng: Ta thấy ngay được giá trị của y ứng với giá trị của x, nhưng không thể liệt kê được
tất cả giá trị x vào bảng.
+ Phương pháp đồ thị: Ta có thể biết được ngay giá trị của y ứng với bất kỳ giá trị x nào nhưng chỉ là
gần đúng.
@ Trong Vật lí hay áp dụng phương pháp đồ thị.

1.3. Hình dáng đồ thị các hàm số thường dùng
+ Các loại hàm số: Hàm số bị chặn và giới nội; hàm số đơn điệu; hàm số chẵn, lẻ; hàm
tuần hoàn; hàm lượng giác; hàm lũy thừa; hàm mũ; hàm lôgarit, …
+ Đồ thị các hàm cơ bản:
a/ Hàm số đơn điệu
Kể từ trái sang phải hàm số
đồng biến có hướng đi lên.
Kể từ trái sang phải hàm số
nghịch biến có hướng đi
xuống.

b

y

b/ Hàm số chẵn, hàm
số lẻ

y
x

c/ Hàm số tuần hoàn

Trang 6


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

d/ Hàm số
lũy thừa

y =ax (a>1)

e/ Hàm số mũ
y =ax (0
f/ Hàm số lôgarít

g/ Hàm số sin

h/ Hàm số cos

i/ Đồ thị tổng hợp một số hàm

Trang 7


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

2. Đạo hàm
2.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b), đạo hàm của hàm số tại
điểm x0 là: f '( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
y
 lim
x  0 x
x  x0

x=x-x 0 ; y  f ( x)  f ( x0 )

@ Chữ lim (các chữ đầu của danh từ La tinh limes, đọc là limexơ) có nghĩa là GIỚI HẠN.

2.2. Công thức tính đạo hàm

ỨNG DỤNG VẬT LÍ

1/ Vẽ đồ thị.
2/ Trong Vật lí có nhiều bài toán đưa về việc tìm giới hạn dạng
f '( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
y
 lim

x  0 x
x  x0

x=x-x 0 ; y  f ( x)  f ( x0 ) .

Chẳng hạn:
+ Một chất điểm chuyển động trên trục s’Os. Quãng đường của chuyển động là hàm số
của thời gian s =s(t). Vận tốc tức thời tại t0 là v(t0 )  s '(t0 )  lim
t  t0

s (t )  s (t0 )
s
 lim
t  0 t
t  t0

(với t  t  t0 là khoảng thời gian chất điểm đi được quãng đường s(t) – s(t0))
+ Gia tốc là đạo hàm theo thời gian của vận tốc, hoặc đạo hàm bậc hai của quãng đường
a (t )  v '(t )  s ''(t )
Trang 8


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

+ Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t là đạo hàm điện lượng q = q(t) là i = q’(t).
+ Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch kín: ec(t) = - N.’(t).
+ Suất điện động tự cảm: etc (t) = - L.i’(t).
BÀI TẬP


Bài 1: Một vật dao động điều hòa có dạng x  cos( t  ) cm.
4

Vẽ đồ thị x, v, a theo t.
Hướng dẫn:

x  cos( t  )
4

 v  x '(t )   sin( t  )
4

 a  v '(t )   2cos( t  )
4

+ Áp dụng kiến thức đạo hàm, ta có:

+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (hình vẽ)
x, v, a

t

Bài 2: Một vật nặng được gắn vào một lò xo có độ cứng
40N/m thực hiện dao động cưỡng bức. Sự phụ thuộc của
biên độ dao động này vào tần số của lực cưỡng bức được
biểu diễn như trên hình vẽ. Hãy xác định năng lượng toàn
phần của hệ khi công hưởng.
Hướng dẫn:
Năng lượng toàn phần của hệ khi cộng hưởng:

1
1
5 2
w= kAm2 ax  .40.(
)  5.10 2 J
2
2
100
Trang 9


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Bài 3: Một sóng hình sin đang truyền trên
một sợi dây theo chiều dương của trục Ox.
Hình vẽ mô tả hình dạng của sợi dây tại
thời điểm t1 (đường nét đứt) và t2 = t1 + 0,3
(s) (đường liền nét). Tại thời điểm t2. Tính
vận tốc của điểm N.

Hướng dẫn:
+ Từ hình vẽ ta có trong thời gian 0,3s sóng truyền đi được 3 ô theo phương ngang tương
ứng quãng đường 15 cm => tốc độ truyền sóng v 

15
 50cm / s .
0,3

+ Ta lại thấy bước sóng bằng 8 ô =>   8.5  40cm .
2 2 v
+ Ta có  

 2,5 rad / s .
T

+ Vận tốc của N tại thời điểm t2 là vận tốc của dao động điều hòa tại VTCB có độ lớn
vmax   A  2, 5.3.14.5  39, 3cm / s .
+ Ở thời điểm t1 N đang ở phía dưới, trong khi đó

T
T
 0,3   N đang đi lên.
4
2

+ Vậy tại thời điểm t2 vận tốc của N là: vN = 39,3 cm/s.
Bài 4: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm có độ tự cảm L
và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Hiệu điện thế đặt vào hai đầu mạch là
u  U 2 sin t , với U và  không đổi. Đồ thị nào biểu diễn đúng nhất sự phụ thuộc của
hiệu điện thế hiệu dụng trên tụ điện vào dung kháng?

U

Hướng dẫn:
+ Hiệu điện thế hiệu dụng trên tụ điện:
U c  I .Z c 

U .Z c

2

R  ( Z L  Z c )2

 Khi Z c  0  U c  0
R 2  Z L2
 Khi Z c 
 U c  max
ZL

 Hình đúng là B.

 Khi Z c    U c  U

Trang 10


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Bài 5: Đặt điện áp xoay chiều ổn
định vào hai đầu đoạn mạch AB mắc
nối tiếp như hình a.
A

M


C

300

B

N

X

U (V)

250
200

L

150

Hình a

100

Biết tụ điện có dung kháng Z C , cuộn
cảm thuần có cảm kháng Z L với
3Z L  2 Z C . Đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc vào thời gian của điện áp giữa
hai đầu đoạn mạch AN và điện áp
giữa hai đầu đoạn mạch MB như
hình b. Viết biểu thức điện áp tức thời
giữa hai điểm M và N

50
0
0.00
-50

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

UMB

-100
-150
-200

UAN

-250
-300

Hình b

Hướng dẫn:
+ Từ đồ thị
u AN  200cos  200 t V  ;



uMB  100cos  200 t   V  .
3

+ Vì 3Z L  2Z C nên 3uL  2uC

+ Ta có: u AN  uc  u x ; uMB  uL  u x ; Hay: 2u AN  2uc  2ux ;3uMB  3uL  3ux
 2uAN  3uMB  5ux  2uc  3uL  5ux  ux 

2uAN  3uMB
5



2uAN
5



3uMB
5

+ Kết quả: u X  20 37cos  200 t  0, 4413064324 V  .
Bài 6: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa dao

động theo phương thẳng đứng mà lực đàn hồi và chiều
dài của lò xo có mối liên hệ được cho bởi đồ thị như hình
vẽ. Tính độ cứng của lò xo?
Hướng dẫn:
+ Ta có

 Fdh max  k (l  A)  2
lmax  lmin

F
4
 dh min  k (l  A)  2  A 

 k  50 N / m
2

l

l


l

A

14
m
ax
0


 Fdh max  Fdh min  2kA
lmax  l0  l  A  6

Trang 11

-2

t (10 s)

l(cm)


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và
chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2
là 4  (cm/s). Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có
cùng li độ lần thứ 5 là
A. 4,0 s.
B. 3,25 s.
C. 3,75 s.
D. 3,5 s
Câu 2: Hai mạch dao động điện từ LC lí tưởng đang
có dao động điện từ tự do với các cường độ dòng
điện tức thời trong hai mạch là i1 và i 2 được biểu
diễn như hình vẽ. Tổng điện tích của hai tụ điện
trong hai mạch ở cùng một thời điểm có giá trị lớn

nhất bằng
A.

4
C


B.

3
C


5
C


C.

D.

10
C


Câu 3: Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai
đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp (hình vẽ). Biết
tụ điện có dung kháng ZC, cuộn cảm thuần có
cảm kháng ZL
và 3ZL = 2ZC. Đồ thị

biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp
giữa hai đầu đoạn mạch AN và điện áp giữa hai
đầu đoạn mạch MB như hình vẽ. Điệp áp hiệu dụng giữa hai điểm M và N là
A. 173V.

B. 86 V.

C. 122 V.

D. 102 V.

Câu 4 : Lần lượt đặt điện áp u = U 2 cos  t (U không đổi, ω
thay đổi được) vào hai đầu của đoạn mạch X và vào hai đầu của
đoạn mạch Y; với X và Y là các đoạn mạch có R, L, C mắc nối
tiếp. Trên hình vẽ, PX và P Y lần lượt biểu diễn quan hệ công
suất tiêu thụ của X với ω và của Y với ω. Sau đó, đặt điện áp u
lên hai đầu đoạn mạch AB gồm X và Y mắc nối tiếp. Biết cảm
kháng của hai cuộn cảm thuần mắc nối tiếp (có cảm kháng ZL1
và ZL2) là ZL = ZL1 + ZL2 và dung kháng của hai tụ điện mắc
nối tiếp (có dung kháng ZC1 và ZC2) là ZC = ZC1 + ZC2.
Khi ω = ω2, công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB có giá trị gần
giá trị nào nhất sau đây?
A. 14 W.

B. 10 W.

C. 22 W.

D. 18 W.

Câu 5: Một học sinh xác định điện dung của tụ điện bằng
cách đặt điện áp u = U0cosωt (U0 không đổi, ω = 314 rad/s)
vào hai đầu một đoạn mạch gồm tụ điện có điện dung C
1
2
2
1
mắc nối tiếp với biến trở R. Biết 2  2 
. 2;
2 2
U
U o C R
Uo
trong đó, điện áp U giữa hai đầu R được đo bằng đồng hồ
đo điện đa năng hiện số. Dựa vào kết quả thực nghiệm được
cho trên hình vẽ, học sinh này tính được giá trị của C là
A. 1,95.10 −3 F.

B. 5,20.10 −6 F.

C. 5,20.10−3 F.
Trang 12

D. 1,95.10 −6 F.


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Câu 6: Đặt điện áp u  200 2 cos(100t  0,132) vào
2 đầu đoạn mạch gồm: biến trở R, cuộn cảm thuần L
và tụ điện C người ta thu được đồ thị biểu diễn quan hệ
giữa công suất mạch điện với điện trở R như hình
dưới. Giá trị x, y, z lần lượt là:
A. 400, 500, 40

B. 400, 400, 50

C. 500, 40, 50

D. 50, 400, 400

Câu 7: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng
tần số trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông
góc với nhau (O là vị trí cân bằng của cả hai
chất điểm). Biết đồ thị li độ dao động của hai
chất điểm theo thời gian lần lượt là x và y
(hình vẽ). Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất
điểm khi dao động là
A. 3 2 cm

B.

3 cm

C. 2 3 cm

D.

2 cm

Câu 8: Đặt điện áp u  U 2 cos(100t  ) lần lượt vào 2 đầu đoạn mạch gồm X và Y. Mỗi mạch
đều chứa các phần tử: biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C mắc nối tiếp người ta thu được đồ
thị biểu diễn quan hệ giữa công suất mạch điện với điện trở R như hình dưới. Giá trị x là:
A.

200
3

B. 180 3
C. 200 3
D.

180
3

Câu 9: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa
cùng phương cùng tần số có phương trình là x1, x2, x3 . Gọi
x12 =x1 +x2 , x13 =x1 +x3 , x23 = x2 + x3 như hình vẽ. Khi li
độ dao động x = x1+x2 +x3 đạt giá trị cực tiểu thi li độ dao
động x3 là
A. – 3cm và đang đi theo chiều dương
B. – 3cm và đang đi theo chiều âm
C. 3 cm và đang đi theo chiều dương
D. 3 cm và đang đi theo chiều âm.
Trang 13


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Câu 10: Đặt một điện áp xoay chiều:
u  10 2 cos(100t  ) vào 2 đầu đoạn mạch gồm: biến trở
R, cuộn cảm thuần L và tụ xoay C mắc nối tiếp. Trong quá
trình thay đổi R, C, người ta luôn điều chỉnh sao cho công
suất tiêu thụ của mạch không đổi và thu được đồ thị như hình
dưới. Biết tại R  x thì Z C  50 . Giá trị công suất đó và
cảm kháng lần lượt là:
A. 80, 100

B. 100, 80

C. 50, 100

D. 100, 50

Câu 11: Cho đoạn mạch AB gồm: biến trở R, cuộn cảm
thuần L và tụ dung C mắc nối tiếp, với L 
C

103
(F).
7, 2

Đặt

điện

áp

1
(H) ,


xoay

chiều

u  U 2 cos(120 t) vào 2 đầu A, B. Hình vẽ bên dưới
thể hiện quan hệ giữa công suất tiêu thụ trên AB với điện
trở R trong 2 trường hợp: mạch điện AB lúc đầu và mạch
điện AB sau khi mắc thêm điện trở r nối tiếp với R.
Giá trị Pm là:
A.

200

B. 200 3

3

C.

150

D. 100 3

3

Câu 12: Lần lượt đặt vào 2 đầu đoạn mạch xoay
chiều RLC (R là biến trở, L thuần cảm) 2 điện áp
xoay chiều: u1  U1 cos(1t  1,32) và
u2  U 2 cos(2 t  1,32) , người ta thu được đồ thị

công suất mạch điện xoay chiều toàn mạch theo
biến trở R như hình dưới. Giá trị gần nhất của y là:
A. 90

B. 100

C. 110

D. 120

ĐÁP ÁN

1D

2C

3B

4C

5D

6A

7A

Trang 14

8A

9A

10D

11A

12B


Trng THPT Pleiku -Gia Lai

Vn 3

Giỏo viờn: Nguyn Vn Honh

S PHC TAM THC BC HAI BT NG THC Cễ-SI
(p dng cho bi toỏn tng hp)
KIN THC TON HC

1. S phc
+ S phc l s cú dng z = a + ib, a, b R, i2 = -1. Tp tt c cỏc s phc kớ hiu l C.
+ Rez = a gi l phn thc, Imz = b gi l phn o ca s phc z.
+ Dng lng giỏc v dng m: z = r (cos + i sin) = rei . Kớ hiu z r nờn
trong Vt lớ ta s dng kớ hiu ny tớnh biờn v pha), vi r a 2 b 2 l mụun ca

s phc tng ng vi biờn A

z z ( a a ) i (b b )
1
2
1
2
1 2
+ Phộp toỏn s phc: z1.z2 (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2 b1 )
z
(a a b b ) i((a2b1 a1b2 )
1 1 2 1 22
a2 b22
z2
Lu ý:

- Nu biu din trờn vũng trũn v xột ti im M: z = xM + yM . i. Khi ú nu vt dao ng
iu hũa vi x A cos(t 0 ) thỡ z = Acos(t + 0)+ Asin(t + 0). i = Aei (t ) )
- Mt dao ng iu hũa hay mt i lng bin thiờn iu hũa x A cos(t 0 ) cú th
0

i ( t )

0
A(t 0 ) .
biu din bng s phc dng lng giỏc nh sau: z Ae
- Tng hp dao ng iu hũa cựng phng cựng tn s ng ngha vi vic cng cỏc s
phc: z z1 z2 A A11 A22 ti thi im t = 0).

2. Tam thc bc hai

Cho tam thc bc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c.
+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol.
+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
b

+ Toạ độ đỉnh: x = ; y
( = b2 - 4ac)
2a
4a
+ Nếu = 0 thì phương trình y = ax2+ bx + c = 0 có nghiệm kép.
+ Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
3. Bt ng thc Cụ-si

Vi a, b, c l cỏc s thc khụng õm, khi ú ta cú:
a + b 2 ab ; a + b + c 3 3 abc (Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau)
H qu:
+ Khi tích 2 số không đổi, tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau.
+ Khi tổng 2 số không đổi, tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau.
Trang 15


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hồnh

ỨNG DỤNG VẬT LÍ
DẠNG 1: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHO PHẦN DỊNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

Số phức có thể viết a + bi (dạng Đề-các) hoặc r  φ (dạng tọa độ cực).

Có thể xem:
+ R như một số phức nhưng chỉ có phần thực a (vì nằm trên trục hồnh).
+ ZL, ZC là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung); ZL nằm ở phần dương
nên được biểu diễn là bi, ZC nằm ở phần âm nên được biểu diễn là – bi, với i là số ảo.
+ u hoặc i cũng được xem là số phức nhưng viết dưới dạng tọa độ cực r  φ.
Khi máy tính hiển thị dạng a + bi , cho ta biết phần thực và phần ảo.
Khi máy tính hiển thị dạng r  φ, cho ta biết độ dài (modul) và góc φ (argumen) của số
phức.
Tổng trở

Biểu thức
Z  R  ( Z L  ZC )

Dạng phức trong máy tính fx-570
Z  R  i(Z L  ZC )  Z 

Dòng điện

i  I 0cos(t  i )

i  I 0i

Điện áp

u  U0 cos( t   u )

u  U0 u

Định luật Ơm

2

I

2

U
u
nhưng i 
Z
Z

i

u
Z

 u  i.Z  I 0 i .R  i(Z L  ZC )  U 0 u

*Ứng dụng viết biểu thức điện áp, dòng điện tức thời:


 u  i .Z  I 0   i . R  i ( Z L  Z C )  U 0   u

 u  u1  u2  (U 01  1 )  (U 02   2 )

U 0  u
i  u 
 I 0  i


R

i( Z L  Z C )
Z

*Ứng dụng để tìm hộp kín khi cho biểu thức dòng hoặc điện áp:
Z

 a  R : điện trở thuần
u U 0 u

 R  ( Z L  ZC )i  a  bi  
i I 0 i
 b  Z L  ZC : trở kháng

Nếu đoạn mạch chỉ có một thành phần trở kháng (cảm kháng L hoặc dung kháng C) thì
phần ảo dương: đoạn mạch chứa L, phần ảo âm đoạn mạch chứa C.
DẠNG 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA

+ Mỗi dao động điều hòa x  A cos(t   ) có thể biểu diễn bằng một số phức. Khi đề cho x0,
v0,  ứng với (t=0), ta dùng số phức tính
x  x0 

v0
shift 23 
i 
 A 


Hoặc

x

a 0 v0
shift 23 
 i 
 A 
2 

Trang 16

.


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

+ Phương pháp cộng số phức tổng hợp dao động:
 x  x1  x2
 x2  x  x1  A  A11
x  x1  x2  ...  A11  A2 2  ..  
 x  x1  x2  x3  x3  x  x1  x2  A  A11  A2 2
* Bấm máy tính bằng số phức (máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus)
Các bước

Nút lệnh

Kết quả

Chỉ định dạng nhập / xuất toán
Thực hiện phép tính về số phức
Dạng toạ độ cực: r  A
Tính dạng toạ độ đề các: a + ib
Chọn đơn vị đo góc là độ: (D)
Chọn đơn vị đo góc là Rad: (R)
Để nhập ký hiệu góc: 

Bấm
Bấm
Bấm
Bấm
Bấm
Bấm
Bấm

Màn hình xuất hiện Math
Màn hình xuất hiện CMPLX
Hiển thị số phức kiểu r 
Hiển thị số phức kiểu a+bi
Màn hình hiển thị chữ D
Màn hình hiển thị chữ R
Màn hình hiển thị dấu 

SHIFT MODE 1
MODE 2
SHIFT MODE  3 2
SHIFT MODE  3 1
SHIFT MODE 3
SHIFT MODE 4

SHIFT (-)

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có


phương trình là x1, x2, x3. Biết x12  6cos( t  )cm ; x 23  6cos( t  )cm ;
6
3

x13  6 2 cos( t  )cm . Khi li độ của dao động x1 đạt giá trị cực đại. Tìm li độ của dao
4
động x3.
Hướng dẫn:

x12  x13  x 23

 3 6
2
12
x  x 23  x12

x 3  13
 3 2
2
12

+ Ta thấy x3 sớm pha hơn x1 góc  x1 max thì x3 = 0.
2

+ Ta có: x1 

Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có


phương trình là x1, x2, x3. Biết x12  6cos( t  )cm ; x 23  6cos( t  )cm ;
6
3

x13  6 2 cos( t  )cm . Tính x biết x 2  x12  x 23 .
12
Hướng dẫn:

x12  x13  x 23

 6
2
6
x  x 23  x12

x 3  13
 6
2
3

+ Ta có: x1 

+ Suy ra A  A12  A 23  6 2cm

Trang 17

Trng THPT Pleiku -Gia Lai

Giỏo viờn: Nguyn Vn Honh

Bi 3: Mt mch in xoay chiu mc ni tip gm in tr thun R =15, cun thun cm
cú cm khỏng ZL = 25 v t in cú dung khỏng Zc = 10 . Nu dũng in qua mch cú

biu thc i 2 2cos(100 t+ )( A) . Vit biu thc in ỏp gia hai u mch.
6

Hng dn:

5
+ p dng s phc trờn: u i.Z (2 2 ).(15 i (25 10)) 60
6

+ Biu thc in ỏp: i 60cos(100 t+

12

5
)(V )
12

Bi 4: Cho mạch điện như hình vẽ. E = 12V; r = 4R là biến trở. Hãy tìm Rx để công

suất mạch ngoài cực đại.

E,r

Hng dn:

E
rR
E2
E2
E2
2
+ Công suất: P = I R = 2

2
2
r
y
r


R 2r R

R
R

+ Dòng điện:

I=

R

+ Pmax ymin.
+ Theo BĐT Côsi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
r
E2
. Vậy khi R = r = 4 thì Pmax =
Ymin R
9(W)
4r
R
Bi 5: Có hai điện tích điểm q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A, B trong không khí

( = 1). Cho biết AB = 2d. Hãy xác định cường độ điện trường tại M trên đường trung
trực AB cách đường thẳng AB một khoảng x. Tìm x để EM đạt cực đại.
Hng dn:


* Xác định E M


+ E M E 1M E 2 M ; với E1M = E2M = k


E 2M

q
d x2


EM

2

M


+ Dùng quy tắc tổng hợp vectơ E M AB hướng ra xa


q1

AB.



A

Trang 18


E 1M

x
d



H

d

B


Trng THPT Pleiku -Gia Lai

+ EM = 2E1M cos =

Giỏo viờn: Nguyn Vn Honh

2kq
x
x
.
2kq.
2
3
d x
d2 x 2
(d 2 x 2 ) 2
2

(a)

* Tìm vị trí M:
- Theo BĐT Côsi ta có:
3
d2 d2 2 3 d4 x 2
3 3 2

x 3
d2 x 2 2
.d .x (b)
2 2
4
2
4kq
+ Từ (a) và (b) EM
.
3 3 d2
4kq
d
+ Vậy EM(Max) =
khi
x
=
.
3 3 d2
2
Bi 6: Một con bọ dừa đậu ở đầu B của một thanh cứng mảnh
A
AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức tường thẳng
đứng (Hình vẽ). Vào thời điểm mà đầu B của thanh bắt đầu
chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi v
thì con bọ bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u
Con bọ dừa
đối với thanh. Trong quá trình bò trên thanh, con bọ đạt được độ
cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn. Cho đầu A của thanh luôn B
tỳ lên tường thẳng đứng.

Ta có d2 + x2 =



Hng dn:
+ Xét (0 < t <

L
L
) và (t )
u
v


u

+ Khi B di chuyển 1 đoạn s = v.t thì con bọ đi được l = u.t


v


vv

u.t L2 v 2 t 2
+ Độ cao mà nó đạt:
h = l. sin =
.

L
u 22 24 u
h=
L t v t
y v hmax khi y = ymax.
L
L
L4
L2
+ y = -v2X2 + L2X (với X = t2 > 0). yMax =
tại
X

4v 2
2v 2



h

(y là tam thức bậc 2 có a = -v2 < 0 ymax tại đỉnh Parabol).
u
uL
+ Vậy độ cao cực đại con bọ dừa đạt được là: hMax =
y Max
.
L
2v
Bi 7: Cho on mch xoay chiu c t vo in ỏp
u = Uo cost. Cun dõy thun cm. Xột in ỏp hiu

dng UL gia hai u cun dõy. Ln lt cho bin thiờn A
cỏc i lng in (R, L, C, ). Tỡm giỏ tr cỏc i lng
L, U L max v biu thc UL max ng vi cỏc i lng trờn.

Hng dn:
Trang 19

R

L

C

B


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

+ Cho L biến thiên từ 0 đến  (rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
Sử dụng tính chất cực trị của tam thức bậc hai:
- Ta có:
UL  ZLI 

Z LU
R 2  (Z L  Z C ) 2

U



R 2  Z C2 2 Z C

1
ZL
Z L2

R

A

B

(1)


A min  

4a

o

2



- Suy ra: A = ax + bx + 1. Đồ thị của tam
thức bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh

ứng với Amin (bề lõm hướng lên).
- Khi Amin thì U L max :

và

C

A


R 2  Z C2 2 Z C
A


1

Z L2
ZL

Đặt 
 x  1 ; a  R 2  Z 2  0; b  2 Z
C
C

ZL

- Khi đó: x  

L

x

b
2a

2Z C
b
1
R2
1



Z

Z

 L  R 2C 
L
C
2
2
2a
Z L 2( R  Z C )
ZC
C 2

Amin  

- Từ (1) => U L max 

- Vây: L  R 2C 

 4( R 2  Z C2 )  4 Z C2
R2


4a
4( R 2  Z C2 )
R 2  Z C2

U R 2  Z C2
R

U R 2  Z C2
1
=>
U

L max
C 2
R

+ Cho  biến thiên từ 0 đến  (rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
- Ta có:

UL  ZLI 

LU
R 2  ( L 

1 2
)
C



 2 CLU
R 2 C 2 2  ( LC 2  1) 2
A

=> U L 

CLU
2

1
R C 2  2 LC

 L2 C 2
4
2


1
R 2 C 2  2 LC
A


 L2 C 2


4
2


Đặt 
 x  1 ; b  R 2 C 2  2 LC ; c  L2 C 2

2

(1)


Amin  

4a

o

2

- Suy ra: A = x + bx + c. Đồ thị của tam thức
bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh ứng với
Amin (bề lõm hướng lên).
Trang 20



b
2a

x


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

- Khi Amin thì U L max.
- Khi đó: x  

và

b
1
2 LC  R 2 C 2
 2 
 
2a
2


Amin  

- Từ (1) => U L max 
- Vây:  

2
2 LC  R 2 C 2

 R 2 C 2 ( 4 LC  R 2 C 2 )


4a
4

2 LU
R 4 LC  R 2 C 2

2
2 LU
=> U L max 
2 2
2LC  R C
R 4 LC  R 2 C 2

Bài 8: Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp

u = Uo cost. Cuộn dây thuần cảm.Xét điện áp hiệu dụng
UC giữa hai đầu tụ điện. Lần lượt cho biến thiên các đại

L

R

A

C

B

lượng điện (R, L, C, ). Tìm giá trị các đại lượng C,  để UC max và biểu thức UC max

ứng với các đại lượng trên.
Hướng dẫn:
+ Cho C biến thiên từ 0 đến  (rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.

- Ta có:

Z CU

U C  ZC I 

2

R 2  (Z L  Z C ) 2



R

A

Sử dụng tính chất cực trị của tam thức bậc hai:
U
R 2  Z L2 2 Z L

1
ZC
Z C2

L

C

B

(1)
A

2
L


R Z
2Z L

1
A 
2
ZC
ZC

Đặt 
 x  1 ; a  R 2  Z 2  0; b  2 Z
L
L

ZC

- Suy ra: A = ax2 + bx + 1. Đồ thị của tam
thức bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh
ứng với Amin (bề lõm hướng lên).


A min  

4a

o



2a

- Khi Amin thì UC max :
- Khi đó: x  

b

2Z L
b
1
R2
L



Z

Z

C  2

C
L
2
2
2a
Z C 2( R  Z L )
ZL
R  L2 2
Trang 21

x


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

và

Amin  

- Từ (1) => U C max 

- Vây: C 

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành


R2
 2
4 a R  Z L2

U R 2  Z L2
R

U R 2  Z L2
L
=>
U

C max
R 2  L2 2
R

+ Cho  biến thiên từ 0 đến  (rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
- Ta có:

U

U C  ZC I 

C R 2  ( L  

=> U C 

1 2
)
C

U



2

R C   ( LC 2  1) 2

U
2

2

4

2

2

2

2

2

A

(1)

L C   ( R C  2 LC )  1

 A  L2 C 2 4  ( R 2 C 2  2 LC ) 2  1
Đặt 

2
2 2
2 2
 x   ; b  R C  2 LC ; a  L C

- Suy ra: A =a x2 + bx + 1. Đồ thị của tam thức
bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh ứng với
Amin (bề lõm hướng lên).


Amin  

4a

o

- Khi Amin thì UC max.

- Khi đó: x  

và

b
2 LC  R 2 C 2
 2 
 
2a
2 L2 C 2

Amin  

- Từ (1) => U C max 

- Vây:  

1
R2
 2 
LC 2 L

1 1 R2
( 
)
L C 2L

 R 2 (4 LC  R 2 C 2 )

4a
4 L2
2 LU

R 4 LC  R 2 C 2

1 1 R2
2LU
( 
) => U C max 
L C 2L
R 4 LC  R 2 C 2

Lưu ý: Biểu thức UC max giống UL max khi  biến thiên.
--------------------------------------------------------------------------------------

Trang 22



b
2a

x


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

PHẦN III
KẾT LUẬN
Với kiến thức vốn có và tiếp thu được trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng

trình bày tương đối hoàn chỉnh lí thuyết phần toán học cơ bản - cơ sở để áp dụng giải
bài tập môn vật lí. Đặc biệt là hệ thống bài tập áp dụng cho từng mảng kiến thức.
Hy vọng chuyên đề này giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc sử dụng
kiến thức toán học vào giải bài tập vật lí.
Mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong các em học sinh và quý đồng nghiệp góp ý để chuyên đề thực sự là tài liệu
tham khảo bổ ích cho các em học sinh. Xin trân trọng cảm ơn!
Pleiku, ngày 17 tháng 4 năm 2016

Người viết

Nguyễn Văn Hoành

Trang 23


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Trần Văn Dũng. Toán học cơ bản . NXB ĐH Quốc gia.
2/ Nguyễn Đình Thanh – Nguyễn Phan Dũng . Toán học cao cấp . NXB Y học.
3/ Nguyễn Anh Văn.Chuyên đề bồi dưỡng HSG. NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh.
4/ Đậu Thế Cấp. Bài tập hàm biến phức. NXB Giáo dục.
5/ Hoàng Quý. Toán học cao cấp- Tập 1. NXB Giáo dục./.

Trang 24


Trường THPT Pleiku -Gia Lai

Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

MỤC LỤC
Phần I: MỞ ĐẦU …………………………………………………..Trang 1
Phần II: NỘI DUNG …………………………………………...…..Trang 2

Vấn đề 1 Tích phân ………………………………………….........Trang 3

+ Bài tập …………………………………………………………...Trang 3
Vấn đề 2 Đồ thị hàm số………………...………...……………….Trang 6

+ Bài tập ………...………...……………………………………….Trang 9
+ Bài tập trắc nghiệm ………...…………………...……………….Trang 12
+ Đáp án ………...………...……………………………………….Trang 14
Vấn đề 3 Số phức – Tam thức bậc hai – Bất đẳng thức Cô-si .…....Trang 15

+ Bài tập ………...………...………………………….....……....…Trang 17
Phần III: KẾT LUẬN…………………………..…………………..Trang 23

Trang 25