nhị thức newton ôn thi đại học

THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON
***
Lí thuyết cơ bản
1. Công thức nhị thức Newton :
n

(a  b)

n





k

C n .a

nk

.b

k

 C n .a

 C n .a

0

n

1

n 1

 C n .a

n 1

.b  C n . a
2

n2

n 1

.b  .....   C n
2

. a .b

n 1

 C n .b
n

n

k 0

2. Chú ý :
+ Số hạng tổng quát : T
+ Hệ số của số hạng :

k

nk

.b

k

nk

Cn  Cn
k

CHÚ Ý: TÀI LIỆU NÀY KÈM VIDEO KHÓA HỌC 2017
Các dạng toán thường gặp ở phần Nhị thức Newton:
BÀI TOÁN 1: Tìm hệ số của xK trong khai triển
BÀI TOÁN 2: Tìm hệ số lớn nhất, số hạng chính giữa trong khai triển
BÀI TOÁN 3: Tìm hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ
BÀI TOÁN 4: Tính tổng, hiệu, chứng minh trong khai triển.

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 1


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

BÀI TOÁN 1: Tìm hệ số của xK trong khai triển
DẠNG 1: Thầy đã trình bày trong Video trước rồi các em nhé
/>63529065/1662969680698467/?type=2&theater
DẠNG 2: Nâng cao hơn chút
Tìm hệ số của x5 trong khai triển [(1-2x(1-x)]8
Giải cái này mà giải bằng tay thì nhìn chung là khá mất thời gian tuy nhiên để
các em hiểu về bản chất toán học thầy vẫn giải theo cả hai
TỰ LUẬN:
8

[1  2 x (1  x ) ] 
8



k

C8 1

8k

[  2 x (1  x ) ]

k

0
8





k

C8 1

8k

[  2 x (1  x ) ]

k

k 0
8





C 8 (  2 ) x (1  x )
k

k

k

k

k 0
8





k

C8 (  2) x
k

k

k 0
8



k



km

( x)

m

km

( x)

m

m

Ck 1

m0
k



C k C8 (  2) x 1
m

k

k

k

k 0 m0
8



k



C k C8 (  2) 1
m

k

k

km

(  1) ( x )
m

km

k 0 m0
8



k



C k C 8 (  2 ) (  1) ( x )
m

k

k

m

km

k 0 m0

Ta thấy hệ số của

k  m  5

x5=>  0  m  k
0  k  8


Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 2


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

 k  3; i  2   C 8 C 3 (  2 ) (  1)

4
1
4
1
 k  4 ; i  1   C 8 C 4 (  2 ) (  1)

5
0
5
0
k  5; i  0   C 8 C 5 (  2 ) (  1)

3

2

3

2

Vậy hệ số của x5 trong khai triển là: -7616.
BÀI TOÁN 2: Tìm hệ số lớn nhất, số hạng chính giữa trong khai triển
Xét

n

(a  b)

n





k

Cna

nk

b

k

k 0

Số hạng chính giữa: (a+b)n
Nếu n chẵn thì số hạng chính giữa là:

k 

n
2

Nếu n lẻ thì số hạng chính giữa là:

n 1


k 

2

n
1
k 

2

Tìm số hạng chính giữa trong khai triển
a)

(x 

1

)

b) (2x+3y)25

10

x

Hướng dẫn:
a)

(x 

1

)

10

x

(x 

1

10

)

10

x





10
k

C 10 x

k 0

10  k

x

k





k

C 10 x

10  2 k

k 0

Số hạng chính giữa tương tứng với k=5=>Hệ số của số hạng chính giữa là
C 10  2 5 2
5

b) (2x+3y)25

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 3

THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

25

2x

 3y

25





k

k

C 25 ( 2 x ) (3 y)

25 k

K 0
25





k

k

C 25 ( 2 x ) (3 y)

25 k

K 0
25





k

k

C 25 2 (3)

25 k

k

x y

25 k

K 0

k=12=> Hệ số:

C 25 2 3

k=13=> Hệ số:

C 25 2 3

12

12

13

13

13

12

BÀI TOÁN 3: Tìm hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ
Xét:


a (  N )
a
a



 Z    N



Q    Z

Chúng ta xem ví dụ nhé:
Tìm số hạng nguyên trong khai triển 
Hướng dẫn: 

3 

3

2



9

9k

9





k

C9 3

2

3 

3

2



9

k

23

k 0

Để số hạng đó nguyên=>
9  k
 N

2

k  3
k

 
  N
k  9
3
0  k  9



Vậy số hạng đó là: 4536 và 8

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 4


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

BÀI TOÁN 4: Tính tổng, hiệu, chứng minh trong khai triển.
(1  x )  C n  C n x  C n x  ...  C n x
n

o

1

2

2

n

n

(1  x )  C n  C n x  C n x  ...  (  1) C n x
n

o

(1  x )

2n

(1  x )

2n

1

 (1  x )

2

n

n

n

2n

 C 2 n  C 2 n x  C 2 n x  ....  C 2 n x
0

2
 (1  x )

2

2

2

4

4

2n

2n

2n
2 n 1

 C 2 n  C 2 n x  C 2 n x  ....  C 2 n
1

2

3

3

5

5

x

2 n 1

Ngoài ra các em còn cần nhớ trường hợp: Tích phân và Đạo hàm 2 vế.
(1  x )

 C n  C n x  C n x  ...  C n x

n

o

1

2

n

2

n

Khi đạo hàm 2 vế ta sẽ được:
n (1  x )

n 1

 C n  2 C n x  3 C n x  ...  n C n x
1

2

3

n

2

n 1

Khi tích phân 2 về ta sẽ được:

 (1 

x ) d x   ( C n  C n x  C n x  ...  C n x ) d x  xC n  C n
n

o

1

2

VD Tính giá trị biểu thức:
Lời giải : Ta có:  1  x 
1  x 

2

n

n

o

1

x

2

2

 Cn

2

A  4 C 1 0 0  8 C 1 0 0  1 2 C 1 0 0  ...  2 0 0 C 1 0 0
2

4

6

100

 C 1 0 0  C 1 0 0 x  C 1 0 0 x  ...  C 1 0 0 x

100

 C 1 0 0  C 1 0 0 x  C 1 0 0 x  C 1 0 0 x  ...  C 1 0 0 x

Lấy (1)+(2) ta được:  1  x 

1

2

0

1

2

100

 1  x 

100

2

100

2

3

 ...  C n

n

3

100

2

2

n 1

n 1

100

(2)

 2 C 1 0 0  2 C 1 0 0 x  2 C 1 0 0 x  ...  2 C 1 0 0 x
0

x

.

100

3

3

(1)

100

0

x

4

4

100

100

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:
1 0 0 1  x 

99

 1 0 0 1  x 

Thay x=1 vào => A

99

 4 C 1 0 0 x  8 C 1 0 0 x  ...  2 0 0 C 1 0 0 x

 1 0 0 .2

2

99

4

3

100

99

 4 C 1 0 0  8 C 1 0 0  ...  2 0 0 C 1 0 0
2

4

100

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 5


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

BÀI TỰ LUYỆN VÀ CÓ LỜI GIẢI

 2 .x 


VD1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
rằng

n

, biết

n 1

An  C n 1  4 n  6
2

Lời giải: Giải phương trình

n ( n  1) 

n ( n  1)

; Điều kiện: n ≥ 2 ; n  N.

n 1

An  C n 1  4 n  6
2

Phương trình tương đương với


1 

x 

( n  1) !

n ( n  1) 

2 !( n  1) !

 4n  6

 4n  6

2

 n2 – 11n – 12 = 0  n = - 1 (Loại) v n = 12.
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:


2x 


1 

x 

12

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 =

.

k

C 12 ( 2 x )

12  k

 1 


 x 

k

;

k  N, 0 ≤ k ≤ 12
Hay Tk+ 1 =

C 12  2 x 
k

12  k



.x

k
2

24  3 k

=

k

C 1 2 .2

12  k

.x

2

.

k  N , 0  k  12
 k  8

 24  3k  0

Số hạng này không chứa x khi

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 =

8

C 12 2

4

.

 7920

VD 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết:

An  8 C n  C n  4 9
3

2

1

.

Lời giải: Điều kiện n  4
Ta có  x 2

 2 
n

n

C

k
n

x

2k

2

nk

k 0

Hệ số của số hạng chứa x8 là

4

Cn 2

n4

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 6


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

Hệ số của số hạng chứa x8 là
Ta có:

4

Cn 2

n4

An  8 C n  C n  4 9
3

2

1

 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7
Nên hệ số của x8 là

C 7 2  280
4

3

VD3 Cho khai triển đa thức:  1  2 x 
Tính tổng:

2013

 a o  a 1 x  a 2 . x  ...  a 2 0 1 3 . x
2

S  a 0  2 a 1  3 a 2  ...  2 0 1 4 a 2 0 1 3

Lời giải: Ta có:  x (1  2 x ) 2 0 1 3  

 a 0  2 a 1 x  3 a 2 x  ...  2 0 1 4 a 2 0 1 4 x
2

2013

 (1  2 x )

 a 0  2 a 1 x  3 a 2 x  ...  2 0 1 4 a 2 0 1 3 x

2013

2013

Nhận thấy:

 4 0 2 6 x (1  2 x )

ak x

 ak ( x)

k

k

1012

2

do đó thay

VD4 Cho khai triển:  1 
a6

2x

10

x

2

10

2

x  x 1
2

1

3

( 2 x  1) 
2

( x  x  1)
2

2



1

(1  2 x )

14



16

3

14

. Hãy tìm giá

6

là:

6



12

8

9

(1  2 x )

10

16

x

là:

6

6

6

2 C 14

; Trong khai triển  1  2 x  hệ
12

6

2 C 12

Trong khai triển  1  2 x  hệ số của
10

Vậy hệ số

nên

(1  2 x )

14

x

2

4

Trong khai triển  1  2 x  hệ số của
số của

2213

 x  1   a o  a 1 x  a 2 x  ...  a 1 4 x

4
2x

(*).

.

Lời giải: Ta có
1 

.

vào cả hai vế của (*) ta có:

x  1

S  a 0  2 a 1  3 a 2  ...  2 0 1 4 a 2 0 1 3  1 3 4 3 .3

trị của

2013

a6 

1
16

2 C 14 
6

6

3
8

2 C 12 
6

6

9
16

x

6

là:

6

6

2 C 10

2 C 10  4 1 7 4 8 .
6

6

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 7


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

VD5 Tính giá trị biểu thức:
Lời giải: Ta có:  1  x 

100

1  x 

A  4 C 1 0 0  8 C 1 0 0  1 2 C 1 0 0  ...  2 0 0 C 1 0 0
2

4

6

100

 C 1 0 0  C 1 0 0 x  C 1 0 0 x  ...  C 1 0 0 x
0

100

1

2

2

100

(1)

100

 C 1 0 0  C 1 0 0 x  C 1 0 0 x  C 1 0 0 x  ...  C 1 0 0 x

Lấy (1)+(2) ta được:  1  x 

0

1

2

100

 1  x 

100

2

3

.

3

100

(2)

100

 2 C 1 0 0  2 C 1 0 0 x  2 C 1 0 0 x  ...  2 C 1 0 0 x
0

2

2

4

4

100

100

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:
1 0 0 1  x 

99

 1 0 0 1  x 

Thay x=1 vào => A

99

 4 C 1 0 0 x  8 C 1 0 0 x  ...  2 0 0 C 1 0 0 x
2

 1 0 0 .2

99

4

3

100

99

 4 C 1 0 0  8 C 1 0 0  ...  2 0 0 C 1 0 0
2

4

100

VD6 : Chứng minh rằng :
a.

C n  C n  C n  ...  C n  2

b.

C n  C n  C n  ...  (  1) C n  0

0

1

0

n

2

1

n

2

n

n

n

Hướng dẫn :

(1  x )

n





k

C n .x

k

n 1

 C n  C n . x  C n . x  .....  C n

0

1

2

2

.x

n 1

 C n .x
n

n

k 0

Thay x=1 vào khai triển trên ta có :
n

(1  1)

n





n 1

C n .1  C n  C n .1  C n .1  .....  C n
k

k

0

1

2

2

.1

n 1

 C n .1
n

n

k 0



C n  C n  C n  ...  C n  2

Có

(1  x )

0

1

n

2

n

n
n





k

C n .x

 C n  C n . x  C n . x  .....  (  1)

k

0

1

2

2

n 1

n 1

Cn

.x

n 1

 (  1) C n . x
n

n

n

k 0

Thay x=1 vào khai triển trên ta có :
n

(1  1)

n





C n .1  C n  C n .1  C n .1  .....  (  1)
k

k

0

1

2

2

n 1

n 1

Cn

.1

n 1

 (  1) C n .1
n

n

n

k 0



C n  C n  C n  ...  (  1) C n  0
0

1

2

n

n

VD 7 : Tìm số hạng thứ 13 trong khai triển của biểu thức (3-x)15.
Hướng dẫn:

15

(3  x )

15





k

C 1 5 .3

nk

.(  1) . x
k

k

k 0

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 8


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

Với k=0 ta có số hạng thứ nhất.
Với k=12 ta có số hạng thứ 13.
Vậy số hạng thứ 13 là :

VD8 : Cho

P  (x 

3

)

16

12

3

C 1 5 .3 . x

12

.

(x  0)

x

Tìm hệ số của số hạng thứ 12.
Tìm số hạng chính giữa của khai triển.
Hướng dẫn :
P  (x 

3

16

)

16

x





k

C 16 .x

k 0

16  k

 3 
. 
 x 

k

16

  C 16 .x

k

16  k

.  3  .x
k

k

k 0

16

P 



k

C 16 .x

16  2 k

.3

k

k 0
16

a. Hệ số tổng quát của số hạng trong khai triển trên là : 

k

C 1 6 .3

k

k 0

Số hạng thứ 12 thì k=11
Hệ số của số hạng thứ 12 là:

11

C 1 6 .3

11

16

b. Số hạng tổng quát của khai triển là: 

k

k

C 1 6 .3 . x

16  2 k

k 0

Do k nhận giá trị từ 0 đến 16 nên số hạng chính giữa có k=8.
Vậy số hạng chính giữa của khai triển là:
C .3 . x
 C .3 .
8

1 6  2 .8

8

8

16

8

16

VD9: Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển của biểu thứ sau:
1

P  (
3

x



2

4

3

x )

17

(x  0)

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 9


THẦY NGUYỄN THẾ ANH

SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

Hướng dẫn:
17

C

P 

k
17

17

1

.(
3

k 0

)

x

17  k

.(

3

4

x )

k

C



2



k
17

2 (1 7  k )
3

.x



3k
4

k 0

17



C

k
17



.x

34



3

17 k
12

k 0

Số hạng tổng quát trong khai triển là :



k

C 17 .x

34



17 k

3

12

Số hạng độc lập với x là số hạng không chứa x. Nói cách khác, mũ của x bằng 0.
Nên



34



17k

3

 0  k  8

12

Vậy số hạng cần tìm là :

.

8

C 17

VD10: Xác định số hạng tổng quát trong khai triển:
28

P  (x

3

x  x

5

)

biết:

n

n 1

n2

Cn  Cn
n

 Cn

Hướng dẫn: Giải phương trình :
 1 n 

n ( n  1)

 79
n 1

Cn  Cn
n

n2

 Cn

 79

Điều kiện n  2

 79

2
 n  n  156  0
2

n  12
 
 n  12
n  13
28

P  (x

3

x  x

5

28 k

12

)

12





k

C 1 2 .( x

3

x)

12  k

.x

5

k 0

Ta có:

12

P 



k

C 12 .x

16 

104 k
15

k 0

Phần TRẮC NGHIỆM, thầy sẽ update VIDEO thêm cho các em để các em
hiểu rõ hơn
Chúc các em học tốt!
Thầy sẽ đồng hành với các em năm 2017 này

Thầy Nguyễn Thế Anh – 0986.683.218 – Faceboook: nguyentheanh.teacher

Trang 10