Khao sat ham so (DTDH)

Khảo Sát Hàm Số & Các Bài Toán Liên Quan
Trong Đề Thi Đại Học
(2010 – 2015)
Câu 1. (2015)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  x 3  3x
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x)  x 

4
trên đoạn [1;3]
x

1. Tập xác định là R,
y' = 3x2-3,
y' = 0  x = -1 hay x = 1
Đồ thị hàm số đạt 2 cực trị tại: A ( -1 ; 2 ) hay B ( 1 ; -2 )
lim y   và lim y   .
x 

x 

Bảng biến thiên

+

x
y’

0
y


+
+

-1

1

0



2
+
CĐ

-2
CT

Hàm số đồng biến trên 2 khoảng (∞; -1) và (1; +∞)
Hàm số nghịch biến trên (-1;1)
y" = 6x; y” = 0  x = 0. Điểm uốn I (0; 0)
Đồ thị :
y

2

1

-1

0 -2

2. f’(x) = 1 

4
x2

x

trên [1; 3] ta có : f’(x) = 0  x  2

f(1) = 5; f(2) = 4; f(3) =

13
f ( x)  4 ; max f ( x)  5 .
. Vậy : min
[1;3]
[1;3]
3

Câu 2. (Khối A – 2014)
Cho hàm số y =

x2
x 1

(1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = –x

bằng 2
a. Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


b. M(a; b) thuộc (C) → b =

a2
a 1

(với a ≠ 1)

Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = –x là d =

ab
12  12

 2 <=> |a +

a2
|=
a 1

2
<=> a² + 2 = 2|a – 1| <=> a² + 2 = 2a – 2 hoặc a² + 2 = –2a + 2
<=> a² – 2a + 4 = 0 (vô nghiệm) hoặc a = 0 hoặc a = –1
Tọa độ M cần tìm là (0; –2) hoặc (–2; 0).
Câu 3. (Khối B – 2014)

Cho hàm số y = x³ – 3mx + 1 (1), với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao
cho ΔABC cân tại A.
a. Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1.
b. Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao
cho ΔABC cân tại A.
Đạo hàm y’ = 3x² – 3m
Để hàm số có hai điểm cực trị B và C thì y’ phải có 2 nghiệm phân biệt <=> m >
0
Khi đó y’ có hai nghiệm là x1 = m ; x2 =  m
y(x1) = 1 – 2m m ; y(x2) = 1 + 2m m
Hai điểm cực trị B( m ; 1 – 2m m ) và C(  m ; 1 + 2m m )
ΔABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC
<=> AB² = AC²
<=> ( m  2)2  (2m m  2)2  ( m  2) 2  (2m m  2) 2
<=> 4 m  8m m  4 m  8m m
<=> 2m = 1 <=> m = 1/2
Câu 4. (Khối D – 2014)
Cho hàm số y = x³ – 3x – 2 (1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 9.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Tập xác định D = R
y’ = 3x² – 3; y’ = 0 <=> x = ± 1; y(1) = –4; y(–1) = 0
Giới hạn: lim y = –∞; lim y = +∞
x 

Bảng biến thiên:
x

–∞
–1
y’
+
0
y
0
–∞
Toán Tuyển Sinh Group

x 

–

1
0

+∞
+

+∞

–4
www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1), (1; +∞); hàm số nghịch biến trên
khoảng (–1; 1)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = –4; hàm số đạt cực đại tại x = –1; yCĐ = 0.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (2; 0), (–2; –4), (0; –2).

Vẽ đồ thị

b. Đạo hàm y’ = 3x² – 3
Gọi M(xo; yo) thuộc (C)
Ta có: y’(xo) = 3x o2  3  9 <=> xo = 2 V xo = –2
* Với xo = 2 → yo = 0 → M(2; 0)
* Với xo = –2 → yo = –4 → M(–2; –4)
Câu 5. (Khối A – 2013)
Cho hàm số y = –x³ + 3x² – 3mx – 1
(1), với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
b. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
a. Khi m = 0, y = –x³ + 3x² – 1
+ TXĐ: D = R;
+ Đạo hàm y’ = –3x² + 6x; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2; y(0) = –1; y(2) = 3.
+ Giới hạn: lim y = +∞; lim y = –∞.
x 

x 

+ Bảng biến thiên:
x
–∞
0
2
+∞
y’
–
0
+

0
–
y
+∞
3
–1
–∞
+ Hàm số đồng biến trên (0; 2); hàm số nghịch biến trên (–∞; 0) và (2; +∞).
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = –1; hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3.
+ Đồ thị đi qua các điểm: (–1; 3), (1; 1), (3; –1)

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


+ Đồ thị:
b. Ta có đạo hàm y’ = –3x² + 6x + 3m
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi y’ ≤ 0 với mọi x > 0
<=> m ≤ x² – 2x với mọi x > 0.
Xét hàm số g(x) = x² – 2x trên (0; +∞) có g’(x) = 2x – 2; g’(x) = 0 <=> x = 1
Bảng biến thiên x
0
1
+∞
g’
–
0
+
g

0
+∞
–1
Dựa vào bảng biến thiên suy ra m ≤ –1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 6. (Khối B – 2013)
Cho hàm số y = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx (1), m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = –1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng
AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = –1.
m = –1, ta có y = 2x³ – 6x
tập xác định D = R
y’ = 6x² – 6; y’ = 0 <=> x = 1 hoặc x = –1; y(1) = –4; y(–1) = 4
Giới hạn lim y = –∞; lim y = +∞;
x 

x 

Bảng biến thiên
x
–∞
–1
1
+∞
y’
+
0
–
0
+

y
4
+∞
–∞
–4
Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1), (1; +∞); hàm số nghịch biến trên
khoảng (–1; 1)
Hàm số đạt cực tiểu tại x =1; yCT = –4; hàm số đạt cực đại tại x = –1; yCĐ = 4.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (–2; –4), (0; 0), (2; 4).
Vẽ đồ thị

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng
AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
Ta có y’ = 6x² – 6(m + 1)x + 6m; y’ = 0 <=> x = 1 hoặc x = m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị <=> m ≠ 1.
Khi đó A(1; 3m–1), B(m;–m³+3m²).
Hệ số góc của đường thẳng AB là k=–(m– 1)².
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 <=> k = –1
<=> m = 0 hoặc m = 2.
Vậy m = 0 hoặc m = 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 7. (Khối D – 2013)
Cho hàm số y = 2x³ − 3mx² + (m – 1)x + 1 (1), với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm m để đường thẳng y = –x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

m = 1, hàm số trở thành y = 2x³ – 3x² + 1
Tập xác định R
Đạo hàm y’ = 6x² – 6x; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1; y(0) = 1; y(1) = 0
Giới hạn: lim y  , lim y  .
x

x

Bảng biến thiên
x
–∞
0
1
+∞
y’
+
0
–
0
+
y
1
+∞
–∞
0
hàm số đồng biến trên (–∞; 0), (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 1)
hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0.
đồ thị hàm số đi qua các điểm (–1/2; 0), (3/2; 1)
Vẽ đồ thị

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


b. Tìm m để đường thẳng y = –x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
phương trình hoành độ giao điểm –x + 1 = 2x³ − 3mx² + (m – 1)x + 1
<=> 2x³ – 3mx² + mx = 0 <=> x(2x² – 3mx + m) = 0
<=> x = 0 hoặc 2x² – 3mx + m = 0 (2)
Đường thẳng y = –x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt <=> phương
trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
<=> Δ = 9m² – 8m > 0 và m ≠ 0
<=> m < 0 hoặc m > 8/9.
Câu 8. (Khối A – 2012)
Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x² + m²
(1), với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam
giác vuông.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
m = 0, y = x4 – 2x²
Tập xác định: D = R
Đạo hàm y’ = 4x³ – 4x; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = –1;
y(0) = 0; y(1) = y(–1) = –1
Giới hạn: lim y  lim y = +∞
x

x

Bảng biến thiên:

x
–∞
–1
0
1
+∞
y’
–
0
+
0
–
0
+
y
+∞
0
+∞
–1
–1
Hàm số đồng biến trên (–1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (–∞; –1) và
(0; 1)
Đồ thị có hai điểm cực tiểu (–1; –1), (1; –1); có một điểm cực đại (0; 0)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (–2; 8), (2; 8).
Vẽ đồ thị:

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh

b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam
giác vuông.
Đạo hàm y’ = 4x³ – 4(m + 1)x; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x² = m + 1 (*)
đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị <=> phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ≠
0. <=> m > –1.
Khi đó ta có (*) <=> x =  m  1 ; y(  m  1 ) = m² – (m + 1)² = –2m – 1.
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A(0; m²), B(– m  1 ; –2m – 1), C( m  1 ; –2m
– 1)
AB  ( m  1; (m  1) 2 ), AC  ( m  1; (m  1) 2 )

Vì AB = AC nên ΔABC vuông <=> AB vuông góc với AC hay AB.AC = 0
<=> (m + 1)4 – (m + 1) = 0 <=> (m + 1)[(m + 1)³ – 1] = 0
<=> m = –1 (loại) hoặc m = 0
Câu 9. (Khối B – 2012)
Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 3m³ (1), với m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 48.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
m = 1, y = x³ – 3x² + 3
Tập xác định D = R
y’ = 3x² – 6x; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2; y(0) = 3; y(2) = –1.
Giới hạn: lim y = –∞; lim y = +∞;
x 

x 

Bảng biến thiên
x

–∞
0
2
+∞
y’
+
0
–
0
+
y
3
+∞
–∞
–1
Hàm số đồng biến trên (–∞; 0) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = –1; hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 3;
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (–1; –1), (1; 1), (3; 3).
Vẽ đồ thị
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 48.
y’ = 3x² – 6mx; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2m.
Hàm số có hai cực trị <=> m ≠ 0.
→ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0; 3m³) và B(2m; –m³)
Vì A thuộc Oy nên d(B, (OA)) = |2m|; mà OA = |3m³|

→ SOAB = (1/2)OA.d(B, (OA)) = 3m4. SOAB = 48 <=> m4 = 16 <=> m = 2 hoặc m
= –2
Vậy m = 2 hoặc m = –2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 10. (Khối D – 2012)
Cho hàm số y = f(x) =

2 3
2
x  mx 2  2(3m2  1)x  (1) có đồ thị là (Cm), với m là
3
3

tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị tại x1, x2 sao cho x1x2 + 2(x1 + x2) = 1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
Khi m = 1, hàm số trở thành y = f(x) = (2/3)x³ – x² – 4x + 2/3
Tập xác định R.
Đạo hàm y’ = 2x² – 2x – 4; y’ = 0 <=> x = –1 hoặc x = 2; f(–1) = 3; f(2) = –6
Giới hạn: lim y  , lim y  .
x

x

Bảng biến thiên
x
–∞
–1
2
+∞

y’
+
0
–
0
+
y
3
+∞
–∞
–6
Hàm số đồng biến trên (–∞; –1), (2; +∞) và hàm số nghịch biến trên (–1; 2).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = –6; hàm số đạt cực đại tại x = –1, yCĐ = 3.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (–5/2; –6), (7/2; 3), (1/2; –3/2)
Vẽ đồ thị:

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị tại x1, x2 sao cho x1x2 + 2(x1 + x2) = 1.
Đạo hàm y’ = 2x² – 2mx – 2(3m² – 1)
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,
x2. <=> 13m² – 4 > 0
<=> m >

2
2
hoặc m < –

13
13

Khi đó x1x2 + 2(x1 + x2) = 1 <=> –3m² + 2m = 0
<=> m = 0 (loại) hoặc m = 2/3
Câu 11. (Khối A – 2011)
Cho hàm số y =

x  1
2x  1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C)
tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
TXĐ: D = R\{1/2}
y’ =

1

(2x  1)2

< 0 với mọi x ≠ 1/2.

Hàm số nghịch biến trên (–∞; 1/2) và (1/2; +∞)
+ Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  
x

lim y = –∞ và

x (1/2)

x

1
→ tiệm cận ngang y = –1/2;
2

lim y = +∞ → tiệm cận đứng x = 1/2.

x (1/2)

Bảng biến thiên

Đồ thị đi qua các điểm (–1/2; –3/4), (0; –1), (1; 0), (3/2; –1/4)
Vẽ đồ thị:
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C)
tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d: y = x + m và (C) là x + m
= (–x + 1) / (2x – 1)
<=> (x + m)(2x – 1) = –x + 1 (do x = 1/2 không phải là nghiệm)
<=> 2x² + 2mx – m – 1 = 0 (*)
Δ’ = m² + 2m + 2 = (m + 1)² + 1 > 0 với mọi m. Suy ra d luôn cắt (C) tại hai

điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2.
Khi đó ta có: k1 + k2 =

1
(2x1  1)2



1
(2x 2  1)2



4(x1  x 2 )2  8x1x 2  4(x1  x 2 )  2
[4x1x 2  2(x1  x 2 )  1]2

Áp dụng định lý Viet suy ra k1 + k2 = –4m² – 8m – 6 = –4(m + 1)² – 2 ≤ –2 với
mọi m
→ k1 + k2 có giá trị lớn nhất bằng –2 khi chỉ khi m = –1.
Câu 12. (Khối B – 2011)
Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x² + m
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong
đó O là gốc tọa độ; A là điểm cực trị thuộc trục tung; B, C là hai điểm cực trị còn
lại.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
m = 1, y = x4 – 4x² + 1
Tập xác định D = R
Đạo hàm y’ = 4x³ – 8x; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x =  2 ; y(0) = 1; y(  2 ) = –3

Giới hạn: lim y  lim y = +∞.
x

x

Bảng biến thiên
x
–∞
– 2
y’
–
0
+
y
+∞

0
0
1

2

–

0

+

+∞
+∞

–3
–3
Hàm số đồng biến trên các khoảng (– 2 ; 0), ( 2 ; +∞); hàm số nghịch biến
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


trên các khoảng (–∞; – 2 ), (0; 2 ). Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 1) và các
điểm cực tiểu (  2 ; –3).
Đồ thị đi qua các điểm (–2; 1), (2; 1), (–1; –2), (1; –2)
Vẽ đồ thị

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong
đó O là gốc tọa độ; A là điểm cực trị thuộc trục tung; B, C là hai điểm cực trị còn
lại.
Ta có y’ = 4x³ – 4(m + 1)x; y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x² = m + 1.
(*)
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị <=> (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=> m
> –1.
Khi đó phương trình (*) <=> x =  m  1 ; đồ thị có ba điểm cực trị là A(0; m),
B(  m  1 ; –m² – m – 1), C( m  1 ; –m² – m – 1).
Nên OA = BC <=> m² = 4(m + 1) <=> m² – 4m – 4 = 0
<=> m = 2 + 2 hoặc m = 2 – 2 (thỏa điều kiện)
Câu 13. (Khối D – 2011)
Cho hàm số y =

2x  1
x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Tập xác định D = R\{–1}
Đạo hàm y’ =

1
(x  1) 2

> 0 với mọi x thuộc D.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1), (–1; +∞)
lim y  lim = 2; → tiệm cận ngang y = 2.
x

x

lim y = +∞; lim  y = –∞ → tiệm cận đứng x = –1.

x 1

x 1

Bảng biến thiên:

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh

Đồ thị đi qua các điểm (–3; 5/2), (–2; 3), (–3/2; 4), (–1/2; 0), (0; 1), (1; 3/2)
Vẽ đồ thị:

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng d: y = kx + 2k + 1 và đồ thị
(C) là kx + 2k + 1 = (2x + 1) / (x + 1)
<=> (kx + 2k + 1)(x + 1) = 2x + 1 (vì x = –1 không là nghiệm)
<=> kx² + (3k – 1)x + 2k = 0 (1).
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt <=> phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
<=> k ≠ 0 và Δ = (3k – 1)² – 8k² = k² – 6k + 1 > 0
<=> 0 ≠ k < 3 – 2 2 hoặc k > 3 + 2 2 (*)
Khi đó A(x1; kx1 + 2k + 1), B(x2; kx2 + 2k + 1) với x1, x2 là 2 nghiệm của (1)
d(A; Ox) = d(B, Ox) <=> |kx1 + 2k + 1| = |kx2 + 2k + 1|
<=> kx1 = kx2 (loại vì k ≠ 0 và x1 ≠ x2) hoặc kx1 + 2k + 1 = –(kx2 + 2k + 1)
<=> k(x1 + x2) + 4k + 2 = 0
<=> 1 – 3k + 4k + 2 = 0 <=> k = –3, thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy k = –3.
Câu 14. (Khối A – 2010)
Cho hàm số y = x³ – 2x² + (1 – m)x + m (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x12  x 22  x32  4
1. Bạn đọc tự khảo sát.
2. phương trình hoành độ giao điểm x³ – 2x² + (1 – m)x + m = 0
<=> (x – 1)(x² – x – m) = 0 <=> x = 1 hoặc x² – x – m = 0 (*)
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt <=> phương trình (*) có 2
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Δ  1  4m  0
<=> –1/4 < m ≠ 0.
1  1  m  0

nghiệm phân biệt x1 và x2 khác x3 = 1. <=> 

Khi đó x12  x 22  x32  4 <=> (x1 + x2)² – 2x1x2 + 1 < 4 <=> 1 + 2m + 1 < 4 <=> m
< 1.
Vậy –1/4 < m < 1 và m ≠ 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 15. (Khối B – 2010)
Cho hàm số y =

2x  1
x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng y = –2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho ΔOAB có diện tích bằng 3 , O là gốc tọa độ.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Tập xác định D = R\{–1}
1

Đạo hàm y’ =

(x  1) 2

> 0 với mọi x thuộc D.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1), (–1; +∞)
lim y  lim = 2; → tiệm cận ngang y = 2.
x

x

lim y = +∞; lim  y = –∞ → tiệm cận đứng x = –1.

x 1

x 1

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua các điểm (–3; 5/2), (–2; 3), (–3/2; 4), (–1/2; 0), (0; 1), (1; 3/2)
Vẽ đồ thị:
2. Tìm m để đường thẳng y = –2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho ΔOAB có diện tích bằng 3 , O là gốc tọa độ.
phương trình hoành độ giao điểm –2x + m = (2x + 1) / (x + 1)
<=> 2x + 1 = (–2x + m)(x + 1) (vì x = –1 không phải là nghiệm)
<=> 2x² + (4 – m)x + 1 – m = 0 (1)
Δ = m² + 8 > 0 với mọi m → đường thẳng y = –2x + m luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A, B có tọa độ lần lượt là (x1, y1), (x2, y2).
Trong đó x1, x2 là các nghiệm của (1). Suy ra y1 = –2x1 + m và y2 = –2x2 + m.
d(O, AB) =

m

5

và AB =

5(m2  8)
5(x1  x 2 )  5[(x1  x 2 )  4x1x 2 ] 
2
2

2

m m2  8
m m2  8
1
SOAB = d(O, AB).AB 
→
 3 <=> m4 + 8m² – 48 = 0 <=>
2
4
4

(m² + 4)² – 64 = 0
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


<=> m² = 4 <=> m = 2 V m = –2
Câu 16. (Khối D – 2010)
Cho hàm số y = –x4 – x² + 6.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng y =

1
x – 1.
6

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Tập xác định D = R
Đạo hàm y’ = –4x³ – 2x = –2x(2x² + 1); y’ = 0 <=> x = 0 → y(0) = 6.
Giới hạn lim y  lim = –∞.
x

x

Bảng biến thiên
x
–∞
0
y’
+
0
y
6

+∞
–

–∞

+∞
Hàm số đồng biến trên (–∞; 0); hàm số nghịch biến trên (0; +∞)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 6.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (–1; 4), (1; 4).
Vẽ đồ thị

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng y =

1
x – 1.
6

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x – 1 nên tiếp tuyến có hệ số
góc k = –6.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình –4x³ – 2x = –6
<=> 4x³ + 2x – 6 = 0 <=> (x – 1)(4x² + 4x + 6) = 0 <=> x = 1. Suy ra tọa độ
tiếp điểm là (1; 4)
phương trình tiếp tuyến cần viết là y = –6x + 10

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh