Luong giac (DTDH)

Hàm Số Lượng Giác Trong Đề Thi Đại Học
(2010 – 2015)
Câu 1. Tính giá trị của biểu thức P  ( 1  3 cos 2 )( 2  3 cos 2 ) biết sin  

2
3

(2015)
8
1
14
P = 1  3(1  2sin 2  )   2  3(1  2sin 2  )   P  1  3(1  )   2  3( )  


9 

9 

9

Câu 2. Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x
(Khối A – 2014)
sin x + 4cos x = 2 + sin 2x <=> sin x + 4cos x = 2 + 2sin x cos x
<=> sin x (1 – 2cos x) – 2(1 – 2cos x) = 0
<=> (1 – 2cos x)(sin x – 2) = 0
(*)
Vì sin x < 2 với mọi x nên (*) <=> cos x = 1/2
<=> x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π (k thuộc Z)
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {π/3 + k2π; –π/3 + k2π | k thuộc Z}
Câu 3. Giải phương trình 2 (sin x – 2cos x) = 2 – sin 2x.
(Khối B – 2014)

Giải phương trình 2 (sin x – 2cos x) = 2 – sin 2x.
<=> 2 (sin x – 2cos x) = 2 – 2sin x cos x
<=> 2 sinx(1  2 cosx)  2(1  2 cos x)  0
<=> ( 2 sinx  2)(1  2 cosx)  0
<=> cos x = 

1
(vì
2

2 sin x < 2)

<=> x = 3π/4 + k2π hoặc x = –3π/4 + k2π (k thuộc Z)
Câu 4. Giải phương trình 1 + tan x = 2 2 sin (x + π/4)
(Khối A – 2013)
Giải phương trình 1 + tan x = 2 2 sin (x + π/4)
Điều kiện cos x ≠ 0. Phương trình đã cho <=> cos x + sin x = 2(sin x + cos
x)cos x.
<=> (sin x + cos x)(2cos x – 1) = 0 <=> sin x + cos x = 0 hoặc 2cos x – 1 = 0
sin x + cos x = 0 <=> tan x = –1 <=> x = –π/4 + kπ (k thuộc Z)
2cos x – 1 = 0 <=> cos x = 1/2 <=> x = π/3 + k2π V x = –π/3 + k2π (k thuộc Z)
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm x = –π/4 + kπ hoặc x = π/3 + k2π hoặc x =
–π/3 + k2π

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Câu 5 . Giải phương trình sin 5x + 2cos² x = 1

(Khối B – 2013)
Giải phương trình sin 5x + 2cos² x = 1
Phương trình đã cho tương đương sin 5x + cos 2x = 0
<=> sin 5x = sin (2x – π/2)
<=> 5x = 2x – π/2 + k2π hoặc 5x = π + π/2 – 2x + k2π
(k thuộc Z)
<=> x = –π/6 + k2π/3 hoặc x = 3π/14 + k2π/7 (k thuộc Z)
Câu 6. Giải phương trình: sin 3x + cos 2x – sin x = 0
(Khối D – 2013)
Giải phương trình: sin 3x + cos 2x – sin x = 0 <=> cos 2x (2sin x + 1) = 0
Phương trình đã cho tương đương 2cos 2x sin x + cos 2x = 0
<=> cos 2x = 0 hoặc sin x = –1/2
<=> x = π/4 + kπ/2 hoặc x = –π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k thuộc Z)
Câu 7. Giải phương trình 3 sin 2x + cos 2x = 2cos x – 1
(Khối A – 2012)
Giải phương trình 3 sin 2x + cos 2x = 2cos x – 1
(1)
(1) <=> 2 3 sin x cos x + 2cos² x – 2cos x = 0
<=> cos x ( 3 sin x + cos x – 1) = 0
<=> cos x = 0 hoặc 3 sin x + cos x = 1 (3)
<=> x = π/2 + kπ (k thuộc Z) hoặc sin (x + π/6) = 1/2
<=> x = π/2 + kπ hoặc x = k2π hoặc x = 2π/3 + k2π (k thuộc Z)
Câu 8. Giải phương trình 2(cos x + 3 sin x)cos x = cos x – 3 sin x + 1
(Khối B – 2012)
Giải phương trình 2(cos x + 3 sin x)cos x = cos x – 3 sin x + 1
phương trình đã cho tương đương 2cos² x – 1 + 2 3 sin x cos x = cos x – 3 sin
x
<=> cos 2x + 3 sin 2x = cos x – 3 sin x
<=> cos (2x – π/3) = cos (x + π/3)
<=> 2x – π/3 = x + π/3 + k2π hoặc 2x – π/3 = –x – π/3 + k2π (k thuộc Z)

<=> x = 2π/3 + k2π hoặc x = k2π/3 (k thuộc Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = k2π/3 (k thuộc Z)
Câu 9. Giải phương trình: sin 3x + cos 3x – sin x + cos x = 2 cos 2x
(Khối D – 2012)
Giải phương trình: sin 3x + cos 3x – sin x + cos x = 2 cos 2x
Phương trình đã cho tương đương với 2sinxcos2x+2cos x cos 2x– 2 cos 2x = 0

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


<=> cos 2x (2sin x + 2cos x – 2 ) = 0
<=> cos 2x = 0 hoặc 2(sin x + cos x) – 2 = 0 (2)
cos 2x = 0 <=> 2x = π/2 + kπ (k thuộc Z)
(2) <=> sin (x + π/4) = 1/2
<=> x = –π/12 + k2π hoặc x = 7π/12 + k2π (k thuộc Z)
Câu 10. Giải phương trình

Giải phương trình

1  sin 2x  cos 2x
1  cot 2 x

1  sin 2x  cos 2x
1  cot 2 x

 2 sin x sin 2x

(Khối A – 2011)

 2 sin x sin 2x (1)

Điều kiện sin x ≠ 0. Phương trình (*) <=> (1 + sin 2x + cos 2x)sin² x = 2 sin x
sin 2x
<=> 1 + 2sin x cos x + 2cos² x – 1 = 2 2 cos x
<=> cos x (sin x + cos x – 2 ) = 0
<=> cos x = 0 hoặc sin x + cos x = 2
<=> x = π/2 + kπ (k thuộc Z) V sin (x + π/4) = 1
<=> x = π/2 + kπ hoặc x = π/4 + k2π (k thuộc Z)
Câu 11. Giải phương trình sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
(Khối B – 2011)
Giải phương trình sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
phương trình đã cho tương đương 2sin x cos² x + sin x cos x = cos 2x + sin x +
cos x.
<=> sin x (1 + cos 2x) + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
<=> (sin x cos 2x – cos 2x) + (sin x cos x – cos x) = 0
<=> cos 2x (sin x – 1) + cos x (sin x – 1) = 0 <=> (sin x – 1)(cos 2x + cos x) = 0
<=> sin x = 1 hoặc cos 2x = cos (x + π)
<=> x = π/2 + k2π hoặc 2x = x + π + k2π hoặc 2x = –x – π + k2π
<=> x = π/2 + k2π hoặc x = π + k2π hoặc x = –π/3 + k2π/3 (k thuộc Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = π/2 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π/3 (k
thuộc Z)
Câu 12. Giải phương trình:

sin 2x  2cos x  sin x  1
0
tan x  3

(Khối D – 2011)

sin 2x  2cos x  sin x  1
0
tan x  3
điều kiện cos x ≠ 0 và tan x ≠ – 3 (*)

Giải phương trình:

phương trình đã cho tương đương sin 2x + 2cos x – sin x – 1 = 0
<=> 2sin x cos x + 2cos x – (sin x + 1) = 0
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


<=> 2cos x (sin x + 1) – (sin x + 1) = 0
<=> (2cos x – 1)(sin x + 1) = 0
<=> cos x = 1/2 hoặc sin x = –1 (loại)
<=> x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π (loại) (k thuộc Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = π/3 + k2π (k thuộc Z)
π
(1  sin x  cos 2x)sin(x  )
4  1 cos x
Câu 13. Giải phương trình
1  tan x
2

(Khối A – 2010)
π
(1  sin x  cos 2x)sin(x  )
4  1 cos x

Giải phương trình
1  tan x
2

(*)

Điều kiện cos x ≠ 0 và 1 + tan x ≠ 0. Khi đó (*) <=> (1 + sin x + cos 2x)(sin x +
cos x) = cos x (1 + tan x)
<=> (sin x + cos x)(1 + sin x + cos 2x) = sin x + cos x
<=> (sin x + cos x)(sin x + 1 – 2sin² x) = 0
<=> sin x + cos x = 0 (loại) hoặc 1 + sin x – 2sin² x = 0
<=> sin x = 1 (loại vì cos x ≠ 0) hoặc sin x = –1/2
<=> x = –π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π(k thuộc Z)
Câu 14. Giải phương trình (sin 2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x – sin x = 0
(Khối B – 2010)
Giải phương trình (sin 2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x – sin x = 0
(1)
phương trình (1) <=> 2sin x cos² x – sin x + cos 2x cos x + 2cos 2x = 0
<=> sin x cos 2x + cos 2x cos x + 2cos 2x = 0
<=> cos 2x (sin x + cos x + 2) = 0
<=> cos 2x = 0 hoặc sin x + cos x + 2 = 0 (vô nghiệm)
<=> x = π/4 + kπ/2 (k thuộc Z)
Câu 15. Giải phương trình sin 2x – cos 2x + 3sin x – cos x – 1 = 0
(Khối D – 2010)
Giải phương trình sin 2x – cos 2x + 3sin x – cos x – 1 = 0
phương trình đã cho tương đương 2sin x cos x – 1 + 2sin² x + 3sin x – cos x – 1
=0
<=> cos x (2sin x – 1) + 2sin² x – sin x + 4sin x – 2 = 0
<=> (2sin x – 1)(cos x + sin x + 2) = 0
<=> 2sin x = 1 hoặc cos x + sin x + 2 = 0 (vô nghiệm)

<=> sin x = 1/2
<=> x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π (k thuộc Z)

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh