CHƯƠNG 6. ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC

CHệễNG 6.
ẹAậC TRệNG HèNH HOẽC

GVC.Ths. Leõ Hoaứng Tun


NỘI DUNG
1. Khái niệm
2. Mô men tónh - Trọng tâm
3. Mômen quán tính
4. Mômen quán tính của các hình đơn giản
5. Công thức chuyển trục song song
6. Công thức xoay trục


1. KHÁI NIỆM
♦ Thanh để đứng (H.a) chòu
lực tốt hơn thanh để nằm
(H.b)

♦ Có những đại lượng phụ
thuộc vào hình dáng, vò
trí mặt cắt ngang, ảnh
hưởng đến sự làm việc
của thanh

P
P

x
z

y
a)

x
z

y b)

♦ Đó là những Đặc trưng Hình Học của mặt cắt ngang.


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
Xét một hình phẳng biểu
diễn mặt cắt ngang A (mặt
cắt A).
Lập hệ tọa độ vuông góc
Oxy.
M(x,y) là một điểm bất kỳ
trên hình.
Lấy chung quanh M một
diện tích vi phân dA.

y0

y
y0
y

yC

M
C
x0

O

xC

A
dA
x0
x

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
♦ Mômen tónh :
Mômen tónh của A
đối với trục x (hay y) là:
S x = ∫ ydF , S y = ∫ xdF
F

y0

y
y0
y

F

vì x, y có thể âm hoặc dương
nên Sx , Sy < 0
>
Thứ nguyên của mômen tónh là
[(chiều dài)3].

yC

M
C
x0

O

xC

A
dA
x0
x

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
♦ Trọng tâm :
 Trục Trung tâm là trục
mà mômen tónh của A đối

với nó bằng 0
 Trọng tâm là giao
điểm của 2 trục trung
tâm.

y0

y
y0
y

 Mômen tónh đối với trục
đi qua trọng tâm bằng 0.

yC

M
C
x0

O

xC

A
dA
x0
x

x

2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
y0

y

♦ Cách xác đònh Trọng tâm C :
Xác đònh xC và yC
Dựng hệ trục x Cy song
song hệ trục xy
0

0

y0
y

x = xC + xo ; y = yC + yo

yC

A

O

A

Vì Sxo = 0 nên: Sx = y C .A
Tương tự:

Sy = x C .A

C
x0

Sx = ∫ (y C + y o )dA = y C ∫ dA + ∫ y o dA = y C A + Sxo
A

M

xC =

xC

Sy

A
Sx
yC =
A

A
dA
x0
x

x

2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
Tính chất 1: (quan trọng)
y
•

C

x

•

C

• Mặt cắt có trục đối xứng,
trọng tâm nằm trên trục đối
xứ
ng t. cắt có hai trục đối xứng,
• Mặ
trọng tâm là giao điểm hai trục đối xứng.

y
•

C

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
y

Tính chất 2 :

xC

A1
Mômen tónh của hình
x1
phức tạp bằng tổng mômen
tónh của các hình đơn giản.
•
C1
C
Thí dụ 6-1. Đònh trọng tâm
•
y1
mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật.
C2 •
Kết quả:
O
x2
Tọa độ trọng tâm
Sy
Sx
x1 A 1 + x 2 A 2
; yC =
C của hình trên là: x C = =
A

A1 + A 2

yC
y2

x

A2

y1 A 1 + y 2 A 2
=
A
A1 + A 2


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
y

1- Mômen quán tính (MMQT)
♦Mômen quán tính độc cực
(MMQT đối với điểm) của A
đối với điểm O: I = ∫ ρ2 dA
p

y
O

A

♦ Ip = Ix + Iy
♦ Ip , Ix , Iy > 0

I = ∫ y 2 dA ; I = ∫ x 2 dA
x
y
A

dA

ρ
x

♦Mômen quán tính của A đối với
trục y và x :

M

A

A

♦ Thứ nguyên - [chiều dài]4

x


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
y

♦Mômen quán tính ly tâm
(MMQT đối với hệ trục xy)

I

xy

= ∫ x.y.dA
A

Thứ nguyên - [chiều dài]4
Ixy >< 0

y
O

M

A
dA

ρ
x

♦Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằng
tổng mômen quán tính của các hình đơn giản.

x


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Hệ trục chính trung tâm
♦ Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm

y
đối với hệ trục đó bằng không
O
được gọi là hệ trục quán tính chính

y

M

A
dA

ρ
x

♦ Hệ trục quán tính chính trung tâm
có gốc ở trọng tâm
♦ MMQT đối với các trục quán tính chính trung tâm
gọi là MMQT chính trung tâm.
I = ∫ y 2 dA ; I = ∫ x 2 dA
x
y
A
A

x


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Tính chất 3- quan trọng

♦Trục đối xứng của mặt cắt và trục
vuông góc với nó đi qua trọng tâm
hợp thành hệ trục chính trung tâm

y
dA1

dA2

A1

A2
O

♦Chứng minh:
I xy = ∫ yxdA =
A

∫

A1 + A2

yxdA = ∫ ( xy − yx)dA1 = 0
A1

x


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP

1- Hình chữ nhật:
Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ trục QTCTT.
I = ∫ y 2 dA =
x
A

bh 3
I =
x
12
hb 3
I =
y
12

h
2

2
y
∫ bdy
h
−
2

dA = b.dy
y
dy
h/2

O

h/2
b

y
x


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
y

2- Hình tròn:

dA = 2πρ.dρ

R

Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ trục QTCTT.

O

ρ

dρ

 Tính Ip :

D
2
2
I = ∫ ρ dA = ∫ ρ2 .2πρ.dρ
p
A
0

πD 4
I =
p
32
Ip

Tính Ix , Iy : I = I =
x
y 2

D

πD 4
I =I =
x
y 64

x


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA

CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Hình vành khăn:
 Tính Ip :
4
4
π
D
π
d
I = I D − Id =
−
p p
p 32
32

πD
I =
(1 − η4 )
p 32
4

Tính Ix , Iy : I = I = I p
x
y 2
πD
I =I =
(1 − η4 )
x
y 64
4

y
d

O
D
η=

d
D

x


5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC
SONG SONG

I

X

= ∫ Y dA = ∫ ( b + y) dA
2

A

y

2

A

I = ∫ y 2 dA + 2 b ∫ y.dA + ∫ b 2 .dA
X
A

A

A

I = I x + 2 bSx + b A
X
I = I y + 2aSy + a2 A
Y

y

Y

1- Lập công thức:
Tính IX , IY , IXY :

2

I

XY

Y

b

M
O

A
dA

x
O'
a

x
X

X

= I xy + aSx + bSy + abA


5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC
SONG SONG

2

I = Ix + b A
X

Cách nhớ: MMQT đối với trục
mới bằng MMQT đối với trục

cũ cộâng diện tích nhân khoảng
cách hai trục bình phương

y

Y

2- Trường hợp thường dùng:
Khi trục cũ (xy) là
hệ trục chính trung tâm :

y
Y

b

M
O
x

O'
a

A
dA
x
X

X

4. MOMEN QUAN TNH CUA
CAC HèNH THệễNG GAậP
3- Thớ duù 3:
I BB'
3

bh
I BB' =
12

h
= I x + A.
2

y

2

h/2

2

3
h
bh

+ bh =
3
2

O

h/2
B

b

x
B'


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 4: Đònh MMQT
chính trung tâm
Giải:
- Trọng
tâm:
Sx 24.4.2 + 2(4.12.10)
y =
=
= 6cm
C A
(24.4) + 2(4.12)

1 + I 2 + I3
I
=
I

- MMQT: X X X X
3

24.4
I1 =
+ (24.4).4 2
X
12
3
4
.
12
I 2 = I3 =
+ (4.12).4 2
X
X
12

4

8 y8

4

12

x

4
10

X
2

y

3

C

X

6

IX=4352cm4

1

x


6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
1- Lập công thức:
Tính Iu , Iv , Iuv :
u = y.sinα+x.cos α
v = y.cosα-x.sin α
Iu = ∫A v2 .dA; Iv = ∫A u2 .dA
Ta có:

Iuv = ∫A uv.dA

y

V

M
y

Ix + Iy Ix − Iy
Iu =
+
cos 2α − I xy sin 2α
I2x − I y 2
I uv =
sin 2α + I xy cos 2α
2

dA
U

v
O

A

u
x

α
x

6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
2- Hệ trục chính (HTC):
 Hệ trục quán tính chính
là hệ trục có MMQT ly tâm
bằng không.
 Tìm HTC, cho Iuv=0
tg2α 0 = −

y

V

M
y

2I xy
Ix − Iy

dA
U

v
O

A

u
x

⇒ có 2 góc α0 sai biệt nhau 90 0
nghóa là luôn có 2 trục chính vuông góc nhau.

α
x


6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
 MMQT cực trò

M

dIuv
Cho
=0
dα
Cũng được tg2α 0 = −

2I xy
Ix − Iy

MMQT cực trò cũng là
MMQT đối với trục chính.
I max,min =

Ix + Iy
2

y

V

y

1
±
(I x − I y )2 + 4I 2xy
2

dA
U

v
O

A

u
x

α
x