Luận văn thạc sĩ toán học Phương trình hàm đa thức

B
TR

GIÁO D C VĨ ĨO T O
NG

I H C TH NG LONG

---------------------------------------

D

PH

NG TH PH

NG

NG TRỊNH HĨM A TH C

LU N V N TH C S TOÁN H C

Hà N i – N m 2016


B
TR

GIÁO D C VĨ ĨO T O
NG

I H C TH NG LONG

---------------------------------------

D

PH

NG TH PH

NG ậ C00454

NG TRỊNH HĨM A TH C

LU N V N TH C S TOÁN H C
CHUYÊN NGĨNH: PH

NG PHÁP TOÁN S

C P

Mẩ S : 60 46 01 13

NG

IH

NG D N KHOA H C: TS L U BÁ TH NG

Hà N i – N m 2016

1

Thang Long University Library


M CL C
Trang
Trang ph bìa.................................................................................................. 01
M c l c.......................................................................................................... 02
L i cam đoan ..................................................................................................04
Tóm t t lu n v n............................................................................................. 05
M
Ch

U....................................................................................................... 06
ng 1. KI N TH C C

B N

1.1 VÀNH CÁC A TH C M T BI N...................................................... 08
1.2 A TH C TRÊN M T TR

NG S ầầầầầầầầầ.ầầầ. 12

1.2.1 M t s tính ch tầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầầ 12
1.2.2 M t s ví d ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầ.. 16
1.3 A TH C TRÊN TR

NG

ầầầầầầầầầầầầầầầ. 18

1.3.1 Nghi m h u t c a đa th c v i các h s nguyênầầầầầầầ.ầ 18
a th c b t kh quy trên tr

1.3.2

ng các s h u t vƠ các tiêu chu n

Eisenstein; Osada; Polyaầầầầầầầầầầầầầầầầ.....ầầ... 19
1.4 A TH C TRÊN

VÀ TRÊN

ầầầầầầầầầầầ.ầầ... 24

1.5 VÀNH A TH C NHI U BI Nầầầầầầầầầầầầ.....ầ.. 27
1.5.1 Xơy d ng vƠnh các đa th c nhi u bi nầầầầầầầầ.ầầầầ 27
1.5.2 B c c a đa th c nhi u bi nầầầầầầầ...ầầầầầầ.ầầầ 28
K t lu n Ch
Ch

ng 1........................................................................................ 29

ng 2. M T S

D NG PH

NG TRỊNH HĨM A TH C

2.1 PH

NG TRÌNH HÀM A TH C M T BI N.................................. 31

2.1.1 Ph

ng trình có d ng xP  x  a    x  b  P  x .................................. 31
2


2.1.2 Ph

ng trình có d ng P  f  x  P  g  x   P  h  x  ầầầầầầầ 39

2.1.3 Ph

ng trình có d ng P  f  x  P  g  x   P  h  x   Q  x ầầầầ 53

2.1.4 BƠi t p t luy n.................................................................................... 61
2.2 PH

NG TRÌNH HÀM A TH C NHI U BI N…………………...... 62

2.2.1 M t s ví d .......................................................................................... 62
2.2.2 BƠi t p t

ng t .................................................................................... 65

2.3 M T S D NG PH

NG TRÌNH HÀM A TH C KHÁC.ầầầ 65

2.3.1 M t s ví d .......................................................................................... 65
2.3.2 BƠi t p t

ng t .................................................................................... 71

2.3.3 BƠi t p t luy n......................................................................................73
K t lu n Ch

ng 2..........................................................................................74

K T LU N VĨ KHUY N NGH
1. K t lu n..................................................................................................... 75
2. Khuy n ngh ............................................................................................. . 75
TĨI LI U TRệCH D N ............................................................................. 76

3

Thang Long University Library


L I CAM OAN
Tôi xin cam đoan d

i s giúp đ , h

ng d n, ch b o t n tình c a TS

L u Bá Th ng, lu n v n cao h c chuyên ngƠnh ph

đ tƠi “Ph

ng pháp Toán s c p v i

ng trình hàm đa th c” lƠ công trình nghiên c u c a riêng tôi

trong th i gian h c t p vƠ nghiên c u t i tr

ng

i h c Th ng Long.

Trong quá trình nghiên c u vƠ th c hi n lu n v n, tác gi đư k th a vƠ
phát huy nh ng k t qu c a các nhƠ khoa h c v i s trơn tr ng vƠ bi t n.

Hà N i, tháng 06 n m 2016
Tác gi

D

4

ng Th Ph

ng


TịM T T LU N V N
Lu n v n g m ba ph n:
PH N 1. M đ u

PH N 2. N i dung
Ph n này g m hai ch
Ch

ng:

ng 1. KI N TH C C

B N

1.1 VÀNH A TH C M T BI N
1.2 A TH C TRÊN M T TR
1.3 A TH C TRÊN TR
1.4 A TH C TRÊN

NG S

NG

VÀ TRÊN

1.5 VÀNH A TH C NHI U BI N
Ch

ng 2. M T S

D NG PH

NG TRỊNH HĨM A TH C

2.1 PH

NG TRÌNH HÀM A TH C M T BI N

2.2 PH

NG TRÌNH HÀM A TH C NHI U BI N

2.3 M T S D NG PH

NG TRÌNH HÀM A TH C KHÁC

PH N 3. K t lu n vƠ khuy n ngh .

5

Thang Long University Library


M
Ph

U

ng trình hƠm nói chung vƠ ph

ng trình hƠm đa th c nói riêng lƠ

m t trong nh ng l nh v c hay vƠ khó c a toán s c p. Trong các kì thi
Olympic Toán h c Qu c gia, Khu v c vƠ Qu c t th

bƠi toán ph
th

ng trình hƠm vƠ ph

ng lƠ khó, đôi khi r t khó.

v ng các ki n th c v ph

ng xuyên xu t hi n các

ng trình hƠm đa th c. Các bƠi toán nƠy
gi i các bƠi toán đó tr

c tiên ta ph i n m

ng trình hƠm vƠ các tính ch t c a đa th c, đ ng

th i ph i có s v n d ng thích h p.
Trên th c t , các công trình nghiên c u v ph
nhi u nh ng các tƠi li u đ c p v ph

ng trình hƠm đa th c nói riêng còn ít.

Do đó, vi c có th giúp h c sinh ti p c n v i ph
dƠng h n vƠ gi i quy t đ

ng trình hƠm có r t

ng trình hƠm đa th c d

c m t s bƠi toán v ph

ng trình hƠm đa th c lƠ

m t yêu c u h t s c c n thi t.
Nh m nơng cao hi u qu giáo d c trong nhƠ tr
ph n t ng b

c nơng cao ch t l

ch n đ tƠi “Ph

ng c a công tác b i d

ch

ng, K t lu n vƠ TƠi li u tham kh o.

ng 1: Trình bƠy v nh ng ki n th c c b n đ

ng 2 nh : vƠnh đa th c, đa th c trên m t tr

s h u t , tr
Ch
d ng.

ng s th c vƠ tr

ng

ng s ph c.

ng 2: Trình bƠy chi ti t các d ng ph

ng trình hƠm đa th c thông

m i d ng b t đ u b ng m t s tính ch t quan tr ng sau đó nêu ra các

bƠi t p t luy n. Qua đó, giúp ng
ng pháp gi i t ng lo i ph
Lu n v n đ
h

c dùng trong

ng s , đa th c trên tr

ví d đi n hình minh h a, ti p đ n lƠ các bƠi t p t
ph

ng h c sinh gi i, tôi

ng trình hàm đa th c” lƠm lu n v n cao h c c a mình.

Lu n v n g m M đ u, hai Ch
Ch

ng ph thông vƠ góp

ng t vƠ cu i cùng lƠ các

i gi i toán d hình dung vƠ n m b t đ

ng trình hƠm đa th c.

c hoƠn thƠnh t i tr

ng

i h c Th ng Long d

ng d n khoa h c vƠ ch b o t n tình c a TS L u Bá Th ng,
6

i s

ih cS

c


ph m HƠ N i. LƠ ng
Th y, tôi xin đ

i h c trò đư ti p thu đ

c nhi u đi u b ích, quý báu t

c bƠy t lòng bi t n sơu s c đ i v i s quan tơm, đ ng viên

k p th i vƠ s nghiêm kh c ch b o, h

ng d n c a Th y.

Tôi xin c m n t i các th y cô giáo trong Tr
phòng Sau đ i h c vƠ Qu n lý khoa h c - Tr

ng

ng

i h c Th ng Long,

i h c Th ng Long.

ng

th i tôi xin g i l i c m n t i t p th l p CTM3-BG (Cao h c toán B c
Giang) khóa 2014 – 2016 c a Tr

ng

i h c Th ng Long đư đ ng viên giúp

đ tôi trong quá trình h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy.
Tôi xin c m n Ban Giám hi u, t chuyên môn Toán – tin, các đ ng
nghi p Tr

ng THPT Yên D ng s 3, B c Giang đư t o đi u ki n giúp đ ,

góp ý cho tác gi trong th i gian h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy.
M c dù tác gi đư h t s c c g ng nh ng do th i gian có h n, kinh
nghi m nghiên c u vƠ vi t lu n v n còn h n ch nên không tránh kh i nh ng
thi u sót. Tác gi r t mong nh n đ
vƠ b n đ c đ lu n v n đ

c nh ng ý ki n đóng góp c a quý th y cô

c hoƠn thi n h n.
Hà N i, tháng 06 n m 2016
Tác gi

D

ng Th Ph

ng

7

Thang Long University Library


CH

NG 1

KI N TH C C

B N

1.1 VĨNH CÁC A TH C M T BI N
Cho A lƠ m t vƠnh giao hoán có đ n v 1. Kí hi u

A x   f  a0  a1x  ...  a n xn ai  A, n 



v i x lƠ bi n. Gi s
f  a 0  a1x  ...  a n xn , g  b0  b1x  ...  bm xm  A x.

Không lƠm m t tính t ng quát, ta có th gi s m  n, vƠ m  n  s. Khi đó
g  b0  b1x  ...  bn xn  bn1xn1  ...  bn s xns  A x.

Trên A x ta có quan h b ng nhau: f  g khi vƠ ch khi a i  bi v i m i

i  0,..., n vƠ bn1  ...  bn s  0.
n

Phép c ng: f  g    ai  bi  xi  bn1xn1  ...  bns xn s .
i 0

 i

Phép nhơn: f g     a i  j b j  xi .
i 0  j 0

m n

V i hai phép toán c ng vƠ nhơn đư nêu thì A x tr thƠnh m t vƠnh giao
hoán có đ n v 1. Khi đó A x đ

A, còn ph n t c a A x đ
f  a0  a1x  ...  a n xn đ
trong tr
Quy

c g i lƠ vƠnh các đa th c c a bi n x trên

c g i lƠ đa th c c a bi n x trên A.

a th c

c g i lƠ có b c n vƠ vi t lƠ deg f  n n u a n  0,

ng h p nh v y ta g i a n lƠ h t cao nh t c a f .
c: a th c 0 lƠ m t đa th c có b c .

Th c ch t c a vi c lƠm trên lƠ xơy d ng m t vƠnh A x m r ng c a

A, thông qua đ nh ngh a hình th c cho cái g i lƠ đa th c c a bi n x trên A,
mƠ b n ch t th c s lƠ đ nh ngh a hình th c cho ph n t siêu vi t x. Bơy gi
8


chúng ta s xem xét m t cách ti p c n khác đ đ a ra m t vƠnh m r ng c a

A đ ng c u v i A x. Cách ti p c n nƠy chính lƠ đ đi ki n thi t m t ph n t

 siêu vi t trên A.
Xét t p T t t c nh ng dưy đ

A, v i vô h n đ m đ

c s p các ph n t

 a0 , a1, a2 ,...

thu c

c các thƠnh ph n t a đ , trong đó ch m t s h u h n

các ai  0. Trong T ta đ nh ngh a quan h b ng nhau vƠ hai phép toán nh
sau:
(i)  a0 , a1, a 2 ,...  b0 , b1, b2 ,... khi vƠ ch khi a i  bi v i m i i.
(ii)  a0 , a1, a 2 ,...  b0 , b1, b2 ,...   a0  b0 , a1  b1, a 2  b2 ,....


(iii)  a 0 , a1 , a 2 ,... b0 , b1 , b2 ,...   a 0b0 , a 0b1  a1b0 ,...,  a ib j ,... .
i  j n



D dƠng ki m tra đ

c T cùng v i hai phép toán trên l p thƠnh m t vƠnh

giao hoán.
L y t p con T1 c a T g m t t c nh ng ph n t d ng  a ,0,0,... , a  A. Khi

đó, ta có:
(i) T1 lƠ m t vƠnh con c a vƠnh T.
(ii) T

ng ng  : A T1 , a

Th t v y, t

 a ,0,0,... lƠ m

 a ,0,0,... vƠ b,0,0,... thu

t đ ng c u.

c T1 ta có ngay

 a ,0,0,...  b,0,0,...   a  b,0,0,...
vƠ

 a ,0,0,...b,0,0,...   ab,0,0,...
thu c T1. V y T1 lƠ m t vƠnh con c a T. T a  b ta suy ra

 a ,0,0,...  b,0,0,....
V y  lƠ m t ánh x . D dƠng ki m tra  lƠ m t đ ng c u. Do đó A  T1.
9

Thang Long University Library


Do A đ ng c u v i vƠnh con T1 c a T nên khi đ ng nh t a  A v i

 a ,0,0,... T1

chúng ta đư nhúng đ

c A vƠo T vƠ ta có th coi A lƠ m t

vƠnh con c a T.
t    0,1,0,0,0,... T. D dƠng ki m tra các l y th a sau đơy:
   0,1,0,0,0,... ;
 2
   0,0,1,0,0,... ;
 3
   0,0,0,1,0,... ;

...
 n  0,0,0,...,0,1,0,... ;



...

1

t a đ th n  1.

Khi đó m i ph n t

 a0 , a1,..., an ,0,0,... T

có th bi u di n nh sau:

 a0 , a1,..., a n ,0,0,...   a0 ,0,0,...   0, a1,0,0,...  ...
 a 0  a1  0,1,0,0,...  ...
 a 0  a1  ...  a n n .
Nh v y, m i ph n t thu c T đ u bi u di n đ

c thƠnh m t d ng đa th c

c a  v i các h t thu c A. Nh v y T  A . T

a0  a1  ...  a n n  0
suy ra

 a0 , a1,..., an ,0,0,...   0,0,0,...
hay
a 0  a1  ...  a n  0.

Xét t

ng ng  : A x T  A  cho b i f  x

 lƠ m t đ ng c u vƠnh. V y A   A x.

10

f  . D ki m tra đ

c

nh lí 1.1.1 Cho A lƠ m t mi n nguyên. Khi đó vƠnh các đa th c A x lƠ
m t mi n nguyên. NgoƠi ra, n u f , g  A x lƠ các đa th c khác đa th c 0, thì

deg  f g   deg f  deg g.
Ch ng minh

f , g  A x lƠ các đa th c khác đa th c 0, vƠ gi s

Th t v y gi s

f  axn U  x v i degU  x  n  deg f ,
g  bxm  V  x v i degV  x  m deg g.

Khi đó a , b khác 0 vƠ
f g  abxnm  a xnV  x  bxmU  x  V  xU  x

v i

deg a xnV  x  bxmU  x  V  xU  x  n  m.
Vì A lƠ m t mi n nguyên nên a b khác 0, do đó f g  0. V y A x lƠ m t
mi n nguyên. C ng t ch ng minh v a r i, ta suy ra:

deg  f g   deg f  deg g.
Cho A lƠ m t mi n nguyên, khi đó ta có vƠnh các đa th c A x lƠ m t
mi n nguyên. Gi s

f , g  A x.

a th c f  A x đ

đa th c g  A x n u t n t i đa th c h  A x đ
g i lƠ m t
đ

c chung c a f vƠ g n u c

c g i lƠ m t

c g i lƠ chia h t cho

f  g h.

a th c d đ

f vƠ g đ u chia h t cho d . d

c chung l n nh t c a f vƠ g , n u d lƠ m t

c a f vƠ g , đ ng th i d chia h t cho m i
chung l n nh t c a hai đa th c, đ
kh ngh ch c a A. N u m t

c

c chung

c chung c a f vƠ g .

c

c xác đinh duy nh t sai khác m t nhơn t

c chung l n nh t d c a f vƠ g lƠ kh ngh ch

(t t nhiên lúc đó d  A), thì f vƠ g g i lƠ nguyên t cùng nhau.

a th c f

11

Thang Long University Library


đ

c g i lƠ kh quy trên A, n u có hai đa th c g , h  A x không kh ngh ch,

đ

f  g h.

a th c f đ

c g i lƠ b t kh quy trên A, n u không có hai đa

th c không kh ngh ch g , h  A x, đ
nh ngh a 1.1.2 Gi

s

f  g h.

c lƠ m t ph n t

tùy ý thu c vƠnh A,

f  x  a 0 xn  a1xn1  ...  a n lƠ m t đa th c tùy ý c a A x. Ph n t
f  c   a 0c n  a1c n1  ...  a n  A đ

f  c   0 thì c đ
trong A đ

c g i lƠ giá tr c a f  x t i c. N u

c g i lƠ m t nghi m c a f  x. Tìm nghi m c a f  x

c g i lƠ gi i ph

ng trình đ i s b c n

a0 xn  a1xn1  ...  a n  0, a0  0
trên A.
1.2 A TH C TRÊN M T TR

NG CON C A TR

NG S

Trong lu n v n nƠy ta ch nghiên c u đa th c trên m t tr

tr

ng con c a tr

PH C
ng K lƠ

ng s ph c.

1.2.1 M t s tính ch t
nh lí 1.2.1.1 Cho K lƠ m t tr

ng con c a tr

ng s ph c vƠ gi s

c  K, f  x  K  x. Khi đó d c a phép chia f  x cho x  c lƠ f  c  , hay
f  x   x  c  g  x  f  c  , g  x  K  x.
Ch ng minh
T

thu t toán chia đa th c ta có f  x   x  c  g  x  b, b  K. Do đó

f  c    c  c  g  c   b  b.
Bơy gi ta c n tìm hi u cách tính f  c  c a Horner.
ý r ng th c hi n phép chia f  x  a 0 xn  a1xn1  ...  a n cho x  c,
ta đ

c các h t c a đa th c th

ng g  x  b0 xn1  b1xn2  ...  bn1 cho b i

các công th c b0  a 0 , bi  ai  c.bi 1 , i  1,..., n  1 vƠ d b  a n  cbn1 hay
12


b0  a 0 ;
b  a  cb ;
0
1 1
b2  a 2  cb1;

...
bn1  a n1  cbn2 ;

b  a n  cbn1.

Vì b  f  c  nên ta suy ra s đ tính f  c  vƠ c g  x thông qua quá trình
l p nh sau: b0  a0 , b1  a1  cb0 ,..., bi  ai  cbi1,..., f  c   b  a n  cbn1.
L

c đ tính f  c  vƠ c g  x theo cách nƠy, đ

c g i lƠ L

c đ Horner.

nh lí 1.2.1.2 (Bézout) N u   K lƠ nghi m c a đa th c b c d

ng

f  x  K  x, thì f  x   x    g  x v i g  x  K  x có
deg g  x  deg f  x  1.
Ch ng minh
Th t v y, ta luôn bi u di n f  x   x    g  x  f   v i g  x  K  x. T

f    0, ta rút ra f  x   x    g  x , vƠ deg g  x  deg f  x  1.
H qu 1.2.1.3 Cho m t đa th c b c d

ng f  x  K  x. Khi đó ta có:

(i) N u 1 ,..., m  K lƠ các nghi m c a f  x , thì

f  x   x  1  x  2 ... x  m  g  x
v i g  x  K  x có deg g  x  deg f  x  m .
(ii) S nghi m c a đa th c trong K không v

t quá b c c a f  x.

nh lí Bézout lƠ c s cho khái ni m nghi m b i c a m t đa th c,
đ

c phát bi u r ng:   K đ

d

ng f  x  K  x n u f  x   x  1  g  x v i k nguyên d

c g i lƠ m t nghi m b i k  1 c a đa th c b c
k

ng vƠ

13

Thang Long University Library


g    0. Tr
thì  đ

ng h p k  1 thì  đ

c g i lƠ nghi m đ n; tr

ng h p k  2

c g i lƠ nghi m kép c a f  x.

nh lí 1.2.1.4 (Viète) N u 1 ,..., m lƠ các nghi m c a m t đa th c b c m
f  x  a 0 xm  a1xm1  ...  a m

ng K, thì

trên m t tr

a1





...

;





m
1
1
2

a0

a2

 2  1 2  ...   m1 m  ;
a0

...

m am

...
1
.










m
m
1
2

a
0


1, 2 ,..., m đ

c g i lƠ nh ng đa th c đ i x ng c b n c a 1 ,..., m.

Ch ng minh
Do a0 xm  a1xm1  ...  a m  a 0  x  1  x   2 ... x   m  nên khai tri n v
ph i ta đ





c a 0 xm  a1 xm1  ...  a m  a 0 xm  1xm1  ...   1  m .

B ng vi c đ ng nh t các h t c a hai đa th c

 i   1

i

m

hai v , ta đ

c

ai
, i  1,..., m.
a0

nh lí 1.2.1.5 (Lagrange) Cho f  x lƠ m t đa th c b c n trên m t tr

K vƠ x0 , x1 ,..., xn lƠ n  1 ph n t phơn bi t trong K .
n

g  x  a   x  xi  , a  0.
i 0

Khi đó ta có:
n

(i) f  x   f  xi 
i 0

x  xk
.
k i ,k 0 xi  xk
n



14

t

ng


n

(ii) f  x  
i 0

f  xi  g  x
.
.
g   xi  x  xi

Ch ng minh
n

t h  x  f  x   f  xi 

(i)

i 0

x  xk
. Ta có deg h  n vƠ
k i ,k 0 xi  xk
n



h  x0   h  x1   ...  h  xn   0.
a th c h  x có deg h  n vƠ có quá n nghi m lƠ x0 , x1 ,..., xn . Do đó h  x
ph i lƠ đa th c 0. V y
n

f  x   f  xi 
i 0

(ii) Vì

x  xk
.

x
x
k i ,k 0 i
k
n



g  x
1
x  xk
nên t (i) suy ra

.



x
x
g
x
x
x
 i
k  i , k 0 i
k
i
n



n

f  x  
i 0

f  xi  g  x

.
.
g   xi  x  xi

nh lí 1.2.1.6 (Taylor) Cho p  x lƠ m t đa th c b c n  0 trên m t tr

ng

K vƠ   K. Khi đó ta có:
n
p  
p  
p   
2
n
p  x  p   
x   
 x     ... 
x  .
n!
1!
2!

Ch ng minh
Ta s ch ng minh đ nh lí nƠy b ng quy n p theo b c c a đa th c. D ki m tra
đ

c tr

ng h p b c 0. Gi s phát bi u đư đúng cho t t c đa th c có b c

nh h n ho c b ng n  1. Xét đa th c p  x b c n. Bơy gi ta c n ch ra r ng
n
p  
p  
p   
2
n
p  x  p   
x   
 x     ... 
x  .
n!
1!
2!

t

15

Thang Long University Library


n
p  
p  
p    
2
n
f  x   p   

x   
 x     ... 
x   .
1!
2!
n!

Khi đó:
n
p  
p   
n1
f   x  p   
 x     ... 
x  .
1!
(n  1)!

M t khác theo gi thi t quy n p áp d ng cho p  x , thì
n
p  
p   
n1
p  x  p   
 x     ... 
x  .
1!
(n  1)!

Vì v y f   x  p  x. K t h p v i f    p   , ta rút ra f  x  p  x. Do

đó ta nh n đ

c:

n
p  
p  
p   
2
n
p  x   p   
x   
 x     ... 
x   ,
n!
1!
2!

vƠ quy n p đư hoƠn thƠnh.

nh lí đ

c ch ng minh.

1.2.2 M t s ví d
Ví d 1.2.2.1 Cho đa th c P  x  x4  ax3  bx2  cx  d th a mưn

P 1  10, P  2  20, P 3  30.
Ch ng minh r ng:
P 12   P  8 

 32  2016.
10

Ch ng minh
t Q  x  P  x  10 x, deg P  x  deg Q  x  4. Khi đó ta có:

Q 1  Q  2  Q  3  0,
hay Q  x đ

c bi u di n d

i d ng: Q  x   x  1 x  2 x  3 R x.

M t khác deg Q  x  4 nên R x  x  x0 . D n đ n

P  x   x  1 x  2 x  3  x  x0   10 x.
16


T đó suy ra

P 12  11.10.9.12  x0   120  990 12  x0   120,
P  8  9.10.11. x0  8  80  990  x0  8  80.
Do đó
990 12  x0    x0  8    40
P 12   P  8 
 32 
 32  2016.
10
10

V y ta có đi u ph i ch ng minh.
Ví d 1.2.2.2 Cho x0 , x1 ,..., xn lƠ n  1 ph n t phơn bi t trên m t tr

ng K .

n

t f  x    x  xi . Ch ng minh r ng v i m i đa th c
i 0

p  x  a 0 xn  a1xn1  ...  a n
n

b c n trên K, ta có a0  
i 0

p  xi 
.
f   xi 

Ch ng minh
n

Theo công th c n i suy Lagrange ta có p  x  
i 0

So sánh các h s c a xn ta đ

n

c a0  
i 0

Ví d

1.2.2.3 Cho các s

nguyên đ

p  xi  f  x
.
.
f   xi  x  xi

p  xi 
.
f   xi 
c s p x p theo th

t

t ng d n

x0  x1  ...  xn . Ch ng minh r ng trong s các giá tr c a đa th c

p  x  xn  a1xn1  ...  a n 

t i x0 , x1 ,..., xn s t n t i ít nh t m t i đ

p  xi  

 x

n!
.
2n

Ch ng minh
n

t f  x    x  xi , theo ví d 1.2.2.2, ta nh n đ
i 0

n

c 1 
i 0

p  xi 
.
f   xi 

17

Thang Long University Library






t   max p  x0  ,..., p  xn  . D th y r ng f   xi   i ! n  i !, nên ta có
các b t đ ng th c:
1

n


i 0

n
n
n
p  xi 
p  xi 
1
1



.
f   xi  i 0 f   xi 
i 0 f   xi 
i 0 i ! n  i !

n!
1
 2n
Do đó 1   


. V y   n.
2
n!
i 0 i ! n  i !
n

Ví d 1.2.2.4 Cho P  x lƠ đa th c b c 4 có h s cao nh t lƠ 1 th a mưn

P 1  3, P  3  11, P 5  27.
Tính giá tr bi u th c P  2  7 P  6.
BƠi gi i
Xét f  x  x2  2, ta có f 1  3, f  3  11, f 5  27.
t Q  x  P  x  f  x , deg Q  x  deg P  x  4. Do h s cao nh t c a

P  x lƠ 1 nên h s cao nh t c a Q  x c ng lƠ 1.
Ta có Q 1  Q  3  Q  5  0 nên Q  x có d ng:

Q  x   x  1 x  3 x  5 R x.
Vì h s cao nh t c a Q  x lƠ 1 nên R x  x  k, nên ta có:

P  x   x  1 x  3 x  5 x  k   f  x.
Suy ra P  2  105k  216, P  6  15k  896.
V y P  2  7 P  6  1112.
1.3 A TH C TRÊN TR

NG

1.3.1 Nghi m h u t c a đa th c v i các h s nguyên
nh lí 1.3.1.1 Cho đa th c

f  x  a 0 xn  a1xn1  ...  a n1x  a n 

18

 x, a0  0.


p
v i  p, q   1 lƠ nghi m c a ph
q

Khi đó n u s h u t

ng trình f  x  0

thì ta có các kh ng đ nh sau:
(i) p lƠ m t
(ii) p  mq lƠ

c c a a n vƠ q lƠ m t

c c a a0.

c c a f  m v i m i s nguyên m.

Ch ng minh
p
v i  p, q   1 lƠ m t nghi m c a f  x  0. Khi đó:
q

(i) Gi s s h u t

a0 p n  a1 p n1q  ...  a nq n  0.
Vì  p, q   1 nên p lƠ m t

c c a a n vƠ q lƠ m t

c c a a0.

(ii) Khai tri n f  x theo các l y th a c a x  m ta đ

f  x  a0  x  m  b1  x  m
n

Thay x 

p
, ta đ
q

n1

c:

 ...  bn1  x  m  f  m 

 x.

c:

a0  p  mq   b1  p  mq 
n

Vì  p, q   1 nên p  mq lƠ

n1

q  ...  bn1  p  mq  q n1  f  m q n  0.

c c a f  m v i m i s nguyên m.

H qu 1.3.1.2 Các nghi m h u t c a đa th c
f  x  xn  a1xn1  ...  a n 

 x

ph i lƠ s nguyên.
1.3.2

a th c b t kh quy trên tr

ng các s h u t vƠ các tiêu chu n

Eisenstein; Osada; Polya
Cho m t đa th c f  x  a 0 xn  a1xn1  ...  a n1x  a n 
t cont  f   d   a0 ,..., a n . Khi đó

 x, a0  0.

1

f lƠ m t đa th c v i các h s
d

19

Thang Long University Library


nguyên, nguyên t cùng nhau.

a th c nƠy đ

c g i lƠ m t đa th c nguyên

b n.
B đ 1.3.2.1 (Gauss) N u g , h 

 x thì cont  g h   cont  g  cont  h .
ng h p cont  g   cont  h   1 lƠ

Ch ng minh Ch c n ch ng minh cho tr

đ , vì thay cho vi c xét g vƠ h ta xét các đa th c
ng. Gi s

h
g
vƠ
t
cont( h)

cont( g )

ng

g  x  a 0 xn  a1xn1  ...  a n vƠ h  x  b0 xm  b1xm1  ...  bm v i

a 0 b0  0, vƠ cont  g   cont  h   1. Gi s

cont( gh)  d  1. G i p lƠ m t

c nguyên t c a d . Khi đó t t c các h s c a g h đ u chia h t cho p,
trong khi g vƠ h có nh ng h s không cùng chia h t cho p. G i a r vƠ bs lƠ
nh ng h s đ u tiên c a g vƠ h t

ng ng mƠ không chia h t cho p. Khi đó

h s cr  s c a gh th a mưn:
a r 1  a r 2  ...  a 0 (mod p);
b  b  ...  b (mod p);
 s 1 s 2
0

cr  s  a r bs  a r 1bs 1  ...  a r 1bs 1  a r 2bs 2  ...

 a r bs  0(mod p).

(mơu thu n !). V y cont( g h)  1. Khi cont  g   cont  h   1 thì cont( g h)  1.
T b đ trên ta suy ra h qu sau:
H qu 1.3.2.2 Tích c a hai đa th c nguyên b n c ng lƠ m t đa th c nguyên
b n.

H qu 1.3.2.3 a th c nguyên b n f 

 x lƠ m

khi vƠ ch khi nó lƠ m t đa th c b t kh quy trên

t đa th c b t kh quy trên

.

Ch ng minh
Gi s
h ut d

f

 x vƠ

f  g h v i g, h 

 x. D

ng r vƠ s sao cho m g vƠ s h thu c
20

th y r ng luôn t n t i các s

 x, đ

ng th i lƠ các đa th c

nguyên b n. Khi đó vì r s f   r g  s h  vƠ f lƠ m t đa th c nguyên b n,
cùng v i m g vƠ s h thu c

 x , nên r s nguyên d

ng. Theo B đ 1.3.2.1,

ta có: r s  cont  r s f   cont  r g  cont  s h   1. V y r s  1.

 x.

Do đó f   r g  s h  lƠ m t phơn tích c a f trong

Do k t qu nƠy, nên ta có th chuy n vi c xét tính b t kh quy c a các
đa th c thu c

 x v

vi c xét tính b t kh quy trong

s tiêu chu n đ có th ki m tra m t đa th c thu c

 x. Sau đơy lƠ m

 x lƠ b

t

t kh quy.

nh lí 1.3.2.4 (Tiêu chu n Eisenstein) Cho m t đa th c
f  x  a n xn  a n1xn1  ...  a 0

b c n  0 v i các h s nguyên. Gi s r ng, t n t i m t s nguyên t

p sao

cho a n không chia h t cho p, vƠ các a i , i  n chia h t cho p, nh ng a 0
không chia h t cho p 2 . Khi đó f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên

.

Ch ng minh

f  x kh quy trên

Gi s

th c b c d

. Theo ch ng minh H qu 1.3.2.3, t n t i hai đa

ng g , h v i h s nguyên đ

 r
 s
f  g h    bi xi    c j x j 
 i 0

  j 0


v i r  deg g , s  deg h  0, r  s  n. Vì b0 c0  a 0 chia h t cho p, nên ít nh t
m t trong hai s b0 ho c c0 ph i chia h t cho p. Xét ch ng h n b0 chia h t
cho p. Vì a 0 không chia h t cho p 2 nên c0 không chia h t cho p. Khi đó
n u t t c các bi đ u chia h t cho p thì a n c ng ph i chia h t cho p (mơu
thu n v i gi thi t). Do đó ph i t n t i m t b j không chia h t cho p. G i i lƠ
ch

s

nh

nh t đ

bi

không

chia h t

cho

p.

Khi đó

vì

ai  bi c0  bi 1 c1  ...  b0 ci vƠ a i cùng v i t t c các s h ng bi 1 c1 ,..., b0 ci đ u
21

Thang Long University Library


chia h t cho p nên bi c0 c ng ph i chia h t cho p. (mơu thu n!).
ch ng t

f lƠ m t đa th c b t kh quy trên

i u nƠy

.

Ví d 1.3.2.5 V i m i s nguyên t p, ch ng minh r ng đa th c
x2
xp
f  x  1  x   ... 
2
p!

lƠ m t đa th c b t kh quy trên

.

Ch ng minh
p! x2
 ...  x p lƠ m t đa th c b t
Ta ph i ch ng minh p! f  x  p ! p ! x 

2

kh quy trên

. Ta có

p!
chia h t cho p, nh ng không chia h t cho p 2 v i
i!

m i i  p. Theo tiêu chu n Eisenstein đa th c p! f lƠ b t kh quy trên

.

Ví d 1.3.2.6 Ch ng minh r ng n u p lƠ m t s nguyên t , thì đa th c
f  x  1  x  ...  x p1 lƠ b t kh quy trên

.

Ch ng minh

 p
p 
D ch ra r ng f  x  1  x p1    x p2  ...  
.
1 
 p  1
Theo tiêu chu n Eisenstein, thì v ph i lƠ m t đa th c b t kh quy trên
đó f  x  1 b t kh quy trên

. Do

. Vì f  x lƠ m t đa th c nguyên b n nên

f  x b t kh quy trên .
nh lí 1.3.2.7 (Tiêu chu n Osada) Cho f  x  xn  a1xn1  ...  a n1x  p lƠ
m t đa th c có các h s nguyên v i p lƠ m t s nguyên t . Khi đó n u

p  1  a1  ...  a n1 thì f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên .
Ch ng minh

22


f  x lƠ kh quy. Khi đó f  x  g  x h  x , v i g vƠ h lƠ nh ng đa

Gi s

th c b c d

ng v i các h s nguyên. Vì p lƠ m t s nguyên t nên m t

trong các s h ng t do c a g hay h ph i b ng 1, ch ng h n h s t do c a
g b ng 1. Do đó tr tuy t đ i c a tích các nghi m c a g trong tr

ng ph c

ph i b ng 1. Khi đó g  x  0 ph i có m t nghi m ph c  v i   1. Vì 
c ng lƠ nghi m c a f  x  0, nên

p   n  a1 n1  ...  a n1  1  a1  ...  a n1 . (mơu thu n !)
Mơu thu n nƠy ch ng t r ng f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên

.

Ví d 1.3.2.8 Ch ng minh r ng n u p lƠ m t s nguyên t l , thì đa th c
f  x  x p1  x p2  ...  x  p

lƠ b t kh quy trên

.

Ch ng minh
D th y đa th c nƠy có 1  a1  ...  a p2  p  1  p nên theo tiêu chu n
Osada thì nó lƠ m t đa th c b t kh quy trên

.

nh lí 1.3.2.9 (Tiêu chu n Polya) Cho f  x lƠ m t đa th c v i h s

 n  1
t m 
. Gi
 2 

nguyên b c n  0.

s

r ng, t n t i n s

nguyên

d1 , d2 ,..., d n đôi m t khác nhau vƠ không lƠ nghi m c a f  x , sao cho

f  di  

m!
. Khi đó f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên
2m

.

Ch ng minh
Gi

s

f  x lƠ kh

f  x  g  x h  x ,

quy, khi đó t

ch ng minh H

đó g , h lƠ nh ng đa th c b c d

qu

1.3.2.3,

ng v i các h s

nguyên. Không h n ch tính t ng quát, ta gi s deg h  x  deg g  x  s. Nh
23

Thang Long University Library


v y m  s  n, ta th y ngay g  di   0 vƠ g  di  chia h t cho f  di . Do đó

g  di   f  d i  
nên

m!
. Theo Ví d 1.3.2.8, t n t i i đ
2m

g  di  

s!
. Vì s  m
2s

m!
s!
s! m!
 m . Do đó m  g  di   s . T mơu thu n nƠy ta suy ra f  x lƠ
s

2 2
2
2

m t đa th c b t kh quy.
Ví d 1.3.2.10 Ch ng minh r ng đa th c f  x   x  1 x  2... x  100   1
lƠ m t đa th c b t kh quy trên

.

Ch ng minh
Ta có f  i   1 

50!
v i m i i  1,2,...,100. Do đó theo tiêu chu n Polya, thì
250

f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên

. Do f  x nguyên b n nên suy ra

f  x b t kh quy trên .
Ví d 1.3.2.11 Ch ng minh r ng không t n t i m t đa th c f  x 

 x th

a

mưn f  26   1931 vƠ f  3  1995.
Ch ng minh

Gi s t n t i đa th c f  x 

 x th

a mưn yêu c u đ bƠi. Ta luôn có:

f  26   f  3 chia h t cho  26  3 t c lƠ chia h t cho 23.
Nh ng f  26  f  3  1931  1995  64 không chia h t cho 23. Do v y
không t n t i đa th c v i h s nguyên th a mưn đ bƠi.
1.4 A TH C TRÊN
lƠ tr

Vì

VĨ TRÊN

ng đóng đ i s nên đa th c b t kh quy m t n trên

ch

lƠ nh ng đa th c b c m t. Chính vì lí do nƠy mƠ ta ch c n xét đa th c b t kh
quy trên

.

24