bài tập lượng giác có lời giải

GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

Đây là câu hỏi luôn có trong các đề thi đại học có điểm số là 1đ, câu này rất dễ lấy điểm. Hi vọng
34 bài tập sau đây sẽ giúp các bạn có tài liệu ôn tập và đạt kết quả tốt.
sin x + cos x
4

Câu 1 : Giải phương trình :

4

sin 2 x

=

1
2

( tan x + cot x )

Giải : Điều kiện: sin 2 x ≠ 0
1
1
1 − sin 2 2 x
1 − sin 2 2 x
1
sin
x
cos

x


1
1
2
2
(1) ⇔
= 
+
=
⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0
÷⇔
sin 2 x
2  cos x sin x 
sin 2 x
sin 2 x
2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2
2
Câu 2 : Giải phương trình: cos x + sin x sin 4 x − sin 4 x =

1
4

Giải :
pt đã cho tương đương với pt:
1
1

1
1
1
1
1
(1 + cos 2 x ) + (cos 3x − cos 5 x) − (1 − cos 8 x) = ⇔ cos 3 x cos 5 x + cos 3x −  cos 5 x +  = 0
2
2
2
2
2
2
4
2π
2π
1


x=±
+k
cos 5 x + = 0


1 
1

15
5
2
⇔  cos 5 x +  cos 3x −  = 0 ⇔ 

⇔
1
π
2
π
2
2



x = ± + k
cos 3x − = 0


2
9
3
Câu 3 : Định m để phương trình sau có nghiệm
π
π
π



4sin3xsinx + 4cos  3x - ÷cos  x + ÷− cos 2  2x + ÷+ m = 0
4
4
4




Giải :
4sin3xsinx = 2 ( cos2x - cos4x ) ;

π
π
 
π



+/ 4cos  3x - ÷cos  x + ÷ = 2  cos  2x - ÷+ cos4x  = 2 ( sin 2x + cos4x )
4
4
2


 

π  1
π  1

2
+/ cos  2x + ÷ = 1 + cos  4x + ÷÷ = ( 1 − sin 4x )
4  2
2  2


1
1

Do đó phương trình đã cho tương đương: 2 ( cos2x + sin2x ) + sin 4x + m - = 0 (1)
2
2
π

Đặt t = cos2x + sin2x = 2cos  2x - ÷ (điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 ).
4

2
Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t − 1 . Phương trình (1) trở thành:
t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 ≤ t ≤ 2
(2) ⇔ t 2 + 4t = 2 − 2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D ) : y = 2 − 2m (là đường song song với Ox
và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): y = t 2 + 4t với − 2 ≤ t ≤ 2 .
Trong đoạn  − 2; 2  , hàm số y = t 2 + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại t = − 2 và đạt giá trị
lớn nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 − 4 2 ≤ 2 − 2 m ≤ 2 + 4 2 ⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 .

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

1
2(s inx − cos x)
=
tanx + cot 2x
cot x − 1

s inx.cos x ≠ 0
Giải : Điều kiện : sinx.cosx 
cot x ≠ 1
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Câu 4 : Giải phương trình :

2 ( s inx − cosx )
s inx cos2x
cos x − s inx
+
cos x s in2x
s inx
3π

x = − + k2π

2
4
⇔
(k ∈ Z)
Giải được cos x = −
2
 x = 3π + k2π

4
1

=

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x =
Câu 5 : Giải phương trình:

3π
+ k2π, (k ∈ Z)
4

5x
x
cos + 3 sin 2x + 3cos x + 2
2
2
=0
2sin x − 3

4 3 sin x cos 2 x − 2 cos

3
2
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Giải : Điều kiện : sin x ≠

2 3 sin 2x cos x − cos 3x − cos 2x + 3 sin 2x + 3cos x + 2 = 0
⇔ 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) − ( cos 3x − cos x ) − ( cos 2x − 1) + 2 cos x + 1 = 0
⇔ 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) + 4 cos x.sin 2 x + 2sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0
⇔ 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) + 2sin 2 x ( 2 cos x + 1) + ( 2 cos x + 1) = 0
⇔ ( 2 cos x + 1)

(

)

3 sin 2x + 2sin 2 x + 1 = 0 ⇔ ( 2 cos x + 1)

(

)

3 sin 2x − cos 2x + 2 = 0

−1

2π

 cos x = 2
 x = ± 3 + 2kπ
 2 cos x + 1 = 0
⇔
⇔
⇔
( k ∈ Ζ)
 cos  2x + π  = 1
 x = kπ; x = −π + kπ
 3 sin 2x − cos 2x + 2 = 0
÷
 

3 2
3

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
−2π
−π
x = kπ; x =
+ k2π; x =
+ k2π(k ∈ Z)
3
3
Câu 6 : Giải phương trình: sin 2 3 x cos 2 x + sin 2 x = 0
Giải : Pt tương đương:
sin 2 3 x cos 2 x + sin 2 x = 0 ⇔ (3sin x − 4sin 3 x) 2 cos 2 x + sin 2 x = 0
⇔ sin 2 x (3 − 4sin 2 x) 2 cos 2 x + 1 = 0 ⇔ { [3 − 2(1 − cos 2 x)]2 cos 2 x + 1} = 0

⇔ sin 2 x (1 + 2 cos 2 x) 2 cos 2 x + 1 = 0 ⇔ sin 2 x ( 4 cos 3 2 x + 4 cos 2 2 x + cos 2 x + 1) = 0
sin x = 0
 x = kπ

⇔ sin x ( cos 2 x + 1) ( 4 cos 2 x + 1) = 0 ⇔ cos 2 x = −1
⇔
(k ∈ ¢ )
π
 x = + kπ
 4 cos 2 2 x + 1 = 0 (VN)

2
2

2

SƯU TẦM

GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

2 ( cos x − sin x )
1
=
tan x + cot 2 x
cot x − 1
cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0
Giải : Điều kiện: 
cot x ≠ 1

Câu 7 : Giải phương trình lượng giác:

1
Phương trình tương đương sin x cos 2 x
+
cos x sin 2 x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
π

x = + k 2π

2
4
⇔ cos x =
⇔

( k ∈¢)
2
 x = − π + k 2π

4

=

2 ( cos x − sin x )
cos x.sin 2 x
⇔
= 2 sin x
cos x
cos x
−1
sin x

Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = −
Câu 8 : Giải phương trình trên khoảng (0; π ) :

4sin 2

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
4

x
3π
− 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − )
2

4

3π 

Giải : ⇔ 2 ( 1 − cos x ) − 3 cos 2x = 1 + 1 + cos  2x − ÷
2 

⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2x = 2 − sin 2x

⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x . ( Chia 2 vế cho 2 )
⇔ − cos x =

π

3
1
cos 2x − sin 2x ⇔ cos  2x + ÷ = cos ( π − x )
6

2
2

5π
2π
7π
+k
a ) hoÆc x = −
+ h2π ( b )
(
18

3
6
Do x ∈ ( 0, π ) nên họ nghiệm (a) chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chọn h = 1. Do đó pt có ba nghiệm x
⇔x=

5π
17π
5π
, x2 =
, x3 =
18
18
6
Câu 9 : Giải phương trình lượng giác
1 + sin 2 x − cos 2 x
= cos x(sin 2 x + 2 cos 2 x) .
2
1 + tan x
Giải : Điều kiện: cosx ≠ 0.
Biến đổi PT về:
cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx)Û1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx)

thuộc ( 0,π ) là: x1 =

Û (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0
Û (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0
Û (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 Û sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0
π
Û tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) Û x = − + kπ , (k Î Z)
4

Câu 10 : Giải phương trình :

 5π

2.cos5 x − sin(π + 2 x) = sin 
+ 2 x ÷.cot 3 x.
 2

SƯU TẦM

( vì cosx ≠ 0)


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

Giải : ĐK: sin 3 x ≠ 0
pt ⇔ 2cos5 x + sin 2 x = cos 2 x.cot 3 x ⇔

2cos5 x sin 3 x + sin 2 x cos3 x = cos 2 x.cos3 x

⇔ 2cos5 x sin 3 x − cos5 x = 0 ⇔ cos5 x( 2 sin 3 x − 1) = 0
π k 2π

x=

+



1
12
3
≠ 0 (t/m đk) ⇔ 
+) sin 3 x =
2
 x = π + k 2π


+) cos5 x = 0 ⇔ x =

4

3

π kπ
+
(t/m đk)
10 5

2
2
Câu 11 : Giải phương trình : tan x + ( 1 + tan x ) ( 2 − 3sin x ) − 1 = 0

Giải : Điều kiện cos x ≠ 0
Phương trình viết lại 2 − 3sin x =

⇔ sin x = 1 ;sin x =

1

2

so sánh đ/k chọn sin x =

1 − tan 2 x
⇔ 2 − 3sin x = cos2 x ⇔ 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0
1 + tan 2 x

1
π
5π
⇔ x = + k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
2
6
6

π
π 1


Câu 12 : Giải phương trình cos  x − ÷+ cos  x + ÷ = cos 2 x − 1.
4
4 3


Giải :
π 1
⇔ 2 cos x.cos = ( 2 cos 2 x − 1) − 1
4 3

⇔ 3 2cosx = 2 cos 2 x − 4 ⇔ 2 cos 2 x − 3 2 cos x − 4 = 0
3π
⇔ (cos x − 2 2)( cos x + 2 )=0 ⇔ cos x = − 2 ⇔ x = ±
+ 2 kπ .
4
2
2
π
Câu 13 : Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2 2(2 − cos x) sin( x − )
4
Giải :

Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
 cos x − sin x = −1
⇔
 cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)
 x = π + k 2π
π
π
π
2
⇔ 2 sin x −
= 1 ⇔ sin x − = sin ⇔ 
(k ∈ Z )
4
4
4
 x = π + k 2π

(

)

(

Câu 14 : Giải phương trình:

)

cos3 x − cos 2 x
= 2 ( 1 + sin x ) .
sin x + cos x

Giải : ĐK: sin x + cos x ≠ 0

2
Khi đó PT ⇔ ( 1 − sin x ) ( cos x − 1) = 2 ( 1 + sin x ) ( sin x + cos x )

⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x + sin x + sin x.cos x ) = 0 ⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x ) = 0

sin x = −1
⇔
cos x = −1

π

x = − + k 2π

2
(thoả mãn điều kiện) ⇔


 x = π + m 2π
SƯU TẦM

( k , m ∈ Z)


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

π
+ k 2π và x = π + m2π ( k , m ∈ Z)
2
π
4sin 4 x + 4cos 4 ( x − ) − 1
Câu 15 : Giải phương trình
.
(1)
4
=2
cos2x
π
π
Giải :
ĐK: cos2x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k (k ∈ ¢ )
4
2
2
π 


(1) ⇔ (1 − cos2x) 2 + 1 + cos(2x- ) ÷ − 1 = 2cos2x ⇔ (1 − cos2x) 2 + (1 + sin 2x) 2 − 1 = 2cos2x
2 

⇔ 2 − 2cos2x+2sin 2x = 2cos2x ⇔ 2cos2x-sin2x = 1 ⇔ 2(cos 2 x − sin 2 x) − (cosx+ s inx) 2 = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = −

π

x = − + kπ
 cosx+sinx = 0

⇔ (cosx+sinx)(cosx − 3sinx) = 0 ⇔ 
⇔
(k ∈ ¢)
4

 cosx − 3s inx = 0
 x = arctan 3 + kπ
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là x = arctan 3 + kπ (k ∈ ¢ )

π
4sin x.sin( x + ) + 5 3 sin x + 3(cos x + 2)
Câu 16 : Giải phương trình:
3
=1
1 − 2 cos x

π
+ k 2π

3
π
π
π
PT ⇔ 1 − 2.cos(2 x + ) + 5( 3 sin x + cos x ) + 5 = 0 ⇔ 4.sin 2 ( x + ) + 10 sin( x + ) + 4 = 0
3
6
6
π

π
sin(
x
+
) = −1/ 2


x = − + k 2π (L)
6

⇔
⇔
3

sin( x + π ) = −2 (VN )
 x = π + k 2π

6
VËy S = { π + k 2π }
Giải : ĐK : x ≠ ±

Câu 17 : Giải phương trình:

Giải : ĐK: x ≠ −

cos 2 x.( cos x − 1)
sin x + cos x

= 2 ( 1 + sin x )

π
+ kπ .
4

PT ⇔ (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x)

π

1 + sin x = 0
x = − + k 2π ( Thoả mãn điều kiện)
1 + sin x = 0

⇔
⇔
⇔
2

sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0
( 1 + sin x ) ( cos x + 1) = 0
 x = π + k 2π

Câu 18 :

( sin x + cos x )
Giải phương trình :

2

− 2sin 2 x
2  π

π

=
sin  − x ÷− sin  − 3 x ÷ .
2

1 + cot x
2  4

4


Giải : Điều kiện sin x ≠ 0 hay x ≠ kπ ; k ∈ Z .Phương trình đã cho tương đương với

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

π

π

2 cos  − 2 x ÷sin x ⇔ cos  − 2 x ÷( sin x − 1) = 0
4

4

3π kπ

 π

x=
+

cos
−
2
x
=
0
8
2
÷
⇔   4
⇔
( k, m ∈ Z )




π

x = + m 2π
sin x − 1 = 0

2
3π kπ
π
+
; x = + m2π ; ( k , m ∈ Z )
So với điều kiện nghiệm của phương trình là x =
8
2
2

( cos 2 x + sin 2 x ) sin 2 x =

1
2(s inx − cos x)
.
=
tanx + cot 2x
cot x − 1
s inx.cos x ≠ 0
Giải : Điều kiện : 
cot x ≠ 1

Câu 19 : Giải phương trình :

1
Phương trình đã cho tương đương với phương trình: s inx cos2x
+
cos x s in2x

=

2 ( s inx − cosx )
cos x − s inx
s inx

2
3π
3π
⇔ x = − + k2 π, x =
+ k2 π(k ∈ Z)
2
4
4
3π
+ k2π, (k ∈ Z)
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x =
4
sin 2 x
1
+
= 2cosx .
Câu 20 : Giải phương trình:

sin x + cos x
2. tan x
Giải : ĐK : sin x ≠ 0, cos x ≠ 0,sin x + cos x ≠ 0.
cos x
2 sin x cos x
+
− 2 cos x = 0
Phương trình đã cho tương đương :
2 sin x sin x + cos x

Giải được cos x = −

2 cos 2 x
π


⇔
−
= 0 ⇔ cos x  sin( x + ) − sin 2 x ÷ = 0
4
2 sin x sin x + cos x


π
+) cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Û .
2
π
π



x = + m2π
2 x = x + + m2π


π
π t 2π
4
4
⇔
m, n ∈ Z ⇔ x = +
, t ∈Û .
+) sin 2 x = sin( x + ) ⇔ 
4
4
3
 x = π + n 2π
 2 x = π − x − π + n2π

4
3
4

π
π t 2π
, k, t ∈ Û .
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = + kπ ; x = +
2
4
3
π

π
sin( x − ) + cos( − x)
x
Câu 21 : Giải phương trình: 1
.
6
3
− (cos x + s inx.tan ) =
2
cos x
2
cos x
cos x ≠ 0

Giải : Điều kiện 
.
x
cos 2 ≠ 0
cos x

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

2π
π
cos( − x) + cos( − x)

1
x
3
3
− (cos x + 2sin 2 ) =
cos 2 x
2
cos x
π
π
2 cos( − x) cos
1
2
6 ⇔ 1 − 1 = 3 s inx ⇔ tan 2 x = 3 t anx
⇔
− (cos x + 1 − cos x) =
2
cos x
cos x
cos 2 x
cos x
 x = kπ
 tan x = 0
tan 2 x − 3 tan x = 0 ⇔ 
⇔
(k ∈ Z )
π

x
=

+
k
π
tan
x
=
3

3

 x = 2lπ
(l ∈ Z )
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là 
 x = π + lπ
3

cos 2 x − sin 4 x
= 3
Câu 22 : Giải phương trình:
2 cos 2 2 x + sin 2 x − 1
sin 2 x ≠ 1

2
Giải : ĐK: − 2 sin 2 x + sin 2 x + 1 ≠ 0 ⇔ 
1
sin 2 x ≠ −


2
cos 2 x − sin 4 x

= 3 ⇔ cos 2 x − sin 4 x = 3 ( sin 2 x + cos 4 x )
− 2 sin 2 2 x + sin 2 x + 1
π
π


⇔ cos 2 x − 3 sin 2 x = 3 cos 4 x + sin 4 x ⇔ cos 2 x +  = cos 4 x −  ⇔
3
6


π
π

2 x + 3 = 4 x − 6 + k 2π
π
π
2π
x = + kπ ∨ x = − + k

.
4
6
3
2 x + π = −4 x + π + k 2π

3
6
π
2π

So lại điều kiện được nghiệm phương trình đã cho x = − + k
6
3
x
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2
Câu 23 : Giải phương trình:
2
=0
2sinx - 3
x
3
Giải : Điều kiện: s inx ≠
và cos ≠ 0 và cosx ≠ 0
2
2
cosx = 1
3
2
Biến đổi pt về: 4cos x - 4 cos x – cosx + 1 = 0 ⇔ 
cosx = ± 1

2
2
Câu 24 : Giải phương trình 2cos x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) .
Giải :
Phương trình ⇔

2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) ⇔ (sin x + 3 cos x) 2 − 3(sin x + 3 cos x) = 0

⇔ sin x + 3 cos x = 0 ∨ sin x + 3 cos x = 3 (1)

Phương trình sin x + 3 cos x = 3 vô nghiệm vì 12 + ( 3 ) 2 < 3 2
π
π
Nên (1) ⇔ tan x = − 3 ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ). Vậy, PT có nghiệm là: x = − + kπ ( k ∈ ¢ ).
3
3
SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

 5π

− x ÷sin x = 1
Câu 25 : Giải phương trình : 2 2 cos 
 12

Giải :
 
5π 
5π 
⇔ 2 sin  2 x −
÷+ sin  = 1
12 
12 
 
5π 
5π

1
π
5π


⇔ sin  2 x −
=
= sin ⇔ sin  2 x −
÷+ sin
12 
12
4
12
2


π
 π 
 π 
= 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷
3
 12 
 12 

π
5π

=
÷ = sin − sin
4

12


π
5π
π


x = + kπ
2x −
= − + k 2π


5
π
π




6
12
12
⇔ sin  2 x −
⇔
( k ∈¢)
÷ = sin  − ÷ ⇔ 
12 

 12 

 x = 3π + kπ
 2 x − 5π = 13π + k 2π


12 12
4
2
3
4
Câu 26 : Giải phương trình: sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x
Giải :
sin x − cosx = 0
⇔ (sin x − cosx).[ 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = 0 ⇔ 
 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0
π
+ Với sin x − cosx = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z )
4
+ Với 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 , đặt t = sin x + cosx (t ∈  − 2; 2  )
 x = π + m 2π
t
=
−
1

(m ∈ Z )
được pt : t2 + 4t +3 = 0 ⇔ 
t = -1 ⇒ 
 x = − π + m 2π
t = −3(loai )


2
π
π
Vậy : x = + kπ , x = π + m 2π , x = − + m 2π (m ∈ Z , k ∈ Z )
4
2

Câu 27 : Giải phương trình :

π
2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + )
4

Giải :

π 

PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x ) = 3 1 + cos(4x+ ) ÷ ⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0
2 


π
π

x =− +k

π
π
π
18

3
⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0 ⇔ 2sin(3 x + ).cosx=0 ⇔ 
6
6
6
 x= π + kπ
 2
π
π
π
Vậy PT có hai nghiệm x = + kπ và x = − + k .
2
18
3
sin 2 x
1
+
= 2cosx .
Câu 28 : Giải phương trình:
sin x + cos x
2. tan x
Giải : Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0,sin x + cos x ≠ 0.

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2
cos x

Pt đã cho trở thành

+

2 sin x cos x
− 2 cos x = 0
sin x + cos x

2 sin x
cos x
2 cos x
π


⇔
−
= 0 ⇔ cos x  sin( x + ) − sin 2 x ÷ = 0
4
2 sin x sin x + cos x


π
+) cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Û .
2
π
π


x = + m2π

2 x = x + + m2π


π
π t 2π
4
4
⇔
m, n ∈ Û ⇔ x = +
, t ∈Û .
+) sin 2 x = sin( x + ) ⇔ 
4
4
3
 x = π + n2π
2 x = π − x − π + n 2π

4
3

4
π
π t 2π
, k, t ∈ Û .
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : x = + kπ ; x = +
2
4
3
Câu 29 : Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
Giải :

Phương trình ⇔ ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0
⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ⇔ ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0
1
π
π
⇔ tan x = 1; cos x = ⇔ x = + k .π ; x = ± + l .π ( k , l ∈ ¢ ) ( k,l ∈ Z).
2
4
3
2
2
3
Câu 30 : Giải phương trình sin x cos 2 x + cos x ( tan x − 1) + 2 sin x = 0 .
2

Giải :

Điều kiện cos x ≠ 0
sin x cos 2 x + cos 2 x ( tan 2 x − 1) + 2 sin 3 x = 0 ⇔ sin x ( 1 − 2sin 2 x ) + 2 sin 2 x − 1 + 2sin 3 x = 0

1
π
π
5π
⇔ x = − + k 2π ; x = + k 2π ; x =
+ k 2π .
2
2
6
6

5π
π

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm S =  + k 2π ; + k 2π 
6
6


1
1
+
Câu 31 : Giải phương trình: 2.cos 2 x =
(1)
sin x cos x
⇔ 2sin 2 x + sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = −1;sin x =

Giải : Điều kiện: x ≠ k
(1) ⇔ 2.cos 2 x −

π
2

cos x + sin x
2
=0 ⇔
(cos x − sin x)(cos x + sin x)sin 2 x − (cos x + sin x) = 0
sin x.cos x
2

⇔ (cos x + sin x) (cos x − sin x)sin 2 x − 2  = 0


π

2
sin
x
+
cos x + sin x = 0

÷= 0

4

⇔
⇔
(cos x − sin x)sin 2 x − 2 = 0
(cos x − sin x) ( 1 − (cos x − sin x) 2 ) − 2 = 0


−π
 
π
x
=
+ kπ
−π
4
sin  x + 4 ÷ = 0
⇔
⇔ 


+ kπ
ĐS: x =
3
π
4
x=
+ k 2π
(cos x − sin x)3 − (cos x − sin x) + 2 = 0
4
SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

1
3x
7
Câu 32 : Giải phương trình: 4cos4x – cos2x − cos4x + cos
=
2
4
2
Giải :
1
3x
7
.

4cos4x – cos2x − cos4x + cos
=
2
4
2
1
3x
7
3x
2
⇔ cos2x + cos
⇔ (1 + cos2x)2 – cos2x − (2cos 2 x − 1) + cos
=
=2
2
4
2
4
cos2x = 1
 x = kπ


⇔
( vì VT ≤ 2 với mọi x) ⇔ 
m8π (k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ ( n ∈ ¢ )
3x
 x = 3
cos 4 = 1

Câu 33 : Giải phương trình sau :

1
x 1
x
+ cos 2 = sin 2 .
4
3 2
2

Giải :

2x
1 + cos
1
x
1
x
1
3 = 1 − cos x
+ cos 2 = sin 2 ⇔ +
4
3 2
2
4
2
4
2x
⇔ 1 + 2 + 2 cos
= 1 − cos x ⇔ 2 + 2 cos 2a = − cos 3a
3

x

a = ÷
3


⇔ 2 + 2 ( 2 cos 2 a − 1) = − ( 4 cos 3 a − 3 cos a ) ⇔ 2 + 4 cos 2 a − 2 + 4 cos3 a − 3 cos a = 0
⇔ cos a ( 4 cos 2 a + 4 cos a − 3 ) = 0

 cos a = 0

1
⇔  cos a =

2

3
 cos a = −

2

x

x π
3π

cos 3 = 0
 3 = 2 + kπ
x=

+ k 3π

⇔
⇔
⇔
2

cos x = cos π
 x = ± π + k 2π
 x = ±π + k 6π .

3

3
3

3
( loaïi )

Câu 34 : Giải phương trình :

π
2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + )
4

Giải :

π 

PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x ) = 3 1 + cos(4x+ ) ÷

2 

⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0
π
π
⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0
6
6
π
π

x =− +k

π
18
3
⇔ 2sin(3x + ).cosx=0 ⇔ 
6
 x= π + kπ
 2
π
π
π
Vậy PT có hai nghiệm x = + kπ và x = − + k .
2
18
3

SƯU TẦM

GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

ON TAP LUONG GIAC
sin x + cos x
4

Câu 1 : Giải phương trình :

4

sin 2 x

=

1
2

( tan x + cot x )

2
2
Câu 2 : Giải phương trình: cos x + sin x sin 4 x − sin 4 x =

1
4

Câu 3 : Định m để phương trình sau có nghiệm

π
π
π



4sin3xsinx + 4cos  3x - ÷cos  x + ÷− cos 2  2x + ÷+ m = 0
4
4
4



1
2(s inx − cos x)
=
tanx + cot 2x
cot x − 1
5x
x
4 3 sin x cos 2 x − 2 cos cos + 3 sin 2x + 3cos x + 2
Câu 5 : Giải phương trình:
2
2
=0
2sin x − 3
Câu 6 : Giải phương trình: sin 2 3 x cos 2 x + sin 2 x = 0

Câu 4 : Giải phương trình :

Câu 7 : Giải phương trình lượng giác:

2 ( cos x − sin x )
1
=
tan x + cot 2 x
cot x − 1

Câu 8 : Giải phương trình trên khoảng (0; π ) :

4sin 2

x
3π
− 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − )
2
4

Câu 9 : Giải phương trình lượng giác
1 + sin 2 x − cos 2 x
= cos x(sin 2 x + 2 cos 2 x) .
2
1 + tan x
Câu 10 : Giải phương trình :

 5π

2.cos5 x − sin(π + 2 x) = sin 
+ 2 x ÷.cot 3 x.
 2



2
2
Câu 11 : Giải phương trình : tan x + ( 1 + tan x ) ( 2 − 3sin x ) − 1 = 0

π
π 1


Câu 12 : Giải phương trình cos  x − ÷+ cos  x + ÷ = cos 2 x − 1.
4
4 3


π
Câu 13 : Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2 2(2 − cos x) sin( x − )
4
Câu 14 : Giải phương trình:

cos3 x − cos 2 x
= 2 ( 1 + sin x ) .
sin x + cos x

π
4sin 4 x + 4cos 4 ( x − ) − 1
Câu 15 : Giải phương trình
.
(1)
4

=2
cos2x
π
4sin x.sin( x + ) + 5 3 sin x + 3(cos x + 2)
Câu 16 : Giải phương trình:
3
=1
1 − 2 cos x
Câu 17 : Giải phương trình:

Câu 18 :

cos 2 x.( cos x − 1)
sin x + cos x

( sin x + cos x )
Giải phương trình :

Câu 19 : Giải phương trình :

= 2 ( 1 + sin x )

2

− 2sin 2 x
2  π

π

=

sin  − x ÷− sin  − 3 x ÷ .
2

1 + cot x
2  4

4


1
2(s inx − cos x)
.
=
tanx + cot 2x
cot x − 1
SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

sin 2 x
1
+
= 2cosx .
sin x + cos x
2. tan x
π
π

sin( x − ) + cos( − x)
x
Câu 21 : Giải phương trình: 1
.
6
3
− (cos x + s inx.tan ) =
2
cos x
2
cos x
cos 2 x − sin 4 x
= 3
Câu 22 : Giải phương trình:
2 cos 2 2 x + sin 2 x − 1
x
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2
Câu 23 : Giải phương trình:
2
=0
2sinx - 3
Câu 20 : Giải phương trình:

Câu 24 : Giải phương trình 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) .
 5π

− x ÷sin x = 1
Câu 25 : Giải phương trình : 2 2 cos 
 12


2
Câu 26 : Giải phương trình: sin x + sin x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x
π
2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + )
Câu 27 : Giải phương trình :
4
sin 2 x
1
+
= 2cosx .
Câu 28 : Giải phương trình:
sin x + cos x
2. tan x
Câu 29 : Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
2
2
3
Câu 30 : Giải phương trình sin x cos 2 x + cos x ( tan x − 1) + 2 sin x = 0 .
1
1
+
(1)
sin x cos x
1
3x
7
Câu 32 : Giải phương trình: 4cos4x – cos2x − cos4x + cos
=
2
4

2

Câu 31 : Giải phương trình:

2.cos 2 x =

Câu 33 : Giải phương trình sau :
Câu 34 : Giải phương trình :

1
x 1
x
+ cos 2 = sin 2 .
4
3 2
2

π
2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + )
4

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

1. Giải : Điều kiện: sin 2 x ≠ 0
1

1
1 − sin 2 2 x
1 − sin 2 2 x
1  sin x cos x 
1
1
2
2
(1) ⇔
= 
+
=
⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0
÷⇔
sin 2 x
2  cos x sin x 
sin 2 x
sin 2 x
2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2. Giải :
pt đã cho tương đương với pt:
1
1
1
1
1
1
1
(1 + cos 2 x ) + (cos 3x − cos 5 x) − (1 − cos 8 x) = ⇔ cos 3 x cos 5 x + cos 3x −  cos 5 x +  = 0

2
2
2
2
2
2
4
2π
2π
1


x
=
±
+
k
cos
5
x
+
=
0


1 
1

15
5

2
⇔  cos 5 x +  cos 3x −  = 0 ⇔ 
⇔
1
π
2
π
2 
2

x = ± + k
cos 3x − = 0


2
9
3
3. Giải :
4sin3xsinx = 2 ( cos2x - cos4x ) ;

π
π
 
π



+/ 4cos  3x - ÷cos  x + ÷ = 2  cos  2x - ÷+ cos4x  = 2 ( sin 2x + cos4x )
4
4

2


 

π  1
π  1

2
+/ cos  2x + ÷ = 1 + cos  4x + ÷÷ = ( 1 − sin 4x )
4  2
2  2


1
1
Do đó phương trình đã cho tương đương: 2 ( cos2x + sin2x ) + sin 4x + m - = 0 (1)
2
2
π


Đặt t = cos2x + sin2x = 2cos  2x - ÷ (điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 ).
4

2
Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t − 1 . Phương trình (1) trở thành:
t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 ≤ t ≤ 2
(2) ⇔ t 2 + 4t = 2 − 2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D ) : y = 2 − 2m (là đường song song với Ox

và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): y = t 2 + 4t với − 2 ≤ t ≤ 2 .
Trong đoạn  − 2; 2  , hàm số y = t 2 + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại t = − 2 và đạt giá trị
lớn nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 − 4 2 ≤ 2 − 2 m ≤ 2 + 4 2 ⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 .
s inx.cos x ≠ 0
4. Giải : Điều kiện : sinx.cosx 
cot x ≠ 1
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2 ( s inx − cosx )
s inx cos2x
cos x − s inx
+
cos x s in2x
s inx
3π

x
=
−
+ k2π

2
4
⇔
(k ∈ Z)
Giải được cos x = −
2
 x = 3π + k2π

4

1

=

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x =

3π
+ k2π, (k ∈ Z)
4

3
2
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

5. Giải : Điều kiện : sin x ≠

2 3 sin 2x cos x − cos 3x − cos 2x + 3 sin 2x + 3cos x + 2 = 0
⇔ 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) − ( cos 3x − cos x ) − ( cos 2x − 1) + 2 cos x + 1 = 0
⇔ 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) + 4 cos x.sin 2 x + 2sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0
⇔ 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) + 2sin 2 x ( 2 cos x + 1) + ( 2 cos x + 1) = 0
⇔ ( 2 cos x + 1)

(

)

3 sin 2x + 2sin 2 x + 1 = 0 ⇔ ( 2 cos x + 1)

(

)

3 sin 2x − cos 2x + 2 = 0

−1

2π

cos x =
x=±
+ 2kπ


2
cos
x
+
1
=
0

2
3

⇔
⇔
⇔
( k ∈ Ζ)
 cos  2x + π  = 1
 x = kπ; x = −π + kπ
 3 sin 2x − cos 2x + 2 = 0
÷
 

3 2
3
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
−2π
−π
x = kπ; x =
+ k2π; x =
+ k2π(k ∈ Z)
3
3
6. Giải : Pt tương đương:
sin 2 3 x cos 2 x + sin 2 x = 0 ⇔ (3sin x − 4sin 3 x) 2 cos 2 x + sin 2 x = 0
⇔ sin 2 x (3 − 4sin 2 x) 2 cos 2 x + 1 = 0 ⇔ { [3 − 2(1 − cos 2 x)]2 cos 2 x + 1} = 0

⇔ sin 2 x (1 + 2 cos 2 x) 2 cos 2 x + 1 = 0 ⇔ sin 2 x ( 4 cos 3 2 x + 4 cos 2 2 x + cos 2 x + 1) = 0

sin x = 0
 x = kπ

⇔ sin x ( cos 2 x + 1) ( 4 cos 2 x + 1) = 0 ⇔ cos 2 x = −1

⇔
(k ∈ ¢ )
π

x
=
+
k
π
 4 cos 2 2 x + 1 = 0 (VN)

2

cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0
7. Giải : Điều kiện: 

cot x ≠ 1
2

2

2 ( cos x − sin x )
1
cos x.sin 2 x
=
⇔
= 2 sin x
Phương trình tương đương sin x cos 2 x
cos x
cos

x
+
−1
cos x sin 2 x
sin x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
π

x = + k 2π

2
4
⇔ cos x =
⇔
( k ∈ ¢ ) Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã
π
2
 x = − + k 2π

4
π
cho là x = − + k 2π ( k ∈ ¢ )
4
3π 

8. Giải : ⇔ 2 ( 1 − cos x ) − 3 cos 2x = 1 + 1 + cos  2x − ÷
2 

⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2x = 2 − sin 2x
SƯU TẦM

GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x . ( Chia 2 vế cho 2 )
⇔ − cos x =

π

3
1
cos 2x − sin 2x ⇔ cos  2x + ÷ = cos ( π − x )
6

2
2

5π
2π
7π
+k
a ) hoÆc x = −
+ h2π ( b )
(
18
3
6
Do x ∈ ( 0, π ) nên họ nghiệm (a) chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chọn h = 1. Do đó pt có ba nghiệm x

⇔x=

5π
17π
5π
,x 2 =
,x 3 =
18
18
6
9. Giải : Điều kiện: cosx ≠ 0
Biến đổi PT về:
cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx)Û1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) ( vì cosx ≠ 0)
Û (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0
Û (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0
Û (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 Û sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0
π
Û tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) Û x = − + kπ , (k Î Z)
4
10. Giải : ĐK: sin 3x ≠ 0
pt ⇔ 2cos5 x + sin 2 x = cos 2 x.cot 3 x ⇔ 2cos5 x sin 3 x + sin 2 x cos3 x = cos 2 x.cos3 x

thuộc ( 0,π ) là: x1 =

⇔ 2cos5 x sin 3 x − cos5 x = 0 ⇔ cos5 x( 2 sin 3 x − 1) = 0
π k 2π

x=

+


1
12
3
≠ 0 (t/m đk) ⇔ 
+) sin 3 x =
2
 x = π + k 2π


+) cos5 x = 0 ⇔ x =

4

3

π kπ
+
(t/m đk)
10 5

11. Giải : Điều kiện cos x ≠ 0

Phương trình viết lại 2 − 3sin x =

⇔ sin x = 1 ;sin x =

1
2

so sánh đ/k chọn sin x =

1 − tan 2 x
⇔ 2 − 3sin x = cos2 x ⇔ 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0
2
1 + tan x

1
π
5π
⇔ x = + k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
2
6
6

12. Giải :

π 1
= ( 2 cos 2 x − 1) − 1
4 3
⇔ 3 2cosx = 2 cos 2 x − 4 ⇔ 2 cos 2 x − 3 2 cos x − 4 = 0
3π
⇔ (cos x − 2 2)( cos x + 2 )=0 ⇔ cos x = − 2 ⇔ x = ±
+ 2 kπ .
4
2
2
⇔ 2 cos x.cos

13. Giải :

Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
 cos x − sin x = −1
⇔
 cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

 x = π + k 2π
2
⇔ 2 sin x − π = 1 ⇔ sin x − π = sin π ⇔ 
(k ∈ Z )
4
4
4
 x = π + k 2π

(

)

(

)

14. Giải : ĐK: sin x + cos x ≠ 0

2
Khi đó PT ⇔ ( 1 − sin x ) ( cos x − 1) = 2 ( 1 + sin x ) ( sin x + cos x )

⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x + sin x + sin x.cos x ) = 0 ⇔ ( 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x ) = 0

π

x = − + k 2π

( k , m ∈ Z)
2
(thoả mãn điều kiện) ⇔

 x = π + m2π
π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = − + k 2π và x = π + m 2π ( k , m ∈ Z)
2
π
π
15. Giải :
ĐK: cos2x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k (k ∈ ¢ )
4
2
2
π 


(1) ⇔ (1 − cos2x) 2 + 1 + cos(2x- ) ÷ − 1 = 2cos2x ⇔ (1 − cos2x) 2 + (1 + sin 2x) 2 − 1 = 2cos2x
2 

sin x = −1
⇔
cos x = −1

⇔ 2 − 2cos2x+2sin 2x = 2cos2x ⇔ 2cos2x-sin2x = 1 ⇔ 2(cos 2 x − sin 2 x) − (cosx+ s inx) 2 = 0

π

x = − + kπ
 cosx+sinx = 0

⇔ (cosx+sinx)(cosx − 3sinx) = 0 ⇔ 
⇔
(k ∈ ¢)
4

 cosx − 3s inx = 0
 x = arctan 3 + kπ
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là x = arctan 3 + kπ (k ∈ ¢ )
16. Giải : ĐK : x ≠ ±

π
+ k 2π
3

π
π

π
PT ⇔ 1 − 2.cos(2 x + ) + 5( 3 sin x + cos x) + 5 = 0 ⇔ 4.sin 2 ( x + ) + 10sin( x + ) + 4 = 0
3
6
6
π

π

sin( x + 6 ) = −1/ 2
x = − + k 2π (L)

⇔
⇔
3

sin( x + π ) = −2 (VN )
 x = π + k 2π

6
Vậy S = { π + k 2π }
17. Giải : ĐK: x ≠ −

π
+ kπ .
4

PT ⇔ (1 + sin x)(1 − sin x)(cos x − 1) = 2(1 + sin x)(sin x + cos x)

π


1 + sin x = 0
x = − + k 2π ( Thoả mãn điều kiện)
1 + sin x = 0

⇔
⇔
⇔
2

sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0
( 1 + sin x ) ( cos x + 1) = 0
 x = π + k 2π

18. Giải : Điều kiện xác định sin x ≠ 0 hay x ≠ kπ ; k ∈ Z .
Phương trình đã cho tương đương với

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

π

π

2 cos  − 2 x ÷sin x ⇔ cos  − 2 x ÷( sin x − 1) = 0
4


4

3π kπ

 π

x=
+

cos
−
2
x
=
0
8
2
÷
⇔   4
⇔
( k, m ∈ Z )



π

x = + m 2π
sin x − 1 = 0


2
3π kπ
π
+
; x = + m2π ; ( k , m ∈ Z )
So với điều kiện nghiệm của phương trình là x =
8
2
2
s
inx.cos
x
≠
0

19. Giải : Điều kiện : sinx.cosx 
cot x ≠ 1

( cos 2 x + sin 2 x ) sin 2 x =

2 ( s inx − cosx )
1
=
Phương trình đã cho tương đương với phương trình: s inx cos2x
cos x − s inx
+
cos x s in2x
s inx
2
3π

3π
⇔ x = − + k2 π, x =
+ k2 π(k ∈ Z)
2
4
4
3π
+ k2π, (k ∈ Z)
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x =
4
20. Giải : ĐK : sin x ≠ 0, cos x ≠ 0,sin x + cos x ≠ 0.
cos x
2 sin x cos x
+
− 2 cos x = 0
Phương trình đã cho tương đương :
2 sin x sin x + cos x

Giải được cos x = −

2 cos 2 x
π


⇔
−
= 0 ⇔ cos x  sin( x + ) − sin 2 x ÷ = 0
4
2 sin x sin x + cos x



π
+) cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Û .
2
π
π


x = + m2π
2 x = x + + m2π


π
π t 2π
4
4
⇔
m, n ∈ Z ⇔ x = +
, t ∈Û .
+) sin 2 x = sin( x + ) ⇔ 
4
4
3
 x = π + n 2π
 2 x = π − x − π + n2π

4
3
4


π
π t 2π
, k, t ∈ Û .
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = + kπ ; x = +
2
4
3
cos x ≠ 0

21. Giải : Điều kiện 
.
x
cos 2 ≠ 0
2π
π
cos( − x) + cos( − x)
Phương trình ⇔ 1
2 x
3
3
− (cos x + 2sin ) =
cos 2 x
2
cos x
π
π
2 cos( − x) cos
1
2
6 ⇔ 1 − 1 = 3 s inx ⇔ tan 2 x = 3 t anx

⇔
− (cos x + 1 − cos x) =
2
cos x
cos x
cos 2 x
cos x
 x = kπ
 tan x = 0
2
tan x − 3 tan x = 0 ⇔ 
⇔
(k ∈ Z )
π

x
=
+
k
π
tan
x
=
3

3

cos x

SƯU TẦM

GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

 x = 2lπ
(l ∈ Z )
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là 
 x = π + lπ
3

sin 2 x ≠ 1

2
22. Giải : ĐK: − 2 sin 2 x + sin 2 x + 1 ≠ 0 ⇔ 
1
sin 2 x ≠ −


2
cos 2 x − sin 4 x
= 3 ⇔ cos 2 x − sin 4 x = 3 ( sin 2 x + cos 4 x )
− 2 sin 2 2 x + sin 2 x + 1
π
π


⇔ cos 2 x − 3 sin 2 x = 3 cos 4 x + sin 4 x ⇔ cos 2 x +  = cos 4 x −  ⇔
3

6


π
π

2 x + 3 = 4 x − 6 + k 2π
π
π
2π
x = + kπ ∨ x = − + k

.
4
6
3
2 x + π = −4 x + π + k 2π
3
6

π
2π
So lại điều kiện được nghiệm phương trình đã cho x = − + k
6
3
x
3
23. Giải : Điều kiện: s inx ≠
và cos ≠ 0 và cosx ≠ 0
2

2
cosx = 1
Biến đổi pt về: 4cos3x - 4 cos2x – cosx + 1 = 0 ⇔ 
cosx = ± 1

2
24. Giải :
2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) ⇔ (sin x + 3 cos x) 2 − 3(sin x + 3 cos x) = 0

⇔ sin x + 3 cos x = 0 ∨ sin x + 3 cos x = 3 (1)
Phương trình sin x + 3 cos x = 3 vô nghiệm vì 12 + ( 3 ) 2 < 3 2
π
π
Nên (1) ⇔ tan x = − 3 ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ). Vậy, PT có nghiệm là: x = − + kπ ( k ∈ ¢ ).
3
3
25 . Giải :
 
5π 
5π 
⇔ 2 sin  2 x −
÷+ sin  = 1
12 
12 
 
5π 
5π
1
π
5π 

π
5π


⇔ sin  2 x −
=
= sin ⇔ sin  2 x −
=
÷+ sin
÷ = sin − sin
12 
12
4
12 
4
12
2


π
 π 
 π 
= 2 cos sin  − ÷ = sin  − ÷
3
 12 
 12 

π
5π
π



x = + kπ
2x −
= − + k 2π


5π 

 π 
6
12
12
⇔ sin  2 x −
⇔
( k ∈¢)
÷ = sin  − ÷ ⇔ 
12 

 12 
 x = 3π + kπ
 2 x − 5π = 13π + k 2π

12 12

4
26. Giải :
sin x − cosx = 0
⇔ (sin x − cosx).[ 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = 0 ⇔ 
 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0

π
+ Với sin x − cosx = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z )
4
SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

(t ∈  − 2; 2  )
 x = π + m 2π
t = −1
2
(m ∈ Z )
được pt : t + 4t +3 = 0 ⇔ 
t = -1 ⇒ 
 x = − π + m 2π
t
=
−
3(
loai
)


2
π
π
Vậy : x = + kπ , x = π + m 2π , x = − + m 2π (m ∈ Z , k ∈ Z )

4
2
27. Giải :
+ Với 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 , đặt t = sin x + cosx

π 

PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x) = 3 1 + cos(4x+ ) ÷ ⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0
2 


π
π

 x = − 18 + k 3
π
π
π
⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0 ⇔ 2sin(3 x + ).cosx=0 ⇔ 
6
6
6
 x= π + kπ
 2
π
π
π
Vậy PT có hai nghiệm x = + kπ và x = − + k .
2
18

3
sin
x
≠
0,
cos
x
≠
0,sin
x
+
cos
x
≠
0.
28. Giải : Điều kiện:
cos x
2 sin x cos x
+
− 2 cos x = 0
Pt đã cho trở thành
2 sin x sin x + cos x
cos x
2 cos 2 x
π


⇔
−
= 0 ⇔ cos x  sin( x + ) − sin 2 x ÷ = 0

4
2 sin x sin x + cos x


π
+) cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Û .
2
π
π


x
=
+ m2π
2
x
=
x
+
+
m
2
π


π
π t 2π
4
4
⇔

m, n ∈ Û ⇔ x = +
, t ∈Û .
+) sin 2 x = sin( x + ) ⇔ 
4
4
3
 x = π + n2π
2 x = π − x − π + n 2π


4
3
4
π
π t 2π
, k, t ∈ Û .
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : x = + kπ ; x = +
2
4
3
29.Giải :
Phương trình ⇔ ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0
⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ⇔ ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0 ⇔
1
π
π
tan x = 1; cos x = ⇔ x = + k .π ; x = ± + l .π ( k , l ∈ ¢ ) ( k,l ∈ Z).
2
4
3

30.Giải : Điều kiện cos x ≠ 0
sin x cos 2 x + cos 2 x ( tan 2 x − 1) + 2 sin 3 x = 0 ⇔ sin x ( 1 − 2sin 2 x ) + 2 sin 2 x − 1 + 2sin 3 x = 0

1
π
π
5π
⇔ x = − + k 2π ; x = + k 2π ; x =
+ k 2π .
2
2
6
6
5π
π

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm S =  + k 2π ; + k 2π 
6
6

⇔ 2sin 2 x + sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = −1;sin x =

31.Giải : Điều kiện: x ≠ k

π
2

SƯU TẦM

GV: LÊ ANH TUẤN
(1) ⇔ 2.cos 2 x −

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2
cos x + sin x
2
=0 ⇔
(cos x − sin x)(cos x + sin x)sin 2 x − (cos x + sin x) = 0
sin x.cos x
2

⇔ (cos x + sin x) (cos x − sin x)sin 2 x − 2  = 0

π

cos x + sin x = 0
 2 sin  x + 4 ÷ = 0


⇔
⇔
(cos
x
−
sin
x
)sin
2
x
−

2
=
0

(cos x − sin x) ( 1 − (cos x − sin x) 2 ) − 2 = 0


−π
 
π
x=
+ kπ
sin
x
+
=
0
÷
−π
4
 
4
⇔
⇔ 
+ kπ
ĐS: x =
3
π
4
x=

+ k 2π
(cos x − sin x)3 − (cos x − sin x) + 2 = 0
4
32.Giải :
1
3x
7
4cos4x – cos2x − cos4x + cos
=
2
4
2
1
3x
7
3x
2
⇔ cos2x + cos
⇔ (1 + cos2x)2 – cos2x − (2cos 2 x − 1) + cos
=
=2
2
4
2
4
cos2x = 1
 x = kπ


⇔

( vì VT ≤ 2 với mọi x) ⇔ 
m8π (k ; m ∈ ¢ ) ⇔ x = 8nπ ( n ∈ ¢ )
3x
 x = 3
cos 4 = 1
33.Giải :
2x
1 + cos
1
x
1
x
1
3 = 1 − cos x
+ cos 2 = sin 2 ⇔ +
4
3 2
2
4
2
4
2x
x

⇔ 1 + 2 + 2 cos
= 1 − cos x ⇔ 2 + 2 cos 2a = − cos 3a
a = ÷
3
3


.

⇔ 2 + 2 ( 2 cos 2 a − 1) = − ( 4 cos3 a − 3 cos a ) ⇔ 2 + 4 cos 2 a − 2 + 4 cos3 a − 3 cos a = 0
⇔ cos a ( 4 cos 2 a + 4 cos a − 3) = 0

 cos a = 0

1
⇔  cos a =

2

3
 cos a = −

2

x

x π
3π

cos 3 = 0
 3 = 2 + kπ
x=
+ k 3π

⇔
⇔

⇔
2

cos x = cos π
 x = ± π + k 2π
 x = ±π + k 6π .

3

3
3

3
( loaïi )

34.Giải :

SƯU TẦM


GV: LÊ ANH TUẤN

Trường THPT ĐÔNG SƠN 2

π 

PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x ) = 3 1 + cos(4x+ ) ÷
2 

⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0

π
π
⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0
6
6
π
π

 x = − 18 + k 3
π
⇔ 2sin(3 x + ).cosx=0 ⇔ 
6
 x= π + kπ
 2
π
π
π
Vậy PT có hai nghiệm x = + kπ và x = − + k .
2
18
3

SƯU TẦM