Bài tập lượng giác có lời giải (LTDDH)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (234.99 KB, 29 trang )
1.
1 1
2 2 sin x
4 sin x cosx
π
+ = +
2 sin x
sin x cos x
4
2 2 sin(x ) 2 2 sin x
4 sin x cosx 4 sin x cos x
π
+
π + π
⇔ + = ⇔ + =
sin(x ) 0 x k
4 4
1
2 sin x 2 0
sin x cos x 0 sin 2x 0
4 sin x cos x
2sin x cos x 1 sin 2x 1
π π
+ = = − + π
π
⇔ + − = ⇔ ⇔
≠ ≠
= =
x k sin 2x sin 1 0
4 2
x k (k Z)
4
sin2x 1 2x k2 x k
2 4
π π
= − + π ⇒ = − = − ≠
π
⇔ ⇔ = ± + π ∈
π π
= ⇔ = + π ⇔ = + π
2. C1.
)cos(sincossin xx2xx
5533
+=+
xx2x2x
3553
coscossinsin
−=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
332323
coscoscossin)cos(cos)sin(sin
=⇔−=−⇔
3 3 3
cos2x 0 cos2x 0
cos2x 0
x m x k x m (m Z)
tgx 1
4 2 4 4 2
sin x cos x tg x 1
= =
=
π π π π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + ∨ = + π ⇔ = + ∈
=
= =
C2.
)cos(sincossin xx2xx
5533
+=+
)cos(sin)cos)(sincos(sin xx2xxxx
552233
+=++⇔
)sin(coscos)sin(cossincossinsincoscossin xxxxxxxxxxxx
223223552323
−=−⇔+=+⇔
=
=−
⇔
=−
=−
⇔=−−⇔
xx
0xx
0xx
0xx
0xxxx
22
33
22
3322
sincos
sincos
sincos
sincos
)sin)(cossin(cos
Z)(k cossincos
sincos
sincos
∈
π
+
π
=⇔=⇔=−⇔
=
=−
⇔
2
k
4
x0x20xx
xx
0xx
22
22
3.
x3x2x
222
coscossin
+=
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x
(cos 4x cos 2x) (1 cos6x) 0
2 2 2
− + +
⇔ = + ⇔ + + + =
0xx2x340x3xx320x32xx32
2
=⇔=+⇔=+⇔
coscoscos)cos(coscoscoscoscos
Z)(k cos cos cos
∈
π
+
π
=∨
π
+
π
=∨π+
π
=⇔=∨=∨=⇔
3
k
6
x
2
k
4
xk
2
x0x30x20x
4.
)cos(sincossin xx2xx
8866
+=+
xx2x2x
6886
coscossinsin
−=−⇔
x2xx2x1x2xx21x
662626
coscoscossin)cos(cos)sin(sin
=⇔−=−⇔
Z)(m
cos
cos
cossin
cos
∈
π
+
π
=⇔
π+
π
±=
π
+
π
=
⇔
±=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
2
m
4
x
k
4
x
2
m
4
x
1tgx
0x2
1xtg
0x2
xx
0x2
666
5.
2xxxx
=++−
cossin cossin
( )
4xxxx
2
=++−⇔
cossin cossin
1
2
kx0x21x22x224xx2x21x21
22
π
=⇔=⇔=⇔=⇔=−+++−⇔
sin cos cos cossin sinsin
6 .
x2
8
13
xx
266
cossincos
=−
x2
8
13
xx
23232
cos)(sin)(cos
=−⇔
x2
8
13
xxxxxx
2224422
cos)cossinsin)(cossin(cos
=++−⇔
x213x228x2x2
8
13
x2
4
1
x2
2
1
1x2
22222
cos)sin(coscos)sinsin(cos
=−⇔=+−⇔
=+−
=
⇔
=−−
=
⇔
=−
=
⇔
06x213x22
0x2
x213x2128
0x2
x213x228
0x2
222
coscos
cos
cos)cos(
cos
cossin
cos
(loại) cos cos cos 6x2
2
1
x20x2
=∨=∨=⇔
Z)(k
∈π+
π
±=∨
π
+
π
=⇔
k
6
x
2
k
4
x
7.
x22tgx31 sin
=+
(*) . Đặt
tgxt
=
π+
π
−=⇔−=⇔−=⇔=+−+⇔=+−+⇔
+
=+⇔
k
4
x1tgx1t01t2t31t01ttt3
t1
t4
t31
223
2
))(((*)
8.
tgx32x2x3
+=+
cossin
2tgx32tgx3x2tgx3x2xtgx3
+=+⇔+=+⇔
)(coscoscos
3
2
kx
2kx
tg
3
2
tgx
1x
−=α∈
π+α=
π=
⇔
α=−=
=
⇔
tg Z)(k
cos
8.
3
sin x 2 sin x
4
π
− =
(*) . C1. Ta có :
2 sin x sin x cosx
4
π
− = −
3 3 3 3
1
2 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)
4 4
2 2
π π
⇔ − = − ⇔ − = −
x4xxx2xx
22
1
33
sin)cos(sinsin)cos(sin(*)
=−⇔=−⇔
Vì
: có ta cos cho trình phươngcủa vế haiChia . trình phươngmãn thỏa khôngcos 0x0x
3
≠=
Z)(k ))(()()(
∈π+
π
−=⇔−=⇔=++⇔+=−
k
4
x1tgx01xtg31tgxxtg1tgx41tgx
223
C2.
x4xxxxx4xx
23
sin)cos)(sincos(sinsin)cos(sin(*)
=−−⇔=−⇔
0xx2xx2x3xx4xx21xx
22
=+−−−⇔=−−⇔
cossincossinsincossin)cossin)(cos(sin
02x2x2x2x03x2x1x2x
22
=−+−⇔=−+−−⇔
)(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos
Z)(k
(loại) cos
)sin)(cos(cos
∈π+
π
−=⇔
−=
=
⇔=+−⇔
k
4
x
1tgx
2x2
0xx2x2
9.
2x43xx4
44
=++
sin)cos(sin
2x43x2
2
1
14
2
=+−⇔
sin)sin(
3
2
3
x41x4x432x22x43
2
π
=
π
−⇔−=+⇔−=−⇔
cos)cos(cossinsinsin
2
Z)(k
∈
π
+
π
−=∨
π
+
π
=⇔
2
k
12
x
2
k
4
x
10.
8 8 6 6
2(sin x cos x) sin x cos x
+ = +
8 6 6 8
2cos x cos x sin x 2sin x
⇔ − = −
6 2 6 2 6 6
cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos 2x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
x m
cos2x 0 cos2x 0
cos2x 0
4 2
x m (m Z)
tgx 1
4 2
sin x cos x tg x 1
x k
4
π π
= +
= =
=
π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ± + ∈
= ± π
= =
= ± + π
11.
8 8 10 10
5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x
4
+ = + +
10 8 8 8
5
2cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0
4
⇔ − + − + =
8 2 8 2 8 8
5 5
cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos 2x 0 cos xcos2x sin x cos2x cos2x 0
4 4
⇔ − − − + = ⇔ − + =
8 8
8 8
cos2x 0
5 k
cos2x cos x sin x 0 x
5
4 4 2
sin x cos x 1 vo â nghieäm
4
=
π π
⇔ − + = ⇔ = +
= + >
12.
0
4
3
x2x2
22
=+−
cossin
03x214x214
2
=++−−⇔
)cos()cos(
03x24x2403x244x244
22
=−+⇔=+−−−⇔
coscoscoscos
1 3
cos2x cos cos2x 1 (loaïi) 2x k2 x k (k Z)
2 3 2 3 6
π π π
⇔ = = ∨ = − < − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈
13.
03xtg4xtg
24
=+−
2 2
tg x 1 tg x 3 tgx 1 tg tgx 3 tg x k x k (k Z)
4 3 4 3
π π π π
⇔ = ∨ = ⇔ = ± = ± ∨ = ± = ± ⇔ = ± + π ∨ = ± + + π ∈
14.
x22x2
24
coscos
−=
4 2 2 2
cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loaïi)⇔ + − = ⇔ = ∨ = >
Z)(k sin
∈
π
=⇔π=⇔=⇔
2
k
xkx20x2
15.
03x4x2
42
=+− sincos
03x4x21
422
=+−−⇔
sin)sin(
03x4x4x41
442
=+−+−⇔ sinsinsin
Z)(k cossin
∈π+
π
=⇔=⇔=⇔
k
2
x0x1x
2
16.
2 2
cos x cos 2x 1
= −
011x4x4x011x2x
242222
=−+−=⇔=−−=⇔
coscoscos)cos(cos
4 2 2 2
5
4cos x 5cos x cos x 0 cos x 1 (loaïi) cos x 0 x k (k Z)
4 2
π
⇔ = ⇔ = ∨ = > ⇔ = ⇔ = + π ∈
17.
x231x2
4
coscos
=+
)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2
244224
+−=+⇔−=+⇔
=+
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔=+−⇔
5
2
x21
0x
5
2
x2
0x
5
1
x
1x
01x6x5
2
2
2
24
cos
sin
cos
sin
cos
cos
coscos
3
3 3
sin x 0 cos2x cos x k x k2 (k Z) vụựi cos
5 2 5
= = = = = + =
18.
(1) sin 2xtgx2
22
=+
. ẹieu kieọn :
0x
cos
C1.
x2xxx22
x
x
x21
2222
2
2
2
cossincossin
cos
sin
sin)(
=+=+
x2x1x2x2x2x1xx12
22422222
coscoscoscoscoscoscos)cos(
=+=+
4 2 2 2 2 2
1
2cos x cos x 1 0 cos x 1 (loaùi) cos x 2cos x 1 2cos x 1 0
2
+ = = = = =
Z)(k cos
+
=+
==
2
k
4
xk
2
x20x2
C2.
xtg22xtgxtgxtg22xtg
xtg1
xtg2
1
24222
2
2
+=++=+
+
)(
4 2 2 2
tg x tg x 2 0 tg x 1 tg x 2 (loaùi) tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
+ = = = = = = +
19.
07x213x8
4
=+
cossin
06x26x807x2113x8
2424
=+=+
sinsin)sin(sin
4 2 2 2 2
1 1 1
4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3 1 (loaùi) 2sin x 1 cos 2x
4 2 2
+ = = = > = =
Z)(k coscos
+
=+
=
==
k
6
x2k
3
x2
32
1
x2
20.
0x5x33
44
=
cossin
0x5xx21330x5x133
442422
=+=
cos)coscos(cos)cos(
=
=
=+
=
=
=
=
1x22
0x
3x212
0x
3x4
0x
x6x8
22
2
2
24
cos
cos
)cos(
cos
cos
cos
coscos
1
cos x 0 cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)
2 3 2 3 2 6
= = = = + = + = + = +
21.
2xgxtg
22
=+
cot
2
xtg
1
xtg
2
2
=+
(1) . ẹieu kieọn :
0tgx
(1)
01xtg01xtg2xtg
2224
==+
)(
2
tg x 1 tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
= = = = +
22.
(1)
cos
2
x
1
xtg4
2
4
+=
. ẹieu kieọn :
0x
cos
4 2 4 2 2 2
3
(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 tg x 1 tg x (loaùi)
4
= + + = = =
tgx 1 tg x k (k Z)
4 4
= = = +
23.
8
1
xx
88
=+
cossin
8
1
xx2xx
8
1
xx
442442424
=+=+ cossin)cos(sin)(cos)(sin
4
4
2 2 4 2 4
1 1 1 1 1
(1 sin 2x) 2(sin x cos x) 1 sin 2x sin 2x 2 sin2x
2 8 4 2 8
= + =
1x2x22x288
8
1
x2
8
1
x2
4
1
x21
442442
=+=+
sinsinsinsinsinsin
4 2 2 2
sin 2x 8sin 2x 7 0 sin 2x 1 sin 2x 7 1 (loaùi) + = = = >
0x2 = cos
Z) (k
+
=+
=
2
k
4
xk
2
x2
24.
03xx5x212
=+
)cos(sin)sin(
03xx5xx2
2
=+
)cos(sin)cos(sin
3 2
sin x cos x 1 sin x cosx 2 (loaùi) sin x sin
2 4 2 4
= = > = =
3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)
4 4 4 4 2
= + = + = + = +
25.
07xx12x215
=+++
)cos(sin)sin(
07xx12xx5
2
=+++
)cos(sin)cos(sin
7 2 7
sin x cosx 1 sinx cos x sin x sin sin x sin
5 4 2 4 4
5 2
+ = + = + = = + = =
3
x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z
2 4 4
= = + = + = +
26.
0xxx4x3
4224
=+
sinsincoscos
27.
2
2
4 2
2 cos x 5 cos x 15 0
cosx
cos x
+ + =
28.
2
2
1 1
cos x 2 cos x 2 0
cosx
cos x
+ + + =
2 2
1 1 1 1
cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cos x
cosx cosx cosx cosx
+ = + + = +
1 1
cos x 0 (1) cos x 2 (2)
cosx cos x
+ = + =
.ẹieu kieọn :
0x
cos
nghieọm) (voõ coscos)( 1x0x11
22
==+
Z)(k cos)(coscoscos)(
====+
2kx1x01x01x2x2
22
29.
x
1
x
x
1
x
2
2
cos
cos
cos
cos
+=+
2 2
1 1 1 1
cosx 2 cos x cos x cos x 2 0
cosx cosx cos x cos x
+ = + + + =
1 1
cos x 1 (1) cosx 2 (2)
cosx cosx
+ = + =
.ẹieu kieọn :
0x
cos
nghieọm) (voõ coscos)( 01xx1
2
=++
Z)(k cos)(coscoscos)(
====+
2kx1x01x01x2x2
22
30.
2
2
1 1
cos x 2 cosx 1
cosx
cos x
+ = +
2
1 1
cosx 2 2 cosx 1
cosx cosx
+ = +
5
2
1 1
cosx 2 cos x 1 0
cosx cosx
⇔ − − − + =
01
x
1
x01
x
1
x
2
=−−⇔=−−⇔
cos
cos]
cos
[cos
01xx
2
=−−⇔ coscos
1 5 1 5
cos x 1 (loại) cosx cos x k2 (k Z)
2 2
+ −
⇔ = > ∨ = = α ⇔ = ± α + π ∈
31.
2
2
1 1
2 cos x 7 cos x 2 0
cosx
cos x
+ + − + =
2 2
1 1 1 1
2 cosx 2 7 cosx 2 0 2 cos x 7 cos x 6 0
cosx cos x cosx cos x
⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
1 1 3
cos x 2 (1) cos x (2)
cosx cosx 2
⇔ − = − ∨ − = −
. Điều kiện :
0x
≠
cos
Z)(k
(loại) cos
coscos
coscos)(
∈π+α±=⇔
−<−−=
α=+−=
⇔=−+⇔
2kx
121x
21x
01x2x1
2
2
1
(2) 2cos x 3cosx 2 0 cos x cos cos x 2 (loại) x k2 (k Z)
2 3 3
π π
⇔ + − = ⇔ = = ∨ = − ⇔ = ± + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình là :
π+α±=
2kx
v
Z)(k ∈π+
π
±= 2k
3
x
32.
2
2
1 1
sin x sin x 0
sin x
sin x
+ − + =
2
1 1
sin x sin x 2 0
sin x sin x
⇔ + − + − =
1 1
sin x 1 (1) sin x 2 (2)
sin x sinx
⇔ + = − ∨ + =
. Điều kiện :
0x
≠
sin
nghiệm) (vô sinsin)( 01xx1
2
=++⇔
Z)(k sin)(sinsinsin)(
∈π+
π
=⇔=⇔=−⇔=+−⇔
2k
2
x1x01x01x2x2
22
33.
2
2
1 1
4 sin x 4 sin x 7 0
sin x
sin x
+ + + − =
2 2
1 1 1 1
4 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0
sin x sin x sin x sin x
⇔ + − + + − = ⇔ + + + − =
1 3 1 5
sin x (1) sin x (2)
sin x 2 sin x 2
⇔ + = ∨ + = −
. Điều kiện :
0x
≠
sin
nghiệm) (vô sinsin)( 02x3x21
2
=+−⇔
2
1
(2) 2sin x 5sinx 2 0 sin x 2(loại) sin x sin
2 6
π
⇔ + + = ⇔ = − ∨ = − = −
7
x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = − + π ∨ = + π ∈
34. C1 :
(*) )cot(cot 6gxtgx2xgxtg
22
=+++
6
Điều kiện :
Z)(k sincossin
∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
6gxtgx22gxtgx
2
=++−+⇔
)cot()cot((*)
08gxtgx2gxtgx
2
=−+++⇔
)cot()cot(
tgx cot gx 2 (1) tgx cot gx 4 (2) ⇔ + = ∨ + = −
Z)(k )()(
∈π+
π
=⇔
π
==⇔=−⇔=+−⇔=+⇔
k
4
x
4
tg1tgx01tgx01tgx2xtg2
tgx
1
tgx1
22
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin
)(
62
1
x21x22xx4xx4
x
x
x
x
2
22
π
−=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình là :
π+
π
= k
4
x
Z)(k
∈π+
π
=∨π+
π
−=∨
k
12
7
xk
12
x
C2 : Đặt
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot
++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥
cot
−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2
Khi
cot 2gxtgx2t
=+⇔=
01tgx01tgx2xtg2
tgx
1
tgx
22
=−⇔=+−⇔=+⇔
)(
Z)(k
∈π+
π
=⇔
π
==⇔
k
4
x
4
tg1tgx
Khi
4 cot4
−=+⇔−=
gxtgxt
xx4xx4
x
x
x
x
22
cossin cossin
sin
cos
cos
sin
−=+⇔−=+⇔
1
2sin 2x 1 sin2x sin
2 6
π
⇔ − = ⇔ = − = −
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
π+
π
= k
4
x
Z)(k
∈π+
π
=∨π+
π
−=∨
k
12
7
xk
12
x
35.
(*) )cot(cot 06gxtgx5xgxtg
22
=++++
Điều kiện :
Z)(k sincossin
∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
06gxtgx52gxtgx
2
=+++−+⇔
)cot()cot((*)
04gxtgx5gxtgx
2
=++++⇔
)cot()cot(
tgx cot gx 1 (1) tgx cot gx 4 (2)⇔ + = − ∨ + = −
nghiệm) (vô )( 01tgxxtg1
tgx
1
tgx1
2
=++⇔−=+⇔
)sin(sinsin cossin cossin
sin
cos
cos
sin
)(
62
1
x21x22xx4xx4
x
x
x
x
2
22
π
−=−=⇔=−⇔−=+⇔−=+⇔
7 7
2x k2 2x k2 x k x k (k Z)
6 6 12 12
π π π π
⇔ = − + π ∨ = + π ⇔ = − + π ∨ = + π ∈
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là :
Z)(k
∈π+
π
=∨π+
π
−=
k
12
7
xk
12
x
36.
(1) )cot(cot
cos
01gxtgx4xg3
x
3
2
2
=−+++
.
7
Điều kiện :
Z)(k sincossin
∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
01gxtgx4xg3xtg1301gxtgx4xg3
x
3
1
222
2
=−++++⇔=−+++⇔
)cot(cot)()cot(cot
cos
)(
02gxtgx42gxtgx302gxtgx4xgxtg3
222
=+++−+⇔=++++⇔
)cot(])cot[()cot()cot(
04gxtgx4gxtgx3
2
=−+++⇔
)cot()cot(
(*)
Đặt :
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot
++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥
cot
−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2
2
2
(*) 3t 4t 4 0 t 2 t (loại)
3
⇔ + − = ⇔ = − ∨ =
Khi :
1x2xx2xx
x
x
x
x
2t
22
−=⇔−=+⇔−=+⇔−=
sincossincossin2
sin
cos
cos
sin
2x k2 x k (k Z)
2 4
π π
⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈
37.
(1) )cot(
sin
04gxtgx5xtg2
x
2
2
2
=++++
Điều kiện :
Z)(k sincossin
∈
π
≠⇔≠⇔≠
2
k
x0x20xx
04gxtgx5xtg2xg121
22
=+++++⇔
)cot()cot()(
04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2
222
=+++−+⇔=++++⇔
)cot(])cot[()cot()cot(
0gxtgx5gxtgx2
2
=+++⇔
)cot()cot(
(*)
Đặt :
gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt
2222
cotcot)cot(cot
++=+=⇒+=
2xgxtg
22
++= cot
42xgxtg2
22
=+≥
cot
−≤
≥
⇔≥⇒≥⇒
2t
2t
2t4t
2
.
2
5
(*) 2t 5t 0 t t 0 (loại)
2
⇔ + = ⇔ = − ∨ =
Khi
α=−=⇔−=+⇔−=+⇔−=
sinsincossin)cos(sin
sin
cos
cos
sin
5
1
x2xx5xx2
2
5
x
x
x
x
2
5
t
22
2x k2
x k x k (k Z)
2x k2
2 2 2
= α + π
α π α
⇔ ⇔ = + π ∨ = − + π ∈
= π − α + π
38.
3
(sin x cosx) 2(1 sin2x) sin x cos x 2 0
+ − + + + − =
3 2
(sinx cosx) 2(sinx cos x) sin x cosx 2 0⇔ + − + + + − =
đặt t sin x cos x 2 cos x
4
π
= + = −
. điều kiện:
t 2≤
.
Phương trình trở thành :
3 2 2
t 2t t 2 0 (t 2)(t +1) = 0 t = 2⇔ − + − = ⇔ − ⇔
39.
2(sinx cos x) tgx cot gx
+ = +
sin x cos x
2(sin x cos x)
cosx sinx
⇔ + = +
2(sin x cos x)sin x cosx 1⇔ + =
đặt t sin x cos x 2 cos x
4
π
= + = −
. điều kiện:
t 2≤
.
8
Phương trình trở thành :
3 2
t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2⇔ − − = ⇔ − ⇔
40.
3 3
sin x cos x sin2x sinx cosx
+ = + +
(sinx cos x)(1 sin x cos x) 2sin x cos x sin x cos x⇔ + − = + +
2
t 1
đặt t sin x cos x 2 cos x sin x cos x
4 2
π −
= + = − ⇒ =
. điều kiện:
t 2≤
.
Phương trình trở thành :
3 2 2
t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1 t = 2 (loại) t = 1+ − − = ⇔ + − ⇔ ∨ − ⇔
41.
1 1 10
cosx sin x
cosx sin x 3
+ + + =
1 10
(sinx cos x) 1
sin x cos x 3
⇔ + + =
2
t 1
đặt t sin x cos x 2 cos x sin x cos x
4 2
π −
= + = − ⇒ =
.
điều kiện:
t 2≤
.Phương trình trở thành :
3 2 2
2 19 2 19
3t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0 t = 2 t = t = (loại)
3 3
− +
− + + = ⇔ − − − ⇔ ∨ ∨
42.
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4= − = = ≤
.
VP 5 sin3x 4
= + ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 2
cos x 0
sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1
2
sin3x 1 sin3x 1
=
= =
π
⇔ ⇔ ⇔ = + π
= −
= − = −
43.
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
− = +
2 2 2 2
VT (cos4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4= − = = ≤
.
VP 5 sin3x 4
= + ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
2 2 2
cos x 0
sin 3xsin x 1 sin x 1
x k2
sin3x 1
2
sin3x 1 sin3x 1
=
= =
π
⇔ ⇔ ⇔ = + π
= −
= − = −
44.
sinx cos x 2(2 sin3x)
+ = −
VT sinx cos x 2 sin x 2
4
π
= + = + ≤
.
VP 2(2 sin3x) 2= − ≥
Vậy phương trình tương đương với hệ :
x k2
sin x 1
x k2
4
vo â nghiệm
4
4
m2
sin3x 1
x
2 sin3x 1
6 3
π
π
π
= + π
+ =
= + π
⇔ ⇔
π π
=
= +
− =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
45.
13 14
sin x sin x 1
+ =
13 14 2 2
sin x sin x sin x sin x⇔ + = +
. Vì
13 2
cosx 1 cos x cos x≤ ⇒ ≤
;
14 2
sin x 1 sin x sin x≤ ⇒ ≤
Vậy
13 14
sin x sin x 1+ ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi:
9
13 2 2 11
14 2 2 12
cos x cos x cos x(cos x 1) 0 cos x 0 cosx 1
x k
m
x
2
sin x 1 sin x 0
2
sin x sin x sin x(sin x 1) 0
x k2
π
= − = = =
= + π
π
⇔ ⇔ ∨ ⇔ ⇔ =
= ± =
= − =
= π
46.
)sin(cossin x322xx
−=+
(1)
VT sinx cos x 2 cos x 2
4
π
= + = − ≤
2122x322VP
=−≥−=
)()sin(
Vậy
2 cos x 2
cos x 1 cos x 1 (1)
4
(1)
4 4
2 sin3x 1 sin3x 1 (2)
2(2 sin3x) 2
π
π π
− =
− = − =
⇔ ⇔ ⇔
− = =
− =
π+
π
=⇔π=
π
−⇔ 2k
4
x2k
4
x1)(
( k ∈ Z)
thế vào (2) ta có :
3 3 2
sin3x sin k6 sin 1
4 4 2
π π
= + π = = ≠
Vậy phương trình vô nghiệm
47.
x35x2x4
2
sin)cos(cos
+=−
4xx34xx32VT
222
≤=−=
sinsin)sinsin(
.
415x35VP
=−≥+=
sin
Vậy
−=−
±=
⇔
−=
=
⇔
−=
=
⇔
=+
=
⇔
(2) 1xsinsin
(1) sin
sin
sin
sin
sinsin
sin
sinsin
)(
3
22222
4x3
1x
1x3
1x
1x3
1xx3
4x35
4xx34
1
Khi
Z)(k sin
∈π+
π
=⇔=
2k
2
x1x
thế vào (2) ta có :
143x3
−=−=
sin
thỏa mãn
Khi
Z)(k sin
∈π+
π
−=⇔−=
2k
2
x1x
thế vào (2) ta có :
1143x3
−≠=+−=
sin
không thỏa
Vậy nghiệm của phương trình là :
Z)(k
∈π+
π
−=
2k
2
x
48. .
x2xx25
2
cossinsin
+=+
(1)
5x25VT
2
≥+=
sin
Dấu bằng xảy ra ⇔ sin2x = 0 ⇔
Z)(k
∈
π
=
2
k
x
(*)
5xx41x2xVP
22
=++≤+= cossincossin
10
Dấu bằng xảy ra ⇔
2
1
tgx
2
x
1
x
=⇔=
cossin
(**)
Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm
49.
4xx3x2x23
=++−
cossincossin
(1)
2x
2
1
x
2
3
x2
2
1
x2
2
3
1
=++−⇔
cossincossin)(
cos sin2x sin cos2x sin sin x cos cosx 2 sin 2x cos x 2
6 6 3 3 6 3
π π π π π π
⇔ − + + = ⇔ − + − =
(*)
Vì
sin 2x 1
6
π
− ≤
và
cos x 1
3
π
− ≤
nên (*)
2
sin 2x 1
sin 2x 1 sin k4 1
sin 1
6
6 3 6
2
x k2
3
x k2
cos x 1
x k2 x k2
3
3
3 3
π
π π π
π
− =
− = − + π =
=
π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + π
π
π
π π
= + π
− =
= + π = + π
Vậy nghiệm của phương trình là :
π+
π
= 2k
3
x
(k ∈ Z)
50.
1xx2
=
coscos
2xx31xx3
2
1
=+⇔=+⇔
coscos)cos(cos
(*)
Vì
1x3
≤
cos
và
1x
≤
cos
nên (*)
π=⇔=⇔
=−
=
⇔
=−
=
⇔
=
=
⇔
2kx1x
134
1x
1x3x4
1x
1x3
1x
3
cos
cos
coscos
cos
cos
cos
(k ∈ Z)
51.
1xx2
2
+=
cos
(*)
Vì
1x2
≤
cos
và
11x
2
≥+
nên (*)
0x
10
0x
1x2
11x
2
=⇔
=
=
⇔
=
=+
⇔
cos
cos
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
52.
2xx3
−=+
coscos
(*)
11
Vì
1x3
−≥
cos
và
1x
−≥
cos
nên (*)
π+π=⇔−=⇔
−=+−
−=
⇔
−=−
−=
⇔
−=
−=
⇔
2kx1x
134
1x
1x3x4
1x
1x3
1x
3
cos
cos
coscos
cos
cos
cos
(k ∈ Z)
53.
2 2
cos x 2 cos x tg x 1 0+ + + =
2 2
cos x 1
(cosx 1) tg x 0
tgx 0
= −
⇔ + + = ⇔
=
Z)(k cos
sin
cos
∈π+π=⇔−=⇔
=
−=
⇔
2kx1x
0x
1x
54.
2 2
4sin x 2 3tgx 3tg x 4sin x 2 0
− + − + =
2 2
4sin x 4sin x 1 3tg x 2 3tgx 1 0⇔ − + + − + =
2 2
sin x 1/ 2 (1)
(2sin x 1) ( 3tgx 1) 0
tgx 3 / 3 (2)
=
⇔ − + − = ⇔
=
5
(1) x k2 x k2 (k Z)
6 6
π π
⇔ = + π ∨ = + π ∈
thế vào (2) ta có nghiệm
π+
π
= 2k
6
x
, (k ∈ Z)
55.
2
x 2xsin x 2cos x 2 0
− − + =
2 2 2
x 2xsin x sin x cos x 2cosx 1 0⇔ − + + − + =
0x
2kx
002k2k
2kx
xx
1x
xx
01xxx
22
=⇔
π=
==π=π
⇔
π=
=
⇔
=
=
⇔=−+−⇔
sinsinsin
cos
sin
)(cos)sin(
Vậy nghiệm của phương trình là :x = 0
56.
2
x
cos2x 1
2
= +
12
