bài tập phương trình lượng giác có lời giải

NG
GIÁC
MT S  VÀ NG DNG

TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG













VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH



VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH






NG GIÁC

MT S  VÀ NG DNG
TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG






TP. H CHÍ MINH, THÁNG 7  2011

LU
CuNG GIÁC  MT S  VÀ NG Dc biên
son vi m cp, b sung kin thc cho hc sinh THPT và mt s bc
n mng kin thc này trong quá trình hc tp và làm vic.  cun sách này,
ngoài ving khái nim và dng bài tn, chúng tôi s ch
s và ng dng ca môn hc này  các bn hiNó xut phát t i sao
chúng ta li phi hc nó
 n :
- Phần I : Nêu lý thuyt cùng ví d minh hc hiu và bit
cách trình bày bài. ng thra các dng gp trong quá trình
làm bài trên lp ca hc sinh THPT.  phn này, chúng tôi s trình bày mt s  bn
c có th nm v
- Phần II : Trong quá trình tham kho và tng hp tài liu, chúng tôi s vào
phn này các dng toán khó nhm giúp cho các hc sinh bng, rèn luy
giNG GIÁC thành thp phi nhng dng toán này.
- Phần III : Chúng tôi s i gii gi ý cho mt s c kim
tra l, li gii ho tham kho thêm.

Trong quá trình biên son, m gng bng vic tham kho mng
rt ln các tài liu có sn và tip thu có chn lc ý kin t các bng nghi dn

hoàn thin cukhi nhng thiu sót bi tm hiu bit và kinh
nghim còn hn ch, chúng tôi rt mong nhc ý kia bc
gn xa.
Chi tit liên h ti :


CÁC TÁC GIẢ
VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH.



LI C
Trong quá trình biên son, cn nhng bcung cp tài liu tham
kho và vui lòng nhn kim tra li tng phn ca bn tho hoc bu
kin hoàn thành cun sách này :
- Tô Nguyn Nht Minh c T Tp.HCM)
- Ngô Minh Nht  Tp.HCM)
- Mai Ngc Thng  Tp.HCM)
- Trn Lam Ngc (THPT Chuyên Tr
- Nguyn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hng Phong Tp.HCM)
- Nguyn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bi Châu Tp.Vinh)
- c Minh c T Nhiên Hà Ni)
và mt s thành viên di

MC LC

TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1
CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4
2.1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7
BÀI TP T LUYN 15
2.2 TÍNH GIÁ TR CA BIU THC 21
BÀI TP T LUYN 33
2.3 CHNG THNG GIÁC SUY T NG THC
C 36
BÀI TP T LUYN 45
2.4 CHNG MINH BIU THNG GIÁC KHÔNG PH THUC VÀO
BIN S 46
BÀI TP T LUYN 51
CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52
3.1 CHNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55
BÀI TP T LUYN 77
3.2 CHNG MINH BNG THNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC 81
BÀI TP T LUYN 133
3.3 NHN DNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 143
BÀI TP T LUYN 191

ĐỌC THÊM :
TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC
CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 199
TÀI LIU THAM KHO 205

c v khái nim và lch s
1


C V KHÁI NIM VÀ LCH S
I. KHÁI NIỆM
Trong toán hng giác hng giác là các
hàm toán hc cc dùng khi nghiên cu tam giác và các hing có tính cht
tung giác ca mi t l chiu dài
hai cnh ca tam giác vuông chc t l chiu dài gin thng ni
c bit trên vò khía cnh hi
ng giác là chui vô hn hoc là nghim cu này cho
ng giác có th i s là mt s thc hay mt s phc bt k.

( D th hàm sin )






II. LỊCH SỬ
Nhng nghiên cu mt cách h thng và vic lp bng giác
c cho là thc hiu tiên bi Hipparchus
(1)
(180-p bng tính
 dài các cung tròn và chiu dài c
(2)
tip tc
phát trin công trình, tìm ra công thc cng và tr cho   và   ,
c công thc h bc, cho phép ông lp bng tính vi bt
k  chính xác cn thit nào. Tuy nhiên, nhng b tht truyn.
Các phát trin tip theo din ra  , công trình ca Surya Siddhanta
(3)
(th k
4-5) a góc và nn th k i  R
dùng c n v n 8 ch s thp phân.
Các công trình u tiên này v c phát trin
nhm phc v c, c th  ng h
mt tri.
c v khái nim và lch s

2

 ng cách ti các ngôi sao gn, gia các mc
gii hn hay trong các h thng hoa tiêu v tinh. Rc áp dng vào
nhic khác : quang hc, phân tích th n t hc, lý thuyt xác
sut, thng kê, sinh hc khoa, hóa hc, lý thuyt sa chn hng hc,
h
Ta ly ví d t mt bài toán sau trích t Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight,
Darkness and Time :
Vic mô hình hóa v s gi chiu sáng ca mt tri là hàm thi gian trong i
nhi khác nhau. Cho bit Philadelphia nm   

Bc, tìm hàm biu th s
gi chiu sáng ca mt tri ti Philadelphia.

Chú ý rng m vi mt hàm s sin mà b di chuyn và kéo
T cao ca Philadelphia, thi gian chiu sáng kéo dài 14,8 gi vào ngày 21
tháng 6 và 9,2 gi vào ngày 21 tháng 12, v cng cong (h s kéo
u dc) là :



 


H s nào mà chúng ta c  th hình sin theo chiu ngang nu
i gian  trong ngày? Bchu k ca mô hình nên là 365.
n ca  là , nên h s kéo u ngang là :
c v khái nim và lch s

3





 ý rng cong bu mt chu trình ca nó vào ngày 21
tháng 3, ngày th 80 c chúng ta phi phi dch chuyng cong v bên
ph. Ngoài ra, chúng ta ph
hình hóa s gi chiu sáng ca ca mt tri  Philadelphia vào ngày th  ca
ng hàm s :




  







i ng giác
4


CÁC BING GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC
BIỆT
Ta gc bit vi
cung  là các cung :
- i vi  : 
- Bù vi  :  
- Hiu  vi  :  
- 



vi  :


 




 
 


 


 
cos





sin





tan






cot






Ngoài ra, có mt s ng giác khác :








   

II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. CÔNG THỨC CƠ BẢN


 

 







  









 



  












ng giác
5


T hình v thc tic mt s công thn v ng giác :
2. CÔNG THỨC CỘNG




 


 

 


 


 
  



 



 


 
 


 


3. CÔNG THỨC NHÂN
a. CÔNG THC NHÂN 2









 
  





  






 
b. CÔNG THC NHÂN 3


 


 


 


 


 


 




  






 


 
Công thc ti vi hàm tan :





    
    

i ng giác
6

c. CÔNG THC TÍNH THEO 


  



  


  




 


  


d. CÔNG THC H BC



  




  




  
  





 




 


4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
a. TÍCH THÀNH TNG






 

 

 









 

 

 










 

 










 


 


b. TNG THÀNH TÍCH
 
 


 


 
 


 


 



 


 
 


 



 


 





 
 










 









 
 


 





 

ng giác
7

c. CÔNG THC B SUNG
 



 



 







 






 



 











 








 






 



III. CÁC LOẠI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
- ng s dbii v phc tp hoc nhiu s hng
thành v n; bi; xut phát t ng thn
i v ng thc cn chng minh.
- Trong khi bii ta s dng các công thc thích hn kt qu pht
c.
- t s công thc trên phi chc khi s dng.
Giải:
a. Ta có :










 







b. Ta có :










 




Bài 1: Chng thc sau :
a.  

b. 

 



i ng giác
8


Giải:
a. Ta có :




 

  





 






 




 




b. u cn chi

 

 



 

 


         
u này hiu phi chng minh.
c. Ta có :


 



 




 

  

 
 
 

d. Ta có :




 




  


  

  






 




 

  
 





  
  

 
 


  
  



 



 







 


Bài 2: Chng thc sau :




ng giác
9


Giải:
a. Ta có :


 






 





 

 

 








 




 


 

 




 



 



  




Vu phi chng minh.

b. Ta có :
  








Nên




  






 





 




  











  





 
Vy  



    






















 



 



 




Bài 4: Chng minh
Áp dng tính tng sau :





 




 




Bài 3: Chng minh :
a.   



 




b.  
Suy ra giá tr :

i ng giác
10


Giải:
Ta có :



  





  

 


 
  

 











Suy ra



















































































Vì



 





 






 





 



Nên




Giải:
Ta có :


 


  


  

 


 



 








 




 




 

 

  





 
Bài 5: Cho  vi   




Chng minh

ng giác
11

Nên
 

 



 

 

 

 

 


 
 

 


Khi
-  thì 

 


-    thì 

 


Vu phi chng minh.
Giải: t



 


 



Ta có :







 





 








 


 


 



 






 


 


 


 
































 




Bài 7: Chng minh





 



 






Bài 6: Chng minh
ng 1998)

i ng giác
12

Giải: u cn chi








 








 



  






 

 

 





 







 





 










 




u này hiu phi chng minh.
Giải: Ta có :

 
 






 
 











 











 





 





u phi chng minh.
Giải:
Ta có :


 

 



 






  




 



  

 




 

 





  

 


 
  

 



Bài 9: Chng minh


 
 





 


  

 


 
Bài 8: Chng minh
ng giác
13



 



 




   




   



  

 


u phi chng minh.
Giải: t




















Ta có :




 





 


Áp dng công thc :






 







 











 






 











 






 





Nhân lc :

















 






 








 




Vy



 























 


Bài 10: Chng minh
i Phòng 2001)

i ng giác
14

Giải:
 Ta có :  
S dng công thc :
 











 




















………………………………………

























Cng lu phi chng minh.
 Ta s dng công thc  

 

 

 


Ta có : 

 



 



 

 





Vu phi chng minh.
 Ta s dng công thc  

 

 

 


Ta có : 

 



 



 





 

 


  


Vu phi chng minh.






















 
  

 









 

 










Bài 11: Chng minh rng
ng giác
15

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1.1. Chng thc sau
a. 

 





b. 



 
c.  
2.1.2. Chng minh



 





 






 

 




 




2.1.3. Chng minh







   




 


Áp dng tính tng :




 




  




2.1.4. Chng minh


 





 

 



 



 

 




 
 

































 









2.1.5. Chng minh 



,



,



là nghim c





  
T  ca




 



 












 








 





















i ng giác
16

2.1.6. Cho 3 góc  tha    


Chng minh
          
2.1.7. Chng minh


 








2.1.8. Chng minh


 

 


 

 





i 1996)
2.1.9. Chng minh
  

 

 





 


 







 

 

 

2.1.10. Chng minh











 




















 


2.1.11. Chng minh


 











2.1.12. Chng minh


 

 








 


i 2001)
ng giác
17

2.1.13. Chng minh 




a Cháy 2001)
2.1.14. Chng minh


 

 

 









i 1995)
2.1.15. Chng minh









 


 


 






2.1.16. Chng minh





































2.1.17. Chng minh











2.1.18. Chng minh


 





 





 




2.1.19. Chng minh
 





 




 

2.1.20. Chng minh
    


  


i ng giác
18

2.1.21. Chng minh
    









2.1.22. Chng minh


 



 

 


- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1.1.   S dng công thc h bc.
2.1.3. t




 

 
 





 

 
 





Áp dng tính tng, vit li thành






 



 











 



 










 



 











 



 










 



 




 




 




Ri s dng công thng minh  trên.
2.1.4.
a)  ý




  



 

 

b)  ý

  

 





 






 

 





 



c) Ta có :

 































d) u cn chi :





























ng giác
19

2.1.5. S dng công thc

 



  



Cho 

, ta có :


 



 




Suy ra



 








  






2.1.6. Áp dng công thc :





    
    

2.1.9. Cn chng minh
  

 

  









 




 


 




2.1.10.  ý
 


 



 


 



2.1.12. Ta có :





 




 




 


2.1.13. Nhân 2 v cho 

.
2.1.14. Áp dng công thc
 




