bai tap dao ham

Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chuyên
Chuyên đề
đề 2

1. KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax3+bx2+cx+d
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4.

x3
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
− x2 + x + 1
3
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = −x 3 + 3x 2 − 4x + 2
Giải Ví dụ 1:
Nội dung Bài giải

Giải thích – ghi nhớ cho HS

Tập xác định D =

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm
số

y’ = 3x2 + 6x
y’ = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0
⇔ x = 0; x = - 2

Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình
y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra
nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm –
vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử
dụng trong bảng biến thiên

y = +∞ ; lim y = −∞
Giới hạn: xlim
→+∞
x →−∞

Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số
hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm
lim x 3 = ?? hoặc lim (− x 3 ) = ??
x →±∞
x →±∞

Bảng biến thiên:

Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3
dòng”: dành cho x, y’ và y

x

-∞

y'

-2

+

y
CĐ

-∞

0

0
-

0

0CT

+∞
+
+∞

-4

Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0
Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4
y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2))

Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm
cực tiểu (nếu không có thì không
nêu ra) (Điểm uốn cần thiết khi

giúp vẽ đồ thị của hàm số không cực
trị)
trang 1


Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

Đồ thị hàm số:

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại, cực
tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu
dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị
phù hợp cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau
mỗi dạng hàm số)

Giao điểm với Ox:
y = 0 ⇒ x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy:
x=0⇒y=-4

Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
y

y

•

O

I

I

a>0

y

y

•

I

I

•

•

x

O

x
a<0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?

O

a>0

x

O

x
a<0

Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?

2. KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4+bx2+c
Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x4 - 2x2 – 3.
x4
3
− x2 +
2
2
4
2
Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − x + 2 x − 2

Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = −

Giải Ví dụ 4:
Nội dung Bài giải

Giải thích – ghi nhớ cho HS

Tập xác định D =

Bước 1:Tìm tập xác định của
hàm số

y’ = 4x3 - 4x
y’ = 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔ x(4x2 – 4) = 0
⇔ x = 0; x = 1; x = - 1

Bước 2: tính y’ và xét dấu ý

y = +∞ ; lim y = +∞
Giới hạn: xlim
→+∞
x →−∞

Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn
của số hạng có mũ cao nhất, ở
x 4 = ??
đây là tìm xlim
→±∞

trang 2

Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

Bảng biến thiên:
x

-∞

-1

y'

-

y0CT
0
+

0

0

+∞

+∞

+
CT

CĐ

1

Bước 4: BBT luôn gồm có “
3 dòng”: dành cho x, y’ và y

-3

+∞

-4

-4

Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3
Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4
x = 1; y = -4

Bước 5: Phải nêu các điểm
cực đại; các điểm cực tiểu

Đồ thị hàm số:

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực
hiện theo thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại,
cực tiểu, điểm uốn, giao điểm
với Ox,Oy

 Dựa vào BBT và dạng đồ
thị để vẽ đúng dạng
(tham khảo các dạng đồ thị
ở sau đây)

Giao điểm với Ox:
x=
x=-

;y=0
;y=0

Giao điểm với Oy:
x=0;y=-3

Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6-

Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
y

y

O

x

a>0

y

y

O

x

x

a>0

a<0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt

3. KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN: y =

O

O

x

a<0

Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm
duy nhất x = 0

ax + b
( tử và mẫu không có nghiệm chung)

cx + d

trang 3


Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

−x + 2
Ví dụ 7: Khảo sát hàm số y =
.
x +1

x−2
2x +1
1 − 2x
Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
2x − 4

Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

Giải Ví dụ 7:
Nội dung Bài giải

Giải thích – ghi nhớ cho HS

Tập xác định D = \{-1}

Bước 1: Tìm tập xác định của

hàm số

y’ =

−3
< 0 ∀x∈D.
( x + 1) 2

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Giới hạn và tiệm cận:
y = −∞ ; lim y = +∞
Tiệm cận đứng x = - 1 vì xlim
→−1
x→−1
−

Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm
cận là tiệm cân đứng và tiệm cận
ngang

+

y = −1 lim y = −1
Tiệm cận ngang: y = - 1 vì xlim
→−∞
x→+∞

Bảng biến thiên:
x

-∞

-1

Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số
để khẳng định luôn luôn âm (hay
luôn luôn dương) từ đó suy ra:
Hàm số luôn luôn giảm ( hay
luôn luôn tăng ).

+∞

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3
dòng”:

y'
y
-

-1

+∞
-∞

-1

-

Hàm số không có cực trị

Bước 5:luôn không có cực trị

Đồ thị hàm số:

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện
theo thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác
định giao điểm với Ox,Oy.
 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và
ngang.
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu

Giao điểm với Ox:
Giao điểm với Oy:

y=0⇒x=2
x=0⇒y=2

trang 4


Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ
thị phù hợp cho bài toán của
mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở
sau mỗi dạng hàm số)

Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9
Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
y

y

I
I
O

O

x

Dạng 1: hsố đồng biến

x

Dạng 2: hsố nghịch biến

BÀI TẬP
1. Hàm số bậc ba: y = ax 3 +bx 2 + cx + d

( a ≠ 0)

Bài 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x 3 − 3x + 2 − m = 0
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 2;4 ) .

1
.
2
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ y = 0 .
Bài 2. Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 − 4 (C)
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =

a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b)
Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương
3
2
x − 3x + m = 0 .
1
c)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là x = .
2
9
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = .
4
e)
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( d ) : y = 3x + 2012 .
d)

trang 5


Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ
3

Bài 3. Cho hàm số y = 4x − 3x − 1
a)
b)

(C)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương rình:

3
x 3 − x +m = 0
4
c)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( d1 ) : y = − 159 x + 2012
d)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( d2 ) : y = − 72x + 2012
e)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 4. Cho hàm số y = 2x 3 − 3x 2 − 1
(C)
a)
b)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( d1 ) : y = 23 x + 2012
c)
Viết phương trình đường thẳng đi qua M ( 2;3) và tiếp xúc với đồ thị (C).
d)
e)
(C).

Tìm m để đường thẳng ( d 2 ) : y = mx − 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị

3
2
Bài 5. Cho hàm số y = −x + 3( m + 1) x − 3x − 2

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1 .

Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: x 3 − 6x 2 + 3x − 2k = 0 .
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
Tìm m để hàm số luôn giảm trên tập xác định.
3
Bài 6. Cho hàm số y = 4x − 3 ( m + 1) x + 1 ( C m )
b)
c)
d)
e)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m = 0 .
b) Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình:
4x 3 − 3x + k = 0
c) Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị .
d) Tìm m để họ đồ thị (Cm) đạt cực tiểu tại x = 1
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (C m).
Bài 7. Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2 có đồ thị là ( C m )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
trang 6


Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3 .
d) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
Bài 8 Xác định tham số m để hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả
sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Chứng minh rằng :

y1 − y2
= 2.
( x1 − x2 )( x1x2 − 1)

Kết quả : m < 1

Bài 9 Tìm tham số m để hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1
có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m.

Kết quả : ∀m và x2 – x1 = 1
Bài 10 Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): y =
và đường thẳng (d): y −

x3 x 2
+
− 2x
3
2

13
1
= m( x + ) .
12
2

KQ: 1 giao điểm ( m ≤ −

27
27
), 3 giao điểm ( m > −
)
12
12

2. Hàm số trùng phương : y = ax 4 +bx 2 +c , ( a ≠ 0 )
Bài 1. Cho hàm số y = x 4 − 2x 2

(C)

a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b)
Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2x 2 = m
c)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2 .
d)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 8 .
e)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
24 .
Bài 2. Cho hàm số y = −x 4 + 2x 2 − 1
(C)
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b)
Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2x 2 = m .
c)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2 .
d)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = −9 .
e)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
bằng 24
Bài 3. Cho hàm số y = x 4 + x 2 + 1
(C)
a)
b)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2x 2 = m .

trang 7


Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

21
.
16
d)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng ( d1 ) : y = 6x + 2012
c)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y =

e)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
1
đường thẳng ( d 2 ) : y = x + 2012 .
6
1
Bài 4. Cho hàm số y = − x 4 + 2x 2 − 1
(C)
4
a)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b)
Tìm m để phương trình x 4 − 8x 2 + 4 = m có 2 nghiệm thực phân biệt .
c)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1 .
d)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng ( d ) :8x − 231y + 1 = 0 .
e)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox và các đường
thẳng x = −1; x = 1 .
Bài 5. Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 3
(C)
a)
b)
c)
tung .
d)
e)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình −x 4 + 2x 2 > −8 .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .
Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx + 3 cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt .

Bài 6. Cho hàm số y =

x4
5

− 3mx 2 + m
2
2

(1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x 4 − 6x 2 + k = 0 .
x4
c) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình
− 3x 2 < −4 .
2
d) Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 3 .
e) Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị .

(

)

4
2
2
Bài 7. Cho hàm số y = mx + m − 9 x + 10

(1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
b) Tìm k để phương trình x 4 − 8x 2 + 10k = 0 có hai nghiệm thực phân biệt .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng ( d ) : 2x + 45y − 1 = 0 .

trang 8


Gia sư Trí Thức Việt

d) Tìm m để hàm số có một điểm cực trị .
e) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị .
ax + b
3. Hàm số hữu tỉ : y =
cx + d
Bài 1. Cho hàm số y =

Bệ phóng của những ước mơ

2x + 1
(C)
x +1

a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

1
.
2
1
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = − .
2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −3 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =

5

e) Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx + − 2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
3
Bài 2. Cho hàm số y =

x +1
(C)
x −1

a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

1
.
2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường
9
thẳng ( d1 ) : y = − x + 2012 .
2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường
1
thẳng ( d 2 ) : y = x − 1 .
8
1
e) Tìm m để đường thẳng ( d 3 ) : y = mx + 2m + cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có
3
hoành độ âm .
x −1
Bài 3. Cho hàm số y =
(C)
x +1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y =

a)
b)
c)
d)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường
8
1
thẳng ( d1 ) : y = − x + .
9
3
trang 9


Gia sư Trí Thức Việt

Bệ phóng của những ước mơ

1
e) Tìm m để đường thẳng ( d 2 ) : y = mx − 2m + cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có
3
hoành độ dương .
x +2
Bài 4. Cho hàm số y =
(C)
2 −x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân
giác của góc phần tư thứ hai ( y = −x ).
c) Tìm m để đường thẳng ( d1 ) : y = mx + 3 − m đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .
d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
x +2
Bài 5. Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y = x − 1 .
c)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 .
d) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;3]
e) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên.
−x + 3
Bài 6. Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
2x − 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.
c) CMR đường thẳng d: y = x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
d) Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y = −2x − 1 .
(m − 1)x + m
Bài 7. Cho hàm số y =
( m ≠ 0 ) và có đồ thị là (C m )
x −m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường
thẳng x = 3, x = 4.

c) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

trang 10