CD DONG BIEN VA NGHICH BIEN

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Chủ đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chuyên đề 1: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Neáu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.
Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Phương pháp giải:
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Chú ý:
Dấu của nhị thức bậc nhất f (x)  ax  b :
-

x
f (x)  ax  b


trái dấu với a

b
a

0

+
cùng dấu với a

Dấu của tam thức bậc hai f (x)  ax 2  bx  c :
- Neáu  < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a.
- Nếu  = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

b
)
2a

- Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và
x

-

x1

+

x2

cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
f (x)  ax 2  bx  c

Bảng biến thiên:
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y  2x 3  9x 2  24x  7
Giải:
Tập xác định: D = 
 x  1
Ta có: y  6x 2 18x  24 , y  0  
 x  4
Bảng biến thiên:

x
y’

-
-

-1
0

+

4
0

+
-

y
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: (; 1),(4; ) ; đồng biến trên khoảng: (1; 4)
Ví dụ 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y  x3  3x 2  3x  2
1

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Giải:
Tập xác định: D= 
Ta có: y '  3x 2  6x  3 , y'  0  3x 2  6x  3  0  x  1
Bảng biến thiên:
x
-
-1
y’
+
0
+

+

y
Hàm số đồng biến trên 
Ví dụ 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y  x 4  4x 2  3
Giải:
Tập xác định: D= 
x  0
Ta có: y '  4x 3  8x , y '  0  
x   2
Bảng biến thiên:
x
-
0

 2
2
y’
+
0
0
+
0

+
-

y
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( 2;0),( 2; ) ; đồng biến trên mỗi khoảng: (;  2),(0; 2)
2x 1
Ví dụ 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y 
x 1
Giải:
Tập xác định: D   \{1}
1
Ta có: y ' 
 0, x  D
(x 1) 2
Bảng biến thiên:
x
-
1
+
y’
y

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: (;1),(1; ) .
x 2  2x 1
Ví dụ 5: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y 
x2
Giải:
Tập xác định: D   \{2}
 x  5
x 2  4x  5
, x  2 ; y '  0  x 2  4x  5  0  
Ta có: y ' 
2
 x  1
x  2

Bảng biến thiên:
x
y’

-
-

-5
0

-2
+

+

1

0

+
-

y
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: (; 5),(1; ) ; đồng biến trên mỗi khoảng: (5; 2),(2;1)

2


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Luyện tập (Bài tập về nhà):

Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a/ y  x 4  4x 2  3 .
Bài 1.

i/ y 

b/ y  x 4  6x 2  8x 1 .
c/ y  x 4  4x  6 .
d/ y  x3  6x 2  9x  4 .

3  2x
.
x 7

x 2  2x 1

.
x2
x 2  8x  9
k/ y 
.
x 5
x2
l/ y  2
.
x x 3

j/ y 

e/ y  x3  3x 2  3x  2 .
f/ y  x 2  2x .
2x 1
.
x 1
3x 1
h/ y 
.
1 x

g/ y 

m/ y  4  3x  6x 2 1 .
n/ y  x 1 2 x 2  3x  3 .
o/ y  3 x 2  2x .

Giải:

a/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 4  4x 2  3 .
* Hàm số đã cho xác định trên D   .
* Tính y '  4x3  8x .
x  0
x  0




2
2
x   2 .


x

2

0
x

2



 4x  0

* Cho y '  0  4x 3  8x  0  4x(x 2  2)  0  
* Bảng xét dấu:

x

–

y'

 2

+

0
–

0

0

+

1
y

+

2

0

–

1

–

–3

–

* Dựa vào bảng biế n thiên:


Hàm số đồng biến trên: ;  2  và 0; 2  .



Hàm số nghịch biến trên:  2;0 và





2; .

b/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 4  6x 2  8x 1 .
* Hàm số đã cho xác định trên D   .
 x  2

* Tính y '  4x3 12x  8  0  4x 1 x  2 . Cho y '  0  4 x 1 x  2  0  

2

2

x  1

* Bảng xét dấu:
3


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

2



x

1





y'



0



0





y

4
23

* Dựa vào bảng biế n thiên, hàm số nghịch biến trên ; 2 và đồng biến trên

2;1 1;  hay hàm số đồng biến trên khoảng 2;  .
c/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 4  4x  6 .
* Tâ ̣p xác đinh:
̣ D.
* Tính: y '  4x3  4 . Cho y '  0  4x3  4  0  x  1 .
* Bảng biến thiên:
x

1







y'

0

+


y  f (x)



3

* Dựa vào bảng biế n thiên:


Hàm số nghịch biến trên: ; 1 .



Hàm số đồng biến trên: 1;  .

d/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 3  6x 2  9x  4 .
* Hàm số đã cho xác định trên D   .
x  1

* Tính y '  3x 2 12x  9 . Cho y  0  3x 2 12x  9  0  

x  3

.

* Bảng biến thiên:
x



3

1





y'


0



0



4
4

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

y

0


* Dựa vào bảng biế n thiên:


Hàm số nghịch biến trên: ;1 và 3; .



Hàm số đồng biến trên: 1;3 .

e/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 3  3x 2  3x  2 .
* Hàm số đã cho xác định trên D   .
* Tìm y '  3x 2  6x  3 . Cho y'  0  3x 2  6x  3  0  x  1 .
* Bảng biến thiên:
1



x



y'

+

y  f (x)

0

+



1


* Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên ; 1 1;  .
Hay hàm số đồ ng biế n trên tâ ̣p xác đinh
̣ D.
f/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 2  2x .
x  0
 Tâ ̣p xác đinh:
̣ D  ;0  2;  .
 x  2

* Hàm số đã cho xác định khi: x 2  2x  0  
* Ta có: y ' 

x 1
x 2  2x

* Cho y '  0 

, x  ;0  2;  . Hàm số khơng có đạo hàm tại: x  0; x  2 .

x 1
x 2  2x

 0  x 1  0  x  1 .

* Bảng biến thiên:
x



0

1

2



y'





0





y

* Dựa vào bảng biế n thiên:
5


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)



Hàm số nghịch biến trên: ;0 .



Hàm số đồng biến trên: 2; .

g/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 

2x 1
.
x 1

* Hàm số đã cho xác đinh
̣ trên: D   \{1} .
* Ta có: y ' 

2.11.1
(x 1)

2



1
 0, x  D .
(x 1) 2

* Bảng biến thiên:


x

1





y'




2


y
2

* Dựa vào bảng biế n thiên: Hàm số nghịch biến trên ;1 và 1; .
h/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 

3x 1
3x  1
.

1 x
x 1

* Hàm số xác định và liên tục trên D   \ 1 .
* Tìm y ' 

3.11.1
(1 x)

2



4
 0; x  1 .
(1 x) 2

* Bảng biến thiên:
x



1




y'




y

3
3



* Hàm số đã cho đồng biến (tăng) trên các khoảng: ;1 và 1; .
i/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 

3  2x
2x  3

.
x 7
x7

* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D   \ 7 .
* Tính y ' 

2.7 1.3
17

 0, x  D   \ 7 .
2
2
 x  7
 x  7
6


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

* Bảng biến thiên:
7



x





y'




2



y
2

 Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: ; 7 và 7;  .

j/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 

x 2  2x 1
.
x2

* Hàm số đã cho xác định trên: D   : 2 2;  .
* Ta có: y ' 

x 2  4x  5

* Cho y '  0 

x  2

2

, x  2 .

x 2  4x  5

x  2

2

 x  5
.
 0  x 2  4x  5  0  
 x  1

* Bảng biến thiên:
x

2

5



1





y'

0








y



0
0



12



* Dựa vào bảng biế n thiên:


Hàm số nghịch biến trên: ; 5 và 1; .



Hàm số đồng biến trên: 5; 2 và 2;1 .

k/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 

x 2  8x  9
.
x 5

* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D   \ 5 .
* Ta có: y ' 

x 2 10x  31

x  5

2

 0, x  5 .

 Hàm số đồng biến trên ;5 và 5; .

7


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

x2

l/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 

x2  x  3

.

* Hàm số đã cho xác định khi: x 2  x  3  0 đúng x    TXÐ: D   .
* Ta có: y '  x 2  x  3 
* Cho y '  0 

2x 1x  2
2 x2  x  3

7x  8
2 x2  x  3



7x  8
2 x2  x  3

 0  7x  8  0  x 

.

8
.
7

* Bảng biến thiên:


x

8/7




y'



0

y

8

8
* Hàm số đã cho đồng biến trên ;  và nghịch biến trên  ;  .


7

7



m/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  4  3x 6x 2 1 .
* Hàm số đã cho xác định trên D   .
* Ta có: y '  3 6x 2 1 

6x 4  3x 
6x 2 1



36x 2  24x  24

6x 2 1

.


 x  1 7

36x  24x  24
3
* Cho y '  0 
.
 0  36x 2  24x  24  0  
2

6x 1
1

7
x 

3
2

* Bảng biến thiên:
1 7
3


x

y'



0

1 7
3



0




y

* Dựa vào bảng biế n thiên:



1 7

1  7 
 và 
 .
Hàm số đã cho đồng biến trên: ;
;


 3

3 





1  7 1 7 
 .
;
Hàm số nghịch biến trên: 
 3

3 

8


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

n/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 1 2 x 2  3x  3 .
* Hàm số đã cho xác định trên D   .
2x  3

* Ta có: y '  1

x 2  3x  3

x 2  3x  3 2x  3



x 2  3x  3

.


3


x


 x  1 .
* Cho y '  0  x 2  3x  3  2x  3   2

2
2



x  3x  3  2x  3

* Bảng biến thiên:
x

1






y'



0

y

* Dựa vào bảng biế n thiên:


Hàm số đã cho đồng biến trên: ; 1 .



Hàm số nghịch biến trên: 1;  .
1
3

o/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x  2x  x  2x .
3

2

2

* Hàm số đã cho xác định trên D   .
1
3



2x  2

2

* Ta có: y '  2x  2 x 2  2x 3 

3 x  2x
2

2
3

2x  2


3

x

2

 2x

2

;  x  0, x  2 .

Hàm số khơng có đạo hàm tại x  0 và x  2 .
* Cho y'  0  2x  2  0  x  1.
* Bảng biến thiên:
x



0

1

2



y'





0





y

* Dựa vào bảng biế n thiên:


Hàm số nghịch biến trên ;1 .
9


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)



Hàm số đồng biến trên 1; .

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm soá:

Giải:

10


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Bài 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số:

Giải:

11

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Bài 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số:

Giải:

12


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Bài 5. Xét chiều biến thiên của các hàm số:

Giải:

13


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn
nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Phương pháp giải:
Cho hàm số y  f (x, m) , m là tham số, có tập xác định D.
- Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
- Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.



ab0
ab0






c  0
c  0


2) Neáu y '  ax 2  bx  c thì: y '  0, x  R  
; y '  0, x  R  


a 0


a  0






  0
  0



Ví dụ 1: Tìm m để hàm số: y= x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên 
Giải:
Tập xác định: D= 
Ta có: y  = 3x2– 6mx+ m+ 2 ;  = 9m2– 3m– 6 ; Hệ số a = 3 > 0
2
Nếu   0    m  1 . Khi đó y  0, x    Hàm số đồng biến trên 
3

2
m  
Nếu  > 0  
3 . Khi đó phương trình y  = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2)

 m  1
Bảng biến thiên:
-
+
x1
x2
x
y’
+
0
0
+
y
Hàm số không đồng biến trên 

2
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là:   m  1 .
3
1
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số: y  m2 1 x 3  m 1 x 2  3x  5 đồng biến trên 
3
Giải:
Tập xác định: D= 
Ta có: y '  m2 1 x 2  2 m 1 x  3 ;  = 2m2  2m  4 ; Hệ số a = m2 1
Nếu m2 1  0  m  1

3
Với m = 1 thì y '  4x  3 ; y '  0  x   . Hàm số không đồng biến trên 
4
Với m = -1 thì y '  3  0, x . Hàm số đồng biến trên 
2
Nếu m 1  0  m  1.
m2 1  0
 m 1


Để hàm số đồng biến trên   y '  0, x  


2
 m  2






2m

2m

4

0


Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: m 1 hoặc m  2 .
2mx 1
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số: y 
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
xm
Giải:
14


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Tập xác định: D =  \ m . Ta có: y ' 

2m 1
2

 x  m

2

Để hàm số nghịch biến trên D  y '  0, x  m  2m2 1  0  
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: 
Lưu ý: Khơng xảy ra trường hợp m  

1
1
m
2
2

1
1
m
2
2

1
1
vì khi đó y '  0, x  
không đúng với điều kiện cần đủ
2
2

để hàm số đơn điệu.
2x 2  m  2 x  3m 1
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
x 1
Giải:
2
2x  4x  2m  3

Tập xác định: D =  \ 1 . Ta có: y ' 
2
x 1

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số: y 

Để hàm số nghịch biến trên D  y '  0, x  1  2x 2  4x  2m  3  0    4m  2  0  m 

1
2

1
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: m  .
2
1
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số: y  x 3  mx 2  2m 1 x  m  2 nghịch biến trên khoảng 2;0 .
3
Giải:
Tập xác định: D = 
x  1
Ta có: y '  x 2  2mx  2m 1 ; y '  0  x 2  2mx  2m 1  0  
 x  2m 1

Nếu 2m 1  1  m  1 thì y '  x 1  0, x . Hàm số không nghịch biến trên khoảng 2;0 .
Nếu 2m 1 1  m  1 . Ta có bảng biến thiên:
x
-
1
+
2m 1

y’
+
0
- 0
+
2

y
Dựa vào BBT ta thấy hàm số không nghịch biến trên khoảng 2;0 .
Nếu 2m 1 1  m 1 . Ta có bảng biến thiên:
x
-
2m 1
y’
+
0

-

1
0

+
+

y
Dựa vào BBT ta có : Để hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0  2m 1 2  m 

1
2

1
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: m   .
2

15


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Luyện tập (Bài tập về nhà):
Bài 1. Cho hàm số y  x3  3(m 1)x 2  3m(m  2)x 1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Giải:
TXĐ: D = R.
Ta có: y'  3x 2  6(m 1)x  3m(m  2)
a  3  0

Hàm số đồng biến trên R khi y '  0, x  
(vô lí)



 '  9  0
Bài 2. Cho hàm số y  x 2 (m  x)  m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  3x 2  2mx
a  1  0

m0

Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y '  0, x  3x 2  2mx  0, x  

2



m

0


Bài 3. Cho hàm số y  x 3  2x 2  (m 1)x  m  3 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Giải:
TXĐ: D = R.
Ta có: y '  3x 2  4x  m 1

a  3  0
7
Hàm số đồng biến trên R khi y '  0, x  3x 2  4x  m 1  0, x  
 m


3

 '  3m  7  0
7
Vậy: Với m  thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.
3
Bài 4. Cho hàm số y  x 2 (m  x)  mx  6 . Tìm m để hàm số ln nghịch biến trên R.
Giải:

TXĐ: D = R.
Ta có : y '  3x 2  2mx  m
a  3  0

 0m3
Hàm số nghịch biến trên R khi y '  0, x  3x 2  2mx  m  0, x  

2



m

3m

0


Vậy: Với 0  m  3 thì điều kiện bài toán được thỏa mãn.
Bài 5. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(2m 1)x 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  3x 2  6mx  3(2m 1)
Hàm số đồng biến trên R khi y '  0, x

a  1  0
 3x 2  6mx  3(2m 1)  0, x  
 m 1

2



 '  m  2m 1  0

Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa mãn.
1
Bài 6. Cho hàm số y   x 3  (m 1)x 2  (m  3)x  4 . Tìm m để hàm số ln nghịch biến trên R.
3
Giải:
TXĐ: D = R.
Ta có: y '  x 2  2(m 1)x  m  3
Hàm số luôn luôn giảm khi y '  0, x

a  1  0
 x 2  2(m 1)x  m  3  0, x  
(vô nghiem)

2


 '  m  m  4  0
Vậy: Khơng có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Bài 7. Cho hàm số y  mx 3  (2m 1)x 2  (m  2)x  2 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R.
Giải:
TXĐ: D =R
16


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Ta có: y '  3mx  2(2m 1)x  m  2
Trường hợp 1: m  0  y'  2x  2  m = 0 khơng thỏa u cầu bài tốn.
Trường hợp 2: m  0
Hàm số đồng biến trên R khi y '  0, x
a  3m  0
m  0
m  0






(vơ nghiem)

 2

2



m


1

'

(2m


1)

3m(m

2)

0
m

2m

1

0






2

Vậy: Khơng có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán
m 1 3
Bài 8. Tìm m để hàm số y 
x  mx 2  (3m  2)x luôn đồng biến trên R.
3
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  (m 1)x 2  2mx  3m  2

Trường hợp 1: m 1  0  m  1  y'  2x 1  m = 1 khơng thỏa u cầu bài tốn
Trường hợp 2: m 1  0  m  1
Hàm số luôn đồng biến khi y '  0, x

m 1  0
 (m 1)x 2  2mx  3m  2  0, x  
 m2

2


 '  2m  5m  2  0

Vậy: Với m  2 thì u cầu bài tốn được thỏa mãn.
1
Bài 9. Cho hàm số y  mx 3  mx 2  x . Tìm m để hàm số đã cho ln nghịch biến trên R.
3
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  mx 2  2mx 1
Trường hợp 1: m  0  y'  1  0  m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m  0
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y '  0, x

m  0
a  m  0

 mx 2  2mx 1  0, x  

 1  m  0



2



1

m

0

'

m

m

0




Vậy: Với 1  m  0 thì u cầu bài tốn được thỏa mãn.
1 m 3
Bài 10. Định m để hàm số y 
x  2(2  m)x 2  2(2  m)x  5 ln nghịch biến trên R.
3
Giải:
TXĐ: D = R

Ta có: y'  (1 m)x 2  4(2  m)x  4  2m
1
Trường hợp 1: m  1  y '  4x  2  0  x  nên m = 1 khơng thỏa u cầu bài tốn
2
Trường hợp 2: m  1


m 1
a  1 m  0



 2m3
Hàm số luôn giảm khi 


2

2  m  3


 '  2m 10m 12  0 
Bài 11. Cho hàm số y 

m2 3
x  (m  2)x 2  (m  8)x  m 2 1 . Tìm m để đồ thị hàm số nghịch biến
3

trên R.
Giải:

TXĐ: D = R
y'  (m  2)x 2  2(m  2)x  m 8
Trường hợp 1: m  2  0  m 2  y' 10  m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m  2
Hàm số nghịch biến trên R khi y '  0, x
a  m  2  0

 (m  2)x 2  2(m  2)x  m  8  0, x  
 m 2



 '  10m  20  0
17


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Vậy: Với m 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.
1
Bài 12. Cho hàm số y  (m2 1)x 3  (m 1)x 2  3x  5 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
3
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  (m2 1)x 2  2(m 1)x  3
Trường hợp 1: m2 1  0  m  1
* m  1  y'  4x  3  m = 1 khơng thỏa u cầu bài tốn
* m  1  y'  3  0  m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m2 1  0  m  1
Hàm số đồng biến trên R khi y '  0, x

m2 1  0

 (m2 1)x 2  2(m 1)x  3  0  
 m 1 m  2

2




2m

2m

4

0


Vậy: Với m 1 m  2 thì bài tốn được thỏa mãn.
mx  2
Bài 13. Tìm m để hàm số y 
ln đồng biến trên từng khoảng xác định.
x  m 3
Giải:
TXĐ: D  R \ 3  m

m 2  3m  2
(x  m  3) 2
Hàm số luôn đồng biến khi y'  0, x  3  m  m2  3m  2  0  m 1 m  2

Ta có: y ' 

x 2  m2 x  m  2
Bài 14. Cho hàm số y 
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
x 1
Giải:
TXĐ: D  R \ 1

x 2  2x  m 2  m  2
(x 1)2
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y '  0, x  1
a  1  0



2
( luôn đúng)
 x 2  2x  m 2  m  2  0, x  1  
  m  m 1  0


2
2


(1)  2(1)  m  m  2  0
x
Bài 15. Cho hàm số y 
. Xác định m để hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

x m
Giải:
TXĐ: D  R \ m
Ta có: y ' 

m
(x  m) 2
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi y '  0, x  m  m  0  m  0
Ta có: y ' 

Bài 16. Cho hàm số y 

mx 2  (m  2)x  m2  2m  2
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng
x 1

khoảng xác định.
Giải:
TXĐ: D  R \ 1
mx 2  2mx  m2  3m
(x 1)2
Trường hợp 1: m  0  y'  0  chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 khơng thỏa u
cầu bài tốn
Trường hợp 2: m  0

Ta có: y ' 

18

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y '  0, x  1
a  m  0
m  0






2
2
3
2
 mx  2mx  m  3m  0, x  1  
 m  2  0
 m0
 '  m  2m  0




2
2

m  0, m  2


m.1  2m.1 m  3m  0 

(m 1)x 2  2mx  (m3  m2  2)
Bài 17. Cho hàm số y 
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng
x m
xác định.
Giải:
TXĐ: D  R \ m

(m 1)x 2  2(m2  m)x  m3  m 2  2
Ta có: y ' 
(x  m) 2
2
Trường hợp 1: m  1  y ' 
 0, x  1  m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
2
x 1
Trường hợp 2: m  1
Hàm số đồng biến trên R khi y '  0, x  m
a  m 1  0



2
2
3
2
 (m 1)x  2(m  m)x  m  m  2  0, x  m  
  2m  2  0



2
2
3
2


(m 1)m  2(m  m).m  m  m  2  0

m  1



 m  1  m  1




2  0
Bài 18. (ĐH – A.2013): Cho hàm số y  x 3  3x 2  3mx 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch
biến trên khoảng 0;
Giải:

Bài 19. Cho hàm số y  x3  3x 2  mx  4 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng
;0 .
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  3x 2  6x  m
Hàm số đồng biến trên ;0 khi y'  0, x  (,0)

 3x 2  6x  m  0, x  (,0)  m  3x 2  6x  g(x), x  (,0)  m  min g(x)

(,0)

Ta có: g '(x)  6x  6  0  x  1
Vẽ bảng biến thiên ta có m  min g(x)  g(1)  3
(,0)

Kết luận: Với m 3 thì điều kiện bài tốn được thỏa mãn.
19


GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)

Bài 20. Cho hàm số y  x  3x  mx  2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng
3

2

0; 2 .
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  3x 2  6x  m
Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi y'  0, x  (0, 2)
 3x 2  6x  m  0, x  (0, 2)  m  3x 2  6x  g(x), x  (0, 2)  m  max g(x)
(0,2)

Ta có: g '(x)  6x  6  0  x  1
Vẽ bảng biến thiên ta có m  max g(x)  0
(0,2)

Vậy: m  0 thì điều kiện bài toán được thỏa mãn.

 1

2x 2  3x  m
Bài 21. Định m để hàm số y 
nghịch biến trong khoảng  ;  .
 2

2x 1
Giải:
 1
TXĐ: D  R \ 
 


 2



2
4x  4x  3  2m
Ta có: y ' 
(2x 1) 2
 1

 1

4x 2  4x  3  2m
Hàm số nghịch biến trên  ;  khi y ' 
 0, x   ; 
2


 2
 2


(2x 1)
 1

3
 m 2x 2  2x   g(x), x   ;   m  max g(x)
 1

 2

2
 ;
 2



 1

Ta có: g '(x)  4x  2  0, x   ; 
 2

 1
Vậy: m  max g(x)  g    1 .
 1

 2 

 ;
 2



Bài 22. Cho hàm số y 

2x 2  mx  2  m
(Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) .
x  m 1

Giải:

2x 2  4(m 1)x  m 2  2
(x  m 1) 2
2x 2  4(m 1)x  m 2  2
Hàm số đồng biến trên (0; ) khi y ' 
 0, x  (0; )
(x  m 1) 2
 g(x)  2x 2  4(m 1)x  m2  2  0, x  (0; )
Tam thức g(x) có biệt thức  '  2(m  2)2 . Ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1:   0  m  2  y'  0, x 1  hàm số đồng biến trên (0; )
Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán
+ Trường hợp 2:  0  m  2
Với điều kiện trên thì điều kiện bài tốn được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:






  0

m0
m0










x1  x 2  0  S  x1  x 2  0  2(1 m)  0  m  1
 m  2




 2




m 2

P  x 1 x 2  0

m   2  m  2


0


2


Kết luận: với m  2  m  2 thì u cầu bài tốn được thỏa mãn.
TXĐ: D  R \ 1 m ; Ta có: y ' 

Vẫn đang tiếp tục cập nhật …
20