skkn PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

MÔN VẬT LÍ


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Thực trạng của vấn đề
Việc thay đổi hình thức thi môn vật lý của Bộ GD&ĐT từ tự luận sang trắc
nghiệm khách quan đã bộc lộ những ưu điểm mà tôi thấy rất thiết thực là: Nội
dung thi bao quát cả chương trình, tránh được tình trạng học tủ như trước đây và
từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh một cách toàn diện. Ngoài ra việc chấm
bài thi trắc nghiệm được thực hiện nhanh chóng, khách quan nhờ sự hỗ trợ của
công nghệ thông tin.
Tuy nhiên để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải ghi nhớ
đầy đủ kiến thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh
nhạy trong phán đoán nhận dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được
kết quả cao.
Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12
và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, và đây cũng
là một phần có lượng kiến thức lớn và khó đối với nhiều học sinh THPT. Với lí
do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài : “BÀI TOÁN CỰC TRỊ” nhằm trang bị cho
các em học sinh những kiến thức cơ bản, giúp các em có thể nhanh chóng định
hình những kiến thức cần áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm phần điện
xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được những nhầm lẫn.
1.2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
1.2.1. Nhiệm vụ
Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong phần
điện xoay chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn bản để

giải quyết các vấn đề khi gặp phải, đồng thời từ đó cũng giúp cho các em có thể
phân biệt được, áp dụng được các điều kiện cụ thể trong từng bài tập. Bên cạnh

2


đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến thức được phân loại trong
từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp dụng một cách nhanh
chóng.
1.2.2. Phương pháp
- Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:
+ Tính chất của phân thức đại số.
+ Tính chất của các hàm số lượng giác.
+ Bất đẳng thức Cô-si.
+ Tính chất đạo hàm của hàm số.
1.2.3. Phạm vi của đề tài
Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng
cao thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi.
Với phạm vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập
đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12:
- Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường
hợp vận dụng.

3


PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Những kiến thức toán học bổ trợ
2.1.1. Tính chất của phân thức đại số
Xét một phân số P =

A
, trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số
B

P đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất.
2.1.2. Tính chất của các hàm số lượng giác
Đối với các hàm số lượng giác :
+ y = sinx thì y max = 1 khi x = π/2 + k π

(k∈Z)

+ y = cosx thì y max = 1 khi x = kπ

(k∈Z)

2.1.3. Bất đẳng thức Cô-si
Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b ≥ 2 ab
Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó
tổng (a + b) bé nhất
2.1.4. Tính chất đạo hàm của hàm số
Xét hàm số y = f(x); (x ∈ R) có đạo hàm tại x = xo và liên tục trong khoảng
chứa xo. Nếu hàm số đạt cực trị tại x = xo thì f’(xo) = 0
Và : + Nếu f’’(xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu.
+ Nếu f’’(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại.
2.2. Những trường hợp vận dụng cụ thể
2.2.1. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu điện thế hai đầu ổn định : u = U 0 cos(ωt + ϕu )
R là một biến trở, các giá trị R0, L và C
C

R
L,R0
không đổi.
Gọi Rtd = R + R0
A
B
4


a. Có hai giá trị R1 ≠ R2 cho cùng một giá trị công suất
2
- Công suất tiêu thụ trên mạch là : P = Rtd I = Rtd

U2
Rtd2 + ( Z L − Z C )2

- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một
số không đổi ứng với hai giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có:
PRtd2 − RtdU 2 + P ( Z L − Z C ) 2 = 0

- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình
bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viet
 R1td .R2td = ( Z L − ZC ) 2
( R1 + R0 )( R2 + R0 ) = ( Z L − ZC ) 2


⇔
điều kiện R0 < Z L − Z C

U2

U2
R
+
R
=
R
+
R
+
2
R
=
 1td
 1
2 td
2
0

P

P

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất
b. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
+ Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
- Ta có:

P = Rtd I 2 = Rtd

- Đặt A = Rtd +

- A = Rtd +

U2
=
Rtd2 + ( Z L − Z C )2

U2
(Z − ZC )2
Rtd + L
Rtd

( Z L − ZC )2
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
Rtd

(Z L − ZC )2
(Z − ZC )2
≥ 2 Rtd L
= 2 Z L − ZC = const
Rtd
Rtd

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy: Rtd = Z L − Z C
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
Pmax =

U2
U2
U2
=

=
2 Z L − Z C 2 R1td .R2td 2 ( R1 + R0 )( R2 + R0 )

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi Z L − ZC < R0 thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến
trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0.
+ Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
- Công suất của biến trở R là
PR = R I 2 = R

U2
U2
=
( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C )2 ( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C ) 2
R

- Đặt mẫu của biểu thức trên là :
A=

( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C ) 2
R 2 + (Z L − ZC )2
= R+ 0
+ 2 R0
R
R

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:

5

A= R+

R02 + ( Z L − Z C ) 2
R 2 + ( Z L − ZC )2
+ 2 R0 ≥ 2 R 0
+ 2 R0 = 2 R02 + ( Z L − Z C ) 2 + 2 R0 = const
R
R

- Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
R = R02 + ( Z L − Z C ) 2

- Công suất cực đại của biến trở R là: PR max =

U2
2 R02 + ( Z L − Z C ) 2 + 2 R0

+ Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điện cực
đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
- Ta có :
Pdây = R0 I 2 ;U d = I Z L2 + R02 ;U c = IZ C
I=

U
( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C ) 2

- Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì
chỉ cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta
thấy rằng Imax khi giá trị của biến trở R = 0.

c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở
R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
P = Rtd I 2 = Rtd

U2
Rtd2 + ( Z L − Z C ) 2

Rtd = R + R0
( Z L − Z C ) 2 − Rtd2
- Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P ( R) = U
( Rtd2 + ( Z L − Z C )2 ) 2
'

2

'
2
2
Khi P ( R) = 0 ⇒ ( Z L − Z C ) − Rtd = 0 ⇒ Rtd = Z L − Z C ⇒ R = Z L − Z C − R0
Bảng biến thiên :
Z L − Z C − R0
R
0
P’(R)
+
0

Pmax =

P(R)
P = R0

+∞
-

2

U
2 Z L − ZC

U2
R02 + ( Z L − Z C ) 2

0

Đồ thị của P theo R:

P
Pmax

Pmax

U2
=
2 Z L −Z C

U2
P = R0 2

R0 + (Z L − ZC )2P
O

6 R=Z - Z - R
L
C
0

R


R1

Nhận xét đồ thị :

R2

a. Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị
của công suất.
b. Công suất đạt giá trị cực đại khi R = Z L − ZC − R0 > 0
c. Trong trường hợp R = Z L − Z C − R0 < 0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần
R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
d. Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R
làm cho công suất của toàn mạch cực đại là R = Z L − Z C
Kết luận:
e. Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1
và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất
đẳng thức Cauchy.
f. Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P
theo biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi

thay đổi điện trở.
d. Tìm điều kiện để UAN hoặc UMB có giá trị không đổi và không phụ thuộc
vào giá trị của điện trở R

L
A

R

C

M

B

N

Cho mạch điện như hình vẽ: Điện trở R có giá trị thay đổi, L và C không đổi.
điện áp giữa hai đầu đoạn mạch u = U0 cos(ωt + ϕ )
+ TH1: Tìm điều kiện để UAN có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá
trị điện trở R.
Ta có biểu thức
U AN = IZ AN =

U R 2 + Z L2
R + (Z L − Z C )
2

2

=

U R 2 + Z L2
R + Z − 2Z L Z C + Z
2

2
L

2
C

U

=
1+

Z − 2Z L Z C
R 2 + Z L2
2
C

Nhận xét : Nếu Z C2 − 2Z L Z C = 0 → Z C = 2Z L với ∀R thì UAN = U = hằng số
+TH2: Tìm điều kiện để UMB có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá
trị điện trở R.
Ta có biểu thức
U MB = IZ MB =

U R 2 + Z C2
R + (Z L − Z C )

2

2

=

U R 2 + Z C2
R + Z − 2Z L Z C + Z
2

2
L

2
C

U

=
1+

Z − 2Z L Z C
R 2 + Z C2
2
L

Nhận xét : Nếu Z L2 − 2Z L Z C = 0 → Z L = 2Z C với ∀R thì UMB = U = hằng số

7

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là:
u = 150 2 cos(100πt ) V, L =

1,4
1
H,C=
10 − 4 F . Tìm R để:
π
2π

a. Mạch tiêu thụ công suất P = 90W và viết biểu thức của cường độ dòng điện
trong mạch khi đó.
b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax
Hướng dẫn giải:
Ta có: Z L = 200Ω, Z C = 125Ω, U = 150V
a. Công suất của mạch tiêu thụ chính là công suất tỏa nhiệt trên điện trở R:
P = I 2 R → 90 =

U2
150 2
R
→
= 90 → 90 R 2 − 150 2 R + 90.75 2 = 0 ⇒
2
2
2
Z
R + 75

R = 225 Ω
R = 25 Ω

Với R = 225 Ω → Z = 225 2 + 75 2 = 75 10 Ω → I 0 =

U 0 150 2
2
=
=
( A)
Z
75 10
5

Độ lệch pha của u vµ i thỏa mãn
tan ϕ =

Z L − ZC
75 1
1
1
=
= → ϕ = arctan( ) = ϕ u − ϕ i → ϕ i = − arctan( )
R
225 3
3
3

Biểu thức cường độ dòng điện là i =


 1 
cos 100πt − arctan  ( A )
5
 3 


2

Với R = 25Ω → Z = 25 2 + 75 2 = 25 10 ( Ω ) → I 0 =

U 0 150 2
6
=
=
( A) .
Z
25 10
5

Độ lệch pha của u vµ i thỏa mãn
tan ϕ =

Z L − Z C 75 1
=
= → ϕ = arctan(3) = ϕ u − ϕ i → ϕ i = − arctan(3)
R
25 3

Biểu thức cường độ dòng điện là: i =

2

P=I

R=

U2
U2
R
=
R=
Z2
R 2 + (Z L − Z C ) 2

6
5

cos[100πt − arctan( 3) ] ( A )

U2
U2
=
(Z L − Z C ) 2
2
R
+
víi
y
=
y

(Z − Z C )
R+ L
R
R

b. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

8


2
(Z L − Z C ) 2
(
Z L−Z C )
y = R+
≥ 2 R.
= 2 Z L − Z C → y min = 2 Z L − Z C
R
R

Dấu bằng xảy ra khi R =

(Z L − Z C ) 2
→ R = Z L − Z C = 75 ( Ω )
R

Khi đó công suất cực đại của mạch
Pmax =

U2

U2
150 2
=
=
= 150(W )
y min 2 Z L − Z C
2.75

Vậy khi R = 75 ( Ω ) thì Pmax = 150(W)
Ví dụ 2: (Đại học – 2009)
Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch
gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100Ω. Khi
điều chỉnh R thì tại hai giá trị R 1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như
nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 1 bằng hai lần điện
áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2. Các giá trị R1 và R2 là:
A. R1 = 50Ω, R2 = 100Ω.

B. R1 = 40Ω, R2 = 250Ω.

C. R1 = 50Ω, R2 = 200Ω.

D. R1 = 25Ω, R2 = 100Ω.
Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có P1 =P2
→ I 12 R1 = I 22 R2 →

[

]

[

U2
U2
R
=
R2 → R1 R22 + Z C2 = R2 R12 + Z C2
1
2
2
2
2
R1 + Z C
R2 + Z C

]

Sau khi biến đổi ta được R1 R2 = Z C2 → R1 R2 = 100 2 (1)
Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi
2

I 
R
R = R2 . Khi đó theo bài ta được P1 = P2 → I R1 = I R2 → 2 =  1  = 4 (2)
R1  I 2 
2
1

2

2

Giải (1) và (2) ta được R1 = 50Ω, R2 = 200Ω.
Ví dụ 3: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng
và một biến trở R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện
thế xoay chiều u = 120 2 cos(120πt ) (V ) . Biết rằng ứng với hai giá trị của biến

9


trở: R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau.
Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Hướng dẫn giải:
Theo chứng minh công thức ở trên ta được P =

U2
120 2
=
= 288(W )
R1 + R2 18 + 32

1
10 −4
( F ) , một cuộn cảm L = ( H )
Ví dụ 4: Một mạch điện gồm một tụ điện C =
π
2π
thuần cảm kháng và một biến trở R
C
R

L

được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch

N

A

B

điện một hiệu điện thế xoay chiều u= 150 2 cos(120πt ) (V ) . Tìm giá trị UAN để
UAN không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R.
Hướng dẫn giải:
ZL = 100( Ω), ZC = 200( Ω )
U AN = IZ AN =

U R 2 + Z L2
R + (Z L − Z C )
2

2

=

U R 2 + Z L2
R + Z − 2Z L Z C + Z
2

2
L

2
C

U

=
1+

Z − 2Z L Z C
R 2 + Z L2
2
C

Nhận xét : Nếu Z C2 − 2Z L Z C = 0 → Z C = 2Z L với ∀R
thì UAN = U = hằng số = 150(V)
2.2.2. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : u = U 0 cos(ωt + ϕu )
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay
C
R
L
đổi,
R và C không đổi.
A
B
a. Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho cùng giá trị công suất
- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
U2
U2

P1 = P2 ⇔ R 2
=R 2
R + ( Z L1 − Z C ) 2
R + ( Z L2 − Z C ) 2

- Khai triển biểu thức trên ta thu được :

( Z L1 − Z C ) 2 = ( Z L 2 − Z C ) 2 →

Z L1 − Z C = Z L 2 − Z C (loại)

10


Z L1 − Z C = −( Z L 2 − Z C ) (thỏa mãn)
Suy ra : Z C =

Z L1 + Z L2
2

⇔ L1 + L2 =

2
ω 2C

b. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL
U2
P
=
R

+ Ta có công suất toàn mạch là:
R 2 + ( Z L − Z C )2
với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL
+ Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:
P ' ( Z L ) = 2U 2 R

[R

ZC − Z L

2

+ (Z L − Z C )

]

2 2

→ P ' ( Z L ) = 0 khi Z L = Z C

+ Bảng biến thiên
ZL
P’(ZL)

0
+

0
Pmax =

P(ZL)
P=R

+∞

ZL = ZC

2

U
R

U2
R 2 + ZC 2

0

Đồ thị của công suất theo ZL :
P

Pmax

Pmax

U2
=
R

U2
P= R 2 2

R + ZC
O

ZL = ZC

ZL

P

11


ZL1

ZL2

* Nhận xét đồ thị:
- Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất
- Công suất của mạch cực đại khi Z L = Z C =

Z L1 + Z L2
2

, với Z L ; Z L là hai giá trị của
1

2

cảm kháng cho cùng một giá trị công suất.
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của ZL sẽ cho

phép định tính được sự tăng hay giảm của P theo Z L. Từ đó ta có thể tiên đoán
được sự thay đổi của công suất theo giá trị của ZL trong một số bài toán.
c. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
+ Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : U L = IZ L = Z L

U
R 2 + ( Z L − Z C )2

, trong đó R;

ZC và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số
này theo biến số là ZL. Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với
phương pháp dùng giản đồ Vectơ bài toán này có

UL

thể giải dễ hơn và rút ra nhiều kết luận hơn.
+ Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong
UL

U

U

R

U

tam giác ta có : sin(α + β ) = sin γ
R

+ Vì sin γ = cos β = U = 2 2 = const , suy ra
R + ZC
RC

UL =

O

α
β

UR

i

γ

U
U
sin(α + β ) =
sin(α + β )
sin γ
cos β

UC

URC

+ Do cosβ và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế ULmax khi
sin(α + β ) = 1 ⇒ α + β =

π
2

2
= U CU L , từ đó suy ra Z L Z C = R 2 + Z C2
+ Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: U RC

* Tóm lại:
- Khi Z L =

R 2 + Z C2
thì U L max = U
ZC

U R2 + U C2
R 2 + Z C2
=U
UR
R

12


- Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC
một góc 900.
d. Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho cùng giá trị UL, giá trị L để ULmax tính theo L1
và L2.
+ Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
Z L1

U L1 = U L2 ⇔ Z L1 I1 = Z L2 I 2 ⇔

=

R 2 + ( Z L1 − Z C )2

Z L2
R 2 + ( Z L2 − Z C ) 2

+ Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
Z L21
R 2 + Z C2 + Z L21 − 2Z L1 Z C

=

Z L22
R 2 + Z C2 + Z L22 − 2Z L2 ZC

* Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại
thì Z L ZC = R 2 + ZC2 với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax . Thay vào biểu thức
trên:

Z L21
Z L Z C + Z L21 − 2 Z L1 Z C

=

Z L22
Z L Z C + Z L22 − 2Z L2 Z C

2
2
+ Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được: ( Z L − Z L ) Z L = 2Z L Z L ( Z L − Z L )
+ Vì L1 ≠ L2 nên đơn giản biểu thức trên ta thu được:
1

ZL =

2 Z L1 Z L2

Z L1 + Z L2

⇔L=

2

1

2

1

2

2 L1 L2
với L là giá trị làm cho ULmax
L1 + L2

e. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRmax

+ Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
U LR = I R 2 + Z L2 =

U R 2 + Z L2
R 2 + ( Z L − ZC )2

=

U

U

2
R 2 + (Z L − ZC )2 = 1 + Z C − 2Z L Z C
R 2 + Z L2
R 2 + Z L2

=

U
1+ y

2Z C ( Z L2 − Z C Z L − R 2 )
Z C2 − 2 Z L Z C
'
→
y
=
→ y ' = 0 → Z L2 − Z C Z L − R 2 = 0 .
Đặt y= 2 2

R + ZL
( R 2 + Z L2 ) 2

Z + 4 R 2 + Z C2
 Z L1 = C
>0
2

Nghiệm của phương trình bậc hai này là: 
.
2
2
Z
−
4
R
+
Z
C
C
Z =
<0
 L2
2

Lập bảng biến thiên ta có:
ZL

MT’(ZL)

Z C + 4 R 2 + Z C2
ZL =
2

0
-

0
 4R 2 + Z 2 − Z
C
C


2R


MT (ZL)

13

+∞
+

2


÷
÷


+ Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn
nhất. Ta thu được kết quả sau:
2UR
Z C + 4 R 2 + Z C2
Khi Z L =
thì U RLMax =
2
4 R + Z C2 − Z C
2
10 −4
(F ) .
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R = 100 3 ( Ω ) , C =
2π

Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn
mạch là u = 200cos(100πt) (V). Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các
trường hợp sau:
C
a. Hệ số công suất của mạch cosφ = 1.
R
L
b. Hệ số công suất của mạch cosφ =

A

3
.
2

B

c. Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có Z C =
cos ϕ = 1 →

1
= 200(Ω )
Cω

R
1
= 1 → R = Z ⇔ ZL = ZC → L = 2 =
Z
ω C

1
(100π ) 2 .

−4

10
2π

=

2
(H )
π

b. Hệ số công suất

[

]

3
R
3
2
→ =
→ 2 R = 3Z → 4 R 2 = 3 R 2 + ( Z L − Z C ) → R 2 = 3( Z L − Z C ) 2
2
Z
2
R
3
⇔ ZL = 300 Ω
⇔
Khi Z L − Z C = ±
L = (H)
π
3
cos ϕ =

ZL = 100 Ω

L=

c. Theo chứng minh trên ta được khi

14

1
(H)
π


ZL=

R 2 + Z C2 (100 3 ) 2 + 200 2
35
=
= 350(Ω) → L =
( H ) thì điện áp hiệu dụng hai
ZC
200
10π

đầu L đạt cực đại. Giá trị cực đại:
U L max =

U
100 2
100 42
R 2 + Z C2 =
(100 3 ) 2 + 200 2 =
(V )
R

3
100 3

Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là
u = 170 2 cos(100πt )(V ) . Các giá trị R = 80 Ω , C =

10 −4
( F ) . Tìm L để:
2π

a. Mạch có công suất cực đại. Tính Pmax.
b. Mạch có công suất P = 80W.
c. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
* Hướng dẫn giải:
Ta có R = 80 Ω , Z C = 200 Ω
a. Công suất của mạch P = I2R. Do R không đổi nên:
P max ⇔ I max ⇔ Z L = Z C = 200( Ω ) → L =

2
U 2 170 2
2
R=
=
(W )
(H) Khi đó P max = I max
π
R
80
2

U2
170 .80
2
P = I R = 200 → 2 R = 80 → 2
= 80 ⇒
Z
80 + ( Z L − 200) 2
⇔

L=

3,5
(H)
π

L=

0,5
(H)
π

ZL = 350 Ω
ZL = 50 Ω

c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại
R 2 + Z C2 80 2 + 200 2
232
=
= 232(Ω) → L =
(H ) .

ZC
200
100π
U
170
R 2 + Z C2 =
80 2 + 200 2 = 85 29 (V )
Giá trị cực đại U L max =
R
80

khi Z L =

Ví dụ 3:
Cho mạch điện RLC, điện áp hai đầu mạch điện là u =200 2 cos(100πt) (V).
L thay đổi được. Khi mạch có L = L1 =

3 3
3
(H) và L = L2=
(H). Thì mạch
π
π

có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau

15


góc

2π
.
3

a. Tính R và C
b. Viết biểu thức của i
Hướng dẫn giải:
Ta có ZL1 = 300 3 Ω , ZL2 = 100 3 Ω
a. Do

ZL1 – ZC = ZL2 – ZC

I 1 = I 2 → Z1 = Z 2 → R 2 + ( Z L1 − Z C ) 2 = R 2 + ( Z L 2 − Z C ) 2 ⇔ ZL1 – ZC = ZC – ZL2
2π
Theo bài thì u1 và u2 lệch pha nhau góc
nên có một biểu thức là nhanh pha
3
hơn i và một biểu thức chậm pha hơn i. Do Z L1 = 300 3 (Ω) > Z L 2 = 100 3 (Ω) nên

u1 nhanh pha hơn i còn u2 chậm pha hơn i.
Khi đó ϕ1 + ϕ 2 =

tan ϕ1 + tan ϕ 2
2π
→ tan( ϕ1 + ϕ 2 ) = − 3 →
= − 3 (1)
3
1 − tan ϕ1 tan ϕ 2

Trong đó tan ϕ1 =

Z L1 − Z C 100 3
Z − Z L 2 100 3
=
; tan ϕ 2 = C
=
(1)
R
R
R
R

100 3 100 3
+
3.10 4 200
R
R =− 3
⇔
→
−
−1 = 0 →
R
R2
100 3 2
1− (
)
R

R = - 300 ( Ω )

R = 100 ( Ω )
Vậy các giá trị cần tìm là R = 100 ( Ω ), C =

10

−4

2 3π

(F )

b. Viết biểu thức của i
• Với R = 100 Ω , ZC = 200 3 Ω , ZL1 = 300 3 ( Ω )
200 2
= 2 ( A)
200
Z −Z
100 3
π
π
Độ lệch pha của u và i: tan ϕ = L1 C =
= 3 → ϕ = → ϕ i = − (rad)
R
100
3
3
π
Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i = 2 cos(100πt − ) ( A)
3

• Với R = 100 Ω , ZC = 200 3 Ω , ZL2 = 100 3 ( Ω )

Tổng trở của mạch Z = 100 2 + (100 3 ) 2 = 200(Ω) → I 0 =

200 2
= 2 ( A)
200
Z −Z
− 100 3
π
π
Độ lệch pha của u và i: tan ϕ = L 2 C =
= − 3 → ϕ = − → ϕ i = (rad)
R
100
3
3

Tổng trở của mạch: Z = 100 2 + (−100 3 ) 2 = 200(Ω) → I 0 =

16


π
3

Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i = 2 cos(100πt + ) ( A)
* Nhận xét: Cách giải trên là tổng quát cho trường hợp độ lệch pha bất kỳ. Tuy
nhiên trong bài toán trên chúng ta có thể nhận xét được rằng do cường độ dòng
điện trong hai trường hợp bằng nhau nên trong hai trường hợp đó độ lệch pha

của u và i có cùng độ lớn. Khi đó u1 sẽ nhanh pha hơn i góc

π
là giải ra R luôn
3

chứ không cần phải khai triển công thức lượng giác.
2.2.3 Sự thay đổi C trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
R

C

L

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu thế hai đầu ổn
B định: u = U 0 cos(ωt + ϕu ) . R là điện trở, L là một

A

cuộn dây thuần cảm không đổi và C có giá trị thay đổi
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở Z = R 2 + ( Z L − ZC ) 2 = R 2 + ( Z C − Z L )2 do đó
ta thấy rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị
L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết
quả sau:
a. Có hai giá trị C1 ≠ C2 cho cùng giá trị công suất P. Tìm C = C0 để Pmax
Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có
ZL =

Z C1 + ZC2
2

C1C2

 C0 = 2 C + C
1
2
= ZC0 ⇔ 
1 1
 2
 2ω L = C + C

1
2

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
b. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
- Bảng biến thiên:
ZC
P’(ZC)
P(ZC)

0
+

P=R

ZC = ZL
0
U2
Pmax =

R

+∞
-

U2
R2 + Z L2

0
Đồ thị của công suất theo giá trị ZC

17


P

Pmax

Pmax

U2
=
R

U2
P= R 2 2
R + ZL
O

P

ZL = ZC

P

ZC1

ZC2

c. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax
R 2 + Z L2
Khi Z C =
thì :
ZL

+ U CMax =

U R 2 + Z L2
2
2
2
2
2
2
và U CM
ax = U + U R + U L ; U CMax − U LU CMax − U = 0
R

+ uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch
d. Có hai giá trị C1 ≠ C2 cho cùng giá trị UC, giá trị ZC để UCmax

- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm
1

1

1

1

C1 + C2
2

cho UCmax khi Z = 2 ( Z + Z ) ⇒ C =
C
C
C
e. Giá trị ZC để hiệu điện thế URCmax
1

2

2UR
Z L + 4 R 2 + Z L2
- Khi Z C =
thì U RCMax =
(Với điện trở R và tụ điện
2
4 R + Z L2 − Z L
2

mắc gần nhau).
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100( Ω ), L =

1
( H ) , C thay đổi. Điện áp
π

hai đầu đoạn mạch u = 100 2 cos(100πt) (V). Tìm C để:
a. Mạch tiêu thụ công suất P = 50W
b. Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính Pmax
c. UC max
* Hướng dẫn giải:
18

ZC


a. Ta có R = 100( Ω ), ZL = 100( Ω )

100 – ZC = 100

U2
100 2.100
= 50 →
P = I R = 50 → 2 R = 50 →
Z
100 2 + (100 − Z C ) 2
2

→

100 – ZC = - 100

ZC = 0
ZC = 200( Ω )

10 −4
(F )
Nhận nghiệm ZC = 200(Ω) ta được C =
2π

b. Công suất của mạch P = I2R. Do R không đổi nên:
Pmax → I max → Z L − Z C = 0 → Z C = Z L = 100(Ω) → C =
Khi đó Pmax = I

2
max

10 −4
(F )
π

U 2 100 2
R=
=
= 100(W )
R
100

c. Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ cực

R 2 + Z L2 100 2 + 100 2
10 −4
= 200( Ω ) → C =
(F )
=
ZL
100
2π
100
U R 2 + Z L2
100 2 + 100 2 = 100 2 (V )
Khi đó U CMax =
=
100
R

đại khi: Z C =

Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch:
u = 200 2 cos(100πt) (V) Khi C = C1=
cùng công suất P = 200(W).

10 −4
10 −4
(F) và C = C2 =
(F) thì mạch có
4π
2π

a. Tính R và L.

b. Tính hệ số công suất của mạch ứng với C1, C2.
* Hướng dẫn giải
a. ZC1 = 400( Ω ), Z C 2 = 200 (Ω) . Theo giải thiết ta có:
P = P1 = P2 = 200 → I 12 R = I 22 R → Z 12 = Z 22 → Z L − Z C1 = Z C 2 − Z L
→ ZL =

Z C1 + Z C 2
3
= 300Ω → L = ( H )
2
π

Với ZL = 300Ω
P1 = 200 →

U2
200 2 R
R
=
200
→
= 200 → R 2 − 200 R + 100 2 = 0
2
2
2
2
R + ( Z L − Z C1 )
R + 100

Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100Ω. Vậy R = 100Ω, L =

19

3
(H )
π


b. Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp
•Khi C = C1 =

10 −4
R
100
1
( F ) → Z = 100 2 + (300 − 400) 2 = 100 2 → cos ϕ = =
=
4π
Z 100 2
2

•Khi C = C 2 =

10 −4
R
100
1
( F ) → Z = 100 2 + (300 − 200) 2 = 100 2 → cos ϕ = =
=
2π

Z 100 2
2

Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò
của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả. Vậy
nên trong trắc nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L.
R 2 + Z L2
U
2
2
R + Z L khi ZC =
(UC max) =
ZL
R
R 2 + Z C2
U
2
2
R
+
Z
(UL max) =
C khi ZL =
ZC
R

2.2. 4 Sự thay đổi ω trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
a. Giá trị ω làm cho Pmax, URmax, Imax
- Ta có

U2

P = RI 2 = R

2

1  , từ công thức này ta thấy rằng công suất của

R + ωL −
ωC ÷


1
1
U2
ω
L
−
=
0
→
ω
=
ω
=
.
P
=
mạch đạt giá trị cực đại khi:
Với max

0
ωC
R
LC
2

- Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giữa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua
mạch đồng pha nhau.
b. Có hai giá trị ω 1 ≠ ω 2 cho cùng công suất và giá trị ω làm cho Pmax
- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:
P1 = P2 ⇒ R

U2
R 2 + (ω1 L −

1 2
)
ω1C

=R

U2
R 2 + (ω 2 L −

1
1
= ω2 L −
(1)
ω1C
ω2C

1
1
ω1 L −
= −(ω 2 L −
)(2)
ω1C
ω2C

ω1 L −

- Biến đổi biểu thức trên ta thu được:

- Vì ω1 ≠ ω2 nên nghiệm (1) bị loại
- Khai triển nghiệm (2) ta thu được: ω1ω2 =
- Theo kết quả ta có : ω02 = ω1ω2 =

1 2
)
ω2C

1
LC

1
với ω0 là giá trị cộng hưởng điện.
LC

c. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω.

20

- Ta có

P = RI 2 = R

U2
1  . Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng

R + ωL −
ωC ÷


2

2

việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối
phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét sau:
+ Khi ω = 0 thì Z C =
+ Khi ω = ω0 =

1
→ ∞ làm cho P = 0
ωC

1
thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại
LC

+ Khi ω → ∞ thì Z L = ω L → ∞ làm cho P = 0. Từ những nhận xét đó ta dễ dàng
thu được sự biến thiên và đồ thị:
ω

ω = ω0 =

0

1
LC

+∞

U2
R

P(ω)
0

0

P
Pmax
P

0

ω1

ω2

ω=

ω

1
LC

Nhận xét đồ thị
Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị ω1 ≠ ω2 cho cùng một giá trị công suất,
điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên.
d. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế ULmax
2

Ta có :

U L = I .Z L =

U
U
1 

.Z L =
2
R2 +  ω L −
Z


Z
ωC ÷

, đặt A = Z =


 ÷
2
ZL
(ω L)
 ZL 
2

R2 
1 
Biến đổi biểu thức A ta thu được : A = 2 2 + 1 − 2 ÷
ω L  ω LC 

21


2

Ta tiếp tục đặt x =

1
R2
x

>
0
A
=

x + 1 − ÷
khi đó
2
ω L
L
 C

Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được: A '( x) =
Cho A’(x) = 0 ta thu được x =
Vì x > 0 ⇒

R2 2 
x
− 1 − ÷
L C C

2 LC − R 2C 2
2L

2L
> R 2 khi đó ta thu bảng biến thiên:
C

x

2 LC − R 2C 2
2L

0
∞

A’(x)

-

0

+

A(x)
Amin
Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn
dây là:
ω=

Nhận xét : Khi x ≤ 0 ⇒
số a =

1
C

1

2U .L

L R 2 và U LMax =
−
R 4 LC − R 2C 2
C 2

2L
≤ R 2 thì Amin khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ
C

1
> 0 nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong
C2

miền xác định của x. Khi đó ω rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0. Do đó
không thể tìm giá trị ω làm cho ULmax
e. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế UCmax
Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá
trị ω làm cho UCmax là:

1 L R2
ω=
−
R 4 LC − R 2C 2
L C 2
f. Giá trị ω thay đổi. Liên hệ giữa ω R để URmax, ω L để ULmax, ω C để UCmax
ω2R = ωL. ωC
g. Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng
một giá trị. Khi ω = ω0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị
cực đại. Hệ thức liên hệ giữa ω1 , ω2 và ω0 là
- Khi thì U CMax =

2U .L

2L
> R2 ,

với
C

22


U

U

* Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2, ta có : UC1 = UC2 ⇔ I .Z C1 = I .Z C 2 ⇔ Z Z C1 = Z Z C 2
1
2
⇔

1
1 2
ω 1 R + (ω 1L −
)
ω 1C
2

=

2 2

ω 2 R 2 + (ω 2 L −

2

2

2ω .L 1
2ω .L 1
2
4
⇔ ω 2 R + ω 2 .L − 2 + 2 = ω 1 .R 2 + ω 1 .L2 − 1 + 2
C
C
C
C

1
1 2
)
ω 2C

4

2

2L
2L
2L
2
4
4
2
2
− R 2 )(ω1 − ω22 ) = L2 .(ω1 − ω2 ) ⇔ ( − R 2 ) = L2 .(ω1 + ω 2 )

(với R2 <
)
C
C
C
2L
(
− R2 )
⇔ (ω 2 + ω 2 ) = C
Khi Ucmax ta có
1
2
2
L
2L
1 2
2
(
− R2 )
2
1
L
R
1
ω12 + ω22 ⇒ ω02 = (ω1 + ω 2 ) .
ω0 =
C
−
=
(

)
=
2
L C 2
2
L2
2
h. Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có
cùng một giá trị. Khi ω = ω0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm
đạt giá trị cực đại. Hệ thức liên hệ giữa ω1 , ω2 và ω0 là
U
U
* Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2, ta có : UL1 = UL2 ⇔ I .Z L1 = I .Z L 2 ⇔ Z Z L1 = Z Z L 2
1
2

⇔(

⇔

ω1
1 2
R + (ω 1L −
)
ω 1.C
2

=

ω2

R 2 + (ω 2 L −

1 2
)
ω 2 .C

2

2

2ω 2 .L ω 22
ω 12
2 2
2 2 2 2ω 1 .L
⇔ ω 2 .R + ω ω .L −
+ 2 2 = ω 1 .R + ω 1 ω 2 .L −
+ 2 2
C
ω1C
C
C ω2
2

2

2 2
2 1

2

1
1
2L
2 2
⇔ ( ω 2 + ω 2 ) = 2 LC − R C (với R2 <
) Khi ULmax ta có
C
1
2
1
1
2
⇒ ω02 = 2 ( ω 2 + ω 2 )
2 2
2 LC − R C
1
2
ω
=
ω
ω
=
ω
k. Khi
1 hoặc
2 thì cường độ dòng điện, công suất, hiệu điện thế
trên điện trở R có cùng một giá trị. Khi ω = ω0 thì cường độ dòng điện, công

ω0 =

suất, hiệu điện thế trên điện trở R đạt giá trị cực đại. Hệ thức liên hệ giữa
ω1 , ω2 và ω0 là
U

U

2
2
Khi I cùng giá trị I1 = I2 → Z = Z → ( Z L1 − Z C1 ) = ( Z L 2 − Z C 2 )
1
2
2
ω
ω
Sau khi biến đổi ta được ω = 1 2

Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây
thuần cảm có độ tự cảm L =

1
10 −4
( H ) , tụ điện có điện dung C =
( F ) , mắc nối
π
2π

tiếp. Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời
U MN = 120 2 cos(2πft )(V ) , tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được
a. Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất
tiêu thụ P1 trên đoạn mạch điện MN. Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời

chạy trong đoạn mạch đó.
b. Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f2 sao cho công suất tiêu thụ trên
23


đoạn mạch điện MN lúc đó là P2 = 2P1. Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện
khi đó. Tính hệ số công suất.
* Hướng dẫn giải:
a. Khi f = f1 = 50 (Hz) → ω = 100π → ZL =100(Ω) ⇒ Z = 100 2 + 100 2 = 100 2 (Ω)
ZC = 200(Ω)
U

120

1,2

=
( A)
Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là: I = Z =
100 2
2
2

 1,2 
Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện là: P 1 = I R =   .100 = 72(W )
 2
2

Độ lệch pha của u và i trong mạch: tan
ϕ=

Z L − Z C − 100
π
π
=
= −1 → ϕ = − = ϕ u − ϕ i → ϕ i = (rad)
R
100
4
4

π
4

Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là: i = 1,2cos(100 πt + )( A)
b. Khi thay đổi f để P2 = 2P1 tức P2 = 144(W)
Ta có P

2
2 = I 2 R = 144 →

U 2R
R 2 + (ω 2 L −

1 2
)
ω2C

= 144 → (ω 2 L −

1 2
) = 0 → ω2 =
Cω 2

1
LC

Đây là trường hợp xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta tìm được:
f

2

=

1
2π LC

=

1
1 10 − 4
2π
.
π 2π

= 50 2 ( Hz )

Hệ số công suất khi đó cos ϕ =

R

=1
Z

Ví dụ 2: Một mạch điện xoay chiều RLC có R = 100Ω, L =

1
10 −4
(H ) , C =
(F )
π
2π

mắc nối tiếp. Đoạn mạch được mắc vào một hiệu điện thế xoay chiều có tần số f
có thể thay đổi. Khi hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần
số f có giá trị là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:

24


ω=

2L − R 2C
=
2 L2 C

−4
2
2 10
− 100 .

π
2π =
1 2 10 − 4
2( ) .
π
2π

3
6
ω 50 6
.100 2 π 2 = 100π
→ f =
=
= 61( Hz )
2
2
2π
4

Với y = R 2 ω 2 C 2 + (ω 2 LC − 1) 2 đặt
ω 2 = x → y = R 2 C 2 x + ( LCx − 1) 2 = L2 C 2 x 2 + ( R 2 C 2 − 2 LC ) x + 1

Do hệ số a = L C > 0 → y min
2

2

− b 2 LC − R 2 C 2 2 L − R 2 C
2L − R 2C
2

→x=
=
=
→ω =
2a
2 L2 C 2
2 L2 C
2 L2 C

Ta có:

ω=

2L − R 2C
=
2 L2 C

2
10 −4
− 100 2.
π
2π =
1 2 10 − 4
2( ) .
π
2π

3
6
ω 50 6

.100 2 π 2 = 100π
→ f =
=
= 61( Hz )
2
2
2π
4

Vậy UC đạt cực đại khi tần số dao động f = 61(Hz)

2.2.5. Giải một số câu trong đề thi đại học

25