ĐỀ THI HSG TOÁN 9 VÒNG 2 ĐỨC THỌ 20152016 VÀ HÀ TĨNH 20152016

PHÒNG GD & ĐT
HUYỆN ĐỨC THỌ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN - LỚP 9. ĐỀ THI CÁ NHÂN.
Thời gian làm bài: 90 phút.

Phần 1. Từ câu 1 đến câu 10 chỉ viết đáp số.
Câu 1. Kết quả rút gọn biểu thức:
A=

(

x − 50 − x + 50

)

x + x 2 − 50 với x ≥ 50

Câu 2. Cho a − b = 29 + 12 5 − 2 5 . Tính giá trị của biểu thức:
B = a 2 (a + 1) − b 2 (b − 1) − 11ab + 2015
Câu 3. Tìm tập nghiệm của phương trình x 2 + 5x + 1 = (x + 5) x 2 + 1
Câu 4. Tìm x, y, z biết 4x2 + 10y2 + 2z2 – 4xy – 6yz + 6y – 6z + 5 ≤ 0
Câu 5. Cho đường thẳng (d): y = x − 2m − 1 (với m là tham số). Gọi H là hình chiếu của
O trên (d). Xác định giá trị của m để OH =

1
2

Câu 6. Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Câu 7. Biết rằng (a – b +2015), (b – c +2015) và (c – a +2015) là ba số nguyên liên tiếp
(với a, b, c là các số tự nhiên). Ba số đó là những số nào?
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, AC. Biết độ dài BN = 2sin α , CM = 2cos α với 0o < α < 90o . Tính độ dài đoạn
MN.
Câu 9. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi
M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN biết AB =
13cm, CD = 12cm.
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm; AC = 15 cm. Tính độ dài
đường phân giác trong AD của tam giác ABC
Phần 2. Câu 11, 12 trình bày lời giải đầy vào tờ giấy thi
1
Câu 11. Cho hình bình hành ABCD. M là điểm trên cạnh AB sao cho AM = AB , N là
3
trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BMN, I là giao điểm của AG và BC. Tính tỉ số
GA
IB
và
GI
IC
Câu 12 . Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a 4 + b 4 + c4 = 3 . Chứng minh rằng:
1
1
1
+
+
≤ 1.
4 − ab 4 − bc 4 − ca
---Hết---

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Từ câu 1 đến câu 10 mỗi câu 1 điểm
Câu
Kết quả
1 A = −10
2 B=2051
3 Tập nghiệm của phương trình là S = 2 6; − 2 6

{

4
5
6
7
8
9
10

}

1
1
x= ;y= ;z=2
6
3
m = 0 hoặc m = - 1
n = 2001
Ba số cần tìm là 2014, 2015 và 2016
2 5

MN =
5
216
8
S ∆CMHN =
= 16 (cm 2 )
13
13
20
AD =
2 cm
3

Điểm
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5

11

Gọi E là trung điểm của MB, P là giao điểm của AI với CD. Đặt AB = a.
2
AB

1 GE AE
4a
3
=
=
=
Theo định lí Ta-lét ta có: =
2 GN NP 1 CD + CP 3a + 6CP
2
⇒ CP =

5a
IB AB 6
GA GE 1
GA 1
=
= Vì
=
= nên
= (1)
; Suy ra
6
IC CP 5
GP GN 2
AP 3

0,5

0,5

IA IB 6
IP
5
AP 11
IA 6
=
= ⇒
+1= +1 ⇒
= ⇒
=
IP IC 5
IA
6
IA 6
AP 11
GI AI GA 6 1 7
=
−
= − =
kết hợp với (1) ta được
(2)
AP AP AP 11 3 33
GA 11
=
Chia theo vế cả (1) và (2) ta được
GI 7
GA 11
IB 6
=

=
Tóm lại
và
GI 7
IC 5
Mà

0,5
0,5

0,5
2
2 − ab
( 2 − ab ) ( 2 + ab ) = 1 − 4 − a 2b 2
=
1
−
=
1
−
Ta có
4 − ab
4 − ab
8 + 2ab − a 2b 2
( 4 − ab ) ( 2 + ab )
và 3 = a + b + c > a + b = ( a − b
4

4

4

4

4

2

)

2 2

+ 2a b ≥ 2a b ⇒ 4 − a 2 b 2 > 0
2 2

2 2

8 + 2ab − a 2 b 2 = 9 − ( ab − 1) ≤ 9 Do đó
2

12

2
4 − a 2b 2 5 a 2b 2 5 a 4 + b 4
≤1−
= +
≤ +
4 − ab
9
9

9
9
18
Tương tự:
2
5 b 4 + c4
2
5 c4 + a 4
≤ +
≤ +
;
4 − bc 9
18
4 − ca 9
18
1
1
1
1  15 a 2 + b 2 + c 2 
+
+
≤
Bởi vậy
 +
÷= 1
4 − ab 4 − bc 4 − ca 2  9
9

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa

0,5
0,5
0,5

0,5

0,5


HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN 1
Câu 1. Rút gọn biểu thức: A =

(

x − 50 − x + 50

)

x + x 2 − 50 với x ≥ 50

Hướng dẫn
Ta có :
2

A =

(

) (x+

2

x - 50 - x + 50

(
= ( 2x - 2

x 2 - 50

)(

)

A 2 = x - 50 + x + 50 - 2 x 2 - 50 x + x 2 - 50
A2

)(

x 2 - 50 x + x 2 - 50

A 2 = 2 ( x 2 - x 2 + 50 )
A 2 = 100

Nhưng do theo giả thiết ta thấy A =

(

)

)

x - 50 - x + 50

)

x + x 2 - 50 <0

Nên A = -10
Câu 2. Cho a − b = 29 + 12 5 − 2 5 . Tính giá trị của biểu thức:
B = a 2 (a + 1) − b 2 (b − 1) − 11ab + 2015
Hướng dẫn
Ta có: a − b = 29 + 12 5 − 2 5 =

( 3+ 2 5)

2

− 2 5 = 3+ 2 5 − 2 5 = 3

2
2
2
2
B = a 3 − b3 + a 2 + b 2 − 11ab + 2015 = (a − b)(a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015

= 3(a 2 + b 2 + ab) + a 2 + b 2 − 11ab + 2015
= 4(a 2 − 2ab + b 2 ) + 2015 = 4(a − b) 2 + 2015 = 2051
Câu 3. Tìm tập nghiệm của phương trình x 2 + 5x + 1 = (x + 5) x 2 + 1
Hướng dẫn
x 2 + 5x + 1 = (x + 5) x 2 + 1 ⇔ x 2 + 1 + 5x = (x + 5) x 2 + 1

⇔ x 2 + 1 + 5x − x x 2 + 1 − 5 x 2 + 1 = 0 ⇔
⇔ ( x 2 + 1 − x)( x 2 + 1 − 5) = 0

x 2 + 1( x 2 + 1 − x) − 5( x 2 + 1 − x) = 0


x ≥ 0
 x2 + 1 − x = 0
 x2 + 1 = x
 x = 24

⇔ 
⇔
⇔ x 2 + 1 = x 2 ⇔ 
 x 2 + 1 − 5 = 0
 x 2 + 1 = 5
 x = − 24
 x 2 + 1 = 25

x = 2 6
⇔
Vậy tập nghiệm phương trình là S = 2 6; − 2 6
 x = −2 6

{

}

Câu 4. Tìm x, y, z biết 4x2 + 10y2 + 2z2 – 4xy – 6yz + 6y – 6z + 5 ≤ 0
Hướng dẫn

Phân tích được thành (2x - y)2 + (3y – z + 1)2 + ( z - 2)2 ≤ 0 (1)
Vì (2x - y)2 ≥ 0 ; (3y – z + 1)2 ≥ 0 ; ( z - 2)2 ≥ 0 với mọi x, y, z nên từ (1) suy ra
1
1
x= ;y= ;z=2
6
3
Câu 5. Cho đường thẳng (d): y = x − 2m − 1 (với m là tham số). Gọi H là hình chiếu của
O trên (d). Xác định giá trị của m để OH =

2
2

Hướng dẫn
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A ( 2m + 1;0 )
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B ( 0; −2m − 1)
Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:

1
1
1
=
+
Hay
OH 2 OA 2 OB2

m = 0
1
1
2

+ 2 ⇔2=
⇔
2
2
x A yB
(2m + 1)
 m = −1
Câu 6. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Hướng dẫn
Ta có: n + 24 = k 2 ;n − 65 = h 2 ⇒ k 2 − 24 = h 2 + 65
k + h = 89 k = 45
⇔ ( k − h ) ( k + h ) = 89 = 1.89 ⇔ 
⇒
Vậy: n = 452 – 24 = 2001
k − h = 1
h = 44
Câu 7. Biết rằng (a – b +2015), (b – c +2015) và (c – a +2015) là ba số nguyên liên tiếp
(với a, b, c là các số tự nhiên). Ba số đó là những số nào?
Hướng dẫn
Gọi ba số liên tiếp cần tìm là n-1, n và n+1. Tổng của ba số này là 3n.
Mặt khác (a – b +2015) + (b – c +2015) + (c – a +2015) = 3.2015
Suy ra n = 2015. Vậy ba số cần tìm là 2014, 2015 và 2016
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, AC. Biết độ dài BN = 2sin α ; CM = 2cos α với 0o < α < 90o .Tính độ dài đoạn
MN.
Hướng dẫn
2=


Áp dụng định lý Pitago trong tam giác MAC,

A

NAB ta có:
BN 2 = AN 2 + AB2 ;CM 2 = AM 2 + AC2

M

N

⇒ BN 2 + CM 2 = AN 2 + (2AM) 2 + AM 2 +(2AN) 2
⇔ 4(sin 2 α + cos 2 α ) = 5(AN 2 + AM 2 ) = 5MN 2
Do sin 2 α + cos 2 α = 1 nên MN =

B

2 5
5

Câu 9. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi
M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN biết AB
= 13cm, CD = 12cm.
Hướng dẫn
Ta có ∆CHN # ∆ABC (g.g)
2
2
36
 CH   6 
⇒ S ∆CHN : S ∆ABC = 
=
=

÷  ÷
 AB   13  169
1
Ta lại có: S ∆ABC = .13.6 = 39(cm 2 ) ;
2
36 108
S ∆CHN = 39.
=
(cm 2 )
169 13
216
8
= 16 (cm 2 )
Vậy S ∆CMHN =
13
13

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm; AC = 15 cm. Tính độ dài
đường phân giác trong AD của tam giác ABC
Hướng dẫn

0
0
Ta có: AC.AB = 2S ∆ABC = 2S ∆ABD + 2S ∆ADC = AB.AD.sin 45 + AC.AD.sin 45

C


= ( AB + AC ) .AD.sin 450 ⇒ AB.AC = ( AB + AC ) .AD. 2 ⇒ 2 = 1 + 1
2

AD AB AC
Với AB = 12 cm; AC = 15 cm. Ta có:

PHÒNG GD & ĐT
HUYỆN ĐỨC THỌ

2
1 1 ⇒ AD = 20 2
cm
= +
3
AD 12 15

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN - LỚP 9.
Thời gian làm bài: 50 phút.

4+ 3
8 + 15
2n + n 2 − 1
240 + 14399
Câu 1. Tính tổng S =
+
+ .... +
+ ... +
1+ 3
3+ 5
n −1 + n +1
119 + 121

( n là số tự nhiên chẵn)
Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2015 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) + 1
Câu 3. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn 6 x 2 − 3xy + x = 1 − y và x 2 + y 2 = 1
Câu 4. Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến
AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
AB
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 360 . Tính tỉ số
BC
--Hết--


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Kết quả
Ta biến đổi số hạng tổng quát như sau:

Điểm

2n + n 2 − 1
n +1 − n −1
2n + n 2 − 1
=
n −1 + n +1
( n + 1) − ( n − 1)

0.5

)(

(

1

=

1
2

S=

(
1
2

( n + 1)

(

3

(

=

1
n +1+
2

−

( n − 1)

3

)

( n + 1) ( n − 1) + n − 1) (

n +1 − n −1

)

0.5

) (Với n là số tự nhiên chẵn)
) 12 (

33 − 13 + 53 − 33 + ... + 1213 − 1193 =

0.5

)

1213 − 13 =

1 3
( 11 − 1) = 665
2
ĐK: y( y + 1)( y + 2)( y + 3) ≥ 0
2

0.5

Pt (1) ⇔ x 2015 − 1 = ( y 2 + 3y + 1)2 − 1

0.5

Đặt: y 2 + 3y + 1 = a (a ∈ Z ) ; Vì x nguyên nên x 2015 − 1 nguyên, suy ra

0.5

a2 − 1 = k 2 (k ∈ Z) ⇒ a2 − k 2 = 1 ⇒ (a − k)(a + k) = 1 ⇒ k = 0

0.5


y = 0 ⇒ x = 1
 y 2 + 3y + 1 = 1
 y = −3 ⇒ x = 1
2
2
⇔
⇒
 2
 y = −1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn)
⇒ (y + 3y + 1) = 1
 y + 3y + 1 = −1 
 y = −2 ⇒ x = 1

0.5

Vậy có 4 cặp nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( 1; −1) , ( 1; −2 ) , ( 1; −3 ) .
3

Từ 6 x 2 − 3xy + x = 1 − y ⇔ 6x2 – 3xy + x + y – 1 = 0

2

⇔ 6x – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0 ⇔ 3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0
2

1

3 x − 1 = 0
x =
⇔
3
⇔ (2x – y + 1)(3x – 1) = 0 ⇔ 
2
x
−
y
+
1
=
0

 y = 2 x + 1
Kết hợp với x 2 + y 2 = 1 ta có:
1


x=
1


3
x =

⇔
3

 x2 + y 2 = 1  y = ± 2 2


3

( x = 0; y = 1)
 y = 2x + 1

⇔
và  2
4
3
2
(
x
=
−
;
y

=
−
)
x
+
y
=
1


5
5

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y) ∈

 4 3   1 2 2   1 2 2  
0;1
;
(
)
÷;  ; −
÷

 − ; − ÷;  ;
5
5
3
3
3  




 3

Đặt AB = x ; AN = y ⇒ AC = 2y.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với
cạnh huyền ta được
A
BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
4

1

/
6

N
/

9

B

//

M

//

C

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại
A

Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81 ⇔ y2 = 81 – x2 (2)
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 = 180
Nghiệm dương của phương trình : x = 2 15

0.5

0.5


5

Vẽ BD là phân giác trong của tam giác ABC.
·
·
·
Ta có ABD
= 360 ; BDC
= ACB
= 720
Suy ra ∆ADB và ∆BDC cân nên DA = DB = BC
AB DA
DA DC DA + DC
AC
⇒
=
=

=
=
BC DC
AB BC AB + BC AB + BC

DC =

AC.BC
AB.BC
=
AB + BC AB + BC

Mặt khác DC = AC – AD = AB – BC suy ra

AB.BC
= AB − BC ⇔
AB + BC

0.5

0.5

2

 AB  AB
−1 = 0
AB.BC = AB − BC ⇔ 
÷ −
 BC  BC
2

AB 1  5

⇔
− ÷ =
 BC 2  4
2

Do đó

2

AB 1
5
AB 1 + 5
Vậy
− =
=
BC 2 2
BC
2

0.5

0.5


Câu 1. Tính tổng S =

4+ 3
8 + 15

2n + n 2 − 1
240 + 14399
+
+ .... +
+ ... +
1+ 3
3+ 5
n −1 + n +1
119 + 121

Hướng dẫn
Ta biến đổi số hạng tổng quát như sau:

)(

(

)

2n + n 2 − 1
n +1 − n −1
2n + n 2 − 1
=
n −1 + n +1
( n + 1) − ( n − 1)
1
= n + 1 + ( n + 1) ( n − 1) + n − 1 n + 1 − n − 1
2
1
3

3
=
( n + 1) − ( n − 1) (Với n là số tự nhiên chẵn)
2
1
1
1
S=
33 − 13 + 53 − 33 + ... + 1213 − 1193 =
1213 − 13 = ( 113 − 1) = 665
2
2
2
Câu 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2015 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) + 1
Hướng dẫn
ĐK: y( y + 1)( y + 2)( y + 3) ≥ 0

(

(

(

)

)(

)

) (

)

Pt (1) ⇔ x 2015 − 1 = ( y 2 + 3y + 1)2 − 1
Đặt: y 2 + 3y + 1 = a (a ∈ Z ) ; Vì x nguyên nên x 2015 − 1 nguyên, suy ra
a2 − 1 = k 2 (k ∈ Z) ⇒ a2 − k 2 = 1 ⇒ (a − k)(a + k) = 1 ⇒ k = 0


y = 0 ⇒ x = 1
 y 2 + 3y + 1 = 1
 y = −3 ⇒ x = 1
2
2
⇔
⇒
 2
 y = −1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn)
⇒ (y + 3y + 1) = 1
 y + 3y + 1 = −1 
 y = −2 ⇒ x = 1

Vậy có 4 cặp nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( 1; −1) , ( 1; −2 ) , ( 1; −3 ) .

Câu 3. Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn 6 x 2 − 3xy + x = 1 − y và x 2 + y 2 = 1
Hướng dẫn
Từ 6 x 2 − 3xy + x = 1 − y ⇔ 6x2 – 3xy + x + y – 1 = 0
⇔ 6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0 ⇔ 3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0
1

3 x − 1 = 0

x =
⇔
3
⇔ (2x – y + 1)(3x – 1) = 0 ⇔ 
2
x
−
y
+
1
=
0

 y = 2 x + 1
* Kết hợp với x 2 + y 2 = 1 ta có:
1

x=
1


3
x =

⇔
3

 x2 + y 2 = 1  y = ± 2 2



3

( x = 0; y = 1)
 y = 2x + 1

⇔
và  2
4
3
2
(
x
=
−
;
y
=
−
)
x
+
y
=
1


5
5



 4 3   1 2 2   1 2 2  
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y) ∈ ( 0;1) ;  − ; − ÷;  ;
÷;  ; −
÷
3  
 5 5 3 3  3

Câu 4. Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến
AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
Hướng dẫn:
⇒
Đặt AB = x ; AN = y
AC = 2y.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta
được
BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A
Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81 ⇔ y2 = 81 – x2 (2)
A
Thay (2) vào (1) ta được phương trình :
x2 + 4( 81 – x2 ) = 144
N
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 = 180
Nghiệm dương của phương trình : x = 2 15
C
B
M
Trả lời: AB = 2 15 cm
AB
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 360 . Tính tỉ số

BC
Hướng dẫn
/

6

/

9

//

//


Vẽ BD là phân giác trong của tam giác ABC.
·
·
·
Ta có ABD
= 360 ; BDC
= ACB
= 720
Suy ra ∆ADB và ∆BDC cân nên DA = DB = BC
AB DA
DA DC DA + DC
AC
⇒
=
=

=
=
BC DC
AB BC AB + BC AB + BC
AC.BC
AB.BC
⇒ DC =
=
AB + BC AB + BC
Mặt khác DC = AC – AD = AB – BC suy ra
AB.BC
= AB − BC ⇔
AB + BC
2

 AB  AB
−1 = 0
AB.BC = AB − BC ⇔ 
÷−
 BC  BC
2
AB 1  5

⇔
− ÷ =
 BC 2  4
2

Do đó

2

AB 1
5
AB 1 + 5
Vậy
− =
=
BC 2 2
BC
2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Thời gian làm bài: 90 phút

Mã đề 01
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm số a, b trong sơ đồ sau:
b
a
10

15
12

18


11
9
15
21
12
10
8
22
20
Câu 2: Trong hộp có 45 viên bi màu, gồm 20 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng. Cần lấy
ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên:
a. Màu đỏ.
b. Cùng màu.
 1616 161616 16161616  16
+
+
Câu 3: Giá trị của biểu thức: 
là bao nhiêu?
÷:
 6161 616161 61616161  61
Câu 4. Gọi a là nghiệm âm của phương trình x 2 − x − 1 = 0. Giá trị của biểu thức
A = 2 − a + 3 5 + 8a là bao nhiêu?
Câu 5. Tìm số nguyên n biết n 2 − 4n + 7 là số chính phương.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình 4 x 2 + 6 x + 1 = 4 6 x + 4 .
 4 x 2 − y = 3
Câu 7. Tìm nghiệm của hệ phương trình:  2

.
 y − 4 xy + 2 x = −1
an
Câu 8. Cho a1 = 1 và an +1 =
với mọi n ≥ 1, n ∈ ¥ . Tìm a64 ?
nan + 1
1
a
Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của P = a + +
với a > 0 là bao nhiêu?
a (a + 1) 2
Câu 10. Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7. Đường phân giác trong
của góc A và B cắt nhau tại O. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N.
Tìm chu vi tam giác MNC.

II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và góc BAC bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là chân
đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
a. Chứng minh tam giác INP đều.
b. Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Tính số đo của góc BCP.
Câu 12. Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng. Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi
bước, nếu có 2 số a, b nào đó thỏa mãn a − b ≥ 2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số a − 1, b + 1.
Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?
HẾT
Lưu ý:

-Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề thi có 01 trang gồm 12 câu)

Mã đề 02
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Trong hộp có 55 viên bi màu gồm 30 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng. Cần lấy
ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên:


a. Màu đỏ.
b. Cùng màu.
Câu 2: Tìm số a, b trong sơ đồ sau:
a
b
10
11

15
12

9

12

10
1616
161616
16161616
16


+
+
Câu 3: Giá trị của biểu thức: 
là bao nhiêu?
÷:
 6161 616161 61616161  61
Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình 4 x 2 + 6 x + 1 = 4 6 x + 4 .

18
15

8

21
22

20

2
 4 x − y = 3
Câu 5. Tìm nghiệm của hệ phương trình:  2
 y − 4 xy + 2 x = −1
Câu 6. Gọi a là nghiệm âm của phương trình x 2 − x − 1 = 0. Giá trị của biểu thức

A = 2 − a + 3 5 + 8a là bao nhiêu?
an
Câu 7. Cho a1 = 1 và an +1 =
với mọi n ≥ 1, n ∈ ¥ . Tìm a64 ?
nan + 1
1
a
Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của P = a + +
với a > 0 là bao nhiêu?
a (a + 1) 2
Câu 9. Tìm số nguyên n biết n 2 − 4n + 7 là số chính phương.
Câu 10. Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7. Đường phân giác trong
của góc A và B cắt nhau tại O. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N.
Tìm chu vi tam giác MNC.

II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và góc BAC bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là chân
đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
a. Chứng minh tam giác INP đều.
b. Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Tính số đo của góc BCP.
Câu 12. Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng. Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi
bước, nếu có 2 số a, b nào đó thỏa mãn a − b ≥ 2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số a − 1, b + 1.
Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?
Lưu ý:
-Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh…………………….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN

Hướng dẫn chấm

HƯỚNG DẪN CHẤM
Mã 01
Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu
Câu 1

Đáp án
Đáp số: a=11; b=13.

Điểm


Câu 2
Câu 3

Câu 4

Câu 5

Quy luật: Số nằm hằng trên bằng trung bình cộng của hai số nằm hàng kề
dưới.
a. Đáp số: 28 vì tổng số vàng và xanh là 25

b. Đáp số: 7 (theo nguyên lý Dirichle)
Đáp số: 3 vì 4 phân số đó bằng nhau.
Đáp số: 2
1− 5
Ta có a =
nên
2
A=

3+ 5 3
6 + 2 5 + 3 72 − 32 5
+ 9−4 5 =
2
2

(1 + 5) 2 + 3 (3 − 5)3 1 + 5 + 3 − 5
=
=
= 2.
2
2
Đáp số: n=1; n=3
Đáp số: x =

Câu 6

PT ⇔ (2x+3)2 =( 6 x + 4 +2)2. Với x ≥
Pt

Câu 7

⇔ 2x+1 = 6 x + 4

1
.
2017

1
1
= + n; ∀n ≥ 1.
an +1 an
1
1
1
1
n(n + 1)
= +n=
+ n − 1 + n = ... = + 1 + ... + n = 1 +
.
Do đó
an +1 an
an −1
a1
2
2
1
=
.
Suy ra a64 =
2 + 63.64 2017

Đáp số: 9/4.
a
(a + 1) 2
a
( a + 1) 2 15 (a + 1) 2
+
−2=
+
+
−2
Ta có P =
(a + 1)2
a
(a + 1) 2
16a
16 a
1 15
9
≥ 2. + .4 − 2 = , có ‘’=’’ khi a=1
4 16
4
Ta có

Câu 9

−2
ta có 2x+3 > 0 nên
3

1

1 − 21 5 − 21 1 + 21 5 + 21
Đáp số: (x;y) =(1;1); ( − ;-2); (
;
);(
;
);
2
4
2
4
2
Cộng hai phương trình ta được: (2x-y)2 +(2x-y)-2=0
2 x − y = 1
 2 x − y = −2

1
+) Với: 2x-y=1 ⇔ y=2x-1 thế vào ta được: x=1, x= −
2
1 ± 21
+) với 2x-y=-2 ⇔ y=2x+2 thế vào ta được: x=
4
Đáp số

Câu 8

1 + 13
4


Câu 10

Đáp số: 13
NH OH 3
NC 13
=
= ⇒
=
Ta có:
NB OA 7
BC 20
MC MN NC 13
=
=
=
AC
AB BC 20
Suy ra MN + NC + MC =

Câu
11a

13
(7 + 7 + 6) = 13
20

Do IP=IN =BC/2 ⇒ tam giác IPN cân tại I

A

∠BIP = 1800 – 2 ∠ABC

∠NIC = 1800 – 2 ∠ACB

Câu
11b

Câu 12

K

N

P
⇒ ∠PIN =1800 – (3600 –
- 2( ∠ABC + ∠ACB ) )
=1800-1200=600
C
Vậy tam giác IPN đều
B
I
M
IA là một phân giác góc ∠PIN , do tam giác IPN đều dẫn đến IA vuông góc
với PN và IA cắt PN tại trung điểm K.
Suy ra AK là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác APN, dẫn đến
tam giác APN là tam giác cân tại A. Suy ra AK là phân giác góc ∠BAC
Từ đó tam giác ABC cân tại A, kết hợp với góc ∠BAC = 600 nên tam giác
ABC đều. Vậy ∠BCP =300.
Đáp số: 5.
Nhận thấy tổng các số sau mỗi bước là không đổi và bằng 15 và S n là tổng
bình phương các số sau khi thực hiện ở bước n giảm xuống (do
Sn − Sn+1 = a 2 + b 2 − (a − 1) 2 − (b + 1) 2 ≥ 2; ∀n ).

Do vậy quá trình quá trình sẽ dừng lại ở bước thứ k , với k là số bước tối đa
có thể thực hiện được. Ở bước cuối cùng, còn lại x số bằng p và 5 − x số
bằng p + 1 với 0 ≤ x ≤ 5. Ta có xp + (5 − x)( p + 1) = 15 nên 5 | x , suy
ra ở bước sau cùng các số hạng bằng nhau và bằng 3.
Do đó S k = 45. Ta có S0 − S k ≥ 2k nên k ≤

12 + ... + 52 − 45
= 5.
2

Với k = 5, ta có cách biến đổi như sau:
(12345)->(22245)->(22335)->(22344)->(23334)->(33333).

--------- HẾT ---------