Đề thi HSG Toán 9 vòng 2

Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 2 năm học 2006-2007
-------------------------
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------
Câu 1: (Không dùng máy tính)
Cho biểu thức: A =
2
168
1
4444
x
x
xxxx
+
++
Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2: (Không dùng máy tính). Hãy so sánh hai số sau đây:
x =
+
++
+
322
32
322
32

và y =

++
+
5310
53
5310
53
+

Câu3: Cho hệ phơng trình:
x- my = 2 - 2m
mx + y = 1 + 3m (I) với m là tham số.
1, Giải hệ (I) khi m = 1
2, Gọi (x
0
, y
0
) là nghiệm của hệ (I). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = x
0
2
+ y
0
2
- 2 x
0
khi m thay đổi.
Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lợt lấy các
điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng:

1, Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình vuông.
2, Nếu tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình vuông.
Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh bất
đẳng thức sau:
++
cba
ab +bc + ca
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 2 năm học 2006-2007
-------------------------
Hớng dẫn chấm thi
Môn: Toán.
-----------------------------
Câu ý Nội dung Điểm
1
A =
2
2
168
44444444
x
xx
xxxx
+
+++++

=
x

x
xx
x
x
xx
4
2424
)
4
(
)24()24(
2
22

++
=

++
.
Điều kiện:

0
0
4
04
x
x
x
x

x

> 4
Trờng hợp 1: Nếu
4

x
-2 0

4 < x 8. Khi đó:
A =
4
4
4
4224

=

++
x

x
x
x
xx
Trờng hợp 2: Nếu
4

x
-2 > 0

x > 8. Khi đó:
A =
4
2
4
2424

=

++
x
x
x
x
xx
.
*Xét A =
4
4

x
x
= 4 +
4
16

x
với x

Z ta thấy
A

Z






84
164
x
x

=
=
=
44
24
14
x
x
x







=
=
=
8
6
5
x
x
x
*Xét A =
4
2

x

x
và x

Z . Trớc hết, nếu
4

x
là số vô tỉ thì A

2
cũng là số vô tỉ nên không thỏa mãn, do đó
4

x
=
q
p
với p,q

Z
+
và (p; q) = 1.
Khi đó A =
k
p
q
q
p
Z
p

q
q
p
q
p
q
p
=++=
+
8
2
8
2
)4(2
2
2
(k

Z)

2p
2

+8q
2
= kpq. Từ đó ta thấy 2p
2
chia hết cho q mà (p,q) =1

q

2





=
=
2
1
q
q
. Tơng tự ta cũng có: 8q
2
chia hết cho p mà
(p,q) =1

p
8

p = 1; 2; 4; 8. Vì (p,q) = 1 nên chỉ cần thử
các tình huống:
+ q =2 và p = 1 thì x không phải là số nguyên.
+ q =1 mà x > 8 nên p = 4; 8 thỏa mãn. Khi đó x = 20; 68
Vậy A

Z khi x = 5; 6; 8; 20; 26.
2
Rút gọn x:
+

++
+
=


+
++
+
==
2
2
)13(2
)13(
3242
324
3242
324
2
2
2
x
x
+
2
2
)13(2
)13(


=

132
)13(
2
++
+
+
)13(2
)13(
2

+
=
)13(3
)13(
2
+
+
+
)13(3
)13(
2


=
3
13
+
+
2
2

2
2
3
13
===

x
Rút gọn y:
2
y
=

++
+
52620
53
52620
53
+

153
53
153
53
)15(52
53
)15(52
53
22

+
+
=
+


++
+
=
=
11
26
11
6
44
24
)153)(153(
)153)(53()153)(53(
===
+
++
y
So sánh
11
26
<
2

y < x.

2
3 1,
2,
Khi m =1 hệ trở thành



=
=




=+
=
2
2
4
0
y
x
yx
yx

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2)
Do (x
0

; y
0
) là nghiệm của hệ phơng trình nên ta có hệ:

2
B
A
C
D
M
N
P
Q
( )
( )



+=+
=
)2(211
)1(211
00
00
myxm
mmyx

Bình phơng hai vế của (1) cộng từng vế với bình phơng hai vế
của (2) ta đợc

[ ] [ ]
=++
2
00
2
00
)1()1( yxmmyx
(1- 2m)
2
+ (1+ 2m)
2


(m
2
+ 1)
[ ]
22
0
)1( yx
+

2
82 m+=


(x
0
-1)
2

+ y
2
0
=
1
28
2
2
+
+
m
m
mà A = x
2
0
+ y
2
0
- 2x
0


A = (x
0
-1 )
2
+ y
2
0
1.

Vậy A =
1
28
2
2
+
+
m
m
- 1 =
1
17
2
2
+
+
m
m


A =
1
6)1(7
2
2
+
+
m
m
= 7 -

1
6
2
+
m
.
Để A
min


1
6
2
+
m
lớn nhất

m
2
+ 1 nhỏ nhất.
Mặt khác m
2
+ 1 1. Dấu = khi m = 0. Vậy (m
2
+ 1)
min
= 1

A = 1 khi m = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 1 khi m = 0
khi đó ( x

0
; y
0
)=(2;1).
4
1,
2,


Tứ giác ABCD là hình vuông


AB = BC = CD =DA


AM + MB = BN + NC = CP
+ PD = DQ + QA
(do AM = BN = CP = DQ).
Tam giác vuông AQM
= Tam giác vuông BNM
= Tam giác vuông CPN
= Tam giác vuông DQP(c-g-c)
suy ra MQ = NM = PN = QP (1)
và





=+

=
o
MNBNMB
MNBQMA
90



Suy ra
)2(90

90

oo
NMQNMBMNBNMBQMA
==+=+
Từ (1) và (2)

Tứ giác MNPQ là hình vuông.

3
2
1
Tứ giác MNPQ là hình vuông

Tứ giác ABCD là hình
vuông. Ta chỉ cần chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật là
đủ (vì với điều kiện AM = BN = CP = DQ và MNPQ là hình
vuông ta suy ra tứ giác ABCD là hình vuông).

Giả sử tứ giác ABCD không là hình chữ nhật

Trong 4 góc
của tứ giác có ít nhất 1 góc tù, giả sử góc A > 90
0
Hạ QH vuông góc với AB

H nằm ngoài đoạn AM. (do
gócA > 90
0
)

AM < MH (3)
Hạ NK vuông góc với AB, ta
thấy tam giác vuông HMQ
= Tam giác vuông KNM
Do MQ = NM và
góc HMQ = góc KNM (cùng phụ
với góc KMN)

HM = KN, mà
MH > AM (theo (3))
KN BN
Do đó AM < BN (vô lí do giả thiết AM = BN)
Vậy điều giả sử sai

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Tứ
giác ABCD là hình vuông.

5
++
cba
ab +bc + ca

++
cba 222
2ab +2bc + 2ca

a
2
+
++++
ccbba 222
22
a
2
+ b
2
+c
2
+2ab +2bc + 2ca

a
2
+
++++
ccbba 222
22
(a + b + c)

2
= 9 (*)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
aaaaaaaaa 3...32
3
222
=++=+
Tơng tự, ta cũng có:
bbb 32
2
=+
;
ccc 32
2
=+
Do đó a
2
+
++++
ccbba 222
22
3.(a + b + c) =3.3= 9
Vậy là (*) đợc chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

1
---------------------Hết------------------
A
B
C

D
H
KM
Q
N