chuyên đề chứng minh tứ giác nội tiếp

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CHUYÊN ðỀ: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Biên soạn: TRẦN VĂN THỌ - GV Trường THCS
Dũng Sĩ ðiện Ngọc, ðiện Bàn, Quảng Nam.

I. KIẾN THỨC CƠ BÀN:
* Học sinh cần nắm vững ñịnh nghĩa: Tứ giác nội tiếp trong một ñường tròn
là tứ giác có bốn ñỉnh nằm trên ñường tròn.
- ðể chứng minh một tứ giác nội tiếp ñược trong một ñường tròn, học sinh
cần phải nắm vững các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp ñược trong một
ñường tròn sau:
* Dấu hiệu 1: Nếu một tứ giác có tổng số ño hai góc ñối bằng 1800 thì tứ giác
ñó nội tiếp ñược trong một ñường tròn.
* Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngoài tại một ñỉnh bằng góc trong tại ñỉnh ñối
của ñỉnh ñó thì nội tiếp ñược trong một ñường tròn.
* Dấu hiệu 3: Tứ giác có 4 ñỉnh cách ñều một ñiểm ( mà ta có thể xác ñịnh
ñược). ðiểm ñó là tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giác.
* Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai ñỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai ñỉnh còn
lại dưới một góc ∝ (an-pha) thì nội tiếp ñược trong một ñường tròn.

II. Một số bài toán luyện tập:
* Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong ñường tròn
tâm I; bán kính r. Gọi P là trung ñiểm của AC; AH là ñường cao của tam
giác ABC.
a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp ñược trong ñường tròn tâm K.
Xác ñịnh tâm K của ñường tròn này.
b/ Chứng minh hai ñường tròn ( I ) và ( K ) tiếp xúc nhau.

@ Gợi ý:

a/ Chúng minh IP ⊥ AC ⇒ p = 900 . Dựa vào dấu hiệu 1 ñể chứng minh
APIH nội tiếp ñược trong một ñường tròn ( H + P = 1800 )
- Xác ñịnh tâm K ñường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: ðiểm P nhìn ñoạn
thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc ñường tròn ñường kính AI. Chứng
minh tương tự ñối với ñiểm H. Từ ñó xác ñịnh ñược tâm K ( là trung ñiểm ñoạn
AI ).
( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các ñiểm nhìn ñoạn thẳng AB dưới
một góc vuông là ñường tròn ñường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức về hai ñường tròn tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hia tâm bằng tổng hai bán kính.
OO’ = R + r
- Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính.
OO’ = R – r> 0



------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Tính IK ñể kết luận (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2: CHo ñường tròn tâm O, ñường kính AB cố ñịnh. ðiểm I nằm giữa A
và O sao cho AI =

2
AO. Kẻ dây MN ⊥ AB tại I. Gọi C là một ñiểm tùy ý
3

thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC, cắt MN tại
E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp ñược trong 1 ñường tròn. Xác
ñịnh tâm ñường tròn này.

b/ Chứng minh tam giác AME ñồng dạng với tam giác ACM. Và chứng
minh AM 2 = AE. AC
c/ Chứng minh AE. AC − AI .IB = AI 2

@ Gợi ý:
câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở bài 1 ở trên.
Câu b, c : HS tự ch. minh.
* Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A ( A < 900 ). ðường vuông góc với AB tại
A cắt ñường thẳng BC tại E. Kẻ EN ⊥ AC. Gọi M là trung ñiểm của BC. Hai
ñường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.
a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp ñược trong
ñường tròn. Xác ñịnh tâm các ñường tròn này.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.

@ Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 ñể ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 ñể
chứng minh AMNE nội tiếp.
b/ Tính AEB + MAE = ? và tính BAM + MAE = ? . So sánh AEB và
BAM . So sánh BAM và MAC ( 1)
- Tứ giác AMNE nội tiếp nên MAC và MEN thế nào với nhau, vì sao. ( 2)
Từ ( 1) và ( 2) nêu ra kết luận.

Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Kẻ tia Ax và Ay sao cho xAy = 450 . Tia Ax
cắt CB và ND lần lượt tại E và P. Tia Ay cắt CD và BD lần lượt tại F và Q.
a/ Chứng minh EBAQ và FDAP nội tiếp ñược trong ñường tròn.
b/ Chúng minh năm ñiểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một ñường tròn.

@ Gợi ý:
a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD là ñường chéo của hình vuông
ABCD nên DBC = ? - Dựa vào dấu hiệu 4 ñể chứng minh EBAQ nội tiếp (

Hướng dẫn HS lập luận như sau: Hai ñỉnh A và B của hai góc QAE và BQE
nhìn ñoạn thẳng QE chứa hai ñỉnh còn lại của tứ giác EBAQ cùng dưới một
góc 450 nên EBAQ nội tiếp ñược trong ñường tròn.
- Chứng minh tương tự ñối với tứ giác FPAD.
b/ Chứng minh năm ñiểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một ñường tròn.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------

HS cần nắm ñược kiến thức sau: Góc ngoài tại một ñỉnh của tứ giác nội tiếp
thì bằng góc trong tại ñỉnh ñối của ñỉnh ñó. (ðịnh lý)
- Góc FQE là góc ngoài tại ñỉnh Q của tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc
EQF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu ñộ?
- Góc EPF là góc ngoài tại ñỉnh P của tứ giác nội tiếp APFD nên góc
EPF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu ñộ?
- Xét các ñiểm P, Q, C có cùng nhìn ñoạn thẳng EF dưới cùng một góc
vuông không? Vậy P, Q, C thuộc ñường tròn nào? Từ ñó kết luận 5 ñiểm Q, P,
E, C, F cùng nằm trên một ñường tròn.
Bài 5:Cho ñường tròn ( O;R) và ñường thẳng xy cách tâm O một khoảng
OK= a ( 0 < a < R ). Từ một ñiểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB
và AC ñến ñường tròn (O) ( B, C là các tiếp ñiểm; O và B nằm cùng phía với
xy)
a/ Chứng minh ñường thẳng xy cắt ñường tròn ( O) tại hai ñiểm D và
E.
b/ Chứng minh 5 ñiểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một ñường tròn.
Xác ñịnh tâm của ñường tròn này.
c/ BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S. Chứng minh tứ giác
AMKS nội tiếp ñược trong một ñường tròn.

@ Gợi ý:
Câu b: dựa vào dấu hiệu 1 ñể chứng minh 5 ñiểm thuộc ñường tròn.
Câu c: dựa vào dấu hiệu 4 ñể chứng minh AMKS nội tiếp.
Bài 6: Từ một ñiểm A ngoài ñường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với
ñường tròn ( B, C là các tiếp ñiểm). Trên tia ñối của tia BC, lấy ñiểm D. Gọi E
là giao ñiểm của DO và AC. Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với ñường tròn (O),
có tiếp ñiểm là M; tiếp tuyến này cắt ñường thẳng AB ở K.
a/ Chứng minh bốn ñiểm D, B, O, K cùng thuộc một ñường tròn.
b/ Chứng minh D, B, O, M, K cùng thuộc một ñường tròn.

@ Gợi ý:
- Câu a/ - So sánh góc MOE và góc MBC.
- So sánh góc MOD và góc MBD
- Hai ñiểm O và B cùng nhìn ñoạn thẳng DM dưới một góc bằng nhau.
Vậy kết luận gì về tứ giác DBOM?
- Câub/ Chứng minh B, O, M, K cùng thuộc một ñường tròn ( dấu hiệu 1). Rồi
kết luận 5 ñiểm B, O, M, K, D cùng thuộc một ñường tròn.
***
***

Bài tập vận dụng dấu hiệu 2 (Tứ giác có góc ngoài tại một ñỉnh bằng góc
trong tại ñỉnh ñối của ñỉnh ñó thì nội tiếp ñược trong một ñường tròn.)



------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong ñường tròn tâm
O; ñường kính AI. Gọi E là trung ñiểm của AB ;K là trung ñiểm của OI; H là
trung ñiểm của EB.

a/Chứng minh HK ⊥ EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp ñược trong một ñường tròn.

@ Gợi ý:
Câu a/ B thuộc nửa ñường tròn ñường kính AI ⇒ AIB = ?0
- Chúng minh HK là ñường trung bình của hình thang EBOI, từ
ñó kết luận HK ⊥ EB
Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân tại K ñể suy ra BEK = EBK (1)
- Chứng minh EBK = AKC (2)
- Từ (1) và (2) suy ra BEK = ACK
Góc BEK là góc ngoài tại ñỉnh E của tứ giác AEKC bằng góc ACK ( là
góc tại ñỉnh ñối của ñỉnh E). Do ñó, căn cứ vào dấu hiệu 2, kết luận AEKC
nội tiếp ñược trong ñường tròn.

Bài 8: Cho nửa ñường tròn tâm I, ñường kính MN. Kẻ tiếp tuyến Nx và lấy
ñiểm P chính giữa nửa ñường tròn. Trên cung PN, lấy ñiểm Q ( không trùng
với P, N ). Các tia MP và MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự tại S và T.
a/ Chứng minh NS và MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT ñồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp ñược trong một ñường tròn.

@ Gợi ý:
a/ ðiểm P nằm chính giữa nửa ñường tròn, vậy góc PMN bằng bao
nhiêu ñộ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 ñường tròn). Kết luận
tam giác MNS là tam giác gì? ( cân?), suy ra ñiều cần chứng minh.
b/ HS tự chứng minh 2 tam giác ñề ra là ñồng dạng( trường hợp gócgóc).
c/ Do tam giác MNT ñồng dạng với tam giác NQT( ch. minh trên) nên
TMN = TNQ ( 1) và QNM = NTQ ( 1)
Mà góc SPQ có bằng góc QNM không?( nhớ lại ñịnh lý về góc ngoài tại
1 ñỉnh của tứ giác nội tiếp ñể trả lời- Tứ giác MPQN nội tiếp phải không?)(2)

Từ (1) và (2) có thể kết luận góc NTQ bằng góc SPQ không?. Xét vị trí
hai góc này ñối với tứ giác PQTS ñể kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp ñược hay
không. ( dựa vào dấu hiệu 2)
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa ñường tròn ñường kính AB cắt
BC tại D. Trên cung AD lấy một ñiểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.

@ Gợi ý:
Chứng minh tương tự bài 7.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 10:Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:
Cho ñường tròn tâm O. Kẻ ñường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi E
là ñiểm chính giữa cung nhỏ CB. EA cắt CD tại F; ED cắt AB tại M.
a/ Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì?
b/ Chứng minh bốn ñiểm D, C, M, B thuộc ñường tròn tâm E.

@ Gợi ý:
Câu a: Góc CEF là góc có ñỉnh nằm bên trong ñường tròn; góc FCE là
góc nội tiếp chắn cung ED. Lập các biểu thức về số ño các góc ñó, so sánh ñể
thấy 2 góc ñó bằng nhau. Kết luận tam giác CEF là tam giác gì? ( Cân?)
- Chứng minh tương tự ñối với tam giác EMB.
- Từ ñó suy ra EC = EB = EF = EM. Dựa vào dấu hiểu ñể kết luận
ñiều phải chứng minh.
HẾT
Cuối năm 2010
Trần Văn Thọ

LỜI KẾT:
Những bài tập trên ñây ñể giúp Hs diện yếu, trung bình và khá.tự ôn tậpñể thi
vào lớp 10. ðề thi vào lớp 10 hiện naynói chung là tương ñối nhẹ nhàng. Do ñó
các bài tập ñược lựa chọn trên ñây phù hợp ñể HS tự học.