Chứng minh đa giác nội tiếp

D
C
A
B
A
B
D
C
Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ

Phơng pháp chứng minh:
một tứ giác nội tiếp đờng tròn - các điểm cùng thuộc một đờng
tròn
Chứng minh tứ giác nội tiếp
A. Kiến thức cơ bản
1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn gọi là tứ giác
nội tiếp đờng tròn (Hay gọi tứ giác nội tiếp ) Và đờng tròn đó gọi là đờng tròn ngoại tiếp của
tứ giác.
2) Tính chất:
+ Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
+ Đảo lại: Nếu một tứ giác có có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
thì tứ giác đó nội
tiếp đợc đờng tròn.
3) Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa đờng tròn)
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp
Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
Dâu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0

là tứ giác nội tiếp
Tứ giác ABCD có :
CA

+
= 180
0
tứ giác ABCD nội tiếp
Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác
nội tiếp
Dấu hiệu 4: ( Dựa vào cung chứa góc)
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau
Tứ giác ABCD có :
ABD = ACD và B, C là hai đỉnh kề nhau tứ giác ABCD nội tiếp
B. Bài tập:
1. Củng cố khái niệm, tính chất , dấu hiệu nhận biết
Bài 1: Trong các tứ giác sau tứ giác nào là tứ giác nội tiếp ? Giải thích vì sao
1
A =
0
; C = 180
0
-
0
ACB = ADB
B
D
C
A
ABCD là hình thang cân

D
C
A
B
BAD = BCD
Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ

Bài 2: Trong các khẳng
định sau khẳng định nào
sai
a) Hình thang cân là một tứ giác nội tiếp
b) Hình bình hành có bốn điểm
c) Các đỉnh của mọt tứ giác bất kỳ nằm trên các đờng tròn
d) Hình thang có một góc vuông là một tứ giác nội tiếp
2. Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 2:
a) Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng tứ
giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD
b) Tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại M. Chứng minh rằng : Tứ giác ABCD
nội tiếp khi và chỉ khi MA.MC = MB.MD
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và các đờng cao BE , CF
cắt nhau tại H. Gọi H là điểm dối xứng của H qua BC. Tìm các tứ
giác nội tiếp có trong hình vẽ
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Từ A kẻ hai đờng thẳng
cắt tiếp tuyến của đờng tròn tại A ở E và F và cắt đờng tròn tại C và
D. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) . Các đờng cao
AD , BE , CF cắt nhau tại H
2
A

D
B
C
C
A
D
B
B
D
A
C
M
O
D
C
A
B
M
O
D
C
A
B
H'
F
Ê
H
B
C
A

D
C
B
O
A
E
F
Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ

Vẽ đờng kính AA của đờng tròn (O) , các đờng thẳng AD , AA cắt EF lần lợt tại M , Q .
CA cắt AD tại R
a) Chứng minh các tứ giác BCEF và AFDC nội tiếp
b) Vẽ đờng kính AA của đờng tròn (O) cắt EF tại Q, cắt CF tại N , BC tại P Chứng
minh tứ giác CEQA nội tiếp
c) Gọi M là giao điểm của EF với AD. Chứng minh các điểm M , P , Q cùng thuộc một
đờng tròn
d) Gọi R là giao điểm của AC với AD. Chứng minh tứ giác HRAN nội tiếp
Hớng dẫn
a) Chứng minh các tứ giác này có hai đỉnh kề nhau nhìn
cạnh nối hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau
b) Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng góc
trong của đỉnh đối diện:
Góc QAC= góc AEF (vì cùng bằng các góc AHF = ABC
c) Tứ giác CEQA nội tiếp mà góc ECA = 90
0
nên ta có
góc PQM = 90
0
. Từ đó ta có tổng hai góc PQM và góc
PDM = 180

0
nên tứ giác MQPD nội tiếp
d) Chứng minh góc ngoài của tứ giác bằng góc trong của
đỉnh đối diện. Góc NAR = góc AHF
Bài 6: Từ điểm P ở ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB. Qua điểm M thuộc đoạn
thẳng AB kẻ đờng thẳng vuông góc với OM cắt PA tại C và PB tại D. Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác OACM , OBDM nội tiếp
b) M là trung điểm của CD
c) Bốn điểm C , O , D , P có cùng thuộc một đờng tròn không ?
Hớng dẫn
a) + Chứng minh đỉnh A và M của tứ giác OCAM
cùng nhìn cạnh OC dới hai góc bằng nhau
+ Chứng minh tứ giác OBDM có tổng hai góc đối
OMD và OBD bằng 180
0
b) Ta chúng minh tứ giác PAOP nội tiếp và chứng
minh hai đỉnh D và P của tứ giác CODP nhình
cạnh OC dới các góc bằng nhau
3
N
P
R
Q
M
A'
D
F
H
E
O

B
C
A
D
C
O
B
A
M
Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ

Nhận xét: Vậy ta có thể vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh bốn
điểm cùng thuộc một đờng tròn
Chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn
A. Một số phơng pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn
+ Dựa vào hai đờng tròn có ba điểm chung thì trùng nhau
Ví dụ : để chứng minh 5 điểm ABCDE cùng thuộc một đờng tròn ta chứng minh : bốn
điểm ABCD cùng thuộc một đờng tròn và bón điểm ABCE cùng thuộc một đờng tròn. Vì hai
đờng tròn này có ba điểm A , B , C chung nên 5 điểm trên cùng thuộc một đờng tròn
+ Chứng minh các điểm cách đều một điểm cố định
+ Chứng minh các điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm dới các góc bằng nhau
B. Bài tập
Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai diểm A và B . Một cát tuyến qua A và
vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) và (O) tại C và D. Tia CB cắt đờng tròn (O) tại M . Tia
DB cắt đờng tròn (O) tại N . Chứng minh 5 điểm M , N , A , O , O cùng thuộc một đờng
tròn
Hớng dẫn
+ Ta chứng minh bốn điểm A, O, N, O cùng thuộc một đ-
ờng tròn và A, O , M , O cùng thuộc một đờng tròn
+ Mà hai đờng tròn này có ba điểm chung nên 5 điểm trên

cùng thuộc một đờng tròn
Bài 2: (Đờng tròn chín điểm hay đờng tròn ơ le)
Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng các trung điểm của ba
cạnh , chân của ba đờng cao , các trung điểm của ba đoạn
thẳng nối liền ba đỉnh với trực tâm của tam giác cùng nằm
trên một đờng tròn
Hớng dẫn.
Gọi A . B , C thứ tự là trung điểm của các cạnh BC ,
AC , AB
Gọi D , E , F thứ tự là các chân đờng cao hạ từ A , B , C
xuông cạnh đối diện
Gọi R , S , T thứ tự là trung điểm của AH , BH , CH
Ta chọn ba điểm A , B , C làm gốc sau đó chứng minh
các tứ giác sau nội tiếp
DCBA , ECAB FCAB
RCAB , SABC, TBCA
4
N
M
D
C
A
B
O
O'
T
S
R
H
D

E
F
A'
B'
C'
B
C
A
Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ

Một số bài tập luyên tập
Bài 1: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ở ngoài đờng tròn . Kẻ OA vuông góc với xy .
Từ A kẻ cát tuyến ABC với (O). Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy lần lợt tại D và E.
a) Chúng minh các tứ giác AOCE và ABOD
b) Ta giác ODE là tam giác gì? Vì sao?
Hớng dẫn:
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
và tứ giác có
hai đỉnh nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dới các góc
bằng nhau
b) Tam giác có hai góc bằng nhau
Nhận xét: nếu ta chứng minh hai góc ADO = góc AEO một
cách trực tiếp thì có thể khó , nên ta đa các góc này về trong
đờng tròn để từ đó vận dụng quan hệ giữa các góc của một
đờng tròn để chứng minh chúng bằng nhau
Bài 2: Cho A ở ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC . Gọi I là giao điểm của
AO với BC. Vẽ dây MN qua I ( MN < 2R). Chứng minh rằng
a) Tứ giác ABOC nội tiếp
b) Chứng minh IO.IA = IM.IN và tứ giác MONA nội tiếp

c) AO là tia phân giác của góc MAN
Hớng dẫn
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
b) + Tứ giác ABOC nội tiếp nên IB.IC = IO.IA
+ tứ giác MBCN nội tiếp nên IB.IB = IM.IN
Vậy IO.IA = IM.IN
Từ đó ta có tam giác OIM đồng dạng với tam giác NIA
nên góc MOA = góc MNA suy ra tứ giác MONA nội
tiếp
c) ta chứng minh OAN = góc OMN = góc ONM =
góc OAM
Nhận xét: Qua các bài tập trên giúp HS nhìn nhận một bài táon với các yếu tố hình học đợc
đa vào trong đờng tròn . Nh vậy khả năng so sánh , chứng minh sẽ rễ ràng hơn
------------------Hết--------------------
5
E
D
B
A
O
C
M
I
A
O
C
B
N