tích phân đường

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 5: Tích phân đường

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I –Tích phân đường loại 1
II –Tích phân đường loại hai
II.1 – Định nghĩa, cách tính
II.2 – Công thức Green
II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường đi.


I. Tích phân đường loại một.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 A2      

M2 

 A1
M1 
 A0

 An
Mn 
 An

 


I. Tích phân đường loại một.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C.
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1 ,..., An .
Độ dài tương ứng L1 , L2 ,..., Ln .
Trên mỗi cung Ai Ai 1 lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ).
n

Lập tổng Riemann:

I n   f ( M i )  Li
i 1

I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi
n

I   f ( x, y ) dl

C

được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.


I. Tích phân đường loại một

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân đường loại một
1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C.

3)    fdl    fdl

2) L(C )   1dl
C

C

4)  ( f  g )dl   fdl   gdl

C

C

C

C

5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.

6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:

 fdl   fdl   fdl
C

7)

C1

C2

( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl
C

C

8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài
L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho

 fdl  f ( M 0 )  L
C


Cách tính tích phân đường loại một
Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), t1  t  t2

n

f
(

x
,
y
)
dl

f
(
M
)

L
lim  

i
i
n  i 1

C
Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1:
ti 1

2

2

2

2

 x (t )    y (t )  dt  x (t )    y (t )   t
Chọn điểm trung gian M có tọa độ  x(t ), y (t ) 

 f ( x, y )dl  lim   f  x(t ), y (t )    x (t )    y (t ) 


Li  

'

'

'

'

i

i

ti  ti  ti 1

i

ti

i

n

i

n i 1

C

t2

i

 f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t )) 
C

t1

i

i

'

2

'

i

2

i

2

 x (t )    y (t ) 
'

'


 ti 


2

dt


Cách tính tích phân đường loại một
Cung C cho bởi phương trình: y = y(x),

a xb

Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), t1  t  t2
t2

 f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t )) 
C

2

 x (t )    y (t ) 
'

t1

'

2

dt
2

'

t2

 y (t )  '
  f ( x(t ), y (t ))  1   '  x (t )  dt
t1
 x (t ) 
b



'

 f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))  1  y ( x)
C

a



2

dx

Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y), c  y  d
d



'

 f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )  1  x ( y )
C

c



2

dy


I. Tích phân đường loại một.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian.
f  f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian.

C cho bởi phương trình tham số:

 x  x(t )

 y  y (t ),
 z  z (t )


t1  t  t2

I   f ( x, y, z )dl
C

t2

 f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )).
C

t1

2

2

 x (t )    y (t )    z (t ) 
'

'

'

2

 dt


dụ

2
x
Tính I   x3dl, trong đó C là cung parabol y  , 0  x  3
2
C

b



'

  f ( x, y ( x))  1  y ( x)
a



2

3

dx   x

3

'

3

2

1  ( y ( x)) dx   x

0

0

3

58
1  x dx 
15
2

Ví dụ

Tính I   2 xdl , trong đó C = C1 + C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và
C

C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2).
1



'

  2 xdl   2 xdl   2 xdl   2 x  1  y ( x)
C

1

C1

0

C2

2

2

  2 x  1  4 x dx   2 1  1   0 
0

1

2



2

2



'

dx   2 x( y )  1  x ( y )
1

5 5 1
2
dy 
6



2

d


dụ

2
Tính I   (2  x y )dl, với C là nửa trên đường tròn x 2  y 2  1
C
b



'

Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))  1  y ( x)
a



2

dx

hưng việc tính toán phức tạp.

iết phương trình tham số cung C.

ặt x  r cos t ; y  r sin t

2
2
x

y
 1, nên r = 1.
ì

 x  cos t
; 0t 

hương trình tham số của nửa trên cung tròn: 
 y  sin t


2

  (2  cos t  sin t )
0



'

x (t )

2

2



 y (t ) dt   (2  cos2t  sin t )dt  2  2
3
0

 

'



dụ

Tính I   ( x 2  y 2 )dl , với C là nửa đường tròn
C

Viết phương trình tham số cung C.

 x  r cos t
Đặt 
 y  r sin t

Vì x 2  y 2  2 x , nên r  2cos t

Phương trình tham số của C:

 x  2cos t  cos t  1  cos 2t 

; - t 

4
4
 y  2cos t  sin t  sin 2t
 /4

2
2
(2


2cos
2
t
)
(

2sin
2
t
)

(2cos
2
t
)
dt


 / 4

x 2  y 2  2 x; x  1.


Ví dụ

2
2
x

y

 16; x  0.
Tính I   xy dl , với C là nửa bên phải đường tròn
4

C

Viết phương trình tham số cung C.

 x  r cos t
Đặt 
 y  r sin t

Vì x 2  y 2  16 , nên

r4

 x  4  cos t


Phương trình tham số của C: 
;  t 
2
2
 y  4  sin t
 /2

2 6
  4cost  4 sin t (4sin t )  (4cos t ) dt  4  cost  sin tdt  5  4
 / 2
 / 2

 /2

4

4

2

2

6

4


í dụ

I   2 xdl

Tính

, với C là giao của x 2  y 2  4 và x + z = 4

C

 x  r cos t

 y  r sin t
 z  4  r cos t


Đặt

Vì x 2  y 2  4, x  z  4 , nên r  2

Phương trình tham số của C:

 x  2cos t

; 0  t  2
 y  2sin t
 z  4  2cos t

2

I   4cos t  (2sin t ) 2  (2cos t )2  (2sin t ) 2 dt  0
0


Ví dụ

2
2
2
x

y

z
 4; y  x.

Tính I   ( x  y )dl , với C là phần đường tròn
C

Viết phương trình tham số cung C.

 x  y  2  r cos t
Đặt 
 z  2  r sin t

2
2
2
x

y

z
 4, y  x , nên r  1
Vì

hương trình tham số của C:

 x  y  2 cos t
; 0  t  2

 z  2sin t
2

 
0



2cost  2 cos t



( 2 sin t ) 2  ( 2 sin t ) 2  (2cos t )2 dt


Ví dụ

2
2
2
Tính I   x 2 dl , với C là phần đường tròn x  y  z  4; x  y  z  0.
C

Viết phương trình tham số cung C phức tạp.

I   x 2 dl   y 2 dl   z 2 dl
C

C

C

1
 I   x 2  y 2  z 2 dl
3C





4
I   dl
3C
4
  độ dài cung C (chu vi đường tròn)
3

4
16
I   4 
3
3


Ví dụ

Tính I   ( x  z )dl , với C là đường x  3cos t , y  3sin t , z  t , 0  t  4 .
C

x2  y2  9

Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm
trên hình trụ.
4

I   (3cos t  t )
0

4

2

2

'

I   (3cos t  t ) 10dt  8 2 10
0

2

 x (t )    y (t )    z (t )  dt
'

'


II. Tích phân đường loại hai.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

P  P ( x, y ), Q  Q ( x, y )

xác định trên đường cong C.

Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm

A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1 , y1 ),..., An ( xn , yn ).
Trên mỗi cung Ak Ak 1 lấy tuỳ ý một điểm M k ( xk , yk ).
n

Lập tổng Riemann: I n    P( M k )  ( xk  xk 1 )  Q( M k )  ( yk  yk 1 ) 
i 1

I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi
n

I   P ( x, y )dx  Q( x, y )dy
C

được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.


II. Tích phân đường loại hai

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân đường loại hai
1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.

 Pdx  Qdy    Pdx  Qdy
AB

BA

2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:



C
Giải thích.

Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy
C1

C2


Cách tính tích phân đường loại hai
1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung.

 P( x, y )dx  Q ( x, y )dy   P ( x, y )dx   Q( x, y )dy
C

C

C

n

 P( x, y ) dx  lim  P( xk , yk )  xk
C

n k 1

Chia [a,b] thành n đoạn: a  t0  t1  t2    tn  b
ñònh lyù Lagrange

xk  xk  xk 1  x (tk )  x (tk 1 )





Chọn điểm trung gian Mk x (tk ), y (tk )
n





x ' (tk )  tk


b

'

'
P
(
x
,
y
)

dx

lim
P
x
(
t
),
y
(
t
)
x
(
t
)


t


P
x
(
t
),
y
(
t
)


x
 (t )dt

 
k
k
k
k
k 1

C

b

a
b

'
P
(
x
,
y
)
dx

Q
(
x

,
y
)
dy

P
x
(
t
),
y
(
t
)

x
(
t
)
dt

Q
x
(
t
),
y
(
t
)


y
(t )dt







C

a

'

a


Cách tính tích phân đường loại hai
Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C.

2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung.
x2





'

P
(
x
,
y
)
dx

Q
(
x
,
y
)
dy

P
(
x
,
y
(
x
))

Q
(
x
,
y

(
x
))

y
( x) dx


C

x1

3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung.
y2





'
P
(
x
,
y
)
dx

Q
(

x
,
y
)
dy

P
(
x
(
y
),
y
)

x
( y )  Q( x( y ), y ) dy


C

y1


Tích phân đường loại hai trong không gian

Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung
trơn AB.

 Pdx  Qdy  Rdz 

AB

lim

n

  P ( Mk )xk  Q( Mk )yk  R( Mk )zk 

maxlk 0 k 1

Cung AB có phương trình tham số: x  x (t ), y  y (t ), z  z(t ); a  t  b

 Pdx  Qdy  Rdz

AB

b



'
'
'
P
(
x
(
t
),
y

(
t
),
z
(
t
))

x
(
t
)
dt

Q
(
x
(
t
),
y
(
t
),
z
(
t
))

y

(
t
)
dt

R
(
x
(
t
),
y
(
t
),
z
(
t
))

z
(t


a

b





  P  x ' (t )  Q  y ' (t )  R  z' (t ) dt
a


dụ

Tính

I   ( x 2  3 y )dx  2 ydy , trong đó C là biên tam giác
C

OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.

I    
C

0A

AB

B0

B

hương trình OA: y = x

A

Hoành độ điểm đầu: x = 0

Hoành độ điểm cuối: x = 1
1

    ( x 2  3 x )dx  2  x  1dx
0A

0
1

17
1     ( x  5 x ) dx 
6
0A 0
2

O


Phương trình AB: y = 2 – x

B

Hoành độ điểm đầu: x = 1

A

Hoành độ điểm cuối: x = 0

11
    ( x  3(2  x ))dx  2  (2  x )  (1) dx  
6
AB 1
0

2

O

2

hương trình BO: x = 0

Tung độ điểm đầu: y = 2
0

Tung độ điểm cuối: y = 0

I 3     (02  3y )0  2  y  dy  4
BO

I  I1  I 2  I 3  17  11  4  3
6 6

2


dụ

Tính I   ydx  xdy , trong đó C là cung x 2  y 2  2 x từ O(0,0) đến A(1,1)
C

chiều kim đồng hồ.



 x  r cos t
ử dụng tọa độ cực 
 y  r sin t
2
 y 2  2 x  r  2cos t

hương trình tham số cung C



 x  2cos t  cos t  1  cos 2t
 y  2cos t  sin t  sin 2t

 t   ;t  
 1 2 2 4
 /4


I   sin 2t   2sin 2t  dt  (1  cos 2t )   2cos 2t  dt 
2
 /2

II.2. Công thức Green

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

là biên của miền D.

Chiều dương qui ước trên C là chiều mà đi theo chiều này ta thấy miền D
phía bên tay trái.

Miền D được gọi là miền đơn liên nếu các biên kín của D có thể co về một
ểm P thuộc D mà không bị các biên khác cản trở. Ngược lại D được gọi
miền đa liên.

ong đa số trường hợp, chiều dương qui ước là ngược chiều kim đồng hồ.
ong trường hợp tổng quát điều này không đúng.