Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử và lí thuyết trường lượng tử

MỤC LỤC Trang
MỞ ĐẦU 2
Chương I. Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử 5
I .Phiếm hàm và đạo hàm của phiếm hàm 5
1. Khái niệm phiếm hàm 5
2. Đạo hàm của phiếm hàm 6
II. Hàm truyền – Biểu diễn tích phân đường của hàm truyền 7
1. Hàm truyền trong cơ học lượng tö 7
2. Biểu diễn tích phân đường của hàm truyền 8
3. Một số tính chất của tích phân đường 11
III. Lý thuyết nhiễu loạn và ma trận S 16
1. Chuỗi Born 16
2. Ma trận tán xạ (ma trận S) 20
IV. Tán xạ Coulomb 23
1. Biên độ tán xạ 23
2. Tiết diện tán xạ 24
Chương II . Hình thức luận tích phân đường của lý thuyết trường
lượng tử 27
I . Phiếm hàm sinh của trường vô hướng tự do 27
1. Phiếm hàm sinh của trường vô hướng 27
2. Hàm truyền của trường vô hướng tự do 28
II. Cám hàm Green của trường vô hướng tự do 29
1. Khái niệm về phiếm hàm sinh 31
2. Tính toán một số hàm n-điểm 29
III. Phiếm hàm sinh của trường tương tác 33
1. Phương trình vi phân của phiếm hàm sinh trường tương tác 33
2. Dạng rút gọn của phiếm hàm sinh trường tương tác 35
KẾT LUẬN 38
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
1
MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài:
Trong hình thức luận thông thường của c¬ häc lîng tö (CHLT), các đại
lượng động lực đặc trưng cho hệ được biểu diễn bằng những toán tử tuyến
tính hermite tác dụng trong không gian các vector trạng thái và chúng tuân
theo các hệ thức giao hoán nhất định. Bên cạnh đó CHLT cũng như lí thuyết
trường lượng tử (gọi chung là lí thuyết lượng tử) còn có một cách phát biểu
khác dựa trên phương pháp tích phân phiếm hàm do Feynman đề xuất năm
1948.
Trong những năm gần đây, hình thức luận tích phân phiếm hàm của lí
thuyết lượng tử đã được quan tâm phát triển và thu được nhiều thành công
trong việc nghiên cứu các lĩnh vực khác nhau của vật lí đặc biệt trong những
trường hợp mà lí thuyết nhiễu loạn kinh điển tỏ ra kém hiệu lực.
Chính vì vậy, để có cơ sở cho các nghiên cứu xa hơn sau này, tôi chọn ®Ò
tài “Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử và lí thuyết
trường lượng tử”.
II.Mục đích nghiên cứu:
1. Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử.
2. Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường của lí thuyết trường lượng tử
trong đó tập trung vào lí thuyết trường vô hướng, tương tự với trường
vector, làm rõ những điểm cơ bản cần lưu ý khi áp dụng cho trường
spinor,…
3. Vận dụng tính toán một số quá trình vật lí quen thuộc như tán xạ
Coulomb, sự hủy hạt, tán xạ pion – nucleon…
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
2
III. Nhim v nghiờn cu:
Nghiờn cu v hỡnh thc lun tớch phõn ng ca c hc lng t v lớ
thuyt trng lng t.
IV.i tng nghiờn cu:
Cơ sở để trình bày CHLT dới dạng tích phân đờng

Các đại lợng đặc trng cho trờng vô hớng tự do và tơng tác
V.Phng phỏp nghiờn cu:
Tra cu ti liu.
Tho lun, ỏnh giỏ.
LI CM N
GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan SVTH:Phan Thị Thủy
3
Báo cáo thực tập chuyên ngành với đề tài “Hình thức luận tích phân
đường của cơ học lượng tử và lí thuyết trường lượng tử” đã được hoàn
thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của Th.S Nguyễn Thị
Phương Lan cùng các thầy cô trong tổ Vật lí lý thuyết.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến cô giáo Nguyễn Thị Phương
Lan, người trực tiếp hướng dẫn về chuyên môn trong quá trình tìm hiểu đề tài.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã trang bị cho t«i những kiến thức vật lý cơ sở quan trọng
trong những năm học đã qua.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với
phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và bạn bè
để đề tài này của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày……tháng 4 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Phan Thị Thủy
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
4
Chương I. HÌNH THỨC LUẬN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
Hình thức luận tích phân phiếm hàm do Feynman đề xuất từ năm 1948
nhằm mục đích chỉ ra mối quan hệ giữa Cơ học lượng tử (CHLT) và Cơ học

cổ điển, để các quan điểm của CHLT dễ chấp nhận hơn. Tuy nhiên trong quá
trình phát triển, nhất là khi nó được sử dụng để trình bày lý thuyết trường
lượng tử, người ta nhận thấy hình thức luận này đã trở thành một công cụ mới
rất có hiệu quả khi nghiên cứu các vấn đề trong vật lý hiện đại.
Trong phần đầu tiên này, ta sẽ trình bày CHLT với hình thức luận tích
phân phiếm hàm (cũng gọi là tích phân đường).
I. Phiếm hàm và đạo hàm của phiếm hàm
1. Khái niệm phiếm hàm
Như đã biết khái niệm hàm số là quy tắc cho tương ứng một số với một
số. Dưới dạng ngắn gọn có thể viết:
Hàm số: số → số
Nếu gọi R là tập hợp các số thực thì theo ngôn ngữ toán học hàm số được
xác định bởi 1 ánh xạ từ
n
R
vào
m
R
.
Ví dụ:
Hàm số y = a
2
x
+ bx + c chính là ánh xạ R → R vì nó làm tương ứng mỗi
giá trị thực của biến x thuộc R với mỗi giá trị y cũng thuộc R.
Giá trị của cường độ điện trường gây bởi điện tích điểm xác định
E
ur
=
3

0
1
4
q
r
rπεε
r
chính là ánh xạ
3
R
→
3
R
vì nó làm tương ứng mỗi điểm của không
gian 3 chiều với một điểm của không gian đó.
Tuy nhiên chúng ta cũng thường gặp những quy tắc cho tương ứng một
hàm số với một số. Những quy tắc ấy gọi là phiếm hàm.
Như vậy phiếm hàm là ánh xạ từ tập hợp các hàm số vào tập hợp số. Ta
có thể viết dạng ngắn gọn:
Phiếm hàm: Hàm số → số.
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
5
Lưu ý: phiếm hàm không phải là hàm số của hàm số (chính là hàm hợp, mà
thực ra cũng là hàm số).
Để phân biệt với ký hiệu hàm số ƒ(x) ta kí hiệu phiếm hàm F của hàm số
φ
là F[
φ
].
Ví dụ:

x(t) là tập hợp các hàm số của biến t biểu diễn sự phụ thuộc tọa độ vào
thời gian giữa hai điểm A và B cho trước. Di chuyển 1 hạt từ A đến B theo
các quỹ đạo khác nhau, tương ứng với các hàm số x(t) khác nhau. Với mỗi
quỹ đạo công cần thiết để di chuyển vật từ A → B sẽ có các giá trị khác nhau.
Kí hiệu công di chuyển hạt trên quỹ đạo x(t) là F thì F[x(t)] chính là một
phiếm hàm theo định nghĩa.
2. Đạo hàm của phiếm hàm
Tương ứng với đạo hàm của một hàm số ƒ theo định nghĩa thông thường,
người ta định nghĩa đạo hàm của một phiếm hàm như sau:
Đạo hàm của phiếm hàm F[f] đối với hàm ƒ(y) được định nghĩa là biểu
thức:


(1.1)
Ví dụ: Xét phiếm hàm ở trên, có thể biêu diễn nó dưới dạng biểu thức tường
minh như sau: F[ƒ] = ∫ƒ(x)dx ( đổi kí hiệu x(t) thành f(x) ) – với f(x) là 1 hàm
thực. Phiếm hàm này có dạng đạo hàm là:

= ∫
δ
(x-y)dx
= 1.
Xét một ví dụ khác:
Cho phiếm hàm sau:
F[ƒ] = ∫G(x,y) ƒ(y)dy với x là tham số.
Đạo phiếm hàm:

= ∫G(x,y)
δ
(y-x)dy

= G(x-z)
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
6
* Lưu ý: Trong một số sách cũng có khi người ta định nghĩa đạo phiếm hàm
như sau:

( ) ( ) ( )
( )
G x f y dy G z
f z
δ
∫ =
δ
Định nghĩa này có ý nghĩa trong tính toán nhiều hơn. Từ dạng này ta thấy
ngay mối liên hÖ giữa tích phân theo biến thông thường và đạo phiếm của nó.
II. Hàm truyền – Biểu diễn tích phân đường của hàm truyền
1. Hàm truyền trong cơ học lượng tử
Trong cơ học lượng tử trạng thái của các hệ vật lí được biểu diễn bằng
các hàm sóng
( )
,
i
q tψ
với q là các tọa độ không gian, t là tọa độ thời gian.
Gọi
( )
,
i i
q tψ
là hàm sóng ở thời điểm

i
t
,
( )
,
f f
q tψ
là hàm sóng ở thời điểm
muộn hơn
f
t
thì hiển nhiên theo nguyên lý nhân quả:
( )
,
f f
q tψ
=
( , ; , ) ( , )
f f i i i i i
q t q t q t dq∫Κ ψ
(1.2)
Như vậy
( , ; , )
f f i i
q t q tΚ
cho phép xác định hàm sóng ở thời điểm
f
t
khi
biết hám sóng ở thời điểm

i
t
. Nó được gọi là hàm truyền, chính là một đại
lượng quen thuộc trong CHLT: biên độ xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu
( )
,
i i
q tψ
sang trạng thái cuối
( )
,
f f
q tψ
.
Thật vậy ta biết rằng hàm sóng
( )
,
i
q tψ
chính là biểu diễn tọa độ của
vector trạng thái
t
ψ 〉
(trong biểu diễn Schrodinger) liên hệ với vector trạng
thái trong biểu diễn Heisenberg bằng hệ thức:
t
ψ 〉
=
µ
i Ht

e t
−
ψ 〉
Trong CHLT biểu diễn đó được viết là:
( )
,q tψ
=
s
q t〈 ψ 〉
=
H
q t〈 ψ 〉
.
Theo tính chất đầy đủ của hệ cơ sở các vector trạng thái, khi hệ cơ sở là
liên tục, ta có:
f f
q t〈 ψ〉
=
f f i i i i i
q t q t q t dq〈  〉 〈 ψ〉
∫
Hay
f f
q t〈 〉
=
,
)
f f i i i i i
q t q t q t dq〈  〉 ψ(
∫

Cuối cùng so sánh với 91.2) rút ra:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
7
( , ; , )
f f i i
q t q tΚ
=
f f i i
q t q t〈  〉
(1.3)
Mặt khác theo tiên đề của CHLT, xác suất chuyển dời lượng tử tử điểm
i
q
tại thời điểm
i
t
dến điểm
f
q
tại thời điểm
f
t
là:
( , ; , )
f f i i
P q t q t
=
2
( , ; , )
f f i i

q t q t
Κ 
(1.4)
Như vậy hàm truyền chính là biên độ xác suất chuyển rời lượng tử - là
điều ta phải chứng minh.
2. Biểu diễn tích phân đường của hàm truyền
Ta hãy chia khoảng thời gian xảy ra quá trình đang xét
( )
,
f f
t t
thành 2
phần bằng thời điểm trung gian t, tọa độ không gian lúc đó là q, ta có:
( )
,
f f
q tψ
=
( , ; , ) ( , ; , ) ( , )
f f i i i i i q
q t q t K q t q t q t dq d∫Κ ψ
(1.5)
So sánh (1.5) với (1.2) rõ ràng:
( , ; , )
f f i i
q t q tΚ
=
( , ; , ) ( , ; , )
f f i i q
q t q t K q t q t d∫Κ

(1.6)
Biên độ chuyển rời tử
( )
,
i i
q t
đến
( )
,
f f
q t
có thể xem là tích biên độ
chuyển rời từ
( )
,
i i
q t
đến mọi điểm trung gian khả dĩ
( )
,q t
và biên dộ chuyển
rời từ
( )
,q t
về
( )
,
f f
q t
.

Tương tự chia khoảng thời gian đó thành (n+1) phần bằng nhau. Mỗi
khoảng dài τ, ta viết được:
( , ; , )
f f i i
q t q tΚ
=
1 2
, 1 1 1 1
, , ,
n
q q q f f n n n n n n n i n i
d d d q t q t q t q t q t q t
− − − −
∫ 〈  〉 〈  〉 〈  〉
(1.7)
(Ta đã thay các
1 1
, ;
n n n n
q t q t
− −
Κ〈 〉
bằng
1 1
,
n n n n
q t q t
− −
〈  〉
tương ứng)

Để ý thấy ở đây tích phân được lấy theo mọi “quỹ đạo” q(t) khả dĩ. Tuy
nhiên cần nhấn mạnh, đây không phải là tích phân theo nghĩa thông thường vì
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
8
mỗi đoạn
1 1
, ;
i i j j
q t q t
− −
〈 〉
ta lại có thể chia thành những đoạn nhỏ hơn, do đó
không tồn tại đạo hàm.
Ở vế phải (1.7) có n lớp tích phân với (n+1) hàm truyền, tương ứng với
(n+1) phần nhỏ của “quỹ đạo”.
Ta sẽ tính giá trị hàm truyền trên mỗi phần nhỏ này.
Từ liên hệ giữa vector trạng thái trong biểu diễn Schrodinger và biểu
diễn Heisenberg
qt
 〉
=
µ
/i Ht h
e q
−
 〉
(1.8)
Ta có:
1 1
, ;

j j j j
q t q t
+ +
〈 〉
=
µ
/
1
i Ht
j j
q e q
− τ
+
〈   〉

=
µ
2
1j j
i
q H q
h
+
〈 1− τ+ Ο(τ ) 〉
=
1 1
ˆ
( )
j j j j
i

q q q H q
h
+ +
τ
δ − − 〈   〉
=
1
( )
1
1
ˆ
2
j j j
i
p q q
h
j j j
i
dp e q H q
h h
+
−
+
τ
−  
π
∫
(1.9)
Ở đây đã sử dụng khai triển Fourier của hàm delta
1

( )
1
1
( )
2
j j j
i
p q q
h
j j j
q q dp e
h
π
+
−
+
δ − =
∫
Với
j
p
là xung lượng trong khoảng giữa
j
t
và
1j
t
+
Ta tính
1

ˆ
j j
q H q
+
 
trong trường hợp phi tương đối tính, Hamiltonian của
hạt có dạng:
(1.10)
Đầu tiên tính:
2
1
ˆ
2
j j
p
q q
m
+
 
=
2
1
ˆ
' ' '
2
j j j j j j j j
p
dp dp q p p p p q
m
+

   
∫
Sử dụng:
1
2
1 1
' ) exp( ' / )
j j
q p h ip q h
π
−
+ +
〈  〉 = (2
2
1
ˆ
j j
p
q q
m
+
 
=
2
1
'
exp ( ' ( ')
2 2
j
j j

p
dp dp i
p q pq p p
h h m
π
+
 
− δ −
 
 
∫
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
9
2
ˆ
ˆ
ˆ
( )
2
p
H V q
m
= +
=
2
1
exp (
2 2
p j
j j j

d p
i
p q q
h h m
π
+
 
−
 
 
∫
(1.11)
Ta cần chú ý vế trái có chứa toán tử
ˆ
P
nhưng ở vế phải chỉ còn các chữ
số.
Tương tự như vậy:
1
ˆ
V(q)q
j j
q
+
 
=
1
1
2
j j

j j
q q
V q q
+
+
+
 
 ÷
 
=
1
1
)
2
j j
j j
q q
V q q
+
+
+
 
δ( −
 ÷
 
=
( )
1
exp ( ) ,
2

j j j j
dp i
p q q V p q
h h
π
+
 
−
 
 
∫
(1.12)
Kết hợp (1.11) và (1.12) ta có:
1
ˆ
j j
q q
+
Η
=
( )
1
exp ( ) ,
2
i
p
j j j j j
d
i
p q q H p q

h h
π
+
 
 
− − τ
 
 
 
∫
Và (1.9) trở thành:
1 1j j j j
q t q t
+ +
〈  〉
=
DqDp
∫
( )
1
exp ( ) ,
2
j
p
j j j j j
d
i
p q q H p q
h h
π

+
 
 
− − τ
 
 
 
∫
(1.13)
Thay (1.12) vào (1.7) và chuyển qua giới hạn khi số điểm chia tiến tới vô
hạn ta sẽ thu được biểu thức cho hàm truyền đầy đủ:
f f i i
q t q t〈  〉
=
( )
1
0
1 0
lim exp ( ) ,
2
n n
n
i
i j j j j j
n
j
j j
dp
i
dq x p q q H p q

h h
π
+
→∞
=
= =
 
 
− − τ
 
 
 
∑
∏ ∏
∫
(1.14)
Có thể viết kế quả này dưới dạng ký hiệu:
f f i i
q t q t〈  〉
=
( )

exp ,
(2 )
f
i
t
t
Dq Dp i
dt pq H p q

h h
π
 
− 
 
 
 
 
∫ ∫
(1.15)
Với q(
i
t
) =
i
q
; q(
f
t
) =
f
q
Khi chuyển qua giới hạn n → ∞, q trở thành hàm số cuat t và tích phân
trở thành “tích phân theo hàm số” (giống như “tích phân theo biến”). Mỗi q(t)
được biểu diễn bằng một đường cong không gian pha.
Biểu thức (1.14) chính là biểu diễn tích phân (theo) đường của biên độ
chuyển rời dời từ (
i
q
,

i
t
) đến (
f
q
,
f
t
) hay của hàm truyền K (
f
q
,
f
t
;
i
q
,
i
t
). Nó
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
10
cũng chính là phiếm hàm của tọa độ q và xung lượng p, và vì có dạng tích
phân nên người ta cũng nói K có là một tích phân phiếm hàm.
Thay Hamiton dạng cổ điển vào (1.14) và áp dụng tích phân Poisson ta
thu được công thức gọn hơn của hàm truyền:
f f i i
q t q t〈  〉
=

2
1
0
1 0
lim exp ( ) V
2
n n
n
i i
i j j j j
n
j
dp p
i
dq p q q q
h h m
+
→∞
=
 
 
 
− − τ − ( )τ
 
 
 
 
 
∑
∏ ∏

∫
=
( )
1
2
2
1
0
1
lim exp
2
n
n
n
j j
j
j
n
j
j
q q
m i m
dq x V q
ih h
+
+
→∞
=
=
 

 
−
 
τ
 
 
− 
 
 ÷
 ÷
τ τ
 
 
 
 
 
 
∑
∏
∫
Và khi chuyển qua giới hạn sẽ có:
f f i i
q t q t〈  〉
= N
exp ( , )
f
i
t
t
i

Dq L q t dt
h
 
 
 
 
∫ ∫
(1.16)
Trong đó L chính là Lagrangian cổ điển.
Như vậy ta đã có biểu thức tích phân đường của hàm truyền, đã biểu
diễn được 1 đại lượng đặc trưng CHLT là biên độ chuyển dời dưới dạng một
phiếm hàm tích phân. Ta thấy rằng dạng biểu diễn này tường minh hơn so với
dạng toán tử thường gặp, rất thuận lợi để xem xét các bài toán tán xạ. Trong
những phần sau của luận văn sẽ vận dụng dạng này.
3. Một số tính chất của tích phân đường
Ở đây ta sẽ mở rộng khái niệm hàm truyền tử CHLT sang lý thuyết
trường lượng tử, xét tính chất của nó để áp dụng trong những phần sau.
đã chỉ ra rằng biên độ chuyển rời từ
i i
q t
đến
f f
q t
trong trường hợp:
2
( )
2
p
H V q
m

 
= +
 ÷
 
là:
f f i i
q t q t〈  〉
= N
exp ( , )
f
i
t
t
i
Dq L q t dt
h
 
 
 
 
∫ ∫
Hơn nữa trong đó đã đặt điều kiện biên là:
( )
f
q t
=
f
q
;
( )

i
q t
=
i
q
Điều kiện biên này được đưa ra trong CHLT, lí thuyết mô tả chuyển
động một hạt riêng lẻ, nhưng khong phù hợp với những quan niệm của lý
thuyết trường lượng tử trong đó hệ lượng tử được coi là một hệ nhiều hạt.
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
11
Cụ thể là trong lí thuyết trường lượng tử tương ứng vói các tọa độ hật sẽ
là các toán tử trường và điều kiện biên khi đó phải là:
( )
( )
i i
f f
t
t
ψ = ψ



ψ = ψ


Tuy nhiên điều thực sụ sảy ra là các hạt được sinh ra (chẳng hạn do va
cham), chúng tương tác, sau đó bị hủy đi khi quan sát (ví dụ do tác động của
ống đếm).Như vậy nó không phải là một sóng tồn tại từ
t = −∞ → + ∞
.

Ví dụ:
Trong khi đo đạc tiết diện vi phân
d
d
δ
Ω
của tán xạ
N
π
→
(pion –
Nucleon) pion được sinh ra do va chạm N-N và bị hủy khi nó được phát hiện.
Sự sinh có thể được thay thế bằng một nguồn và sự hủy giống như một
hố, mà thực ra cũng là cách gọi của một nguồn. Vì thế ta có thể biểu diễn điều
kiện biên trong trường hợp lượng tử như sau:
`
Chân không ở
T
→ −∞
tiến triển đến chân không ở
T
→ +∞
qua sự sinh, tương
tác và hủy hạt, dưới tác dụng của nguồn.
Ta muốn biết biên độ chuyển dời từ chân không đến chân không (CK –
CK) với sự có mặt của nguồn. Sự có mặt của nguồn được biểu diễn bằng việc
bổ sung vào Lagrangian một số hạng nguồn J(x), tức là:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
T → ∞
Hạt hủy

Hạt sinh
T → −∞
H1
12
( ) ( )
t
L L hJ t q i→ +
(1.17)
Nếu
t
J
0, 〉
là vector trạng thái chân không với sự có mặt của nguồn, tức
là vector trạng thái của hệ được mô tả bởi Lagrangian (1.16) thì biên độ
chuyển dời CK – CK với sự có mặt của nguồn sẽ là:
[ ]
~
J
Z J 〈0,∞ 0,−∞〉
(1.18)
[ ]
Z J
là một phiếm hàm của J. Để tìm biểu thức tường minh cho
[ ]
Z J
ta
gải sử nguồn J(x) chi khác không trong khoảng thời gian (t,t
’
) và gọi T la một
thời điểm sớm hơn t, T

’
là một thời điểm muộn hơn t
’
( hình vẽ)
Theo (1.15):
' '
Q Q
J
〈 Τ Τ〉
=
'
exp ( )
T
T
i
N DQ dt L hJQ
h
 
+
 
 
 
∫ ∫
(1.19)
Mà ta cũng có thể viết:
' '
Q Q
J
〈 Τ Τ〉
=

' ' ' ' ' ' '
Q t t t t Q
J
Dq dq q q q q〈 Τ 〉〈  〉 〈  Τ〉
∫
(1.20)
Từ (1.8):
' ' ' '
Q t
J
q〈 Τ 〉
=
ˆ ˆ
'exp ' exp ' '
i i
Q Ht HT q
h h
   
〈  −  〉
 ÷  ÷
   
=
( ') ( ') ( ' ')
m m m
m
i
Q q exp E t T
h
 
φ φ − −

 
 
∑
(1.21)
Ở đây
(
m
qφ
) là tập đủ các vector trang thái riêng của toán tử năng lượng.
Một cách tương tự ta có:
t Qq〈  Τ〉
=
( ) ( ) ( )
n n n
n
i
q Q exp E T t
h
 
φ φ − −
 
 
∑
(1.22)
Thay (1.19) và (1.20) vào (1.18) đồng thời lấy giới hạn
'
i
T e
− δ
→ +∞

;
'
i
T e
− δ
→ −∞
tương đương với việc quay trục thời gian một góc δ trong không
gian ảo, với δ là góc bất kì
2
π
≤
. Ta thấy rằng chí có đóng góp của trạng thái
chân không tồn tại, đó chính là đặc trưng mà ta muốn, tức là:
'
lim ' '
i
i
J
T e
T e
Q T QT
− δ
− δ
→−∞
→+∞

=
*
0 0 0
( ) ( ')exp ( ' )

i
Q Q E T T
h
 
φ φ − −
 
 
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
Trục thời gian
T t t’ T’
13
*
0 0
' ( ', ') ' ' ( , )
J
x dq dq q t q t qt q tφ  φ
∫
(1.23)
Hay:
*
0 0
' ( ', ') ' ' ( , )
J
x dq dq q t q t qt q tφ  φ
∫
=
'
*
0 0 0
lim ' '

( ) ( ')exp ( ' )
i
i
J
T e
T e
Q T QT
i
Q Q E T T
h
− δ
− δ
→−∞
→+∞

 
φ φ − −
 
 
(1.24)
Vế trái chính là giá trị trung bình của biên độ chuyển dời trong trạng thái
cơ bản. Thời điểm t’ và –t có thể lấy lớn tùy ý vì vậy vế trái chính là
0, 0,
J
∞ −∞
.
Còn mẫu số ở vế phải đơn giản chỉ là một hệ số, ta đặt là N.
Vậy ta có:
0, 0,
J

∞ −∞
~
'
lim ' '
i
i
J
T e
T e
Q T QT
− δ
− δ
→−∞
→+∞

Với
' '
J
Q T QT
=
'
0
exp ( , )
T
T
i
N DQ dt L Q Q hJQ
h
 
 

 
+
 
 
 
 
∫ ∫
Cũng tương đương với việc quay trục thời gian như vừa làm, có thể biểu
diễn đóng góp của trạng thái chân không một cách khác, đó là cộng them một
số hạng
2
1
2
i q− ε
vào Hamiltonian và điều đó cũng giống như cộng
2
1
2
i q+ ε
vào
L. Khi đó ta xác định được Z[J] ở (1.18):
Z[J] =
2
1
exp
2
i
Dq dt L i q
h
 

 
+ ε
 ÷
 
 
 
∫
~
0, 0,
J
∞ −∞
(1.25)
Biểu thức trên của biên độ chuyển dời sẽ được sử dụng khi ta mở rộng
phương pháp tích phân đường cho lí thuyết trường lượng tử ở chương tiếp
theo.
Tiếp theo ta xét đạo phiếm hàm của Z theo J(t). Để bắt đầu, thay cho
f f i i
q t q t〈  〉
ta xét
ˆ
(
f f nl i i
q t q t q t〈  ) 〉
, ở đây
f
t
>
nl
t
>

i
t
và cần lưu ý
ˆ
(
nl
q t )
là toán tử.
Xét phương trình (1.7) và chọn
nl
t
là một trong các thời điểm
1
t
,…
n
t
ta
có:
ˆ
(
f f nl i i
q t q t q t〈  ) 〉
=
1 1 1 1 1
ˆ
( )
n f f n n n n n n nl nl nl nl nl l l i i
dp dp q t q t q t q t q t q t q t q t q t
− − − −

〈  〉〈  〉 〈   〉 〈  〉
∫
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
14
Biểu thức
1 1
ˆ
( )
nl nl nl nl nl
q t q t q t
− −
〈   〉
có thể dễ dàng thay thế bằng
( )
nl
q t
x
1 1nl nl nl nl
q t q t
− −
〈  〉
.
Ở đây
(
nl
q t )
đã là một c-số.
Tiến hành t giống như khi đi đến (1.14) ta có:
ˆ
(

f f nl i i
q t q t q t〈  ) 〉
=
[ ]
1
( )exp ( , )
f
i
t
t
DpDq i
q t pq H p q dt
h h
 
 
−
 
 
 
∫ ∫
(1.26)
Tiếp theo ta tính
1 2
ˆ ˆ
( (
f f i i
q t q t q t q t〈  ) ) 〉
.
Với
1n

t
>
2n
t
có:
1 2
ˆ ˆ
( (
f f i i
q t q t q t q t〈  ) ) 〉
=
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1
ˆ ˆ
( )
n f f n n n n n n n n n n l l i i
dq dq q t q t q t q t q t q t q t q t q t q t
− − − −
〈  〉 〈  ( ) 〉 〈   〉 〈  〉
∫
(1.27)
Thay thế toán tử bằng c-số trong các thành phần
1 1 1 1 1 1 1
ˆ
n n n
q t q t q t
− −
〈  ( ) 〉
và
2 2 2 2 1 2 1
ˆ

( )
n n n n n
q t q t q t
− −
〈   〉
, tương tự như (1.26) cuối cùng ta viết được:
1 2
ˆ ˆ
( (
f f i i
q t q t q t q t〈  ) ) 〉
=
[ ]
1 2
( ) ( )exp ( )
f
i
t
t
DpDq i
q t q t pq H dt
h h
 
 
−
 
 
 
∫ ∫
nếu

1
t
>
2
t
. (1.28)
Tuy nhiên với
2
t
>
1
t
thì điều này không đúng nữa. Trong trường hợp này
vế phải của (1.28) tương đương với
1 2
ˆ ˆ
( (
f f i i
q t q t q t q t〈  ) ) 〉
Như thế nói chung vế phải của (1.28) là:
[ ]
2 1
ˆ ˆ
( (
f f i i
q t T q t q t q t〈  ) )  〉
Ở đây
[ ]
2 1
ˆ ˆ

( (T q t q t) )
gọi là tích thứ tụ thời gian của hai toán tử
2
ˆ
(q t )
,
1
ˆ
(q t )
(hay T-tích). Toán tử T không có biểu thức cụ thể mà chỉ có tác dụng đưa thời
điểm sớm hơn sang phải, được đinh nghĩa như sau:
[ ]
1 2
( (T A t t)Β )
=
1 2 1 2
1 2 2 1
( ) ( )

( ) ( )
A t B t t t
B t A t t t
>


>

(1.29)
Tổng quát hóa kết quả trên ta có:
[ ]

1
ˆ ˆ
( (
f f n i i
q t T q t q t q t〈  ) )  〉
=
[ ]
1 2
( ) ( ) ( )exp ( , )
f
i
t
n
t
DpDq i
q t q t q t pq H p q dt
h h
 
 
−
 
 
 
∫ ∫
(1.30)
Trong trường hợp H có dạng (1.10) thì biểu thức này trở thành:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
15
[ ]
1

ˆ ˆ
( (
f f n i i
q t T q t q t q t〈  ) )  〉
=
'
1
( ) ( )exp
T
n
T
i
N Dqq t q t Ldt
h
 
 ÷
 ÷
 
∫ ∫
(1.31)
Mặt khác từ định nghĩa của Z[J] ở (1.25) ta có đạo hàm của phiếm hàm
này theo J là:
2
1
1
[ ] 1
( )exp ( )
( ) 2
Z J i
i Dqq t dt L hJq i q

J t h
∞
−∞
 
δ
= + + ε
 
δ
 
∫ ∫
(1.32)
Và do đó
2
1
1
[ ] 1
( ) ( )exp ( )
( ) ( ) 2
n
n
n
n
Z J i
i Dqq t q t dt L hJq i q
J t J t h
∞
−∞
 
δ
= + + ε

 
δ δ
 
∫ ∫
(1.33)
Với việc đặt J=0 ta có:
2
1
1
0
[ ] 1
( ) ( )exp ( )
( ) ( ) 2
n
n
n
n
J
Z J i
i Dqq t q t dt L i q
J t J t h
∞
−∞
=
 
δ
= + ε
 
δ δ
 

∫ ∫
(1.34)
So sánh vế phải phương trình này với vế phải (1.31) ta thấy chúng chỉ
khác nhau ở số hạng
2
1
2
i q+ ε
. Nhưng như ta đã nói ở trên số hạng này chỉ có
tác dụng tách riêng sự đóng góp của trạng thái chân không trong biểu thức
biên độ chuyển dời, vì vậy có thể kết luận là: vế phải của (1.31) với độ chính
xác tới thừa số nhân chính là trị trung bình chân không của T-tích các toán tử
tọa độ, tức là:
1
0
[ ]
( ) ( )
n
n
J
Z J
J t J t
=
δ
δ δ
~
[ ]
1
0, ( ) ( ) 0,
n

n
i T q t q t< ∞ −∞ >| |

(1.35)
III. Lý thuyết nhiễu loạn và ma trận S
Với hình thức luận tích phân đường, các thành phần của ma trận S có thể
tính một cách trực tiếp. Trong mục này và mục sau ta sẽ thấy kết quả thu
được cũng giống như khi sử dụng hình thức luận chính tắc.
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
16
Như đã biết trong trường hợp phi tương đối tính, tán xạ của một hạt lên
hạt khác được mô tả giống như nó tương tác với một thế V(x) (từ đây sẽ thay
tọa độ không gian từ q sang x)
1. Chuỗi Born
Vì không thể tính chính xác biểu thức của biên độ tán xạ nên ta phải
dùng lý thuyết nhiễu loạn. Điều này chỉ hợp lý khi thế V(x) là nhỏ hay chính
xác hơn, khi tích phân theo thời gian của V(x,t) nhỏ so với h.
Với những điều kiện đó ta có thể viết khai triển như sau:
2
2
1
exp ( , ) 1 ( , ) ( , )
2!
f f f
i i i
t t t
t t t
i i
V x t dt V x t dt V x t dt
h h h

   
− = − − +
   
   
   
∫ ∫ ∫
(1.36)
Khai triển (1.33) được gọi là khai triển nhiễu loạn.
Thay thế (1.33) vào dạng tích phân đường của hàm truyền (1.15) ta sẽ
khai triển được K thành một chuỗi các số hạng tương ứng.
K=K
0
+ K
1
+ K
2
+ …
Số hạng đầu tiên K
0
được gọi là hàm truyền tự do
K
0
=
1
N exp S Dx
h
 
 
 ÷
 

 
 
∫
=
2
1 1
2
N exp mx dt Dx
h
 
 
 ÷
 
 
 
∫ ∫
(1.37)
Có thể tính được K
0
bằng cách trở lại dạng ban đầu của biểu thức trên:
K
0
=
( )
( )
1
2
2
1
0

1
lim exp
2
n
n
n
j f j
n
j
j
m im
dx x x
ih h
τ τ
+
∞
+
→∞
=
=
−∞
 
 
−
 
 ÷
 
 
∑
∏

∫
Trong đó tích phân có thể tính dễ dàng (dạng tích phân Poisson), cho kết quả
là:
Tích phân =
2
2
1
2
1
exp ( )
2 ( 1)
( 1)
n
f i
ih im
x x
m h n
n
τ
τ
 
 
−
 ÷
 
+
 
 
+
Cho

( 1)n
τ
+
=
f i
t t−
chúng ta có hàm truyền đạt tự do:
K(
,
f f i i
x t xt
) =
( )
( )
( )
1
2
2
exp
2
f i
f i f i
im x x
m
ih t t h t t
 
 
−
 ÷
 ÷

 ÷
 ÷
− −
 
 
(1.38)
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
17
Vì hàm truyền sẽ triệt tiêu nếu
f i
t t<
(theo nguyeen lý nhân quả), nên
điều kiên
f i
t t>
hiển nhiên phải thỏa mãn. Như vậy có thể viết:
K(
,
f f i i
x t xt
) =
( )
( )
( )
( )
1
2
2
θ exp
2

f i
f i
f i f i
im x x
m
t t
ih t t h t t
 
 
−
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
− −
 
 
(1.39)
Ở đây
( )
θ
f i
t t−
là hàm bậc thang Heivisede:
( )
θ
f i
t t−
=

0
1
f i
f i
t t
t t
<



>


hay
( )
θ
f i
t t−
=
0 0
1 0
t
t
<


>

Tiếp theo tính K
1

:
( )
1
2
2
1 1 , 1
1 0
lim exp ( )
2
n
nb n
j j i i n
n
i j
i im
K N x x V x t dx dx
h h
τ
+
+
→∞
= =
 
= − −
 
 
∑ ∑
∫
Ở đây
m

N
ih
τ
=
và ta đã thay tích phân theo t bằng phép lấy tổng theo t
i
.
Lưu ý rằng V phụ thuộc vào x
i
nên ta có thể chia tổng trong e mũ thành 2
phần, phần 1 từ j = 0 đến
1j i= −
và phần 2 từ j=I đến j=n. Ta cũng tách riêng
tích phân theo x
i
và tìm được:
( )
1
2
2
1 1 1
1 1
lim exp
2
n
n n
i j j j n
n
i j
i im

K dx N x x dx dx
h h
τ
+
+ +
→∞
= =
 
 
 
= − −
 
 
 
 
 
∑ ∑
∫ ∫
x
( )
1
1
2
2
1 1 1
0
( , ) exp
2
n
i

i i j j i
j
im
V x t N x x dx dx
h
τ
+
−
+ −
=
 
 
 
−
 
 
 
 
 
∑
∫
Hai số hạng trong dấu móc nhọn { } là
0
( , )
f f
K x t xt
và
0
( , )
i i

K xt x t
vì vậy
lại thay
i
dx
∑
∫
bằng
dxdt
∫
ta có:
1
( , )
f f
K x t xt
=
0 0
( , ) ( , ) ( , )
f
i
t
f f i i
t
i
dt K x t xt V x t K xt x t dx
h
∞
−∞
−
∫ ∫

(1.40)
Lúc này
1
( , )
f f
K x t xt
triệt tiêu nếu
t
>
f
t
và
0
( , )
i i
K xt x t
triệt tiêu nếu
t
<
i
t
,
vì vậy tích phân trong (1.37) có thể lấy với mọi giá trị của t và cho:
1
( , )
f f
K x t xt
=
0 0
( , ) ( , ) ( , )

f
i
t
f f i i
t
i
dt K x t xt V x t K xt x t dx
h
∞
−∞
−
∫ ∫
(1.41)
Đây là số hiệu chỉnh bấc nhất cho hàm truyền tự do, một cách tương tự
ta có thể chứng minh rằng lượng hiệu chỉnh bậc hai là:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
18
2
( , )
f f
K x t xt
=
2
1 2 1 2 0 2 2 2 2
( , ) ( )
f f f f
i i i i
t t t t
f f
t t t t

i
dt dt dx dx K x t x t V x t
h
 
−
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
x
0 2 2 1 1 1 1 0 1 1
( , ) ( ) ( , )
i i
K x t x t V x t K x t x t
(1.42)
Các biểu thức của các K
n
đều có thể được viết tương tự. Cuối cùng ta có
hàm truyền khai triển:
2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f f i i f f i i f f i i
i
K x t x t K x t x t K x t x t V x t K x t x t dx dt
h
= −
∫
−
0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 2
2
1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f f i i
K x t x t V x t K x t x t V x t K x t x t dx dx dt dt
h
∫
(1.43)
Đó là chuỗi nhiễu loạn trong K, được gọi là chuỗi Born. Có thể hình
dung như minh họa dưới đây:
Trong đó ta thấy K
o
mô tả hàm truyền tự do của hàm sóng từ
i i
x t
đến
f f
x t
, K
1
mô tả hàm truyền với một tương tác với thế V; và tương tự tiếp tục…
Một điểm đáng chú ý là các hệ số
1 1
, ,
2! 3!
không còn trong biểu thức K
1
,
K
3
… Đó là vì 2 tương tác với V xảy ra ở những thời điểm khác nhau nhưng
chúng có tính không phân biệt, vì vậy ta viết:

' " ' " ' " ' " " ' ' " ' "
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2! 2!
V t V t dt dt t t V t V t t t V t V t dt dt
θ θ
 
= − + − =
 
∫ ∫

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )t t V t V t dt dt
θ
= −
∫
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
f f
x t
f f
x t
f f
x t
i i
x t
+ +
2 2
x t
1 1
x t

1 1
x t
H2
0
K K=
1
K+
2
K+
+…
19
2. Ma trận tán xạ (ma trận S)
Thay chuỗi khai triển hàm (1.43) vào (1.2) cho ta biểu thức hàm song ở
trạng thái cuối:
( ) ( ) ( )
f f i
i
f f i
x t K x t x t dx
ψ ψ
= =
∫
r r r uur
0 0 0
( ) ( ) ( ; ) ( , ) ( ; ) ( )
f i f i
i i
f i f i i i
i
K x t x t dx K x t xt V x t K xt x t x t dtdxdx

h
ψ ψ
= − +
∫ ∫
r r uur r r r r ur r uuruur
(1.44)
ở đây ta dã đổi 1 chiều sang 3 chiều
Giả sử chuỗi hàm trên hội tụ, khi đó tác dụng của những số hạng không
viết là để hiệu chỉnh K
0
so với K vì vậy ta có thể viết:
( )
f
f
x t
ψ
r
=
0 0 0
( ) ( ) ( ; ) ( , ) ( ; ) ( )
f i f
i i
f i f i i i
i
K x t x t dx K x t xt V x t K xt x t x t dtdx
h
ψ ψ
−
∫ ∫
r r uur r r r r ur r uur

(1.45)
Phương trình trên là chính xác, đó là phương trình tích phân cho
ψ
. Giả
sử rằng ở xa vô cùng trong quá khứ t
i
→ -∞;
ψ
là hàm sóng tự do, tức là hàm
sóng phẳng
φ
thì số hạng đầu tiên bên phải của (1.42) cũng là hám sóng
phẳng. Vì đó là kết quả của hàm truyền tự do
( , )
i i
x t
ψ
và ta có thể viết:
( )
f
f
x t
ψ
r
=
0
( ) ( ; ) ( ) ( )
f f
f f
i

x t K x t xt V xt xt dxdt
h
φ ψ
−
∫
r r r r r uur
(1.46)
( )
f
f
x t
ψ
r
thỏa mãn điều kiện phương trình Schrodinger:
2
2
( )
( ) (( ) ( )
2
f
f f f
x f f f
f
x
h
x t ih V x t x t
m tL
ψ
ψ ψ
∂

− ∆ + =
∂
r
r r r
(1.47)
Và
φ
thỏa mãn phương trình Schrodinger cho hạt tự do (V=0) nên hàm
truyền
0
( ; )
f
f
K x t xt
r r
sẽ thỏa mãn phương trình sau:
2
2
( )
( ) (( ) ( )
2
f
f f f
x f f f
f
x
h
x t ih V x t x t
m tL
ψ

ψ ψ
∂
− ∆ + =
∂
r
r r r
(1.48)
Rõ ràng
0
( ; )
f
f
K x t xt
r r
là hàm Green của phương trình Schrodinger lưu ý
rằng sự xuất hiện của
( )
f
t t
δ
−
là phù hợp với sự có mặt của
( )
f
f
x t
φ
r
trong
0

K
ở
(1.39).
Bây giờ ta có thể tích biên độ tán xạ. Chú ý điều kiện ban đầu:
( , )
in i i
x t
ψ
r
là sóng phẳng ban đồng thời coi V→ 0 khi t có giá trị âm đủ lớn (trong quá
khứ đủ xa), khi đó ở gần đúng Born thứ nhất ta có:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
20
( )
f
f
x t
ψ
+
r
=
0
( ; ) ( , )
f
i
f i in i i i
K x t x t x t dx
ψ
∫
r r

r
=
0 0
( ; ) ( , ) ( ; ) ( )
f
i i
f i i i
i
K x t xt V x t K xt x t x t dxdx dt
h
ψ
−
∫
r r r r ur r uuruur
(1.49)
Dấu (+) tương ứng với hàm sóng sẽ là tự do ở
t = −∞
, có liên quan đến
hàm truyền trễ, triệt tiêu khi t>t’ (cũng có thể viết nghiệm dưới dạng hàm
truyền sớm).
Đại lượng mà ta quan tâm ở đây chính là biên độ chuyển dời từ trạng
thái
ψ
+
tới trạng thái cuối có xung lượng xác định, tức là trạng thái mô tả
bằng sóng phẳng
out
ψ
. Biên độ chuyển dời này còn được gọi là biên độ tán xạ
S và có dạng:

S =
( )
*
( )
out f f f f f
x t x t dx
ψ ψ
∫
r r
=
( )
*
0
( ; ) ( )
f
i
out f f f i in i i i f
x t K x t x t x t dx dx
ψ ψ
∫
r r
r r r r
*
0 0
( ) ( ; ) ( , ) ( ; ) ( )
f f
i i
out f f i i in i f
i
x t K x t xt V x t K xt x t x t dx dxdx dt

h
ψ ψ
−
∫
r r r r r ur r uuuruuruur
=
* *
0
( ) ( ) ( ) ( ; )
f f f f
out f f f out f f
i
x t x t dx x t K x t xt
h
ψ φ ψ
−
∫ ∫
r r uuur r r r
x
0
( , ) ( ; ) ( )
i i
i i in i f
V x t K xt x t x t dx dxdx
ψ
r r ur r uuuruuruur
(1.50)
Ở đây cũng như
( )
f

f
x t
φ
,
( )
in i i
x t
ψ
là một hàm sóng phẳng biểu diễn hạt tự
do.
Nếu xung lượng ban đầu và cuối cùng là
i i
p hk=
r
r
;
f f
p hk=
r
r
ta có điều kiện
chuẩn hóa trong thể tích
τ
là:
( ) ( )
1
exp
in i i
i
xt p x E t

h
ψ
τ
 
= −
 
 
r r r

( )
( )
1
exp
out f f
i
xt p x E t
h
ψ
τ
 
= −
 
 
r r r
(1.51)
Với
τ
là thể tích chuẩn hóa. Thay (1.51) vào (1.50) và sử dụng:
( )
3

2
iqx
e dx q
π δ
=
∫
r r
r r
Đồng thời để thuân tiện đặt
τ
=
( )
3
2
π
ta có:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
21
( )
( ) ( )
( )
*
0
;
fi i f out f f f f
i
S k k x t K x t xt V xt
h
δ ψ
= − −

∫
r r
r r r r
( ) ( )
0
;
i i in i i i f
K xt x t x t dxdx dx dt
ψ
r r r r r r
(1.52)
Ta thấy biên độ tán xạ bây giờ được xem như một yếu tố của ma trận S,
(ở trên là thành phần (fi)). Ma trận S với các yếu tố
fi
S

như trên được gọi là
ma trận tán xạ (S-ma trận).
Số hạng thứ nhất tương ứng với quá trình không có tương tác. Thực chất
đó là biểu thức của định luật bảo toàn động lượng.
Tương tác được mô tả bởi số hạng thứ hai. Biên độ để trạng thái ra là
áut
ψ
nào đó khi trạng thái vào là
in
ψ
đã cho được xác định bởi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
*

0 0
; , ;
out f f f f i i in i i i f
i
A x t K x t xt V x t K xt x t x t dxdx dx dt
h
ψ ψ
= −
∫
r r r r r r r r r r
(1.53)
Đây mới thực sụ là biên độ tán xạ. Biểu diễn dưới dạng 1 biểu thức của
hàm truyền tự do và thế tương tác. Phương trình (1.50) có thể chuyển thành
một hệ các kí hiệu đơn giản, trực quan nhờ các quy tắc gọi là quy tắc
Feynman như được biểu diễn ở hình (1.2)
Biên độ (1.50) sẽ được biểu diễn là:
Với các quy tắc Feynman được biểu diễn trong bảng sau:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
H3
V
i i
x t
v
f f
x t
v
1 1
x t
v
2 2

x t
v
( )
0 1 1
;
f f
K x t x t
v v
( )V xt
v
( )xt
v
, tích phân theo
và t
22
Như vậy, biên độ tương ứng cho quá trình bậc 2 cho bởi giản đồ sau:
Đó là
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
*
0 0
; ' ' ' ' ' ';
out f f f f
i
A x t K x t x t V x t K x t xt
h
ψ

 
= −
 ÷
 
∫
v v v v v v
x
( ) ( ) ( )
0
' ' ; '
i i in i i f i
V x t K xt x t x t dx dxdx dx t
ψ
v v v v v v v v

(1.54)
Các quy tắc Feynman trên đây được viết trong không gian tọa độ. Trong các
ứng dụng thực tế, người ta thường chuyển sang viết trong không gian xung
lượng. Thực chất của việc chuyển này chỉ là tiên hành phép biên đổi Fourier
trên các biên độ (1.53) và (1.54)
Ta sẽ áp dụng những biểu thức vừa xây dựng cho một trường hợp
thường gặp là tán xạ của hạt spin 0 mang điện tích trong trường tĩnh điện
Coulomb. Vì đây là một ứng dụng quan trọng, ta sẽ trình bày dưới một mục
riêng.
IV. Tán xạ Coulbomb
1. Biên độ tán xạ
Biên độ tán xạ gần đúng Born thứ nhất là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

; , ;
out i
i
A x t K x t xt V x t K xt x t x t dxdx dx dt
h
ψ ψ
= −
∫
r r r r r r r r r r
Ở đây
( )
,V x t
r
biểu diễn thế Coulbomb. Thay K
0
từ (1.38) và
,
out in
ψ ψ
từ
(1.51) ta có:
( )
( ) ( )
2
2
1 1 1 1
6
1
exp. exp.
2 2

2
f
f
P
i i i q
A P x t q x x t t
h m m
h
τ τ τ
π
 
 
 
 
 
= − − − − − −
 
 ÷
 
 
 ÷
 
 
 
 
 
 
∫
r
r r r r

x
( ) ( ) ( )
2
2
0 0 0 0 1 0
'
, exp ' exp '
2 2
i
i
P
i q i
V x t q x x t t Px t dx dxdx dtdqdq
m m
τ τ
 
 
 
 
 
− − − −
 
 
 ÷
 
 
 
 
 
 

r
r r r r r r r r r
(1.55)
Tích phân theo
1
x
r
và
0
x
r
cho các hàm delta:
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
' 'x t
v
i i
x t
v
H4
23
i i
x t
v
i i
x t
v
V
( )
( )
3

f
h p p
π δ
−
r r
và
( ) ( )
3
1
2 'h q q
π δ
−
r r
Tích phân theo
q
r
và
'q
r
sẽ khử các số hạng theo t
1
và t
0
:
( ) ( )
exp ( , )
i f i f
i i
A p p x E E t V x dxdt

h h
τ
τ
 
 
= − − − −
 
 
 
∫
r r r r
(1.56)
Với
2
,
,
2
i j
i f
P
E
m
=
.
Với thế Coulbomb:
2
0
4
Ze
V

πε
=
và tích phân theo t sẽ cho:
( )
2
0
1
2 exp
4
i f
i f
E E
i Ze i
A p p x dx
h h h r
πδ
τ πε
−
 
 
= − −
 ÷
 
 
 
∫
r r r r
(1.57)
Tích phân cuối cùng không hội tụ ở vô cực, vì vậy đưa ra hệ số
ar

e
−
và
khi cho a → 0, giá trị của tích là
2
2
4 h
q
π
với
i f
q p p= −
r r r
Vậy
2 2
2
0
2 .
i f
E E
i Ze
A
h q h
π τ
δ
τ ε
−
 
= −
 ÷

 

(1.58)
Đây là biên độ tán xạ mà từ đó ta sẽ tính tiết diện tán xạ
σ
2. Tiết diện tán xạ
Vì
2
A
là xác suất để 1 hạt có xung lượng
f
p
nên
( )
2
3
2
f
dp
A
h
τ
π
chính là xác
suất để 1 hạt ra có xung lượng khoảng từ
f
p
đến
f f
p dp+

. Nếu tương tác kết
thúc sau thời gian T thì
( )
2
3
.
2
f
dp
A
T
h
τ
π
(*) chính là số hạt trong mỗi giây xuất
hiện trong khoảng động lượng trên.
Để tính tiết diện tán xạ, ta chia đại lượng (*) cho dòng tới và tích phân
theo
f
P
r
. Hạt tới có vận tốc
i
p
m
và mật độ hạt là
1
τ
. Vậy mật độ dòng là
i

p
m
τ
hạt/1s.m
2
.
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
24
Khi đó tiết diện tán xạ là:
( )
2
3
.
2
f
i
dp
A
m
T p
h
τ
τ
σ
π
=
∫
r

(1.59)

Trong
2
A
có một thừa số là
( )
2
/
i f
E E h
δ
 
−
 
. Để biến đổi nó, chú ý đến
định nghĩa của
( )x
δ
2
i f
E E
h
δ
−
 
 ÷
 
2
/2
/2
1

lim exp ( ) /
2
T
i f
T
T
i E E t h dt
π
−
→∞
 
= −
 
∫
=
( )
( )
2
sin / 2
lim
i f
T
i f
E E T h
E E h
π
→∞
−
−
=

( )
( )
2
i f
E E
T
h
δ
π
−
=
( )
2
i f
Th
E E
δ
π
−
Ở đây đã sử dụng công thức
2
2
sin
lim( ) ( )
x
x
α
α
πδ
αη

→∞
=
Thay hệ thức trên vào (1.59) ta có:
2 4 2 4
3
2 2 4 2 2 4
0 0
1 1 1 1
( ) ( )
4 4
f i f pf f i
i i
mZ e mZ e
E E d p d E E d
p q p q
σ δ δ
π ε π ε
= − = − Ω
∫ ∫
Bây giờ sử dụng
2
2
p
E
m
=
để viết
( )
1
2 3

2
2
f f f f
p dp m E dE=
và tích phân theo
f
E
ta có:
2 4
2 2
0
4
mz e
d
σ
π ε
= Ω
Ở đây ta có do có hàm delta nên
i
p
=
f
p
=
0
p
.
Vì vậy
2 2 2
4 sin ( )

2
q p
θ
=
với
θ
là góc tạo bởi
p
r
và
f
p
r
Cuối cùng đặt p=mv ta thu được:
2
2
2
4
0
1
( )
8
sin ( )
2
d ze
d mv
δ
θ
πε
=

Ω
Đây là công thức Rutherford quen thuộc.
GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ Ph¬ng Lan SVTH:Phan ThÞ Thñy
25