De va dap an HSG nam 2006

Trờng thcs Định hải đề thi học sinh giỏi huyện Môn toán

Lớp 8: Thời gian : 180 phút
Bài 1: (3đ)
Cho phân thức : M =
82
63422
2
2345
+
+++
xx
xxxxx
a) Tìm tập xác định của M
b) Tìm các giá trị của x để M = 0
c) Rút gọn M
Bài 2: (2đ)
a) Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta đợc
242.
b) Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B.
A = n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 ; B = n
2
-n
Bài 3: (2đ)
a) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức
M =
zxzyzyxyx

++
+
++
+
++
1
1
1
1
1
1
b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:

bacacbcba +
+
+
+
+
111

cba
111
++
Bài 4: (3đ)
Cho tam giác ABC, ba đờng phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC,
CA tỉ lệ với 4,7,5
a) Tính NC biết BC = 18 cm
b) Tính AC biết MC - MA = 3cm
c) Chứng minh

1..
=
MA
CM
NC
BN
PB
AP
(Hết)
đáp án và biểu chấm
Bài 1:
a) x
2
+2x-8 = (x-2)(x+4)

0

x

2 và x

- 4 (0,5đ)
TXĐ =
{ }
4;2;/

xxQxx
0,2đ
b) x
5

- 2x
4
+2x
3
- 4x
2
- 3x+ 6 = (x-2)(x
2
+ 3)x-1)(x+1) 1,0đ
= 0 khi x=2; x=
.1

0,2đ

Để M= 0 Thì x
5
-2x
4
+ 2x
3
-4x
2
-3x+6 = 0
x
2
+ 2x- 8

0 0,5đ
Vậy để M = 0 thì x =
.1

0,3đ
c) M =
4
)1)(3(
)4)(2(
)1)(3)(2(
2222
+
+
=
+
++
x
xx
xx
xxx
0,3đ
Bài 2:
a) Gọi x-1, x, x+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp Ta có: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242
(0,2đ)
Rút gọn đợc x
2
= 81 0,5đ
Do x là số tự nhiên nên x = 9 0,2đ
Ba số tự nhiên phải tìm là 8,9,10 0,1đ
b) (n
3
+2n
2

- 3n + 2):(n
2
-n) đợc thơng n + 3 d 2 0,3đ
Muốn chia hết ta phải có 2

n(n-1)

2

n 0,2đ
Ta có:
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -6
n(n-1) 0 2 2 -3
loại loại
0,3đ
Vậy n = -1; n = 2 0,2đ
Bài 3:
a) Vì xyz = 1 nên x

0, y

0, z

0 0,2đ

1)1(1
1
++
=

++
=
++
xzz
z
xyxz
z
xyx
0,3đ

zxz
xz
xzyzy
xz
yzy
++
=
++
=
++
1)1(1
1
0,3đ
M =
1
1
1
11
=
++

+
++
+
++ xzzzxz
xz
xzz
z
0,2đ
b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên
a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 0,2đ
yxyx
+
+
411
với x,y > 0
bbacbcba
2
2
411
=
+
+
+
0,2đ
cbacacb
211

+
+
+

0,2đ
acbabac
211

+
+
+
0,2đ
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh.
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c 0,2đ
Bài 4: a) A
B C
N
AN là phân giác của
A

Nên
AC
AB
NC
NB
=
0,3đ
Theo giả thiết ta có
===
5
4
574 AC
ABACBCAB
Nên 0,2đ

)(10
9
.5
5
9
5
4
cm
BC
NC
NC
BC
NC
NB
====
0,5đ
b) BM là phân giác của
B

nên
BA
BC
MA
MC
=
0,3đ
Theo giả thiết ta có:
4
7
574

===
BA
BCACBCAB
0,2đ
Nên
)(11
3
11.3
11
3
4
7
cmac
MCMA
MAMC
MA
MC
===
+

=
0,5đ
c) Vì AN,BM,CP là 3 đờng phân giác của tam giác ABC

Nên
AB
AC
PB
AP
BA

BC
MA
MC
AC
AB
BC
BN
===
;;
0,5đ

Do đó
1....
==
BC
AC
AB
BC
AC
AB
PB
AP
MA
MC
BC
BN
0,5đ
Đề thi môn toán 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho biểu thức

D =






+
+
+

+
ab
ba
ab
ba
11
:







++
+
ab
abba
1

2
1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
b) Tính giá trị của D với a =
32
2

c) Tìm giá trị lớn nhất của D
Câu 2: Cho phơng trình
32
2

x
2
- mx +
32
2

m
2
+ 4m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn
21
21
11
xx
xx
+=+
Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b,

)90(

0
==

A
Chứng minh rằng
AI =
cb
Cosbc
+
2
.2

(Cho Sin2

CosSin2
=
)
Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động trên một nửa đờng tròn
sao cho
.BNAN



Vễ vào trong đờng tròn hình vuông ANMP.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q.
b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB. Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp.
c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1

Hãy tính giá trị của:
B =
x
xyz
y
zx
z
xy
++
Đáp án toán 9
Câu 1: a) - Điều kiện xác định của D là








1
0
0
ab
b
a
- Rút gọn D
D =

+
ab
aba
1
22
:







++
ab
abba
1
D =
1
2
+
a
a
b) a =
13)13(
1

32(2
32
2
2
+=+=
+
=
+
a
Vậy D =
34
232
1
32
2
322


=
+
+
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
112
+
Daa
Vậy giá trị của D là 1
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1)
0920
2
9

2
1
22
=+=+
xxxx





+=
=

101
101
2
1
x
x
b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì
4
1
0280 + mm

(
*
)
+ Để phơng trình có nghiệm khác 0

+


+
234
234
014
2
1
2
1
2
m
m
mm
(
*
)
+



=
=+
=++=+
01
0

0)1)((
11
21
21
212121
21
xx
xx
xxxxxx
xx





+=
=
=




=+
=

194
194
0
038
02

2
m
m
m
mm
m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và
194
=
m
Câu 3:
+
;
2
.
2
1

cSinAIS
ABI
=

+
;
2
.
2
1
α
bSinAIS

AIC
=
∆
A
B C
I
+
;
2
1
α
bcSinS
ABC
=
∆
AICABIABC
SSS
∆∆∆
+=
cb
bcCos
cbSin
bcSin
AI
cbAISinbcSin
+
=
+
=⇒
+=⇒

2
2
)(
2
)(
2
α
α
α
α
α
C©u 4:
a)
21
ˆˆ
NN =
Gäi Q = NP
)(O
∩
BQAQ


=⇒
N

B
A


Q

F
Suy ra Q cè ®Þnh
b)
)
ˆ
(
ˆ
ˆ
211
AMA
==
⇒
Tø gi¸c ABMI néi tiÕp
c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định.
Tam giác ABF có: AQ = QB = QF


ABF vuông tại A

00
45

45

==
BFAB
Lại có
==
1
0

1

45

PAFBP
Tứ giác APQF nội tiếp

0
90


==
FQAFPA
Ta có:
000
1809090

=+=+
MPAFPA

M
1
,P,F Thẳng hàng
Câu 5: Biến đổi B = xyz

++
222
111
zyx
=
2
2
.
==
xyz
xyz

Thang điểm:
Câu 1: 2,5đ:
a) 1đ
b) 0,5đ
c) 1đ
Câu 2: 2đ:
a) 1đ
b) 1đ
Câu 3: 2đ
Câu 4: 2,5đ
- Vẽ hình đúng 0,5đ
a) 0,5đ
b) 0,5đ
c) 1đ
Câu 5: 1đ
đề thi học sinh giỏi toán 7

Thời gian 120 phút
Câu 1: (2đ)
Tìm x biết:
a)
723
=
xx
b)
532
>
x
c)
713

x
d)
73253 =++ xx
Câu 2: (2đ)
a) Tính tổng S = 1+5
2
+ 5
4
+...+ 5
200
b) So sánh 2
30
+ 3
30
+ 4
30

và 3.24
10
Câu 3: (2đ)
Xem hình rới đây chứng minh rằng AB//CD
a) b)

A 130
0
B A B


F 70
0

E

50
0
60
0
C D
120
0
30
0
140
0
40
0
C D E F

Câu 4: (3đ)
Cho M,N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và Ac của tam giác ABC. Các đờng
phân giác và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đờng thẳng MN lần lợt tại D và E
các tia AD và AE cắt đờng thẳng BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh:
a) BD
;; AQBEAP

b) B là trung điểm của PQ
c) AB = DE
Câu 5: (1đ)
Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức
A=
x
x


4
14
Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó