Đề và đáp án HSG huyện BXuyên-Vĩnh Phúc

Cõu 1. Cho hai s a, b cú tng bng 1 v tớch bng (
1

). Chng minh rng
2 2n n n n
n
P a b a b
+ +
= + + +
l s nguyờn chia ht cho 5 vi mi s nguyờn dng n.
Cõu 2. Bit rng cỏc s a, b, c tho món:
1
443322
=
+
+=
+
+=
+
+
abcacbcba
.
Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc
cba
T
111
++=
.
Cõu 3.
a) Vi nhng giỏ tr no ca k thỡ h hai phng trỡnh bc nht hai n x, y:

+=++
=
)2(12)62(
)1(44
kyxk
kkyx
vụ nghim.
b) Gii phng trỡnh
2
1 1
0
x x
x
x x

=
.
Cõu 4. Cho x, y, z l cỏc s thc tho món
( 23)( 1)( 2008) 1x y z
=
.
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:

1 1 1
23 1 1 1 2008 1
1 2008 23
L x y z
y z x

= + + +
ữ
ữ ữ
ữ



Cõu 5. Cho tam giỏc cõn ABC (BA=BC) ni tip ng trũn ng kớnh BD. Hai
im E v F di chuyn trờn cnh AC sao cho EF
2
1
=
AC (E nm gia F v C).
a) Chng minh rng FH=EC ( vi H l giao im ca AC v BD).
b) ng thng qua F vụng gúc vi AC ct cnh AB ti K. Chng minh rng
tam giỏc DEK l tam giỏc vuụng.
----------------------------Ht------------------------------
Ubnd huyện Bình Xuyên
Phòng Giáo dục và Đào tạo
đề chính thức
đề thi học sinh giỏi thcs vòng 2
năm học 2008-2009
môn: toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ubnd huyện Bình Xuyên
Phòng Giáo dục và Đào tạo
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi thcs vòng 2
năm học 2008-2009

môn: toán
A. Hng dn chung:
-Di õy ch l túm tt ca mt cỏch gii, bi lm ca hc sinh cú cỏch gii khỏc
ỏp ỏn, nu ỳng cỏc giỏm kho vn dng thang im ca hng dn cho im.
-Bi lm ca hc sinh ỳng n õu, cỏc giỏm kho cho im n ú.
-Bi toỏn hỡnh hc (cõu 5) khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai khụng cho im.
-im ton bi l tng s im cỏc ý ca 5 cõu, khụng lm trũn.
B. ỏp ỏn v thang im.
Cõu Ni dung cn trỡnh by im
1
2,0
Theo bi ta cú
1a b
+ =
v
1ab
=

Vi n=1 ta cú
3 3 3
1
1 ( ) 3 ( )P a b a b a b ab a b= + + + = + + +
1 1 3.( 1).1 5
= + =
l s nguyờn
chia ht cho 5.
0,5
Gi s vi
(2 )n k k Z
=

ta cú
2 2k k k k
k
P a b a b
+ +
= + + +
l s nguyờn chia ht cho 5. Tc l
1 2 1
, ,..., ,
k k
P P P P

l s nguyờn chia ht cho 5. Ta phi chng minh
1k
P
+
l s nguyờn chia ht
cho 5.
0,25
Tht vy, ta cú
1 1 3 3
1
k k k k
k
P a b a b
+ + + +
+
= + + +
( )
( )

( ) ( )
( )
( )
1 1 2 2 1 1
1
k k k k k k k k
k
P a b a b ab a b a b a b ab a b
+ + + +
+
= + + + + + + +
vỡ
1a b
+ =
v
1ab
=
nờn
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 1
1
k k k k k k k k
k
P a b a b a b a b
+ + + +
+
= + + + + + + +
hay
1 1k k k
P P P

+
= +
0,75
Theo gi thit quy np
1
,
k k
P P

l nhng s nguyờn chia ht cho 5 suy ra
1k
P
+
l s nguyờn chia
ht cho 5. Vy theo nguyờn lý quy np ta cú iu phi chng minh.
0,5
2
1,5
iu kin
accbbacba

,,,0,0,0
0,25
T cho ta cú
2
(*)1
22 acab
cba
cba
+

=++=
+
+
;
3
1
33 babc
cba
acb
+
=++=
+
+
;
4
1
44 cacb
cba
abc
+
=++=
+
+
0,5
Do ú suy ra
5,05,15,25,4432
abcabccabcabcacbbabcacab
cba
===
++

=
+
=
+
=
+
=++
0,25
Do
0,0

cb
nờn suy ra
acab 5;
3
5
==
. Thay vo (*) ta c
1
5
3
5
22
=
+
+
aa
a
10
23

=
a
v t ú tớnh c
2
23
;
6
23
==
cb
0,25
Cỏc giỏ tr ny tho món iu kin v bi. Vy
23
18111
=++=
cba
T
0,25
3.a)
1,25
T phng trỡnh (2) ta cú
(2 6) (2 1)y k x k
= + + +
(3)
T phng trỡnh (1) v (3) ta cú phng trỡnh
[ ]
4 (2 6) (2 1) 4x k k x k k
+ + + =
2 2
(2 6 4) 2 2 4k k x k k + + = +

( 1)( 2) ( 1)( 2) (4)k k x k k
+ + = +

0,5
Từ (3) và (4) ta thấy hệ cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4) vô nghiệm
hay
1
2
( 1)( 2) 0
1
( 1)( 2) 0
1
2
k
k
k k
k
k k
k
k

= −



= −
+ + =


⇔ ⇔ = −

 
− + ≠
≠





≠ −


0,5
Với
1k
= −
hệ cho trở thành
4 5
4 1
x y
x y
+ = −


+ = −

hệ này vô nghiệm
Vậy
1k
= −
là giá trị duy nhất cần tìm.

0,25
3.b)
1,25đ
Điều kiện
2
1
0
1 0
1
0
1
0
x
x
x
x
x
x
x

−
≥


− ≤ <

−

≥ ⇔



≥


≠



0,25
Xét hai khả năng:
+ Nếu
1 0x
− ≤ <
, viết phương trình về dạng
2
1 1x x
x
x x
− −
= +

phương trình này vô nghiệm
vì vế trái âm còn vế phải không âm.
0,25
+ Nếu
1x
≥
viết phương trình cho về dạng
2
1 1x x

x
x x
− −
− =
, bình phương hai vế ta được
2
2
1 1x x
x
x x
 
− −
− =
 ÷
 ÷
 
2
1 1
2 ( 1) 1x x x x
x x
⇔ − − + − = −
( 1) 2 ( 1) 1 0x x x x
⇔ − − − + =
( )
2
( 1) 1 0x x⇔ − − =
( 1) 1x x
⇔ − =

2

1 0x x
⇔ − − =
2
1 5 1 5
2 4 2 2
x x
 
⇔ − = ⇔ − =
 ÷
 
1 5
2 2
x
⇔ − =
(vì
1
0
2
x − >
do
1x
≥
)
5 1
2
x
+
⇔ =
(thỏa mãn điều kiện
1x

≥
)
0,5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
5 1
2
x
+
=
. 0,25
4
1,0đ
Điều kiện x>23, y>1, z>2008
Đặt
czbyax
=−=−=−
2008;1;23

theo điều kiện và giả thiết của đề bài ta có a, b, c là
các số thực dương và a.b.c=1.
0,2
Từ a.b.c=1
a
bc
=⇒
1
do đó
1 1 1 1
1 1 1b b b a
c b bc b

   
− + = − + = − +
 ÷  ÷
   

Từ đó có
1 1 1 1
1 1 1 1a b b a a
b c b b
 
      
− + − + = + − − −
 ÷ ÷  ÷  ÷ ÷
      
 
2
2 2
1
1b a ba
b
 
 
= − − ≤
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
0,2
Thực hiện tương tự ta có

2
1
1
1
1 cb
a
c
c
b
≤






+−






+−
;
2
1 1
1 1c a ac
a b
  

− + − + ≤
 ÷ ÷
  
0,2
Khi đó ta có
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 . . 1a b c ba cb ac
b c a
 
   
− + − + − + ≤ =
 ÷ ÷ ÷
 
   
 

suy ra
1 1 1
1 1 1 1a b c
b c a
   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
0,2
Do đó ta có
1L ≤

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
23 1 2008 1x y z
− = − = − =

suy ra x=24; y=2 và z=2009 (Thỏa mãn điều kiện bài toán). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức L
là 1 có được khi và chỉ khi x=24; y=2 và z=2009.
0,2
5a)
1,0đ
K
H
E
F
D
C
B
A
Tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn đường kính BD suy ra BD là đường trung trực của
AC nên
ACHCAH
2
1
==

0,25
Kết hợp với
AC
2
1

EF
=
(gt) ta có
EF
==
HCAH
0,25
+Nếu
F A≡
thì
E H≡
ta có đẳng thức cần chứng minh là đúng.
0,25
+Nếu F không trùng với A, từ giả thiết ta có A, F, H, E, C thẳng hàng theo thứ tự đó nên suy ra
FH=EC.
0,25
5b)
2,0đ
Từ giả thiết ta có
·
·
0
90BAD BCD
= =
, DA=DC và
BDAH
⊥
0,25
+Nếu
F A≡

thì
E H≡
và
K A≡
ta suy ra được tam giác DEK vuông
0,25
+Nếu F không trùng với A:
Vì KF//BH (do cùng vuông góc với AC) nên
BD
AD
AB
AH
KB
FH
==
(do tam giác BAH đồng dạng
với tam giác BDA) suy ra
BD
DC
KB
CE
=
(do FH=CE, AD=DC) mà
· ·
KBD ECD
=
(hai góc nội tiếp
cùng chắn cung AD) do vậy
DEC
∆

đồng dạng
DKB
∆
(c.g.c)
DB
DC
KD
DE
=⇒
(1) và
·
·
EDC KDB
=
(2).
0,75
Từ (2) suy ra
· ·
KDE BDC
=
(3)
0,25
Từ (1) và (3) suy ra
KDE
∆
đồng dạng
BDC
∆
(c.g.c)
· ·

0
90KED BCD
⇒ = = ⇒
tam giác
DEK vuông tại E (đpcm).
0,5