Khung gabor trong l2 (z)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THU

KHUNG GABOR TRONG l2(Z)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ THU

KHUNG GABOR TRONG l2(Z)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Quỳnh Nga

HÀ NỘI, 2016


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh
Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp
nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nam Tiền Hải, toàn thể
cán bộ giáo viên trong bộ môn Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn
thành chương trình cao học.
Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K18 (đợt 1)-trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Bùi Thị Thu


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với
đề tài "Khung Gabor trong l2 (Z)" được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Bùi Thị Thu

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Một số không gian, phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier .

4

1.2. Khung tổng quát trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Khung Gabor trong L2 (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4. Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong L2 (R). . . . . . .

28

Chương 2. Khung Gabor trong l2 (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1. Phép tịnh tiến và phép biến điệu trong l2 (Z) . . . . . . . . . . . . .

42

2.2. Các hệ Gabor rời rạc thông qua lấy mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3. Các khung Gabor trong CL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.4. Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong l2 (Z) . . . . . . . .

60

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong khi nghiên cứu các không gian véctơ, một trong những khái
niệm quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi véctơ trong không

gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy
nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không có sự phụ thuộc
tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc
thậm chí là không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ
sung. Đây là lý do để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và
khung chính là một công cụ như vậy. Khung cho một không gian Hilbert
cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp
tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc
lập tuyến tính giữa các phần tử khung.
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong
khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã
không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30
năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã
viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của
chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies,
Grossmann và Meyer [4] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan
tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lí tín hiệu, lý thuyết
mật mã, nén dữ liệu [4]...
Khung Gabor là một khung có cấu trúc đặc biệt được tạo thành từ
một hàm duy nhất qua các phép tịnh tiến và biến điệu. Nó là công cụ
1


2

để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc...
Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và
khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn “Khung Gabor trong l2 (Z)”
làm đề tài luận văn cao học.
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về khung Gabor trong l2 (Z).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nắm vững các kiến thức cơ bản về lý thuyết khung tổng quát trong
không gian Hilbert, khung Gabor trong L2 (R), các hệ dịch chuyển bất
biến tổng quát trong L2 (R);
- Nghiên cứu về khung Gabor trong l2 (Z), phép tịnh tiến và biến điệu
trên l2 (Z), hệ Gabor rời rạc qua lấy mẫu, khung Gabor trong CL , các
hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong l2 (Z).
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Khung Gabor trong l2 (Z);
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên
quan đến khung Gabor trong l2 (Z).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề;
- Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.


3

6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn hy vọng sẽ là một tài liệu tổng quan về khung Gabor trong
l2 (Z).


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số không gian, phép biến đổi Fourier và
chuỗi Fourier

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, ký hiệu và kết
quả cơ bản sẽ được dùng trong các phần sau. Nội dung của mục được
tham khảo trong tài liệu [1].
+∞
p

L (R) := {f : R → C| f đo được và

|f (x)|p dx < +∞}, 1 ≤ p < ∞.

−∞

Lp (R) với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với chuẩn
 +∞
1/p
f =

|f (x)|p dx

−∞

Đặc biệt, L2 (R) là không gian Hilbert với tích vô hướng
+∞

f (x) g (x)dx, f, g ∈ L2 (R)

f, g =
−∞

và chuẩn

 21

 +∞

|f (x)|2 dx với f ∈ L2 (R) .

f =
−∞

L2 (a, b) :=




b

f : (a, b) → C|f đo được và



a



2
|f (x)| dx < +∞ .


2

L (a, b) là không gian Hilbert với tích vô hướng
b

f (x) g (x)dx,f, g ∈ L2 (a, b)

f, g =
a

4


5

và chuẩn


 21

b

|f (x)|2 dx với f ∈ L2 (a, b).

f =
a

Bổ đề 1.1.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân)
2

b





b

|f (x)|2 dx 

f (x) g (x)dx ≤ 
a

a

Xét không gian L2 0,



b

|g (x)|2 dx , f, g ∈ L2 (a, b) .
a

1
b

trong đó b > 0. Các hàm
√

ek (x) =

be2πikbx , k ∈ Z

tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2 0,

1
1
. Do đó mọi f ∈ L2 0,
b
b

có khai triển
f=

ck ek

(1.1)

f (x) e−2πikbx dx

(1.2)

k∈Z

trong đó
1
b

√
ck = f, ek =

b
0

Khai triển (1.1) được gọi là chuỗi Fourier của f và các số ck được gọi là
các hệ số Fourier.
Bổ đề 1.1.2. Cho f, g ∈ L2 (0, 1/b) với b > 0 và cho các chuỗi Fourier
f=

ck e k , g =
k∈Z

dk ek ,
k∈Z

với ek (x) = b1/2 e2πikbx , k ∈ Z. Khi đó f, g =

ck dk .
k∈Z

Phiên bản rời rạc của L2 (R) là l2 (I) trong đó I là tập đếm được
l2 (I) :=

|xk |2 < ∞ .

{xk } ⊂ C|
k∈I


6

l2 (I) là không gian Hilbert với tích vô hướng
{xk } , {yk } =

xk yk .
k∈I

Bổ đề 1.1.3. (Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tổng)
2

x k yk
k∈I

|yk |2 , {xk }k∈I , {yk }k∈I ∈ l2 (I) .

|xk |2

≤

k∈I

k∈I

Cho f ∈ L1 (R), biến đổi Fourier fˆ được định nghĩa bởi
+∞

fˆ (γ) :=

f (x) e−2πixγ dx, γ ∈ R
−∞

Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của f là F f .
Nếu L1 ∩ L2 (R) được trang bị chuẩn L2 (R), biến đổi Fourier là một
phép đẳng cự từ L1 ∩ L2 (R) đến L2 (R). Nếu f ∈ L2 (R) và {fk }∞
k=1 là
một dãy của các hàm trong L1 ∩ L2 (R) và hội tụ đến f trong không
2

gian L (R) thì dãy

fˆk

∞

cũng hội tụ trong L2 (R), tới một giới hạn

k=1

độc lập với lựa chọn của {fk }∞
k=1 . Bằng cách định nghĩa
fˆ := lim fˆk
k→∞

ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ Unita từ L2 (R)
lên L2 (R).
Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt ta có
đẳng thức Plancherel
fˆ, gˆ = f, g , ∀f, g ∈ L2 (R)
và
fˆ = f .

7

Định lí 1.1.4. Nếu f, g ∈ L1 (R) và α, β ∈ C, a, b, ω ∈ R thì
1) F (αf + βg) = αF (f ) + βF (g) ;
2) F (Ta f ) (ω) = e−2πiaω fˆ (ω) ;
3) F (Eb f ) (ω) = fˆ (ω − b) ;
trong đó Ta f (t) := f (t − a) , Eb f (t) := e2πibt f (t).
Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng không gian Schwartz các hàm
giảm nhanh trên R, được định nghĩa như sau
S = {f ∈ C ∞ (R)| sup |xm f (n) (x)| < ∞, ∀m, n ∈ N0 }
x∈R

trong đó f (n) ký hiệu là đạo hàm cấp n của f và N0 = N ∪ {0}.

1.2. Khung tổng quát trong không gian Hilbert
Vào năm 1952, khung được giới thiệu bởi Duffin và Schaeffer trong
một bài báo quan trọng của họ [5]; họ đã sử dụng khung như một công cụ
trong việc nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, nghĩa là, chuỗi thiết
lập từ eiλn x

n∈Z

, ở đây {λn }n∈Z là một họ các số thực hoặc số phức.

Cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khái niệm
này, và phải mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện.
Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung vào năm
1980. Ở đó khung lại được sử dụng trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier

không điều hòa. Sau đó vào năm 1986 khi bắt đầu kỉ nguyên sóng nhỏ,
Daubechies, Grossmann, Meyer [4], đã quan sát thấy rằng các khung có
thể được sử dụng để tìm ra khai triển chuỗi của các hàm trong L2 (R)
tương tự như việc khai triển sử dụng cơ sở trực chuẩn. Đây là thời điểm
khi nhiều nhà toán học đã bắt đầu nhận thấy tiềm năng của khung. Điều


8

này trở nên rõ ràng hơn qua bài báo quan trọng [2] của Daubechies, cuốn
sách của bà [3] và bài báo trình bày tổng quan của Heil và Walnut [6].
Trong không gian Hilbert H, đặc trưng chủ yếu của một cơ sở là mỗi
phần tử f ∈ H có thể biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính (vô hạn)
của các phần tử fk trong cơ sở
∞

f=

ck (f ) fk

(1.3)

k=1

với hệ số ck (f ) là duy nhất.
Khung là một dãy các phần tử {fk }∞
k=1 trong H mà cũng cho phép mỗi
phần tử f ∈ H được viết như công thức ở (1.3). Tuy nhiên, hệ số tương
ứng không nhất thiết là duy nhất.Vì vậy một khung có thể không phải
là cơ sở.

Định nghĩa 1.2.1. Một dãy {fk }∞
k=1 của các phần tử trong H là một
khung cho H nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
∞

A f

2

| f, fk |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H

≤

(1.4)

k=1

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không phải duy nhất.
Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng trên tất cả các cận khung trên,
và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng trên tất cả các cận khung
dưới.
Một khung được gọi là chặt nếu chúng ta có thể chọn A = B như các
cận khung. Nếu A = B = 1 thì khung được gọi là khung Parseval.
Trong trường hợp không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì dãy
m
{fk }m
k=1 là khung cho H khi và chỉ khi span {fk }k=1 = H.

Thật vậy, giả sử {fk }m
k=1 là khung cho H, tức là tồn tại các hằng số

9

A, B > 0 sao cho
m

A f

2

| f, fk |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

≤
k=1

Giả sử phản chứng rằng span {fk }m
k=1 ⊂ H. Khi đó tồn tại f khác không
+

trong H sao cho f, fk = 0, với mọi k = 1, ..., m. Từ bất đẳng thức vế
2

trái bên trên ta suy ra A f

= 0. Do đó A = 0 và mâu thuẫn này chứng

tỏ span {fk }m
k=1 = H.
Bây giờ giả sử span {fk }m

k=1 = H. Sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được
m

m

m

2

2

| f, fk | ≤
k=1

f . fk

2

=

fk

k=1

2

. f 2.

k=1

m

Do đó ta có thể chọn B =

fk

2

làm cận khung trên.

k=1

Giả sử không phải tất cả các fk đều bằng không.
Đặt W := span {fk }m
k=1 và xét ánh xạ liên tục.
m

| f, fk |2 .

φ : W →, φ (f ) :=
k=1

Do mặt cầu đơn vị trong W là compact nên ta có thể tìm g ∈ W với
g = 1 sao cho
m

m
2

| f, fk |2 :f ∈ W, f = 1 .

| g, fk | = inf

A :=
k=1

k=1

Rõ ràng là A > 0. Với f ∈ W, f = 0 ta có:
m

m
2

| f, fk | =
k=1

k=1

Vậy {fk }m
k=1 là một khung cho H.

f
, fk
f

2

f

2

≥ A f 2.


10
√

Ví dụ 1. Lấy H = R2 , e1 = (0, 1)T , e2 =

3 1
2 ,2

√

T

, e3 =

3
1
2 , −2

T

.

3
Khi đó {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung là .
2

T
Thật vậy, với x = (x1 , x2 ) ∈ H bất kỳ, ta có
√

3

| x, ej |2 = x22 +
j=1

=

√

2

1
3
x1 + x2
2
2

1
3
x1 − x2
2
2

+

2

3 2
3
x1 + x22 = x 2 .
2
2

Ví dụ 2. Giả sử {ek }∞
k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.
(i) {ek }∞
k=1 là khung Parseval;
(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞
k=1 hai lần ta thu được
∞
{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}. Khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung

A = 2.
Thật vậy, ta có
∞

∞
2

| f, ek |2 = 2 f 2 , với mọi f ∈ H.

| f, fk | = 2
k=1

k=1

Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được
{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} .
Khi đó {fk }∞
k=1 là khung với cận A = 1, B = 2.
Thật vậy, ta có
∞

∞
2

2

| f, ek |2

| f, fk | = | f, e1 | +
k=1

k=1
∞

∞
2

≤

| f, ek |2

| f, ek | +

k=1
∞

k=1

| f, ek |2 = 2 f 2 .

=2
k=1


11

Mặt khác,
∞

∞

| f, ek |2 = f 2 .

2

2

| f, ek | ≥

| f, e1 | +

k=1

k=1

Do đó

∞

f

2

| f, ek |2 ≤ 2 f 2 , ∀f ∈ H.

≤
k=1

Vì vậy {fk }∞
k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận
khung trên là 2.
iii) Giả sử
1
1
1
1
1
e1 , √ e2 , √ e2 , √ e3 , √ e3 , √ e3 , ...
2
2
3
3
3

1
√
ek được lặp lại k lần.
nghĩa là, {fk }∞
là
dãy
mà
mỗi
vectơ
k=1
k
Khi đó với mỗi f ∈ H ta có
{fk }∞
k=1 :=

∞

∞
2

| f, fk | =
k=1

1
f, √ ek
k

k
k=1

2

= f 2.

Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung A = 1.
Định nghĩa 1.2.2. Một dãy {fk }∞
k=1 trong H được gọi là một dãy Bessel
nếu tồn tại một hằng số B > 0 sao cho
∞

| f, fk |2 ≤ B f

2

với mọi f ∈ H.

k=1

Khi đó B được gọi là một cận Bessel của dãy Bessel {fk }∞
k=1 .
∞
Định lí 1.2.3. Giả sử {fk }∞
k=1 là một dãy trong H. Khi đó {fk }k=1 là

một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
∞

T :

{ck }∞

k=1

→

ck fk
k=1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và
√
T ≤ B.


12

Chứng minh. Trước hết, giả thiết {fk }∞
k=1 là dãy Bessel với cận Bessel
là B.
∞
2
Giả sử {ck }∞
k=1 ∈ l (N). Ta phải chỉ ra T {ck }k=1 là hoàn toàn xác định,
∞

ck fk là hội tụ.

tức là
k=1

Xét n, m ∈ N, n > m. Khi đó
n

m

n

ck fk −

k=m+1

k=1

k=1

ck fk

ck fk =

n

ck fk , g |

= sup |
g =1

k=m+1
n

≤ sup
≤

|ck
g =1 k=m+1
n
1
(
|ck |2 ) 2

n

sup (

1

| fk , g |2 ) 2

g =1 k=m+1

k=m+1

≤

fk , g |

n

√

1

|ck |2 ) 2 .

B(
k=m+1

Do

{ck }∞
k=1

∞

n

2

∈ l (N), ta biết rằng

2

|ck |
k=1

n

∞

k=1

n=1

là một dãy Cauchy trong H

ck fk

Tính toán trên chỉ ra rằng

là dãy Cauchy trong C.

n=1

và do đó hội tụ.
Vậy T {ck }∞
k=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng, T là tuyến tính.
Từ
∞
T {ck }∞
k=1 = sup | T {ck }k=1 , g | .
g =1

Tính toán tương tự như trên chỉ ra rằng T bị chặn và T ≤

√

B.

Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định, tuyến
√
tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và T ≤ B.
2
Gọi {ej }∞

j=1 là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l (N), tức là ej là dãy có

phần tử thứ j bằng 1, còn lại tất cả các phần tử khác bằng 0. Khi đó


13

theo định nghĩa của toán tử T , T (ej ) = fj với mọi j ∈ N.
Ta có
T ∗ f, ej = f, T ej = f, fj với mọi j ∈ N
Từ đó T ∗ f = { f, fj }∞
j=1 và
∞

| f, fk |2 = T ∗ f

2

≤ T∗

2

f

2

= T

2

f

2

≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

k=0

Do đó {fk }∞
k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B.
Hệ quả 1.2.4. Nếu {fk }∞
k=1 là một dãy trong H và

∞

ck fk hội tụ với
k=1

∞
2
mọi dãy {ck }∞
k=1 ∈ l (N) thì {fk }k=1 là một dãy Bessel.
∞

fk trong không gian Banach X được gọi

Định nghĩa 1.2.5. Chuỗi
k=1

∞

fσ(k) hội tụ đến cùng một phần

là hội tụ không điều kiện nếu chuỗi
k=1

tử với mọi hoán vị σ.
Hệ quả 1.2.6. Nếu

{fk }∞
k=1

∞

là một dãy Bessel trong H thì

ck fk hội
k=1

2
tụ không điều kiện với mọi dãy {ck }∞
k=1 ∈ l (N).

Do một khung {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel nên toán tử
∞
2

T : l (N) → H, T

{ck }∞
k=1

=

ck fk

(1.5)

k=1

bị chặn theo Định lí 1.2.3. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Toán tử liên hợp được cho bởi công thức
T ∗ : H → l2 (N) , T ∗ f = { f, fk }∞
k=1 .

(1.6)

T ∗ được gọi là toán tử phân tích.
Bằng việc kết hợp T và T ∗ chúng ta có toán tử khung
∞
∗

S : H → H, Sf = T T f =

f, fk fk .
k=1

(1.7)

14

Chú ý rằng nếu {fk }∞
k=1 là dãy Bessel thì chuỗi xác định S hội tụ không
điều kiện cho tất cả f ∈ H. Bổ đề sau cho ta một số tính chất quan
trọng của toán tử khung S.
Bổ đề 1.2.7. Cho {fk }∞
k=1 là một khung với toán tử khung S và các cận
khung A, B. Khi đó ta có
(i) S là bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp, và dương (tức là Sf, f ≥ 0
với mọi f ∈ H);
∞
là một khung với các cận
k=1
−1
−1
tối ưu của {fk }∞
là
k=1 thì các cận B , A
∞
Toán tử khung của S −1 fk k=1 là S −1 .

(ii) S −1 fk

B −1 , A−1 . Nếu A, B là các cận
các cận tối ưu của S −1 fk

Chứng minh.
(i) S là bị chặn do là hợp của 2 toán tử bị chặn,

S = TT∗ = T

T∗ = T

2

≤ B.

Từ S ∗ = (T T ∗ )∗ = T T ∗ = S, toán tử S là tự liên hợp.
Bất đẳng thức (1.4) có nghĩa là
A f

2

≤ Sf, f ≤ B f 2 , ∀f ∈ H,

hoặc, nói một cách tương đương, AI ≤ S ≤ BI, vì vậy S là dương.
Hơn nữa,
0 ≤ I − B −1 S ≤

B−A
I
B

và hệ thức
I − B −1 S = sup
f =1

I − B −1 S f, f

≤

B−A
< 1,
B

∞
.
k=1


15

Do đó S là khả nghịch.
(ii) Lưu ý rằng với f ∈ H,
∞

∞
2

−1

f, S fk

S −1 f, fk

=

2

≤ B S −1 f

2

≤ B S −1

2

f 2.

k=1

k=1

Nghĩa là, S −1 fk
của S −1 fk

∞
k=1

∞
k=1

là một dãy Bessel. Từ đó suy ra toán tử khung

là hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa, nó tác động

lên f ∈ H bằng công thức
∞

∞
−1

−1

f, S fk S fk = S

f, S −1 fk fk

−1
k=1

k=1

= S −1 SS −1 f = S −1 f.
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung cho S −1 fk

∞
k=1

(1.8)

bằng S −1 . Toán tử

S −1 giao hoán với cả S và I, vì vậy chúng ta có thể “nhân các bất đẳng
thức” AI ≤ S ≤ BI với S −1 sẽ tạo thành A−1 I ≤ S −1 ≤ B −1 I, tức là
B −1 f

2

≤ S −1 f, f ≤ A−1 f 2 , ∀f ∈ H.

Thông qua (1.8),
∞

B

−1

f

2

S −1 fk , f

≤

2

≤ A−1 f 2 , ∀f ∈ H.

k=1

Do đó S −1 fk

∞
k=1

là một khung với các cận khung B −1 , A−1 . Để chứng

minh tính cực trị của các cận khung, giả sử A là cận dưới tối ưu cho
1
∞
−1
{fk }∞
. Bằng việc
k=1 và giả sử cận trên tối ưu cho S fk k=1 là C <
A
∞
áp dụng những điều chúng ta đã chứng minh cho khung S −1 fk k=1 có
−1

toán tử khung S , chúng ta thấy rằng
1
C

{fk }∞
k=1

=

S

−1 −1

∞

−1

S fk

−1

k=1
∞
fk k=1

> A, nhưng điều này là mâu thuẫn. Vì vậy S
1
có cận trên tối ưu . Các lập luận về cận dưới tối ưu là tương tự.
A

có cận dưới


16

Khung S −1 fk

∞
k=1

được gọi là đối ngẫu chính tắc của {fk }∞
k=1 . Khai

triển khung được phát biểu ở bên dưới, là một trong những kết quả
khung quan trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {fk }∞
k=1 là một khung trong
H, thì mỗi phần tử trong H có một biểu diễn như là một tổ hợp tuyến
tính vô hạn của các phần tử khung. Do đó một cách tự nhiên ta có thể
coi khung như là một dạng “cơ sở suy rộng”.

Định lí 1.2.8. Cho {fk }∞
k=1 là một khung với toán tử khung S. Khi đó
∞

f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H.

f=

(1.9)

k=1

Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H.
Chứng minh. Cho f ∈ H, sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Bổ đề 1.2.7, ta có
∞

∞

f, S −1 fk fk .

−1

−1

S f, fk fk =

f = SS f =

k=1

k=1

Do {fk }∞
k=1 là một dãy Bessel và

f, S −1 fk

∞
k=1

∈ l2 (N), chuỗi hội tụ

không điều kiện.
Tương tự, chúng ta có thể biểu diễn như sau:
∞
−1

f, fk S −1 fk , ∀f ∈ H.

f = S Sf =

(1.10)

k=1

Định lí 1.2.8 chỉ ra rằng mọi thông tin về f ∈ H nằm trong dãy
f, S −1 fk

∞

.
k=1

Các số f, S −1 fk được gọi là các hệ số khung.

Bổ đề sau chỉ ra rằng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện khung trong một trù
mật.


17

Bổ đề 1.2.9. Giả sử rằng {fk }∞
k=1 là dãy các phần tử trong H và tồn
tại các hằng số A, B > 0 sao cho
∞

A f

2

| f, fk |2 ≤ B f

≤

2

(1.11)

k=1

với mọi f trong tập con trù mật V của H. Khi đó {fk }∞
k=1 là một khung
trong H với các cận A, B.
Chứng minh. Ta cần chứng minh rằng điều kiện Bessel thỏa mãn với
mọi f ∈ H.
∞

Giả sử g ∈ H và

| g, fk |2 > B g 2 . Khi đó tồn tại một tập hữu hạn

k=1

| g, fk |2 > B g 2 .

F ⊂ N sao cho
k∈F

Do V là trù mật trong H, điều này suy ra rằng tồn tại h ∈ V sao cho
| h, fk |2 > B h 2 .
k∈F

∞

Từ mâu thuẫn trên suy ra

| g, fk |2 ≤ B g 2 , ∀g ∈ H.

k=1

Bây giờ ta chứng minh rằng (1.11) suy ra điều kiện khung dưới được
thỏa mãn trên H. Biểu thị qua toán tử tổng hợp T , giả thiết của ta có
nghĩa là
A f

2

≤ T ∗ f 2 , ∀f ∈ V.

(1.12)

Do T ∗ là bị chặn và V là trù mật trong H, ta suy ra (1.11) đúngvới mọi
f ∈ H.

∞
Bổ đề 1.2.10. Giả sử {fk }∞
k=1 và {gk }k=1 là các dãy Bessel trong H.

Khi đó các khẳng định sau là tương đương
∞

f, gk fk , ∀f ∈ H;

1) f =
k=1
∞

f, fk gk , ∀f ∈ H;

2)f =

k=1


18
∞

3) f, g =

gk , g , ∀f, g ∈ H.

f, fk
k=1

Chứng minh. Ký hiệu T, U lần lượt là các toán tử tổng hợp của {fk }∞
k=1
∗
∗
∗
và {gk }∞
k=1 . Toán tử liên hợp T , U lần lượt được xác định bởi T (f ) =
∞
∗
{ f, fk }∞
k=1 và U (f ) = { f, gk }k=1 với mọi f ∈ H. Khi đó ta viết lại

1) là T U ∗ = I. Nhưng điều này lại tương đương với U T ∗ = I, chính là
2). Vậy 1) tương đương với 2).
∞

f, fk gk thì tác động tích vô hướng vào cả hai vế ta

Nếu ta có f =
k=1

được
∞

N

f, g =

f, fk gk , g

=

k=1

lim

N →∞

f, fk gk , g
k=1

N

= lim

N →∞

N

f, fk gk , g

= lim

k=1

N →∞

f, fk

gk , g

k=1

∞

=

f, fk

gk , g

k=1

Từ đó ta có 3).
Ngược lại giả sử ta có 3). Cố định f ∈ H. Do {fk } là dãy Bessel nên
∞
2

{ f, fk }∞
k=1 ∈ l (N). Do {gk }k=1 là dãy Bessel nên theo Hệ quả 1.2.6
∞

f, fk gk hội tụ.

chuỗi
k=1

∞

Do giả thiết 3) nên

f−

f, fk gk , g

= 0, với mọi g ∈ H. Từ đó

k=1

suy ra

∞

f=

f, fk gk .
k=1

Bổ đề 1.2.11. Cho {fk }∞
k=1 là một khung. Khi đó các khẳng định sau là
tương đương


19

1) {fk }∞
k=1 là khung chặt với cận khung C;
1
2) {fk }∞
k=1 có khung đối ngẫu có dạng gk = c fk với c là một hằng số

dương.
Chứng minh. Giả sử {fk }∞
k=1 là khung chặt với cận khung C. Chọn
gk = S −1 fk trong đó S là toán tử khung của {fk }.
| f, fk |2 = Sf, f với mọi f ∈ H nên S = CI trong đó
1
1
I là toán tử đồng nhất. Từ đó S −1 = I. Vì vậy gk = fk .
c
c
1
∞
Bây giờ ta giả sử rằng {fk }k=1 có khung đối ngẫu có dạng gk = fk .
c
1
Khi đó f =
f, c fk fk với mọi f ∈ H . Theo Bổ đề 1.2.10, phần 3 ta

Do C f

2

=

k

có, khi g = f , f, f =

f, fk
k

2

| f, fk | = c f

2

1
c fk , f

với mọi f ∈ H hay

k

=

1
c

| f, fk |2 . Từ đó suy ra

k
∞
{fk }k=1

là khung chặt với cận

khung C.

Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu một khung có cấu trúc đặc
biệt được tạo thành từ một hàm duy nhất trong L2 (R) thông qua các
phép tịnh tiến và biến điệu. Nội dung của mục này được tham khảo từ
các tài liệu [1], [3].

1.3. Khung Gabor trong L2 (R)
Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L2 (R) được dựa trên 2
lớp toán tử trên L2 (R), đó là:
Phép tịnh tiến với a ∈ R, Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) ,
Phép biến điệu với b ∈ R, Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) .
Bổ đề sau cho ta một số tính chất của phép tịnh tiến và biến điệu.
Bổ đề 1.3.1. Cho a, b ∈ R. Khi đó


20

a) Ta ∗ = T−a , Eb ∗ = E−b ;
b) Ta , Eb là các phép biến đổi Unita;
c) Ta Tb = Tb Ta = Ta+b , Ea Eb = Eb Ea = Ea+b ;

d) Với mỗi f ∈ L2 (R) , y → Ty f liên tục từ R vào L2 (R).
Chứng minh. Với mọi f, g ∈ L2 (R), ta có
∞

Ta f (x)g (x)dx

Ta f, g =
−∞
∞

f (x − a)g (x)dx

=
−∞
∞

f (y)g (y + a)dy

=
−∞
∞

f (y)T−a g (y)dy = f, T−a g

=
−∞

Từ đó suy ra Ta ∗ = T−a .
Mặt khác, Ta khả nghịch với Ta −1 = T−a . Do đó Ta ∗ = Ta −1 và Ta là
Unita. Tương tự ta chứng minh được Eb ∗ = E−b và Eb là Unita.

Ta có thể dễ dàng kiểm tra tính chất c).
Để chứng minh tính liên tục của ánh xạ y → Ty f , trước tiên ta giả
sử rằng f liên tục và có giá compact nằm ở trong một khoảng bị chặn
[c, d]. Để thuận tiện ký hiệu ta chứng minh tính liên tục tại y0 = 0. Với
1 1
y∈ − ,
hàm φ (x) = Ty f (x) − Ty0 f (x) = f (x − y) − f (x) có giá
2 2
trong − 12 + c, 12 + d .
Do f liên tục đều, với mỗi ε > 0 ta có thể tìm δ > 0 sao cho
|f (x − y) − f (x)| ≤ ε với mọi x ∈ R và |y| ≤ δ.