Xấp xỉ tiệm cận tích phân bằng phương pháp điểm yên ngựa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ VĂN DŨNG

XẤP XỈ TIỆM CẬN TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM YÊN NGỰA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ VĂN DŨNG

XẤP XỈ TIỆM CẬN TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM YÊN NGỰA
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào

Hà Nội - 2016


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tác
giả chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn, tạo
điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công nhân
viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Hà Văn Dũng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong
luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Hà Văn Dũng


Mục lục

Mở đầu

5

1 Một số kiến thức chuẩn bị

8

1.1. Một số kiến thức căn bản về hàm biến phức . . . . . . .

8

1.1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2. Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . .

9

1.1.3. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.4. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.5. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2. Khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.1. Một số khái niệm bậc . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.2. Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.2.3. Định nghĩa của Poincaré về khai triển tiệm cận .

26

1.2.4. Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.5. Tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . .

35

3


1.3. Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . .
2 Phương pháp điểm yên ngựa

39
52

2.1. Mô tả về phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2. Giải thích về mặt hình học . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3 Một số áp dụng của phương pháp điểm yên ngựa

61

3.1. Số phân hoạch lớp của một tập hợp hữu hạn . . . . . . .

61

3.2. Dáng điệu tiệm cận của dn . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3. Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

KẾT LUẬN

70

TÀI LIỆU THAM KHẢO

71

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực
Vật lý dẫn đến việc giải một số các phương trình Toán học, mà nghiệm
của nó được biểu diễn dưới dạng các tích phân. Có khá nhiều các tích
phân như vậy được gắn với những hàm toán học đặc biệt như: hàm
Bessel, các hàm siêu hình học,.... Ngoài ra, cũng phải kể đến một số
công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phương trình vi
phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là các phép biến
đổi tích phân. Chẳng hạn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương
trình Sch¨otdinger
iΦt + Φxx = 0

(0.1)

được cho bởi công thức
+∞

1
Φ(x, t) =
2π

ˆ 0 (k)eikx−ik2 t dk
Φ

(0.2)

−∞

ˆ 0 (k) là biến đổi Fourier của dữ kiện đầu Φ(x, 0). Mặc dù, các tích
ở đó Φ
phân như vậy cho ta nghiệm chính xác của bài toán, nhưng về mặt định
lượng của chúng là không hẳn được rõ ràng. Để giải thích được ý nghĩa
cơ bản về khía cạnh Vật lý cũng như về mặt Toán học đối với những
nghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dáng điệu của chúng khi
5


các biến x và t khá lớn. Thông thường, như đối với các bài toán về
chuyển động sóng, quá trình giới hạn được quan tâm đến là khi t → ∞
x
mà c = vẫn được giữ cố định. Như trường hợp của phương trình (0.2)
t
người ta cần nghiên cứu phương trình
+∞

ˆ 0 (k)eitφ(k) dk; k → ∞
Φ

Φ(x, t) =

(0.3)

−∞

ở đó φ(k) = kc − k 2 .
Một trong những phương pháp xử lý các bài toán thuộc lĩnh vực này,
phải kể đến đó là lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân.
Từ mối quan tâm nghiên cứu này lý thuyết Giải tích tiệm cận được hình
thành từ các công trình của nhà toán học L. Euler. Đến năm 1886, lý
thuyết tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi T. J. Stieljes
và H. Poincaré [5]. Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là
lý thuyết chuỗi tiệm cận. Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà
nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận.
Trong lý thuyết xấp xỉ tiệm cận, mang tính trực giác hơn cả, người ta có
thể thấy ngay đó là việc dùng phương pháp tích phân từng phần. Tuy
nhiên, từ sự hạn chế nhất định của phương pháp này khi chuyển sang
các tích phân của hàm biến phức, các nhà toán học đưa ra một số các
phương pháp khác. Một trong những điểm nổi bật đó, ta có thể kể đến
phương pháp điểm yên ngựa trong việc xử lý các tích phân dạng này. Để
hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ khoa
học Toán học Giải tích em chọn đề tài: Xấp xỉ tiệm cận tích phân
bằng phương pháp điểm yên ngựa.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
6


- Trình bày một cách hệ thống các kiến thức căn bản về Giải tích tiệm
cận.
- Giới thiệu về phương pháp điểm yên ngựa và một số áp dụng của nó
trong lý thuyết xấp xỉ tiệm cận của tích phân.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu tổng quan về lý

thuyết xấp xỉ tiệm cận và mục tiêu chính là giới thiệu phương pháp điểm
yên ngựa cùng một số ứng dụng của nó trong việc xấp xỉ một số tích
phân xuất hiện trong việc giải quyết một số bài toán thực tiễn.
4. Phương pháp nghiên cứu. Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
5. Đóng góp của đề tài. Hệ thống hóa các kiến thức căn bản về lý
thuyết xấp xỉ tiệm cận và trình bày phương pháp điểm yên ngựa trong
lý thuyết này cùng một số ứng dụng của nó.

7


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số kiến thức căn bản về hàm biến phức
1.1.1. Số phức và mặt phẳng phức. Số phức là số có dạng z = x+iy,
với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là
phần ảo, được ký hiệu tương ứng bởi
x = Rez, y = Imz
Tập hợp các số phức được ký hiệu bởi C và được đồng nhất với mặt
phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
và
8

z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 )
= x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá trị
|z| =

x2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu

và xác định bởi z¯ = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =

z − z¯
z + z¯
, Imz =
;
2
2i

và
1
z¯
= 2 ; với z = 0.
z
|z|
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ , với r > 0 và
|z|2 = z.¯
z,

θ ∈ R được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là argz

(argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai
khác một bội của 2π). Argument của số phức z thỏa mãn 0 ≤ argz < 2π
được gọi là argument chính, ký hiệu là phz. Ta có
eiθ = cosθ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng,
ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2. Các tập hợp trong mặt phẳng phức. Cho z0 ∈ C và r > 0,
ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} .
Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} .
9


Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn
Cr (z0 ) = {z ∈ C |z − z0 | = r} .
Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, ký hiệu là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} .
Cho tập Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại
r > 0 sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω. Phần trong của Ω ký hiệu là intΩ gồm tất
cả các điểm trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là
điểm trong.
Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm z ∈ C
được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm zn ∈ C
sao cho zn = z và lim zn = z. Chúng ta có thể kiểm tra được rằng một
n→∞

tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. Bao đóng của tập
¯ Biên của Ω

Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu là Ω.
¯
ký hiệu là ∂Ω = Ω\intΩ.
Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| ≤ M với mọi z ∈ Ω. Nếu tập
Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của tập đó bởi số
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} .
Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Ω ⊂ C được
gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng rời nhau
Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1 ∪ Ω2 . Một tập mở liên thông trong C được gọi
là một miền. Tập đóng F là liên thông nếu không thể viết F = F1 ∪ F2
ở đó F1 và F2 là các tập đóng rời nhau.

10


1.1.3. Hàm chỉnh hình. Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω.
Hàm f (z) được gọi là khả vi phức (hay C khả vi) tại điểm z0 ∈ Ω nếu
tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
h

(1.1)

khi h → 0, ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu
bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 . Như vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu f là C − khả vi trong một
lân cận nào đó của điểm này nằm trong Ω. Hàm f gọi là chỉnh hình trên
Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta
nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên một tập mở nào đó
chứa M . Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f (z) = 1.
Thật vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
(z + h) − z
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f (z0 ) = lim

Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n chỉnh hình trên
mặt phẳng phức C và
P (z) = a1 + 2a2 z + ... + nan z n−1 .
Trong khi đó, hàm f (z) = z¯ là hàm không chỉnh hình trên toàn mặt
phẳng trừ ra tại điểm z = 0. Thật vậy, ta thấy
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h
=
=

=
h
h
h
h

11


không có giới hạn khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)

với ψ(h) là đại lượng vô cùng bé khi h → 0. Dĩ nhiên, ta có a = f (z0 ).
Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai
biến có sự khác biệt đáng kể. Như ta đã thấy hàm f (z) = z¯ không khả
vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ
F : (x, y) → (x, −y)
khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo hàm của nó tại một điểm
là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận
2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ. Mối quan hệ giữa hai khái
niệm khả vi đó được phản ánh qua kết quả dưới đây.
Định lý 1.1.1. (Điều kiện Cauchy - Riemann). Điều kiện cần và đủ để
hàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại
điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng
thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann
∂u

∂v
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y), (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x

(1.3)

1.1.4. Chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n + ...;

(1.4)

n=0

trong đó an ∈ C, n = 0, 1, 2, ....
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z0 nào đó,
12


thì nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| < |z0 |. Hơn nữa, ta cũng biết
rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối.
∞

Định lý 1.1.2.(Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

an z n . Khi đó, tồn tại

n=0

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Nếu |z| < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
1
1
= 0, thì số R được được
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước = ∞ và
0
∞
tính bởi công thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞
Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
là các hàm lượng giác
∞

z 2n
cos z =
(−1)
và sinz =

(2n)!
n=0
n

∞

z 2n+1
(−1)
.
(2n
+
1)!
n=0
n

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
cosz =

eiz + e−iz
eiz − e−iz
và sinz =
.
2
2
∞

Định lý 1.1.3. Chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n xác định một hàm chỉnh

n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi lũy
thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f (z),
tức là

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f (z) có cùng bán kính hội tụ với f (z).
13


1

Chứng minh. Bởi vì lim n n = 1, nên ta có
n→∞

1

1

lim sup |an | n = lim sup |nan | n .

n→∞

∞

Do đó, chuỗi

n→∞

∞

an z n và

n=0

nan z n−1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng

n=0

minh khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi
∞

nan z n−1

g(z) =
n=1

bằng đạo hàm của f (z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f (z) và giả
sử |z0 | < r < R. Ta viết
f (z) = Sn (z) + EN (z)
với
∞

N
n

SN (z) =

an z n .

an z và EN (z) =
n=0

n=N +1

Khi đó, nếu chọn h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
− g(z0 ) =
h

SN (z0 + h) − SN (z0 )
− S N (z0 )
h

+ (S N (z0 ) − g(z0 )) +

EN (z0 + h) − EN (z0 )
.
h

Ta thấy
EN (z0 + h) − EN (z0 )
≤

h

∞

n=N +1
∞

(z0 + h)n − z0 n
|an |
h
|an |nrn−1 .

≤
n=N +1

Ở đó ta đã sử dụng |z0 | < r và |z0 + h| < r. Biểu thức ở vế phải là phần
dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội trụ tuyệt đối với mọi |z| < R.
Do đó, với mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi N ≥ N1 ta có
ε
EN (z0 + h) − EN (z0 )
< .
h
3
14


Từ lim SN (z0 ) = g(z0 ) nên tìm được N2 mà với mọi N ≥ N2 ta có
N →∞

ε

|S N (z0 ) − g(z0 )| < .
3
Cố định N > max {N1 , N2 } thì ta có thể tìm được δ > 0 sao cho |h| < δ
thì
SN (z0 + h) − SN (z0 )
ε
− S N (z0 ) < .
h
3
f (z0 + h) − f (z0 )
Do đó
− g(z0 ) < ε khi |h| < δ.
h
Hệ quả 1.1.4. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách
lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có
khai triển thành chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy
∞

thừa

an (z − z0 )n tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho

n=0
∞

an (z − z0 )n ;

f (z) =

n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f (z) có khai triển lũy thừa tại
mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f (z) giải tích trên Ω.
Từ định lý (1.1.3), ta thấy rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh
hình trên đó.
1.1.5. Tích phân phức. Đường cong tham số. Một đường cong tham
số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên đoạn
15


[a, b] và z (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z (a) và z (b) được hiểu như các giới hạn một phía
z(a + h) − z(a)
z(b + h) − z(b)
và z (b) = lim−
.
h→0
h→0
h
h
Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
z (a) = lim+

tồn tại các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [ak , ak+1 ]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thể
khác nhau với mọi k = 1, 2, ..., n − 1.

Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến
[a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)) . Điều kiện t (s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác định như
sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b) và
được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra t = a và
t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đường
cong.

16


Ví dụ 1.1.5. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C: |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit ; t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it ; t ∈ [0, 2π].
Định nghĩa 1.1.6. Ta ký hiệu C là đường tròn định hướng dương. Cho
đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C và
f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f dọc theo γ được xác định
bởi

b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Giả sử z¯ là một tham số hóa tương đương xác
định như trên thì
d

b

f (z(t)) .z (t)dt =
a

f (z(t(s))) .z (t(s)) .t (s)ds
c
d

=

f (¯
z (s)) z¯ (s)ds.
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì

n−1

ak+1

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
k=0 a
k

17


Từ định nghĩa 1.1.6, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Ví dụ 1.1.7. Tính tích phân
(z − z0 )n dz; n = 0, ±1, ±2, ...
γ

trong đó γ là đường tròn
z = z0 + reit ; t ∈ [0; 2π].
Ta có
2π

n

(z − z0 )n dz =
γ

2π

(reit ) (ireit )dt = i
0

rn+1 ei(n+1)t dt.
0

Nếu n = −1, thì tích phân trên trở thành
2π

dz
=i
z − z0
γ

dt = 2πi.
0

Nếu n = −1 thì ta có

(z − z0 )n dz = irn+1 
γ



2π

[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt
0

= 0.
Ví dụ 1.1.8. Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham
số z = z(t); t ∈ [a; b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó
b

dz =
γ

b

z (t)dt =
a

b

dx(t) + i
b

dy(t)
b

18

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a).
b

zdz =
γ

b

z(t).z (t)dt =

1
2

a

d z 2 (t) =

1 2
z (b) − z 2 (a) .
2

a

Định lý 1.1.9. Nếu hàm f(z) liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω,
và γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2 , thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Chứng minh. Nếu γ là một đường cong trơn và z(t) : [a, b] → C là

phương trình tham số của đường cong γ thì
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) .z (t)dt
a
b

F (z(t)) .z (t)dt

=
a
b

d
F (z(t)) dt
dt

=
a

= F (z(b)) − F (z(a)) = F (ω2 ) − F (ω1 ).
Nếu γ trơn từng khúc thì ta có
n−1

[F (z(ak+1 )) − F (z(ak ))]

f (z)dz =

γ

k=0

= F (z(an )) − F (z(a0 ))
= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2 ) − F (ω1 ).

19


Hệ quả 1.1.10. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu hàm
f(z) liên tục và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.1.11. Nếu hàm f(z) chỉnh hình trong miền Ω và f (z) = 0
thì f(z) là hàm hằng.
Chứng minh. Cố định điểm ω0 ∈ Ω. Bởi vì Ω liên thông nên với điểm
bất kỳ ω ∈ Ω, tồn tại đường cong γ nối ω với ω0 . Ta có
f (z)dz = f (ω) − f (ω0 ).
γ

Bởi vì f (z) = 0 nên

f (z)dz = 0. Do đó f (ω) = f (ω0 ).
γ

Từ các ví dụ 1.1.7 và 1.1.8, chúng ta thấy rằng các tích phân trên không
phụ thuộc và hình dạng của đường cong và tích phân bằng 0 theo đường

cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo đường
cong đối với hàm chỉnh hình là
Định lý 1.1.12.(Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n − liên trong
C với biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f(z) là hàm
chỉnh hình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
f (z)dz = 0.
∂D

Chứng minh. Chúng ta viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi đó
(udx − vdy) + i(vdx + udy).

f (z)dz =
∂D

∂D

20


Theo định lý Green, ta có
F =

dF .
D

∂D

Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta có
udx − vdy =

−

∂v ∂u
−
dxdy = 0.
∂x ∂y

D

∂D

Tương tự, tích phân của phần ảo trong cũng bằng 0 và định lý được
chứng minh.
Định lý 1.1.13.(Công thức tích phân Cauchy). Nếu f(z) là hàm chỉnh
hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến đóng bất
kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z) =

f (ζ)
dζ; với mọi z0 ∈ Dγ .
ζ − z0

1
2πi
γ

¯ với ∂D là một chu tuyến đóng thì với
Hơn nữa, nếu f(z) liên tục trên D
mọi z ∈ D ta có
f (z0 ) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
ζ −z
∂D

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z0 sao cho
Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0 , ρ) tâm z0 bán kính ρ
Dγ
chứa trong Dγ . Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0 , ρ) và Dγ, ρ =
.
S(z0 , ρ)
f (ζ)
Dγ
Bởi vì
là hàm chỉnh hình với mọi z ∈
nên chúng ta có
ζ − z0
S(z0 , ρ)

γ+Cρ−

f (ζ)
dζ = 0.
ζ − z0

21

Từ đó, chúng ta suy ra
f (ζ)
dζ =
ζ − z0
γ

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
Cρ

Thực hiện phép đổi biến đối với tích phân ở vế phải ζ − z0 = ρeit ; 0 ≤
t < 2π, thì dζ = iρeit dt và chúng ta nhận được
2π

f (ζ)
dζ =
ζ − z0
Cρ

f (z0 + ρeit ) it
iρe dt
ρeit

0
2π

f (z0 + ρeit ) dt

=i
0
2π

f (z0 + ρeit ) − f (z0 ) dt − 2πif (z0 ).

=i
0

Bởi vì f (z) liên tục, nên khi ρ → 0 thì
f (ζ)
dζ = 2πif (z0 ).
ζ − z0

lim

ρ→0
Cρ

Từ đó, chúng ta suy ra
f (z) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
γ

¯ thì ta có thể thay ∂D cho γ trong chứng
Trường hợp f (z) liên tục trên D
minh trên và nhận được kết quả mong muốn.
Định lý 1.1.14.(Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu
f(z) là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f(z) khả vi vô hạn lần trong
D. Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến đóng nằm trong D, thì
f (n) (z0 ) =

n!
2πi
γ

f (z)
dz; ∀z0 ∈ Dγ .
(z − z0 )n+1
22


Chứng minh. Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n.
Trường hợp n = 0, ta nhận được từ công thức tích phân Cauchy. Giả sử
công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức là
f (n−1) (z0 ) =

(n − 1)!
2πi

f (z)
dz.
(z − z0 )n

γ

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0 + h ∈ Dγ , thương vi phân đối với hàm
f (n−1) (z) được cho bởi công thức
f (n−1) (z0 + h) − f (n−1) (z0 )
h
(n − 1)!
1
1
1
=
f (ζ)
dζ.
n −
2πi
h (ζ − z0 − h)
(ζ − z0 )n
γ

Đặt A =

1
1
,B=
, chúng ta nhận được
ζ − z0 − h
ζ − z0

1
1

An−1 + An−2 B + ... + AB n−2 + B n−1
−
=
.
(ζ − z0 − h)n (ζ − z0 )n
(ζ − z0 − h)(ζ − z0 )
Do đó, khi h → 0, thương vi phân hội tụ đến
(n − 1)!
2πi

f (ζ)
γ

n
n!
1
.
dζ
=
2πi
(ζ − z0 )2 (ζ − z0 )n−1

γ

f (z)
dz.
(z − z0 )n+1

Định lý được chứng minh.
1.2. Khai triển tiệm cận

1.2.1. Một số khái niệm bậc. Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng
đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond và chúng được định nghĩa
như sau
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử f (z) và φ(z) là các hàm số liên tục của biến
phức z, xác định trên một miền D ⊂ C và có giới hạn khi z → z0 trong
23