bài tập tích phân bằng phương pháp truy hồi

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI
1.ÔN TẬP:
Giả sử cần tính tích phân
( , )
b
n
a
I f x n dx=
∫
(n
∈
N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta thường gặp một số
yêu cầu sau:
•
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I
n
theo các I
n-k
(1
≤
k
≤
n).
•
Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
•
Tính một giá trò
0
n
I

cụ thể nào đó.
2.BÀI TẬP:
BÀI 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
a)
2
0
sin
n
n
I xdx=
∫
π
• Đặt
1
sin
sin .
n
u x
dv x dx
−

=

=


b)
2
0
cos

n
n
I xdx=
∫
π
• Đặt
1
cos
cos .
n
u x
dv x dx
−

=

=

c)
4
0
tan
n
n
I xdx=
∫
π
•
Phân tích:
( )

2 2 2
tan tan tan 1 tan
n n n
x x x x
− −
= + −
d)
2
0
cos .
n
n
I x x dx=
∫
π
•
Đặt
cos .
n
u x
dv x dx

=

=

2
0
sin .
n

n
J x x dx=
∫
π
•
Đặt
sin .
n
u x
dv x dx

=

=

e)
1
0
n x
n
I x e dx
∫
•
Đặt
.
n
x
u x
dv e dx



=

=


f)
1
ln .
e
n
n
I x dx=
∫
•
Đặt
ln
n
u x
dv dx

=

=

g)
1
2
0
(1 )

n
n
I x dx= −
∫
•
Đặt
cosx t=
→
Đặt
2
sin
sin .
n
u t
dv t dt

=

=

h)
1
2
0
(1 )
n
n
dx
I
x

=
+
∫
•
Phân tích
2 2
2 2 2
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
n n n
x x
x x x
+
= −
+ + +
Tính
1
2
2
0
(1 )
n
n
x
J dx
x
=
+
∫
. Đặt

2
(1 )
n
u x
x
dv dx
x

=


=

+

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TỐN – LÍ – TIN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
i)
1
0
1 .
n
n
I x x dx= −
∫
•
Ñaët
1 .
n
u x

dv x dx


=

= −


k)
4
0
cos
n
n
dx
I dx
x
=
∫
π
•
Phaân tích
1
1 cos
cos cos
n n
x
x x
+
=

→
Ñaët
1
1
cos
n
t
x
+
=
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN