Chuyên đề thể tích khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Nội dung chuyên đề gồm:
A. Kiến thức cơ bản cần thiết:
B. Các dạng toán:
I. Các phương pháp tính thể tích
1. Các Phương pháp tính trực tiếp
2. Phương pháp tính gián tiếp
II. Một số dạng toán liên quan:
1. Tỷ số thể tích
2. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách


A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT:
I. Một số tích chất:
1.Tính chất 1: ( Dùng để chứng minh đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng)
 a ⊥ b, a ⊥ c

a, b ⊂ (α ) ⇒ a ⊥ (α )
a ∩ b = { M }

2. Tính chất 2: ( Dùng để chứng minh hai đường
thẳng vuông góc)
Hệ quả: Một đường thẳng
vuông góc với hai cạnh của
a ⊥ (α )
⇒ a ⊥ b tam giác thì vuông góc với

b ⊂ (α )
cạnh còn lại.

3.Tính chất 3: (Dùng để chứng minh đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng)
(α ) ⊥ ( β ), (α ) ⊥ (γ )
⇒ ∆ ⊥ (α )

∆ = ( β ) ∩ (γ )
4.Tính chất 4: (Dùng để chứng minh đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng)

(α ) ⊥ ( β ), (α ) ∩ ( β ) = ∆
⇒ b ⊥ (α )

b ⊂ ( β ), b ⊥ ∆
5. Tính chất 5: (Dùng để chứng minh đường
thẳng
vuông
a // b góc với mặt phẳng)

⇒ b ⊥ (α )

a ⊥ (α )


II. Các bài toán cơ bản về khoảng cách:
1. Bài toán 1: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy)
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy.
Xác định d(A, (SBC))?
Cách giải

S

+ Kẻ AM ⊥BC,(M∈BC), AH ⊥SM,
(H ∈ SM)
+ Ta CM được: d(A, (SBC)) = AH
1
1
1
+ Tính AH:
=
+
2
2
2
AH
SA
AM
Chú ý:

H

C

A

M
B

Nếu tam giác ABC Cân tại A thì M là trung điểm của BC
Nếu tam giác ABC có góc B vuông thì M trùng B

Nếu tam giác ABC tù tại B hoặc C thì M nằm ngoài
đoạn BC


2. Bài toán 2: (Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau)
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC.
S
Xác định d(S,(ABC))?
Cách giải
+ Kẻ SH ⊥ (ABC),(H∈(ABC))
⇒ d(S,(ABC)) = SH.
A
C
H
+ CM được: ∆ SHA = ∆SHB = ∆ SHC
⇒ HA = HB = HC
B
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chú ý: Cho hình chóp S.ABC. Khi đó các mệnh đề sau
là tương đương:
i. SA = SB =SC
ii. SA, SB, SC nghiêng đều với đáy
iii. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.


3. Bài toán 3: (Hình chóp có các mặt bên nghiêng đều
với đáy)
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên nghiêng đều với
S

đáy. Xác định d(S,(ABC))?
Cách giải
+ Kẻ SH ⊥ (ABC), (H ∈ (ABC))
d(S,(ABC)) = SH.
P
A
C
+ Kẻ HM⊥ AB, (M ∈AB);
H
HN ⊥BC, (N∈ BC);
N
M
HP⊥ CA, (P ∈CA);
B
+ CM được: ∆ SHM = ∆ SHN = ∆ SHP
⇒ HM = HN = HP ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC.


4. Bài toán 4: (Tứ diện có mặt bên vuông góc với mặt
đáy)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB nằm trên mặt phẳng
vuông góc với mặt đáy. Xác định d(S,(ABC))?
S

Cách giải

+ Kẻ SH⊥ AB, (H∈ AB).

( SAB) ⊥ ( ABC ), ( SAB) ∩ ( ABC ) = AB

+ Ta có: 
A
SH ⊂ ( SAB), SH ⊥ AB

B

H

∆ )
⇒ SH ⊥ ( ABC

+ Vậy d(S,(ABC)) = SH.

C

Chú ý: - Tam giác SAB cân tại S thì H là trung điểm AB
1
1
1
= 2+ 2
- Tam giác SAB vuông tại S thì:
2
SH⊥ SA
SB


III. Các bài toán cơ bản về góc:
1. Bài toán 1: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy)
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)?

S
Cách giải
+ Kẻ AM ⊥ BC,(M ∈ BC) ⇒ SM ⊥ BC
⇒ ((SBC),(ABC)) = ∠ SMA.

C

A
B

M


2. Bài toán 2: (Góc giữa hai mặt phẳng tạo bởi hai tam
giác cân chung đáy)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC và
tam giac ABC là hai tam giác cân chung đáy BC.
S
Cách giải
+ Gọi M là trung điểm của BC từ giả thiết
ta có: AM ⊥ BC, SM ⊥ BC
∠SMA
⇒ ((SBC),(ABC)) =  0
A
180 − ∠SMA

B
M

C

3. Bài toán 3: (Góc giữa hai mặt phẳng tạo bởi hai tam giác
bằng nhau chung đáy)
Cho chóp S.ABC có tam giác SBC bằng tam giác ABC.
S
Tính góc giữa hai mp (SBC) và (ABC)?
Cách giải
+ Vì ∆ SBC = ∆ ABC suy ra kẻ: AM ⊥ BC
thì SM ⊥ BC
∠SMA
A
⇒ ((SBC),(ABC)) = 180 0 − ∠SMA


B
M
C


4. Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với
mp(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Tính góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (SAC)?
S
Cách giải
+ Kẻ AH ⊥ SB, AK

⊥ SC.

+ Ta CM được KH ⊥ SC

và AH ⊥ (SBC)
⇒((SBC),(SAC)) = ∠ AKH

K

H
C

A

B


5. Bài toán 5: (Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai đường
thẳng song song)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD la hình thang
(AB // CD và AB > CD).
S
Tính góc giữa hai mp (SAB) và (SCD)?
Cách giải
d
+ Tìm giao tuyến d của mp(SAB)
và mp(SCD), ( d qua S và d //AB //CD )
H
+ Kẻ SH ⊥ AB, SK ⊥ CD

∠HSK
⇒ ((SAB),(SCD)) =  0
180 − ∠HSK

B

C
A

K
D


IV. Thể tích khối đa diện:
1. Thể tich khối chóp:
S

A

D
H

1
V = B.h
3

+ B: là diện tích đáy
+ h: là chiều cao

C

B

2. Thể tích khối lăng trụ:

C’
A’

B’

V=

+ B: là diện tích đáy
+ h: là chiều cao

C
H
A

B.h

B


3. Phân chia khối lăng trụ tan giác thành ba khối tứ
diện có thể tích bằng nhau:
C’

Có nhiều cách phân chia
A’

B’

 A′ABC


ví dụ:  A′BB′C
 A′CC ′B′


C

A

B


4. Công tức chia tỷ lệ thê tích:
* Lưu ý: Chỉ sử dụng cho hình chóp tam giác.
* Công thức:
+ Cho hình chóp S.ABC. Trên các
tia SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm
A’, B’, C’ thì ta có:

S

VS . ABC
SA SB SC
=
VS . A′B′C ′ SA′ SB ′ SC ′

C’
A’

A

C

B

B’

+ Đặc biệt:
- Nếu
thì: VS . ABC SB SC
=
A ≡ A′

- Nếu

,

VS . A′B′C′ SB ′ SC ′
thì:

A ≡ A′ B ≡ B ′
VS . ABC
SC
=
VS . A′B′C ′ SC ′


B.CÁC DẠNG TOÁN:
I. Các phương pháp tính thể tích:
1. Phương pháp tính trực tiếp:
Hai yếu tố quan trọng để tính thể tích khối đa diện là

chiều cao và diện tích đáy. Trong quá trình tính cần chú ý:
* Với khối chóp cần chính xác hóa vị trí chân đường cao của
hình chóp, cụ thể:
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau ( hoặc nghiêm đều
với đáy) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng
nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy nếu
hình chiếu của đỉnh hình chóp thuộc miền trong của đáy.


+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân
đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó với mặt đáy.
+ Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy
thì đường cao là giao tuyến của hai mặt đó.
* Với khối lăng trụ có thể tính thể tích theo các hướng trên
hoặc chia nhỏ thành nhiều khối chóp đơn giản để tính.
* Với khối đa diện phức tạp ta thường chia nhỏ thành nhiều
khối chóp, lăng trụ đơn giản để tính.


Các ví dụ minh họa:
Loại 1: Hình chóp, lăng trụ biết trước đường cao.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy,
tam giác ABC vuông tại B và AB =a, BC =2a. Tính thể tích khối
chóp S.ABC biết góc giữa (SB,(SAC)) = 450 ?
S
HD:
+ Kẻ BH ⊥ AC , H ∈ AC. Ta CMĐ:
BH ⊥ ( SAC ) ⇒ ∠( SB, ( SAC )) = ∠HSB
⇒ ∠HSB = 45 0

1
1
1
=
+
+ ∆ABC vuông tại B ⇒
2
2
BH
AB
BC 2
2a
H
C
⇒ BH =
Và S ∆ABC = a 2
A
5
HB
4a
=
+ Xét ∆SHB : SB =
B
sin ∠HSB
10
3
a
15
3
Vậy VS . ABC =

+ Xét ∆SAB : SA = SB 2 − AB 2 = a
15
5


Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy,
tam giác ABC đều cạnh a. Tính thể tích khối chóp SABC biết
((SBC),(ABC)) = 600 .
HD:
Áp dụng Bài toán 1 về góc ta có:
Kẻ AM vuông góc với BC, tam giác ABCđều
=> M là trung điểm của BC và AM =

a 3
2

S

đồng thời ((SBC),(SAC)) = ∠ SMA = 600.
+ Xét tam giác SAM ta có:
SA = AM.tan ∠ SMA =

Vậy VS . ABC

a3 3
=
8

3a
2

C

A
M
B


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam
giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a 3 và góc giữa mp(SBC)
với mp(SAC) là 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC ?
HD: Áp dụng Bài toán 4 về góc ta có:
+ Kẻ AH ⊥ SB, H ∈ SB ; AK ⊥ SC , K ∈ SC
+ Tam giác AHK vuông tại K và ∠HKA = 45 0 ⇒ AK = 2 . AH
1
1
1
S
+ Xét ∆SAB : AH 2 = SA 2 + AB 2
1
1
1
=
+
+ Xét ∆SAC :
2
2
K
AK
SA
AC 2

1
1
1
⇔
=
+
2
2
2 AH
SA
AC 2
H

Từ đó suy ra: SA = a 2
Vậy VS . ABC

a3 6
=
6

C

A

B


Ví dụ 4: Cho chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác
ABC cân tại B có AB = a và góc ABC = 1200. Tính thể tích khối
3

a
7

chóp SABC biết d(A,(SBC)) =
?
HD:
Áp dụng Bài toán 1 về khoảng cách ta có:
+ Kẻ AM ⊥ BC, AH ⊥ SM
3
a
⇒ d(A,(SBC)) = AH = 7

S

H
C

+Vì tam giac ABC có góc ABC = 1200 A
⇒ M thuộc tia đối tia BC và góc ABM = 600

⇒

a 3
AM =AB.sinABM =
21
1

1
=
+

⇒ SA = a
+ Xét tam giác SAB:
2
2
2
AH
SA
AB

Vậy VS . ABC

a33 3
=
8

B
M


Ví dụ 5: Cho hltrụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, (BB’,(ABC)) = 60 0 ,
tam giác ABC vuông tại C, góc BA’C = 600 . Tính thể tích khối
lăng trụ biết hình chiếu của B’ lên mp(ABC) là trọng tâm tam
giác ABC.
HD:
a 3
3a
a
B’
′
+ BG =

A’
; BG = ; BM =
2
4
2
; + Đặt BC = x, AC = y ta có:
C’
x


3a 39
0
tan
60
=
x
=
;

y


16
⇒


2
2
 x 2 + y = 9a
 y = 3a 13



4
16
26

+ VABC.A’B’C’ =

3

a 27
208

B

600
600
N

G

M
C

A


Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a. Biết H
là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) và H thuộc cạnh AB t/m
HB = 2HA, ((SBC),(ABC)) = 600. Tính thể tích khối chóp SABC?

HD:
S
+ Áp dụng Bài toán 1 về góc ta có:
a
0
.
+ HM = sin60 .HB =
3
a
+ SH = tan60 .HM =
2
0

+ S ABC

a

2

3

4
3

a 3 3
+V =
8

A

H

B

600
M
C


Loại 2: Hình chóp chưa biết đường cao
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, SA = 2a.
Tính VS.ABC?
S
HD
+ Gọi O là tâm đáy, vì hình chóp đều nên suy ra:

SO ⊥ ( ABC ) ⇒ VS . ABC
a2 3
S ABC =
4

1
= SO.S ABC
3

A

BC
a
11

2
2
OA =
=
⇒ SO = SA − OA = a
2 sin A
3
3

Vậy VS . ABC

a 3 11
=
12

C

O

B


Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có A’A= A’B=A’C
= 2a; tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Tính thể
tích khối lăng trụ.
HD: Áp dụng Bài toán 2 về khoảng cách ta có:
+ Gọi H là trung điểm BC, tam giác ABC vuông tại A => H là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => A’H là đương cao.
Tính được:
B’

C’

BC
AH =
=
2

A′H =

AB 2 + AC 2 = a

A’

2
2
′
A A − HA = a 3

Vậy VABC.A’B’C’ = AH.SABC

3 3
=A’H.1/2.AB.AC = a
2

C

B

H

A