sáng kiến : Sử dụng tính biến thiên của hàm só

Sáng kiến
Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán
I . Đặt vấn đề
Khái niệm tơng quan hàm số là một vấn đề quan trọng ở bậc học phổ thông .
Học sinh đợc bắt đầu làm quen với khái niệm này từ quan hệ tỉ lệ thuận ở lớp 7 ,
hàm số bậc nhất và hàm số y= ax
2
ở lớp 9 , và còn đợc tiếp tục ở trờng THPT .
Theo mục tiêu của chơng trình Toán THCS thì việc dạy học khái niệm hàm số
chỉ yêu cầu hình thành khái niệm tơng quan hàm số thông qua quan hệ tỉ lệ
thuận, quan hệ bậc nhất. Tuy nhiên thực tế quan điểm hàm số đợc hàm ẩn trong
nhiều vấn đề khác. Các biểu thức chứa biến nhận những giá trị khác nhau khi các
giá trị của biến thay đổi . Giải phơng trình là tìm các giá trị của biến để các giá trị
tơng ứng của hai biểu thức ở hai vế bằng nhau. Giải bất phơng trình là tìm những
giá trị của biến để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức ở hai vế thỏa mãn bất
đẳng thức đã cho ...
Trong quá trình giải toán, chúng ta gặp những bài toán khi giải bằng phơng pháp
thông thờng gặp nhiều khó khăn ,nhng khi sử dụng tơng quan hàm số thì việc giải
bài toán đó dễ dàng hơn . Sau đây tôi xin trình bầy một vài ứng dụng của đồ thị
hàm số và tính biến thiên của hàm số trong giải toán .
II. Giải quyết vấn đề
A . Trớc hết ta nhắc lại một số khái niệm
1) Khái niệm hàm số
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x
,ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x,
và x đợc gọi là biến số .
2) Đồ thị hàm số
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá tri tơng ứng (x ; f(x)) trên mặt
phẳng tọa độ đợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) .
3) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Với x

1
, x
2
bất kì thuộc R ( hoặc thuộc tập D )
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R ( hoặc trên D )
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R(hoặc trên D)
Hàm số y = ax + b (a

0 )
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R
Hàm số y = ax
2
( a

0 )
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0
B .Những ứng dụng của hàm số trong giải toán
Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong việc giải các bài toán
về phơng trình , bất phơng trình , chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN , GTNN
của biểu thức ...
Sau đây là một số ví dụ
Dạng 1 : Giải phơng trình , bất phơng trình
Ví dụ 1 : a) Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ đồ thị các hàm số :
y =
2
2
x
( P ) và y = x +
3
2
( d)
b) Dùng đồ thị cho biết ( có giải thích ) nghiệm của phơng trình

2 3x x+ =
( Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 1998 1999 )
Giải :
a) Vẽ đồ thị hai hàm số
f(x)=0.5*x^2+0*x+0
f(x)=x+ 1.5
f(x)=x+ 1.5
Series 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
b)
2 3x x+ =
Điều kiện x

0
Bình phơng cả hai vế của phơng trình ta đợc :
2x + 3 = x
2

<=> x +
3
2
=
2
2
x
Đặt y =
2
2
x

( P) và y = x +
3
2
(d)
Nghiệm của phơng trình đã cho là hoành độ giao điểm của (P) và (d) với
x

0, (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm (3;
9
2
) và ( -1;
1
2
) .
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = 3 .
Ví dụ 2 : Giải bằng đồ thị hàm số các phơng trình và bất phơng trình
a) x
2
x + 1 = 0
b) x
2
2x + 1 = 0
c) x
2
+ 2x - 3 = 0
d) x
2
+ 2x - 3 < 0
Giải
a) x

2
x + 1 = 0 <=> x
2
= x 1
Đặt y = x
2
và y = x 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x
2
và y = x 1 trên cùng
một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị không có điểm chung .Vậy phơng trình vô nghiệm
.

f(x)=1*x^2+0*x+0
f(x)=x - 1
f(x)=2x - 1
f(x)=-2x + 3
Series 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
b) x
2

2x + 1 = 0 <=> x
2
= 2x 1
Đặt y = x
2
và y = 2x 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x
2
và y = 2x 1 trên
cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm ( 1; 1 ) .Vậy phơng
trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
c) x
2
+ 2x 3 = 0 <=> x
2
= -2x + 3
Đặt y = x
2
và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x
2
và y = -2x + 3 trên
cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm ( 1; 1) và ( -3; 9). Vậy
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
= 1 ; x
2
= -3 .
d) x
2
+ 2x 3 < 0 <=> x
2

< -2x + 3
Đặt y = x
2
và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x
2
và y = -2x + 3 trên
cùng một hệ trục tọa độ . Ta thấy ứng với -3 < x < 1 đồ thị hàm số y = x
2
nằm
phía dới đồ thị hàm số y = -2x + 3 hay x
2
< -2x +3 . Vậy nghiệm của bất phơng
trình là -3 < x < 1 .
Dạng 2 : Biện luận số nghiệm của phơng trình
Ví dụ 3 : Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phơng trình

1 1x x+ +
= m ( m là tham số )
Giải
Đặt y =
1 1x x+ +
và y = m
Vẽ đồ thị hai hàm số y =
1 1x x+ +
và y = m trên cùng một hệ trục tọa độ
rồi tìm số giao điểm của chúng .
- 2x nếu x

1
* Ta có y =

1 1x x+ +
= 2 nếu -1

x

1
2x nếu x

1
Đồ thị hàm số y =
1 1x x+ +
gồm đoạn thẳng AB , tia AC và tia BD .
*Đồ thị của hàm số y = m là một đờng thẳng song hoặc trùng với trục hoành.

f(x)=-2x
f(x)=2
f(x)=2x
f(x)=1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
A B

C
D
y = m
Nhìn trên hình vẽ ta thấy :
- Nếu m < 2 thì hai đồ thị không cắt nhau , do đó phơng trình vô nghiệm
- Nếu m = 2 thì hai đồ thị có chung đoạn thẳng AB , do đó phơng trình
có vô số nghiệm -1

x

1.
- Nếu m > 2 thì hai đồ thị có hai giao điểm , do đó phơng trình có hai
nghiệm phân biệt .
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của tham số a , phơng trình sau có nghiệm duy nhất

2 1x a +
=
3x +
(1)
Giải
Phơng trình (1) <=>
2x a
=
3x +
- 1
Đặt y =
2x a
và y =
3x +
- 1.Vẽ đồ thị hai hàm số y =

2x a
và y =
3x +
- 1
trên cùng một hệ trục tọa độ.
2x a nếu x


2
a

Ta có y =
2x a
= -2x + a nếu x


2
a