Luận văn đặc trưng của hàm lồi một biến qua bất đẳng thức hermiter hadamard

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜ NG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘ I 2

ĐỖ VĂ N DŨNG

ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM Lồi MỘT BIEN QUA BAT ĐANG
THỨC HERMITE-HADAMARD
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PG S . TS . TẠ DU Y PH Ư ỢN G

HÀ NỘI, 2016



Lời cảm ơn
Sau một thòi gian nghiên cứu cùng với sự quan tâm của các thầy giáo cô giáo cùng các bạn học viên, luận văn của tôi đến
nay đã được hoàn thành.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Tạ Duy Phượng đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong thòi
gian làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin
cảm ơn sự động viên giúp đỡ của gia đình và bạn bè đã dành cho tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Đỗ Văn Dũng

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả của nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài
khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

3


Đỗ Văn Dũng

4


Muc luc
3

Bất đẳng thức Jensen-Petrovic
3.
Các bất đẳng thức cho các hàm số hình sao
1
3.
Bất đẳng thức cho các hàm lồi
2
Kết luận

46

5

Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích lồi đã và đang đóng một vị trí quan trọng trong toán học. Giải tích lồi liên quan đến rất nhiều ngành của toán học như
giải tích, giải tích hàm, giải tích số, hình học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến,...
Một kết quả kinh điển cho hàm lồi là Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (H-H Inequality), được phát biểu trong Định lý
dưới đây.
Định lý 1 Nếu f: K —> K là hàm lồi trên đoạn [a; b] thì ta có

a

Trong [8], Fejer đã mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức (2), mà sau này được gọi là bất đẳng thức Fejer.
Định lý 2 Nếu Ị: K —> K là lồi trên đoạn [a; b] và g: [a; b] —> K là một hàm không âm, khả tích và đối xứng qua điểm X
= thì
b

g(t)dt <

Ị

b

)+

b

J

(2)

g{t)dt.

f(t)g(t)dt < —
a

a

a

Khi g ( x ) = 1 thì bất đẳng thức Fejer trở thành bất đẳng thức Hermite- Hadamard.
Sau đó nhiều tác giả đã mở rộng các bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Fejer. Xem, thí dụ, trong các cuốn sách chuyên khảo
[3], [4], [5], [6] và các bài báo khác.
Trong [5] đã phát biểu và chứng minh
Định lý 3 Điều kiện cần và đủ để một hàm liên tục f: R —> R là lồi trên [ia, ồ] là

6


Luận văn thạc
sĩ

x + h

f ( x ) < — [ f{t)dt với moi a < X — h < X + h < b.
2h J

(3)

x — h

Có thể chứng minh được rằng, bất đẳng thức (3) tương đương với bất đẳng thức thứ nhất
trong bất đẳng thức Hermite-Hadamard (1) cho hàm lồi liên tục nhưng cho tới nay vẫn
chưa biết ai là ngưòi đầu tiên chứng minh điều này (xem [3], p.139).
Nhận xét rằng điều kiện cần và đủ để một hàm là lồi qua bất đẳng thức HermiteHadamard không đòi hỏi tính khả vi, mà chỉ đòi hỏi tính liên tục của hàm đã cho.
Rất nhiều kết quả khác (mở rộng Định lí 3) liên quan đến đặc trưng hàm lồi thông qua
bất đẳng thức Hermite-Hadamard hoặc các mở rộng của bất đẳng thức này.
Mục đích chính của Luận văn này là trình bày tổng quan về Đặc trưng hàm lồi
qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard.
2. Mục đích và nghiên cứu
Nghiên cứu các đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày chứng minh các đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức dạng HermiteHadamard.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard và ứng dụng để đặc
trưng hàm lồi.
Phạm vi nghiên cứu : Các tài liệu, các sách báo liên quan đặc trưng của hàm lồi qua bất
đẳng thức Hermite-Hadamard.
5. Phương pháp nghiên cứu
-

Thu thập tài liệu, các sách báo về các bất đẳng thức dạng Hermite- Hadamard và
đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các kiến thức về đặc trưng của hàm lồi qua bất
đẳng thức Hermite-Hadamard.

Dỗ Văn Dũng

7

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Cố gắng xây dựng luận văn thành một bản tổng quan tốt về đặc trưng của hàm
lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard.

Chương 1

Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi
1.1Một số đặc trưng hình học của hàm lồi
Định nghĩa 1.1.1 Tập X c M" được gọi là lồi nếu với mọi A G [0; 1] và X\ G X, x 2 G X
có X \ := \xi + (1 — \)x 2 G X.
Nghĩa là, tập lồi X chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó.
Các tập hợp dưới đây:
dom/ := {x G X \ f ( x )
X

R|f { x ) < 7}

lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của /. Ngoài ra với mỗi a G K, ta
gọi tập dưới mức của hàm / (với mức a) là:

c ự-,a) :=

{x G X \ f ( x )

< a} = { x G X|(x,a) G epi/} .

Xét hàm / : X — > K, trong đó X c M" là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.2 Hàm / : X —> R được gọi là lồi nếu epi / là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.3 Hàm / được gọi là chính thường nếu dom/ 0 và f ( x ) > —00 với mọi
X GX.
Nếu / vừa lồi vừa chính thường thì / được gọi là hàm lồi chính thường. Ta có các bổ
đề sau:
Bổ đề 1 .1.1 Nếu / lồi thì domf lồi.
Bổ đề 1.1.2 Nếu / lồi thì C ( f , à ) l ồ i v ớ i m ọ i a G R.

Dỗ Văn Dũng

8

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

Chứng minh. Với mọi x , y G C ( f , a ) ta có (x , a ), (y , a ) G epi/. Vì vậy nếu A G (0,1)
thì (As + (1 — A) y , a ) = A(s, a ) + (1 — A) ( y , a ) G epi/, hay (As + (1 — A) y ,
a ) G epi/. Từ đó X x + (1 — A) y G C ( f , a ), nên C ( f , a ) là tập lồi.
■
Nhận xét 1.1.1 Điều ngược lại không đúng, tức là C ( f , a ) cố thể lồi với mọi a G M
nhưng / có thể không lồi.
Ví dụ 1.1.1. Xét hàm f = X s không phải là hàm lòi vì epi/ không phải là tập lồi, nhưng
C ( f ¡a) = {æ : X s < a} = { x : X < *ựã} là tập lồi vói mọi a G R.

Mệnh đề 1.1.1 ( [2], trang 91) Cho f : X —> (—oo,+oo]. Lúc đố f ỉồi nếu và chỉ nếu
f (AÆ + (1 — A)y) < X f ( x ) + (1 — A)/(y)j

A G (0,1).

(1.1)

Hình 1: Minh họa bất đẳng thức (1.2) vôi X\ = Air + (1 — A)y
Chứng minh. Điều kiện cần được chứng minh tương tự như Bổ đề 1.1.2 nếu đề ý rằng
( x Ị f ( x ) ) ì (y , f ( y ) ) e epi/ vổi mọi X , y e dom/.
Để chứng minh điều kiện đủ ta lấy { x ) ß ) i (y, 7) Gepi/ và 7 G (0,1). Lúc đó
/ (Ax + (1 - X ) y ) < X f ( x ) + (1 - X ) f ( y ) < X ß + ( l - X ) j ,
hay
A(æ, ß ) + (1 - A)(y, 7) = ( X x + (1 - A) y , X ß + (1 - A)7) € epi/.
Vậy epi/ lồi hay / lồi theo Định nghĩa 1.1.2.
Để mỏ rộng (1.2) ta gọi một hàm / là lồi chặt nếu vói mọi X j y Gdom/, X Ỷ
G (0,1) ta có / ( X x + (1 - A)y) < Af ( x ) + (1 - A)/(y).

y

■
và

A

Mệnh đề 1.1.2 (Bất đẳng thức Jensen) C h o Ị : X — > (—oo,+oo]. H à m Ị ỉ ồ i
khi và chì khi

Dỗ Văn Dũng

9

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

Dỗ Văn Dũng

10

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

Áp dụng Bất đẳng thức Jensen cho ra = 2 ta được
/ ^ AtXt j < A/ Q

AtXt j + Afc+i/(£fc+i).

Theo giả thiết quy nạp, vì
Al
Afc A
— 4-----+ — = - = 1
A
A
A

nên

A A

/ ^j

= A <
A

— A i/ (a ; i) + • • • +

Xkf(xk)-

Vậy ta CÓ

/ AtZtj < A/
hay

AtZtj + Afc+i/(a;fc+i)

< A i/ (a q )
(fc+ 1
\

+ . . . + Ak f { x k )
fc+ 1

At®t ) <

i=l

/

+ E +i/ (£ fc+ i)

Xif{xi).

i =l

Vậy khẳng định đúng với ra = fc + 1. Mệnh đề 1.1.2 được chứng minh.
Nhận xét 1.1.2 Thật ra lịch sử của hàm lồi bắt đầu từ rất sớm, trước khi có các kết quả trên
tập lồi. Năm 1889, Holder khẳng định một hàm biến số thực f ( x ) có đạo hàm cấp hai không
âm thì thỏa mãn Bất đẳng thức Jensen. Đến năm 1893, Stolz chứng minh nếu / liên tục trên
đoạn [ữ, ồ] và thỏa mãn

Dỗ Văn Dũng

11

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

<

(gọi là hàm lồi trung điểm) thì / có các đạo hàm
£d

trái, phải tại mọi điểm thuộc khoảng (a , b ). Năm 1905, Jensen cũng chứng minh được bất
đẳng thức Jensen với các hệ số hữu tỉ, cho hàm lồi trung điểm. Từ đây hàm lồi bắt đầu được
chú ý và ngày càng nhiều những bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi được thiết lập, có những
ứng dụng thiết thực trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như giải tích, toán ứng dụng, lí
thuyết xác suất (xem [2], trang 92).
Một hàm / : X —* K, trong đó R = K u {±oo}, được gọi là thuần nhất dương nếu

f ( X x ) = Ằ f ( x ) , V x e X , \ > 0.
Định nghĩa 1.1.4 Tập c c M" được gọi là nón nếu
Aa; G c Va; G c, VA > 0.
Nếu c vừa là nón vừa là tập lồi thì c được gọi là nón lồi.
Mệnh đề 1.1.3 ( [2], trang 40) Tập c C R n là một nón lồi khi và chỉ khi
a) \x G c, VA > 0, Va; G c;
b) Xi + x 2 G c Vĩi,i2 € c.
Chứng minh. Giả sử c là nón lồi. Khi ấy theo định nghĩa của nón ta có Aa; G c VA > 0, Va;
G c. Vậy ta có ý a).
Cho A = - ta có —Xi G c, —X2 G c Va;i, X2 G c do c là tập nón. 2 2 2
Do c là tập lồi nên tồn tại z = -Xị H—x 2 G c Va;i, x 2 G c.
22
Xi + X2 = 2 ^-a;i H—X2^ = 2z G c
Vậy ta có ý b).
Đảo lại, nếu ta có a) thì c là nón. Từ ý a) ta có
x[ = Aa;i G c Va;i G c, A > 0.
Theo ý b) ta có
x' 2 = (1 — A)a; 2 G c x 2 G c 0 < A < 1.

Dỗ Văn Dũng

12

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

Khi đó
\xi + (1 — \)x 2 = x[ + x' 2 G
Vậy

c VO < A < 1.

c là tập lồi.

■

Mệnh đề 1.1.4 (Mệnh đề 4.3, [2], trang 92) Cho hàm thuần nhất dương f :X —> (—00 ,
+oo] với X Ị) K là tập lồi. Ba phát biểu sau là tương đương:
a) f lồi;
b) Ị dưới cộng tính (tức là /(X\ + x 2 ) < f(xi) + f(x2 ) V27 , x 2 £ X).
c) epi f là một nón lồi.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh a=> b=> c. Theo tính chất của hàm lồi và hàm thuần
nhất dương ta có:
(a=> b): f{x 1 + x 2 ) = 2/

< f { x i ) + f { x 2).

(b=> c): Lấy z = (2,7) G epi/, tức là f ( x ) < 7 => Af ( x ) < A7, VA > 0.
Do / là hàm thuần nhất dương nên Af ( x ) = f { X x ) . Vậy ta có f { X x ) =
Af ( x ) < A7 hay (Aa;, A7) G epi/, tức là A( x , y ) G epi/.

Với mỗi z = ( x , 7) ta có X z G epi/, VA > 0. Vậy epi/ là tập nón. Để chứng minh epi/ là
tập nón lồi ta lấy
Z \ = (si,7i) G epi/, z2 = (x2 ,72) € epi/,
tức là
/(ah)<7i>

/ ( ^ 2) < 72-

Theo tính chất dưới cộng tính của hàm /, ta có
f ( x 1 + x 2 ) < /(si) + f ( x 2 ) < 7 1 + 7 2
Vậy (si + x 2 ,71 + 72) G epi/, hay
+ + +! = (2+71) + (£2,72) = (zi + Z2 ,7I + 72) € epi/.

■

Theo mệnh đề 1.1.3, epi/ là tập nón lồi.
1.2Một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi
Trong trường hợp hàm khả vi, ta có một số đặc trưng cơ bản dưới đây.
BỔ đề 1.2.1 Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở X C R n . Nếu f là hàm lồi
trên X và khả vi tại So, thì với X G X, ta có
f(x) - f(x0) > f'{x0)(x - Xo).

Dỗ Văn Dũng

13

(1.2)

K18 Toán Giải Tích

Luận văn thạc
sĩ

Ngược lại, nếu f là một hàm khả vi trên X và thỏa mãn (1.2) với mọi X, X Q G
X thì f là hàm lồi trên X.
Chứng minh. Nếu / là hàm lồi thì với mọi t G (0,1),
f ( x 0 + t ( x - s0)) = /((1 - t)x 0 + tx) < (1 - t ) f ( x 0 ) + t f ( x ) .
Đặt h = X — X Q ta có
f{x0 + th) - f{x0) < t[f{x0 + h)~ f{x0)}.

(1.3)

Trừ f ' ( x o ) ( t h ) vào hai vế của (1.3) rồi chia cho t với chú ý ^ ^ —- = f ' ( x Q ) ( h ) (do
f(x0 + th) - f(x0) - f'(x0)(th)

< f{x0 + h)~ f{x0) - f'(xũ)
(h).

f ' ( x o) là ánh xạ tuyến tính) ta được
Cho t — > 0, vế trái của biểu thức trên dần đến 0, vế phải độc lập với t vẫn không đổi. Ta
suy ra (1.2) đúng.
Ngược lại, giả sử / khả vi và thỏa mãn (1.2) trên X . Với X ị , X 2 & X , t G (0,1), ta đặt
X o = t x 1 + (1 - t ) x 2Ta có t ( x 1 — So) + (1 — t ) ( x 2 — So) = t x 1 + (1 — t ) x 2 — So = So — So = 0. Khi đó
/(s0) = /(s0) + /'(s0 )[í(si - So) + (1 - t ) ( x 2 - So)]
= t [ f ( x 0 ) + f ' ( x o)(si - So)] + (1 - t ) [ f ( x o) + /'(s0 )(s2 - So)].
Bất đẳng thức (1.2) đúng với s = Si và s = s2, vì vậy
/ ( t x 1 + (1 - t ) x 2 ) = f { x o) < t f ( x i) + (1 - t ) f ( x 2).
Điều này chứng tỏ / là hàm lồi trên X .
Định nghĩa 1.2.1 Cho I c R là một khoảng và hàm tp : I —> R. tp được gọi là đơn điệu tăng

trên I nếu X ị > s2 thì tp{x2) Vsi > s2 và Si, s2 G
I thì tp được gọi là tăng ngặt (tăng thực sự).

Dỗ Văn Dũng

14

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

Định nghĩa 1.2.2 Cho X c M" là một tập mở và tp : X G M" được gọi là hàm đơn điệu tăng
nếu
{0, V x , y e X .
Nếu bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt khi X Ỷ y thì W được gọi là đơn điệu tăng
thực sự trên X .
Bổ đề 1 .2.2 N ế u f ( x ) là hàm số khả vi trên khoảng I c R thì f ( x ) là hàm lồi trên
I khi và chỉ khi y>{x) là hàm đơn điệu tăng trên I.
Chứng minh. Giả sử f ( x ) là hàm lồi trên I . khi đó với X \ < X < X 2 { x , X \ , /), ta
có
Xv — X
X — XA
XV — X X — XA
——- > 0, -—— > 0,
x2 - X\
x 2 - X i ——- + -—— = 1,
x2 - Xi x2 - Xi
và do đó

f(x) <
x2 - Xi
x2 - Xi

^ ị x^_^_

)

+

f{x)

<

\x2 - Xi X2-XiJ
f { x ) - f { x i)

<

+

X2-Xi

f{x2) - f{x)

x2 — X

X — X\
Cho X — > X \ ta thu được

ỉ\xi) <

f{x2) - f{x)
x2- X

Cho X —> x 2 ta thu được
f{x 2 ) - f(x)
x2 — X

<
f'{x2).

Suy ra f ' ( x i) < f ' ( x 2) tức f ' ( x ) là hàm đơn điệu tăng. Ngược lại, giả sử f ' ( x ) là hàm
số đơn điệu tăng và X ị < X < x 2 ( x , X ị , x 2 G I ) . Theo Định lý Lagrange, tồn tại
X 3 , X ị với X i < X 3 < X < X ị < x 2 sao cho

i

fMzÆi = f { X 3 ị /(»») -m
f{Xi).
X — X\
x2 — X
Vì f ' ( x ) là hàm đơn điệu tăng nên f ' ( x 3 ) < f ' ( x 4), ta suy ra
f ( x ) - f ( x 1) < f { x 2) - f ( x )
X — Xị ~ x2 — X

Dỗ Văn Dũng

15

K18 Toán Giải Tích

L/(X2)
x2 - Xi


**“* + *“Sl

,x2 - Xị x2 - X\

f(x) <

x2 - X\

i) +

x2 - Xị

2)

. x2 — X . X — X\ .

/(s) < _——/(^l) + - — _ / ( ^ 2) £2 - Xị

Vậy
là hàm
Luận/văn
thạc lồi trên I .

x2 - Xị

sĩ

Hệ quả 1.2.1 Hàm khả vi f ( t ) trên tập mở (a,b) là hàm lồi nếu đạo hàm của nó là
một hàm không giảm trên (a,b).
Hàm f(t) khả vi hai lần trên tập mở (a, h) hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm cấp
hai của nó không âm trên toàn khoảng (a,b).

_d 7 { x i , . . . ,
dx dxj x2)
,
Định lý 1 .2.1 Hàm khả vi trên tập lồi mở X c M", / : X —> K là hàm lồi
của nó xác định không âm, tức là (u , Q x ( u )) với mọi t i G R " .
nếu và chỉ nếu ma trận Hesian Qx := (qij(x)),

Ọij(x) :=

Chứng minh. Hàm số / là lồi trên X nếu và chỉ nếu với mỗi a G X và u e R n thì hàm số
suy ra từ Hệ quả 1.2.1 từ một phép tính đơn giản ip"(t) = (u, Q x ( u )) với X = a + t u .
m
1.3Hàm lồi không khả vi
Như trong mục 1.1 ta đã thấy, một hàm lồi không nhất thiết là liên tục, do đó cũng không
nhất thiết khả vi. Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn cần và đủ để hàm là lồi.
Định lý 1.3.1 Hàm thực f(t ) xác định trên tập mở (ữ, ồ) là lồi nếu và chỉ nếu
nó liên tục trên khoảng (ữ, ồ) và có các đạo hàm trái hữu hạn f'_{t ) : =
f{t + h) - f(t)
f{t + h) - f(t)
và đạo hàm phải hữu hạn f' + (t) := lim
lim

hị 0
h
/iTO
lhĩ
tại mọi điểm t € (ữ, ồ) sao cho f' + (t) không giảm và
ồ.

(1.4)

với mọi a < t\ < t 2 <
Chứng minh, (i) Cho f ( t ) là hàm lồi. Nếu 0 < s < t v ầ t + h < b thì điểm ( t + s , f ( x
s)) là năm dưới đoạn thăng nôi ( X , /(x)) và (í -|- h , f ( t h ) ) ,

Dỗ Văn Dũng

16

K18 Toán Giải Tích


bởi vậy

Luận văn thạc
sĩ

f{t + s) - f{t) < f{t + h)~ f{t) s h
Điều này chỉ ra rằng hàm số h I—> [ f { t + h ) — f (í)]/ h là không tăng khi h ị 0.
Suy ra nó có một giới hạn f ' + { t ) (hữu hạn hoặc = — oo). Tương tự, tồn tại (hữu hạn hoặc =
+oo). Hơn nữa, đặt y = X + s , t = s + r, ta cũng có
f(x + s) - f(x)

<

f{y + r) - f(y) s -

r

Điều đó chỉ ra rằng f' + (x) < f' + (y) với X < y và do đó f' + (x) là không giảm.
Cuối cùng, ta viết lại (1.4) như sau
f{y - s) - f { y )

<

(1.6
)

f{y + r) - f(y)

— s~r
Lấy — s t 0, r ị 0 ta thu được f L { y ) < f'+{y)> điều này chứng minh cho vế trái của
(1.5) và tại cùng một sự hữu hạn của các đạo hàm của chúng. Sự liên tục của f { x ) tại mọi
điểm X G ( a , b ) thì suy ra từ sự tồn tại hữu hạn f ' _ { x ) và f ' + { x ) . Hơn thế nữa, lấy X =
x 1 , y + r = X 2 trong (1.7) và lấy s, T —^ 0 cho ta vế phải của (1.5).
(ii) Nếu f ( x ) là hàm không lồi thực sự, khi đó f ( x ) = 00 tại mọi điểm bên trong tương
đối X của miền thực thụ d o m f . Bây giò ta giả sử rằng hàm / có tất cả các tính chất được đề
cập trong mệnh đề ở trên và lấy a < c < d < b . Xét hàm số:
g{x) = f(x) - f(c) - (x Với mọi X = (1 — A)c + Ad, ta có

d — c

g { x ) = f ( x ) - f ( c ) - A [ f ( d ) - f ( c )]
= f { x ) - [(1 - A)/(c) + f ( d ) ] .
Để chứng minh cho tính lồi của f ( x ) thì ta cần phải chỉ ra rằng g ( x ) < 0 với mọi X E
[ c , d ] . Giả sử điều ngược lại rằng, giá trị lớn nhất của g ( x ) trên đoạn [c, d ] là dương (giá
trị lớn nhất của g ( x ) tồn tại vì g ( x ) là hàm số liên tục).
Lấy e E [c, d ] là điểm mà tại đó hàm số đạt được giá trị cực đại. Lưu ý rằng g ( c ) =
g ( d ) = 0, (do đó c < e < d ) , và từ biểu diễn đó, g ( x ) có cùng tính chất với hàm
f ( x ) , cụ thể là: g ' _ ( x ) , g'+(x) tồn tại với mọi

Dỗ Văn Dũng

17

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

X G ( c , d ) , g'_(x) < g' + (x), g' + (x) là hàm số không giảm và g'_{x l) < g' + {x 2 ) với X 1 <
X2.
Từ g ( e ) > g ( x ) Va: G [c,đ\ ta phải có g'_{è) < 0 < g' + {e), và do đó g'_(e) = g' +
(e) = 0. Mặt khác, g' + (e) là dãy không giảm nên hiển nhiên 9+{e) < g { x ) Va: G [e, d ] .
Nếu g'_{y) > 0 vdi y e [ e , d ] thì g' + (x) < g' + {y) < 0. Suy ra ta cũng có g'{x) = 0 với X
G [e, y), điều đó chỉ ra rằng g ( y ) = g ( e ) > 0. Từ g ( d ) = 0, suy ra phải tồn tại y G ( e , d ]
sao cho g'_ ( y ) > 0. Lấy X 1 G [ y , d ) là điểm mà tại đó hàm <7(a:) đạt được giá trị cực
đại trên đoạn [ y , d ] .
Suy ra, g' + {xi) < 0 với mọi X G [ c , d ] , như đã được chứng minh ở trên. m
Ngoài ra, nếu / là hàm không khả vi, thì có thể sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng
(đạo hàm Dini, dưới vi phân Jacobian suy rộng, đối đạo hàm Mordulkhovich,...) để đặc trưng

hàm lồi (Xem [2]).

Kết luận chương
Chương 1 đã trình bày các đặc trưng cơ bản của hàm lồi. các đặc trưng này chủ yếu
đã được biết đến trong giải tích lồi. Tuy nhiên, để bức tranh về đặc trưng của hàm lồi
qua bất đẳng thức Hermite- Hadamard trình bày trong Chương 2 hài hòa và cân đối
hơn, chúng tôi đã trình bày các đặc trưng này trong Chương 1.

Chương 2

Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức HermiteHadamard
2.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard
Định lý 2.1.1 Nếu Ị : K —> K là hàm lồi trên đoạn [a, b] thì ta có

'O^bị-

/(«) +

1

f{b)

(2.1)

Chứng minh. Do tính lồi của / trên [ữ, b ], ta có
f ( t a + (1 — t ) b ) < t f ( a ) + (1 — t ) f ( b ) với mọi t G [ a , b ] .
Tích phân theo t trên [0,1] ta được

Dỗ Văn Dũng

18

K18 Toán Giải Tích


Luận văn thạc
sĩ

111
11

Từ / tdt =

J

J

f ( t a + (1 — t)b)dt < f ( a )
000

J

tdt + /(ồ)

J (1 — t)dt.

(1 — t)dt = — và đổi biến X = ta + (1 — t)b suy ra

0 0
1

b

Ị f ( t a + (1 — t)b)dt = - ----- [ f ( x ) d x .
J
0

b — a J
a

Ta được bất đẳng thức thứ hai của (2.1), tức là
1
b—a

b

Ị

f{a) + f(b)

f(x)dx <

a

Dỗ Văn Dũng

19

K18 Toán Giải Tích

Do tính lòi của / ta cũng có 2 [/(*« + (1 - t)b)
+ /((1 - t)a + tò)]

^ Ịta + (1 - t)b) + (1 — t)a + tb
Tích phân nó trên [0, 1] theo t ta được
r
>

1

1
1
&

/

- /

f{ta

+(1-

t ) b ) d t + Ị f ( ( l - t ) a + tb)dt

=

—J f(x)dx.
-0
0

J
a

Suy ra ta đã chứng minh được bất đẳng
thức thứ nhất của (2.1):
1

f(x)dx >

Ị

b —
a

j
(^)

H
ì
n


h2
Nhận xét 2.1.1 Bất đẳng thức (2.1) có thể viết
dưói dạng tường đương sau
b
< J f(t)dt < (6 — a)^^a
Nhận xét 2.1.2 về mặt hình học, bất
đẳng thức thứ hai trong (2.2) là khá rõ

ràng. Do tính lồi của hàm f(x), đồ thị
của hàm f ( x ) trên [a, 6] nằm dưói
đoạn thẳng nối hai điểm (a, /(ữ)) và
(òj /(ò)), nên hiển nhiên diện tích hình
thang vuông ABCD lớn hơn diện tích
hình thang cong ABCD, nhưng bất

)+m

(2.2)


đẳng thức thứ nhất trong (2.2) cho ta
một khẳng định khá ngạc nhiên: Diện
tích hình thang cong ABCD bao giò
cũng không nhỏ hơn diện tích hình chữ

L
b\

M
.
.

, fa +

nhật có cạnh là 0 — a và / 1 ----------Nghĩa là, diện tích tam giác cong FAI

.
1.

bao giò cũng không lớn hơn diện tích tam
giác cong IDE trong Hình 2.
Từ bất đẳng thức Hermite-Hadamard ta có
một số hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.1 Nếu g : [a; 6] — > K t ò hàm
khả vi hai lần trên [a; b ] và r a < g"(t) < M
với mọi t G [a; b ] thì
ra.,
Yi ( b ~ a )
ề ( b - a) '
(2 3)
'

b

1
f
( a + b\ M
-b^~aỉ 9 ( t ) d t - 9 [2) -

.
.
M
(
a
+
ò
)2

a

Chứng minh. Đặt /(í) = g ( t ) - jt2.
Ta có f " ( t ) = g " ( t ) - m > 0 (vì ra
< g " { t ) ) . Như vậy / là lồi trên (a, ò).
VỚI

Áp dụng bất đẳng thức (2.1) cho / ta được

Điều này tương đương với

,

a


2
= —-(ữ
— 2 a b + ồ2) = —(ồ — ữ)2. 12 v
v
' 12 '

Chứng minh. Ta có thể chứng minh bằng
cách áp dụng phần thứ hai của bất đẳng thức
Hermite-Hadamard (2.1) với hàm f ( t ) =
g ( t ) — yt2, ta có: /"(í) = g " { t ) — m > 0
g(a) + g(b)
_ m
r
r..

Như vậy ta đã chứng minh được bất
đẳng thức thứ nhất trong (2.4).

(ạ2 + ò2)

=

/(ạ) + f { b )

=

1 a
—
ra 2

2

2 2 2 2 2 *■

+

1 rl»w
. . 1“
.... m
a 2 + ò2
2
y-—Ị—
= ỉ [ỡ(a) + $(&)] - n'■

bỉ)
1 f /r [®w
/ \ m ,1 ,
- 9 * dt
b¡TT7
— /ữ
ỉ)

J

a

1 g{t)dt
a

b

b — Ị g{t)dt

ữ

m ò3 - a3
Y ' 3(6- o)
m a2 + aò + ò2
Y 3

a

a

1
b —
a
với Ví € [a, 6]; vì g " { t ) > m Ví € [a, b].
Chứng tỏ /(í) là hàm lồi.
Điều này tương đương với
Do
ra

~2
ra [3(ữ2

Bất đẳng thức thứ hai trong (2.4)
được chứng minh tương tự.Cụ thể như
sau.
Xét h ( t ) = — t 2 — g ( t ) , Ví €
[a, b]
Ta có h"(t) = M — g"(t) > 0 Ví € [a,
ồ] vì g"(t) < 0, nên h là một hàm lồi.

2
2
2
2
( a 2 + ồ2) a 2 + a b + b 2 g ( a ) +rag ( b( )a 1 + ồ ) ữ + ữồ + ồ 2
~2
3
b —
a

+ ồ2) — 2(ữ2 + a b + ồ2)]

12

- ©7
-


Mặt khác

1 M2

h(a ) + h(b)

2

,.M 2
2 ữ -9{a) + Yb ~9^

™(o 2
+
b 2 )-ị
[9(0)
+ 9(6)]
Theo bất
hai của
có:

h(a ) + h(b) 1

o +
aà
+2
b )
M ía2
+
b2
2
a
+
ab +
b2\

đẳng thức
(2.1), ta

=

Y
V 2

b

Ò~alh(t)dt

3

a

b

/

** y(a2 + ò2) - ị { g { a ) + g { b ) ) > Ị
(yí2 - g{tỷj dt
a
b

«■

g(a) + g ( b ) 1 f . . , M . 2
1 M . , o o.
— ~lYaìs(t)dt + b ) ~ Y a Y ~ a )
M
2
.
M
2
l2

L

2N

=
4

=
—
(a2

— 2
ab
+
ồ2)
—
_
M2

12v '

Hệ quả 2.1.3 B ấ t đẳng thức sau đây đúng với mọi hàm lồi f : [a; ồ] —> M. :

(
ô

N h ư vậy ta đã chứng minh được bất
đẳng thức thứ hai của (2.4).
+ Chứng minh. Thật vậy, (2.5) có thể
& được viết như sau:
)
£
(


b

-3— [ f { t ) d t <
-oi
a

a +
b'

f ( a ) + f ( b ) + 2/

(2.6
)

Do vậy,
q+b

,

0

2

— [ f{x)dx + —2—
f(x)dx b — a J b — a J
7-

2

a

g + i>
2

a + b

1

/(«) +
/

<-2

hay

í

+

2

1

/(&)
+/

a +
b'

b

— [ ỉ{x)dx
<
— ữJ

b

a +
f ( a ) + f ( b ) + 2/ b '

a

Suy ra (2.6) luôn đúng.
Vậy (2.5) được chứng minh.

m

2.2 ứng dụng của bất đẳng thức Hermite-Hadamard trong chứng minh bất đẳng thức
Có thể sử dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard trong chứng minh bất đẳng thức
như trong các ví dụ sau đây chỉ ra. Như vậy, bất đẳng thức Hermite-Hadamard có thể
được coi là một chuyên đề bổ sung cho chương trình ôn tập và chuẩn bị thi Olympic sinh
viên.
Ví dụ 2 .2 .1 . (Hermite, 1883, xem [5], p. 138)
Xét hàm số f ( x ) = —-—, 0 < X < b.
X+1
Ta có:

f'ix)= , ,

1Ì2

,

(z + l ) 2
1
Suy ra f ( x ) là một hàm lồi.

Ta có:
X
dt
1 có:
X
X
Ị f(t)dt = Ị
0 0

1 +1

/"(*)
=
X

= ln ( l + t ) =ln (l +

( x + l)3

> 0 , Vs > 0 .

x ) — ln l =ln (l + x ) .