Ứng dụng đạo hàm của hàm số một biến vào việc giải một số lớp bài toán chương trình trung học phổ thông

-1-

-2-

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O

Cơng trình đư c hoàn thành t i

Đ I H C ĐÀ N NG

Đ I H C ĐÀ N NG

NGUY N TH HOÀNG HI U
Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Nguy n Ng c Châu

NG D NG Đ O HÀM
C A HÀM S
M TS

M T BI N VÀO VI C GI I

L P BÀI TỐN CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG H C PH

Ngư i ph n bi n 1:.......................................................
Ngư i ph n bi n 2:.......................................................

THƠNG

Lu n văn s đư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P

Mã s : 60.46.40

t t nghi p th c sĩ ngành Toán h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày
.... tháng .... năm 2011.

TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C
Có th tìm hi u lu n văn t i:
Đà N ng - Năm 2011

Trung tâm Thông tin – H c li u, Đ i h c Đà N ng
Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m , Đ i h c Đà N ng


-3M

-4-

Đ U

1. Lý do ch n ñ tài:
Đ o hàm c a hàm s là m t trong nh ng n i dung cơ b n c a
gi i tích tốn h c, nó có vai trị quan tr ng khơng nh ng trong tốn
h c mà c nh ng ngành khoa h c khác. Trong chương trình tốn
c p Trung h c ph thơng hi n hành, đ o hàm c a hàm m t bi n
ñư c gi ng d y t năm l p 11. Ph n ng d ng c a ñ o hàm h c
sinh ñư c h c năm h c cu i c p (l p 12), tuy nhiên v i th i
lư ng không nhi u và ch m t m c ñ nh t ñ nh.
N u không n m v ng khái ni m ñ o hàm và nh ng ng d ng
c a nó thì h c sinh ph thơng s khó khăn đ h c t t mơn Tốn
cũng như m t s mơn h c khác. Đ ng th i ñ o hàm là m t ph n

ki n th c không th thi u trong các ñ thi tuy n sinh Đ i h c – Cao
ñ ng, ñ thi h c sinh gi i c p qu c gia, qu c t .
Nh m m c đích tìm hi u và h th ng các ng d ng c a đ o
hàm trong chương trình Trung h c ph thơng, tơi ch n đ
tài ‘‘ ng d ng ñ o hàm c a hàm s m t bi n vào vi c gi i m t
s l p bài tốn thu c chương trình Trung h c ph thơng’’ cho
lu n văn c a mình.
2. M c đích nghiên c u
- Tìm hi u, nghiên c u các ki n th c v ñ o hàm c a hàm
m t bi n và nh ng ng d ng c a nó.
- H th ng và phân lo i m t s l p bài toán thu c chương
trình Trung h c ph thơng có th gi i ñư c nh các ng d ng c a
đ o hàm.
- Đưa ra qui trình, đ nh hư ng vi c ng d ng ñ o hàm vào
vi c gi i toán.
3. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u
- Chương trình tốn Trung h c ph thơng.
- Các ng d ng c a đ o hàm hàm s m t bi n trong chương
trình Trung h c ph thơng.
- L p các bài tốn có th gi i đư c b ng phương pháp ñ o
hàm.

4. Phương pháp nghiên c u
- Nghiên c u lý thuy t trong các tài li u v ñ o hàm như:
sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham kh o, t p chí tốn h c,
các tài li u khác t internet...
- Nghiên c u th c t thông qua vi c gi ng d y, rút kinh
nghi m, k t h p v i các ki n th c đã đ t đư c trong q trình thu
th p thơng tin đ h th ng và đưa ra các d ng tốn c th gi i đư c
b ng phương pháp ñ o hàm.

- Trao ñ i, th o lu n v i th y hư ng d n lu n văn.
5. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a ñ tài
N u hoàn thi n t t h th ng các ki n th c và khai thác ñư c
các ng d ng c a ñ o hàm trong vi c gi i toán s giúp cho h c
sinh kh c sâu các ki n th c v ñ o hàm, ñ ng th i có th ch đ ng,
linh ho t v n d ng các ng d ng c a ñ o hàm ñ gi i nh ng bài
toán sơ c p.
6. B c c lu n văn
N i dung lu n văn ñư c c u trúc như sau:
M ñ u
Chương 1 - Đ o hàm c a hàm s m t bi n
Chương 2 - ng d ng c a đ o hàm trong chương trình Trung
h c ph thông
K t lu n


-5-

-6-

CHƯƠNG 1 - Đ O HÀM C A HÀM S M T BI N
Chương này trình bày sơ lư c các ki n th c cơ s v ñ o
hàm c a hàm s m t bi n ñ làm ti n đ cho chương sau.

∆y
có gi i h n thì tan β cũng có gi i h n đó.
∆x
Như v y β d n đ n m t góc xác ñ nh mà ta g i là α , nghĩa
là cát tuy n MN d n ñ n m t v trí gi i h n Mt t o v i chi u
∆y

dương c a Ox m t góc α . V y tan α = lim
.
∆ x → 0 ∆x
Theo đ nh nghĩa đ o hàm ta có: tanα = f ' ( x0 ) .
Cho hàm s y = f(x) có đ th (C) và có đ o hàm t i x 0 . Khi
đó ta có:
Đ nh lý 1: Đ o hàm f ' ( x ) c a hàm s f(x) t i x 0 b ng h s góc
c a ti p tuy n v i ñ th (C) t i M 0 ( x 0 , f( x 0 )).
Đ nh lý 2: Phương trình ti p tuy n c a hàm s y = f(x) có đ th
′
(C) t i đi m M 0 ( x0 , y0 ) là: y − y0 = f (x0 ).(x− x0 )
1.5.2. Ý nghĩa v t lý c a đ o hàm
1.5.2.1. Bài tốn v n t c t c th i
Xét s chuy n ñ ng th ng c a m t ch t ñi m. Gi s quãng
ñư ng s ñi ñư c c a nó là m t hàm s s = s(t) c a th i gian t
(s = s(t) còn g i là phương trình chuy n đ ng c a ch t ñi m).
Trong kho ng th i gian t t 0 ñ n t, ch t ñi m ñi ñư c quãng

1.1. Đ NH NGHĨA Đ O HÀM T I M T ĐI M
1.2. Đ NH NGHĨA Đ O HÀM TRÊN M T KHO NG, ĐO N
1.3. Đ O HÀM C P CAO
1.4. TÍNH ĐƠN ĐI U C A HÀM S
1.5. Ý NGHĨA HÌNH H C VÀ V T LÍ C A Đ O HÀM
1.5.1. Ý nghĩa hình h c c a ñ o hàm
Xét m t ñư ng cong (C) là ñ th c a hàm s y = f(x), ñi m
M c ñ nh trên (C) và m t cát tuy n di ñ ng MN.
N u khi N di chuy n trên (C) ñ n ñi m M mà cát tuy n MN
d n ñ n m t v trí gi i h n Mt thì đư ng th ng Mt đư c g i là ti p
tuy n c a ñư ng cong (C) t i ñi m M. Đi m M ñư c g i là ti p
ñi m.

G i M ( x0 ; f ( x 0 )) và ñi m N ( x0 + ∆x; f ( x0 + ∆x)) . H s góc
c a cát tuy n MN là: tan β =

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆x

=

∆y
∆x

.

Cho N d n ñ n M trên (C), lúc đó ∆x → 0 (hình 1.1).

đư ng là: s −s0 = s(t) −s(t0 )
N u ch t ñi m chuy n đ ng đ u thì t s : c là m t h ng s
v i m i t. Đó chính là v n t c c a chuy n ñ ng t i m i th i ñi m .
N u ch t ñi m chuy n ñ ng khơng đ u thì t s trên là v n
t c trung bình c a chuy n đ ng trong kho ng th i gian t − t 0 .

y
f ( x 0 + ∆x )

N
β

M

f(xo)

t

α

β

O

x0

x o + ∆x

N ut s

x

Khi t càng g n to, t c là t − t 0 càng nh thì v n t c trung
bình càng th hi n đư c chính xác hơn m c ñ nhanh ch m c a
chuy n ñ ng t i th i ñi m t0.
s(t) − s(t0 )
(n u có) là
t→t0
t − t0

Ngư i ta g i gi i h n h u h n: v(t0 ) = lim

v n t c t c th i c a chuy n ñ ng t i th i ñi m t 0 .
Hình 1.1: Minh h a cho ti p tuy n

-7-

-8-

V y v n t c t c th i v(t 0 ) t i th i ñi m t 0 (v n t c t i t 0 ) c a
m t chuy n đ ng có phương trình s = s(t) b ng ñ o hàm c a hàm
s s = s(t) t i ñi m t 0 , t c là : v(t 0 ) = s' (t 0 ) .
1.5.2.2. Bài toán gia t c t c th i
Cho phương trình chuy n đ ng th ng: s = s(t), gi thuy t s(t)
có đ o hàm c p hai.
Ta ñã bi t, v n t c t c th i th i ñi m t c a chuy n ñ ng là:
v(t)= s’(t)
Cho t m t s gia ∆t thì v(t) có s gia tương ng là ∆v .
∆v
ñư c g i là gia t c trung bình c a chuy n đ ng
T s
∆t
trong kho ng th i gian ∆t .
∆v
Gi i h n n u có c a t s
khi ∆t → 0 ñư c g i là gia t c
∆t
t c th i t i th i ñi m t c a chuy n đ ng, kí hi u là γ (t ) .
∆v
Ta có: γ ( t ) = lim
= v ' ( t ) , nhưng v’(t)= s”(t).
∆t → 0 ∆ t
V y: “ Gia t c t c th i t i th i ñi m t c a chuy n ñ ng là :
γ (t ) = s" (t ) ”.

1.5.2.3. Bài tốn cư ng đ t c th i
Đi n lư ng Q truy n trong dây d n là m t hàm s c a th i
gian t: Q = Q (t )
Cư ng ñ trung bình c a dịng đi n trong kho ng th i gian

V y cư ng ñ t c th i I (t 0 ) c a dịng đi n t i th i ñi m t 0
(v n t c t i t 0 ) b ng ñ o hàm c a hàm s Q = Q (t ) t i ñi m t 0 ,
t c là : I (t 0 ) = Q' (t 0 )

t − t 0 là :

I tb =

Q(t ) − Q(t0 )
t − t0

N u t − t 0 càng nh thì t s này càng bi u th chính xác
hơn cư ng ñ dòng ñi n t i th i ñi m to. Ngư i ta g i gi i h n h u
Q (t ) − Q (t 0 )
h n: I (t 0 ) = lim
(n u có) là cư ng ñ t c th i c a
t →t0
t − t0
dịng đi n t i th i đi m t 0 .

1.6. Ý NGHĨA C A Đ O HÀM TRONG KINH T
Cho hàm s y = f(x) v i x, y là các bi n kinh t , trong đó x là
bi n ñ c l p hay bi n ñ u vào; y là bi n ph thu c hay bi n ñ u ra.
Trong qu n tr kinh doanh, ngư i ta hay quan tâm ñ n xu
hư ng thay ñ i c a y khi x thay ñ i m t lư ng nh .

V i ñ nh nghĩa ñ o hàm c a hàm m t bi n, ta có:
f ' ( x 0 ) = lim

∆x → 0

Khi ∆x đ nh ta có th vi t :

∆y
∆x

∆y f ( xo + ∆x) − f ( x0 )
=
≈ f ' ( x0 )
∆x
∆x
⇔ ∆y = f ( xo + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ' ( x0 ).∆x .

Khi ∆x = 1 ⇒ ∆y ≈ f ' ( x0 )
V y ñ o hàm bi u di n x p x lư ng thay ñ i c a bi n s y
khi bi n s x tăng thêm m t ñơn v . V i quan h hàm y = f(x) đ
mơ t s thay ñ i c a bi n kinh t y, khi bi n kinh t x thay ñ i,
g i f ' ( x0 ) là giá tr biên t y t i x0 (còn g i là biên t )
V i m i hàm kinh t biên t có m t tên g i riêng, ch ng h n:
dTR
Hàm doanh thu: TR = p.Q thì
(trong đó p là giá bán
dQ
m t s n ph m, Q là s lư ng hàng bán ñư c) ñư c g i là doanh thu
biên t .
Hàm chi phí: TC = f ( x) thì

dTC df
, (v i x là s n lư ng)
=
dx
dx

đư c g i là chi phí biên t .
Hàm s n xu t Q = f(L), (v i L là s
dQ df
ñư c g i là s n lư ng biên t .
=
dL dL

lao đ ng)

thì


-9-

- 10 -

1.7. B NG Đ O HÀM CÁC HÀM S
1. (C)’ = 0. (C = const)

SƠ C P

13. ( u )' =

2. (x)’ = 1, v i m i x
′
3. ( x ) =

1
2 x

, ∀x > 0

4. (xn)’ = n.xn – 1
5. (

u'
2 u

,

ñk: u > 0
14. ( u α )’ = α .u ' u α −1
1
u'
15. ( )' = − 2 , ∀u ≠ 0
u
u

1
1
)' = − 2 , ∀x ≠ 0
x
x

16. (sinu)’ = u’.cosu

6. (sinx)’ = cosx

17. (cosu)’ = - u’.sinu

7. (cosx)’ = - sinx

18. (tan u )' =

1
= 1 + tan 2 x
2
( cos x)

8. ( tan x) ' =
9. ( cot x)' =

−1
= −(1 + cot2 x)
2
( sin x)

10. (ln x ) ' =

1
, x≠ 0
x
1

,
x ln a

và a ≠ 1, x ≠ 0

19. (cot u )' =

( )

20. ln u ' =

− u'
(sin u ) 2

u'
, u≠ 0
u

21. (au)’ = u’.au lna

11. (ax)’ = ax lna
12. (log a x )' =

u'
,
(cos u ) 2

22. (log a u )' =
v i a>0

1
,
u ' ln a

u ≠ 0, a > 0 và a ≠ 1

CHƯƠNG 2 NG D NG Đ O HÀM TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TRUNG H C PH THÔNG
Chương này là n i dung chính c a lu n văn, trình bày nh ng
ng d ng c a ñ o hàm hàm s m t bi n trong chương trình trung
h c ph thơng.
2.1. M T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N KH O SÁT
HÀM S
2.1.1. Ti p tuy n c a ñư ng cong
Các bài tốn l p phương trình ti p tuy n c a m t ñư ng cong
thư ng g p 3 d ng sau:
1. Ti p tuy n t i m t ñi m thu c ñư ng cong.
2. Ti p tuy n ñi qua m t ñi m cho trư c.
3. Ti p tuy n có h s góc cho trư c
Lưu ý: Gi s hai đư ng th ng d1 , d2 l n lư t có h s góc là k1,
k2 khi đó:
- N u d1 vng góc v i d2 khi và ch khi k1. k2 = - 1
- N u d1 song song v i d2 thì k1 = k2
Ta xét bài tốn t ng quát sau: Cho hàm s y = f(x) có đ th
(C) và có đ o hàm trong mi n xác đ nh c a nó. Vi t phương trình
ti p tuy n d c a (C), bi t r ng:
a. d ti p xúc v i (C) t i M ( x0 ; f ( x0 ))
b. d ñi qua A( x A ; y A )
c. d có h s góc k cho trư c
Hư ng gi i:

a. Tính f’(x0). Phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) t i
M ( x0 ; f ( x0 )) có d ng: y − y0 = f '(x0 )(x − x0 ), v i y0 = f (x0 )
b. G i d là ñư ng th ng b t kỳ ñi qua A(xA ; yA) và có h s
góc k, khi đó phương trình c a d là: y = k(x- xA ) + y A
Đi u ki n ñ ñư ng th ng d ti p xúc (C) là h phương trình:
 f (x) = k(x − xA ) + yA
ph i có nghi m (nghi m ( x A ; k ) c a h chính

 f ' (x) = k
là hồnh đ ti p đi m và h s góc k c a ti p tuy n)


- 11 -

- 12 -

c. Gi i phương trình f’(x) = k . Các nghi m c a phương trình
này (n u có) là hồnh đ các ti p đi m. Gi s x o là m t nghi m
c a phương trình f’(x) = k và yo = f (xo) . Khi đó phương trình ti p
tuy n có h s góc k, t i đi m có t a ñ (xo ; f (xo)) là:
y – y0 = f’(x0)(x – x0).
Ví d :
Cho hàm s y = x3 + 3x2 có đ th (C). Tìm t t c các đi m
trên tr c hồnh mà t đó k ñư c ñúng ba ti p tuy n ñ n ñ th
(C), trong ñó có hai ti p tuy n vng góc v i nhau.
Gi i:
T p xác đ nh c a hàm s : D = R. Ta có:
y = x 3 + 3x 2 ⇒ y ' = 3x 2 + 6 x .
G i M (a ; 0 ) ∈ Ox , ñư ng th ng (d) qua M và có h s góc k
có phương trình là: y = k( x - a).

 x 3 + 3x 2 = k (x − a )
có
Đ (d) ti p xúc (C) thì h phương trình ⇔ 
 2
3 x + 6 x = k


nghi m .
Suy ra:
x 3 + 3x 2 = (3x 2 + 6 x)( x − a) ⇔ 2x 3 − 3(a − 1) x 2 − 6ax = 0
x = 0
⇔ x 2x2 − 3(a −1) x − 6a = 0 ⇔  2
(2.1)
2x − 3(a −1) x − 6a = 0
V i x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ phương trình ti p tuy n là y = 0.
Đ t M k ñư c 3 ti p tuy n ñ n (C) trong đó có 2 ti p
tuy n vng góc v i nhau thì phương trình (2.1) có 2 nghi m phân
bi t x1 , x 2 ≠ 0 và k1 k 2 = − 1 , đi u này có nghĩa là:

[

]

a ≠ 0

∆ > 0
( 3x2 + 6 x )(3x2 + 6 x ) = −1
1
2

2
 1

a ≠ 0

⇔ 9( a − 1) 2 + 48a > 0

2
9( x1 x 2 ) + 18 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) + 36 x1 x 2 = −1

(2.2)

3( a − 1 )
2
−1
−1


a < −3 ∨ a > 3
a < −3 ∨ a > 3


(2.2) ⇔ a ≠ 0
⇔ a ≠ 0
81a 2 − 81a(a −1) −108a +1 = 0
1 − 27a = 0





1
⇔ a=
27
1
V y ch có 1 ñi m M ( , 0) ∈ Ox tho ñi u ki n bài toán.
27
2.1.2. C c tr c a hàm s
Gi s hàm s f(x) xác ñ nh trên t p h p D (D ⊂ R ) và
x 0 ∈ D . Khi đó x 0 đư c g i là m t ñi m c c ñ i (tương ng c c
ti u) c a hàm s f(x) n u t n t i m t kho ng ( a ; b ) ch a
ñi m x 0 sao cho (a ; b ) ⊂ D và f ( x) < f ( x0 ) (tương ng

Theo cơng th c Viet thì x1x2 = - 3a và x1 + x2 =

f ( x ) > f ( x0 ) ) v i m i x ∈ (a ; b ) \ {x0 }. Khi đó f ( x0 ) ñư c g i là

giá tr c c ñ i c a hàm s ( tương ng giá tr c c ti u c a hàm s ).
Đi m c c ñ i, ñi m c c ti u ñư c g i chung là ñi m c c tr .
Giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u ñư c g i chung là giá tr c c
tr c a hàm s .
Đ nh lí 1 (Đi u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr ): Gi s hàm s
f(x) ñ t c c tr t i ñi m x0. Khi ñó, n u f(x) có ñ o hàm t i x0 thì
f ' ( x0 ) = 0 .
Đ nh lí 2 (Đi u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr ): Gi s hàm s f(x)
liên t c trên kho ng (a ; b)) ch a x0 và có đ o hàm trên các kho ng
(a ; x0) và (x0 ; b). Khi đó:


- 13 a. N u f ' ( x0 ) < 0 , ∀x ∈ (a ; x 0 ) và
hàm s

- 14 f ' ( x0 ) > 0 , ∀x∈ ( x 0 ; b ) thì

f(x) đ t c c ti u t i ñi m x0.

b. N u f ' (x0 ) > 0, ∀x∈ (a ; x0 ) và f '(x0 ) < 0, ∀x∈( x0 ; b) thì hàm s
f(x) đ t c c ñ i t i ñi m x0.
Đ nh lí 3: Gi s hàm s f(x) có đ o hàm c p m t trên kho ng
(a ; b) ch a ñi m x0 , f ' ( x0 ) = 0 và f(x) có đ o hàm c p hai khác 0
t i x0 .
a. N u f " ( x 0 ) < 0 thì hàm s f(x) đ t c c ñ i t i ñi m x0 .
b. N u f " ( x 0 ) > 0 thì hàm s f(x) đ t c c ti u t i đi m x0 .
Các bài tốn liên quan ñ n c c tr hàm s thư ng g p là: tìm
c c tr c a hàm s ; tìm đi u ki n đ hàm s có c c tr ; vi t phương
trình đư ng th ng ñi qua các ñi m c c tr c a hàm s ,…
Phương pháp chung:
Đ tìm c c tr c a hàm s y = f(x), ta có th dùng ñ o hàm
c p m t ho c ñ o hàm c p hai:
a. Dùng ñ o hàm c p m t: Ta th c hi n như sau:
- Tìm t p xác đ nh D c a hàm s ;
- Tìm đ o hàm y’ = f’(x);
- L p b ng bi n thiên, d a vào b ng bi n thiên ñ k t lu n.
b. Dùng ñ o hàm c p hai (ñ i v i các hàm s có đ o hàm c p hai):
Ta th c hi n như sau:
- Tìm t p xác ñ nh D c a hàm s ;
- Tìm ñ o hàm y ' = f ' ( x) và y " = f "( x) ;

-

Tìm các đi m x0 ∈ D mà f ' ( x 0 ) = 0 . N u f " ( x0 ) < 0 (tương

ng f " ( x0 ) > 0 ) thì x 0 là đi m c c đ i (tương ng x0 là ñi m

c c ti u). N u f " ( x0 ) = 0 thì chưa có k t lu n tính c c tr c a x 0 .
Ví d : Cho hàm s y = 2 x 3 + 3(m - 3) x 2 + 11- 3m có đ th ( Cm ).
a. Tìm m đ hàm s có hai c c tr .

b. G i M 1 và M 2 là các ñi m c c tr , tìm m ñ các ñi m M 1 ,
M 2 và ñi m B (0; -1) th ng hàng.
Gi i:
a. Tìm m đ hàm s có hai c c tr
T p xác đ nh c a hàm s là D = R
2
y = 2 x 3 + 3( m − 3) x 2 + 11 − 3m ⇒ y ' = 6 x + 6( m − 3) x

x = 0
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6( m − 3) x = 0 ⇔ 
x = 3 − m
Hàm s có 2 c c tr ⇔ phương trình y’ = 0 có 2 nghi m
phân bi t ⇔ m − 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 .
V y ñ hàm s có hai c c tr thì m ≠ 3
b. Tìm m đ 2 đi m c c tr M1, M2 và B (0; -1) th ng hàng.
Chia f(x) cho f ' ( x ) , ta ñư c:
m −3
1
2
f ( x ) = f ' ( x ) x +
 − (m − 3) x + 11 − 3m
3
6 


Suy ra phương trình đư ng th ng M1M2 là:
2
y = − (m − 3) x + 11 − 3m
Ba ñi m M1, M2, B th ng hàng ⇔ B ∈ M1M2
⇔ -1 = 11 - 3m ⇔ m = 4, th a ñi u ki n m ≠ 3.
V y khi m = 4 ba ñi m M1, M2, B th ng hàng

2.2. TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T C A
HÀM S
2.2.1. Đ nh nghĩa
Gi s hàm s f(x) xác ñ nh trên t p h p D (D ⊂ R )
a. N u t n t i m t ñi m x0 ∈D sao cho f ( x) ≤ f ( x0 ) , ∀x ∈ D thì
s M = f ( x0 ) ñư c g i là giá tr l n nh t c a hàm s f(x) trên
D, và ký hi u M = max f ( x )
x∈D
b. N u t n t i m t ñi m x0 ∈ D sao cho f ( x) ≥ f ( x 0 ) , ∀x ∈ D


- 15 -

- 16 -

thì s m = f ( x0 ) ñư c g i là giá tr nh nh t c a hàm s f(x) trên
D, và ký hi u m = min f ( x) .

- Tính các giá tr f(a), f(b), f( x i ) ( i= 1,2...)
- S l n nh t M và s nh nh t m trong các giá tr trên l n lư t là
giá tr l n nh t; giá tr nh nh t c a hàm s trên [a ; b].
2.2.4. Ví d
Cho m t t m nhơm hình vuông c nh a. Ngư i ta c t 4 góc

4 hình vng b ng nhau r i g p t m nhơm l i đ có m t cái h p
khơng n p. Tính c nh c a các hình vng b c t sao cho th tích
c a kh i h p là l n nh t.
Gi i: G i x là ñ dài c nh c a hình vng b c t, đi u ki n
a
02
a
Th tích kh i h p là: V(x) = x(a-2x)2 , (0 < x < ). Ta ph i
2

x∈D

2.2.2. Nh n xét
a. M i hàm s liên t c trên m t đo n đ u có giá tr l n nh t, giá
tr nh nh t trên đo n đó;
b. Hàm s liên t c trên m t kho ng có th khơng có giá tr l n
nh t; giá tr nh nh t trên kho ng đó.
c. N u ñ o hàm f’(x) gi nguyên d u trên ño n [a ; b] thì hàm s
đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên c ño n. Do đó, hàm s f(x) đ t
giá tr l n nh t, giá tr nh nh t t i các ñ u mút c a ño n;
d. Gi s trên [a ; b] hàm s f’(x) ch có m t s h u h n các ñi m
x (x < x
) mà t i đó f ' ( xi ) b ng 0 ho c khơng xác đ nh thì
i

i

i +1

y = f(x) ñơn ñi u trên m i kho ng ( x ; x
) . Khi đó giá
i
i +1
tr l n nh t ( tương ng giá tr nh nh t ) c a hàm s trên ño n
[a ; b] là s l n nh t ( tương ng s nh nh t) trong các giá tr c a
hàm s t i hai ñ u mút a, b và t i các đi m xi nói trên.
2.2.3. Phương pháp tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t
2.2.3.1. Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s trên m t
kho ng
Đ tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t hàm s liên
t c trên m t kho ng, ta l p b ng bi n thiên c a hàm s trên kho ng
đó r i d a vào b ng bi n thiên ñ k t lu n.
2.2.3.2. Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s trên m t
đo n
Đ tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t hàm s liên
t c trên m t ño n, ta có th th c hi n m t trong hai cách sau:
a. L p b ng bi n thiên c a hàm s trên đo n đó r i d a vào b ng
bi n thiên ñ k t lu n.
b. Th c hi n theo quy t c sau:
- Tìm các đi m x i (i= 1, 2 ...) thu c (a ; b) mà t i ñó hàm s f(x)
có ñ o hàm b ng 0 ho c khơng có đ o hàm;
hàm s

a
tìm x 0 ∈ (0 ; ) sao cho V ( x0 ) có giá tr l n nh t.
2

2
Xét hàm s V ( x ) = x (a − 2 x ) , v i x ∈ (0; ) .

a
2

Suy ra: V ' ( x) = 12x 2 − 8ax + a 2 = 0
a
a
V ' ( x) = 0 ⇔ x = , x = (lo i).
6
2
L p b ng bi n thiên:
x

0

V’(x)

+

V(x)
0

a
6
0
2a 3
27

a
2

-

0
a
2

T b ng bi n thiên trên ta th y trong kho ng (0 ; ) hàm s
có m t ñi m c c tr duy nh t là ñi m c c ñ i x = a , nên t i đó
6


- 17 -

- 18 -

3
V(x) có giá tr l n nh t max V ( x) = 2a .
(0 ;

a
)
2

27

V y đ kh i h p có th tích l n nh t thì ph i c t hình vng
có c nh a .
6

2.3. GI I PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH, B T
PHƯƠNG TRÌNH
2.3.1. Nh n xét
M t s l p phương trình, h phương trình và b t phương
trình có th gi i đư c b ng cách d a vào tính đơn đi u, tính có đ o
hàm c a hàm s . Sau ñây là nh ng tính ch t thư ng đư c dùng đ
gi i phương trình, h phương trình và b t phương trình.
Tính ch t 1: N u hàm s y = f(x) ñơn ñi u và liên t c trên D thì
s nghi m c a phương trình f(x) = 0 trên D không nhi u hơn m t
và f(x) = f(y) ⇔ x = y , ∀ x, y ∈ D .
Tính ch t 2: N u hàm s y = f(x) ñ ng bi n ( tương ng ngh ch
bi n) và hàm s y = g(x) ngh ch bi n (tương ng ñ ng bi n) và liên
t c trên D thì s nghi m trên D c a phương trình f(x) = g(x)
khơng nhi u hơn m t.
Tính ch t 3: Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm ñ n c p n và phương
trình f ( k ) ( x) = 0 có m nghi m, khi đó phương trình f ( k −1) ( x) = 0
có nhi u nh t là m+1 nghi m.
2.3.2. Ví d
Gi i phương trình 3 x = 1 + x + log 3 (1 + 2 x)
Gi i:
1
Đi u ki n: x > − . Phương trình ñã cho tương ñương v i:
2

3 x + x = 1 + 2 x + log 3 (1 + 2 x)
⇔ 3 x + log 3 3 x = 1 + 2 x + log 3 (1 + 2 x)
(2.4)
Xét hàm s f (t ) = t + log 3 t . Ta có hàm s f(t) là hàm s
đ ng bi n trong ( 0 ; + ∞)

(2.4) ⇔ f (3 x ) = f (1 + 2 x) ⇔ 3 x = 1 + 2 x ⇔ 3 x − 2 x − 1 = 0
Xét hàm s : f ( x) = 3 x − 2 x − 1
⇒ f'(x) = 3 x ln 3 − 2 ⇒ f ' ' ( x ) = 3 x ln 2 3 > 0
Suy ra hàm s f(x) có nhi u nh t là hai nghi m.
Mà f(0) = f(1) nên phương trình đã cho có hai nghi m x = 0
và x = 1.

2.4. CH NG MINH B T Đ NG TH C
2.4.1. Phương pháp chung
Cơ s c a phương pháp s d ng ñ o hàm ñ ch ng minh b t
ñ ng th c là v n d ng tính đơn đi u c a hàm s , c th :
Xét hàm s f(x) có đ o hàm trên ño n [a; b] .
a. N u f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì hàm s f(x) đ ng bi n trên [a; b]
suy ra f (a ) ≤ f ( x) ≤ f (b)
b. N u f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b ] thì hàm s f(x) ngh ch bi n trên
[a; b] suy ra f (b) ≤ f ( x ) ≤ f (a )
2.4.2. Ví d
Ch ng minh r ng: e x−1 ≥ x, ∀x ∈ R . D u b ng x y ra khi và
ch khi x = 1.
Gi i:
Xét hàm s f(x) = ex – 1 – x trên R. Ta có:
f ' ( x) = e x−1 − 1 , ∀x ∈ R .
Phương trình f’(x) = 0 ⇔ ex – 1 – 1 = 0 ⇔ x = 1. T tính ch t
c a hàm s mũ suy ra: f’(x) > 0 khi x > 1, f’(x) < 0 khi x <1.
Ta có b ng bi n thiên:
x
-∞
1
+∞
f’(x)

0
+
f(x) + ∞
+∞
f(1)=0


- 19 -

- 20 -

T b ng bi n thiên, ta th y f ( x) > 0, ∀x ∈ R , x ≠ 1 và
f ( x) = 0 ⇔ x = 1 , nghĩa là: e x − 1 ≥ x, x ∈ R , d u b ng x y ra khi
và ch khi x = 1.
V y bài tốn đã đư c ch ng minh.

⇒ AM , AB = ( −2t − 2; − 2t − 1; 2t + 2)
V y:
1
1
S ∆AMB = AM , AB =
(2t + 2)2 + (2t + 1)2 + (2t + 2)2
2
2
1
=
12t 2 + 20t + 9
2
Xét hàm s : f (t ) = 12t 2 + 20t + 9 > 0 .
5

Ta có: f ' (t ) = 24t + 20, f'(t) = 0 ⇔ t = - , hàm s này có
6
đ th là m t parabol có b lõm quay lên. Do đó f(t) có giá tr nh
5
1 2 3
nh t khi t = − khi đó M  ;− ;−  .
6
6 3 2
1 2 3
V y ñ di n tích tam giác AMB nh nh t thì M  ;− ;−  .
6 3 2
2.6. GI I CÁC BÀI TOÁN LƯ NG GIÁC
2.6.1. Phương pháp chung
- Bi n ñ i bi u th c lư ng giác v d ng m t bi u th c c a
cùng m t hàm s lư ng giác (ho c m t nhóm hàm lư ng giác) và
theo cùng m t cung (ho c m t góc ).
- Đ t n ph , tìm mi n giá tr c a n ph . Chuy n hàm ñã
cho v hàm ñơn gi n hơn.
- S d ng ñ o hàm và các tính ch t liên quan đ n hàm m t
bi n đ gi i.
2.6.2. Ví d
Cho hàm s : f ( x) = cos2 2x + 2(sin x + cos x) 3 − 3sin 2x + m .
Tùy theo giá tr c a m, tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a f(x).
T đó tìm m sao cho: ( f ( x) )2 ≤ 36, ∀x ∈ R .
Gi i:
Ta có:
f ( x) = cos2 2 x + 2(sin x + cos x)3 − 3 sin 2 x + m
= 1 − sin 2 2 x + 2(sin x + cos x) 3 − 3 sin 2 x + m

2.5. GI I CÁC BÀI TỐN HÌNH H C

2.5.1. Phương pháp chung
Các bài tốn c c tr trong hình h c thư ng g p là: xác ñ nh
t a ñ c a m t đi m, l p phương trình c a m t ñư ng th ng hay
m t m t ph ng đ m t bi u th c hình h c nào đó đ t giá tr l n
nh t hay nh nh t. Thông thư ng khi g p d ng toán này ta gi i
theo phương pháp sau:
Đ t m t ñ i lư ng thay ñ i nào đó b ng bi n t (lưu ý ñ n mi n
xác ñ nh c a bi n t), chuy n bài toán v vi c kh o sát hàm m t
bi n t, sau đó v n d ng ñ o hàm cũng như các ki n th c liên quan
ñ n hàm m t bi n ñ gi i quy t.
2.5.2. Ví d
x + y − z − 1 = 0
và hai
Cho ñư ng th ng ∆ có phương trình: 
2 x − y − 1 = 0
đi m A(2; -1; 1); B(1; -1; 0). Tìm ñi m M thu c ñư ng th ng ∆ ñ
di n tích tam giác AMB ñ t giá tr nh nh t.
Gi i:
Xét c p vectơ pháp tuy n c a hai m t ph ng xác ñ nh ñư ng
th ng ∆ là n1 (1;1;−1) và n2 (2; − 1; 0) , ñư ng th ng ∆ ñi qua

[

]

N(1; 1; 1) và có vectơ ch phương u = n1 , n 2 = (−1;−2 ;−3) hay

u = ( 1; 2 ; 3 ) nên phương trình tham s c a ñư ng th ng ∆ là :

x = 1 + t


 y = 1 + 2t
 z = 1 + 3t

G i M(1+t; 1+2t; 1+3t) là ñi m thu c đư ng th ng ∆.
Ta có: AM (t − 1; 2t + 2; 3t ), AB(−1; 0; − 1)

[

]

[

]


- 21 -

- 22 -

Đ t: t = sin x + cos x , − 2 ≤ t ≤ 2 .
Khi đó: t 2 = 1+ sin2x ⇒sin2x = t 2 −1
Lúc này f(x) tr thành:
g (t ) = 1 − (t 2 − 1) 2 + 2t 3 − 3(t 2 − 1) + m

= −t 4 + 2t 3 − t 2 + 3 + m

⇒ g ' (t ) = − 4t 3 + 6t 2 − 2t = − 2t ( 2t 2 − 3t + 1)

t = 0


⇒ g ' (t ) = 0 ⇔ t = 1
 1
t =

2
B ng bi n thiên:
t
g’(t)
g(t)

- 2

0
+

0
m+3

m−3− 4 2

-

1
2
0

m+

47

16

2

1
+

0
m+3

-

m−3+ 4 2

T b ng bi n thiên ta ñư c:
min f ( x) = min g (t ) = m − 3 − 4 2 ;
max f ( x) = max g (t ) = m + 3 .
Theo gi thi t bài tốn thì: ( f ( x) )2 ≤ 36 ⇔ −6 ≤ f ( x) ≤ 6
B t ñ ng th c này ñúng v i m i x ∈ R , khi :
− 6 ≤ min f ( x)
⇔

6 ≥ max f ( x)

m − 3 − 4 2 ≥ −6
⇔ 4 2 −3 ≤ m ≤ 3

m + 3 ≤ 6
V y ñ ( f ( x) )2 ≤ 36, ∀x ∈ R thì 4 2 − 3 ≤ m ≤ 3 .

2.7. M T S BÀI TOÁN TH C T
Đ o hàm c a hàm s m t bi n ñư c ng d ng ñ gi i quy t
nhi u bài toán trong th c t cu c s ng. Đ gi i nh ng bài toán như
v y, ta ph i căn c vào ñi u ki n c a bài tốn đ tìm ra bi n s đ c
l p, bi u th c hàm s liên h gi a ñ i lư ng ph i kh o sát v i bi n
s ñ c l p. Sau ñây là m t s bài tốn như v y:
Ví d
M t nhà máy s n xu t can hình tr b ng kim lo i có th 1 lít.
Tìm kích thư c c a hình tr đ nhà máy s n xu t ra cái can t n ít
kim lo i nh t.
Gi i: Ta có cái can đư c bi u
di n như hình 2.1, g i r là bán
kính, h chi u cao c a hình tr
h
(đơn v tính cm).
Đ t n ít kim lo i nh t có
nghĩa là t ng di n tích (di n tích
r
tồn ph n) c a hình tr là nh
nh t.
Ta d dàng th y n u c t m t
Hình 2.1 : Minh h a cho cái
xung quanh c a hình tr theo m t
can
ñư ng sinh r i tr i ra trên m t
m t ph ng thì ta s đư c m t hình ch nh t có chi u dài các c nh
là 2πr và h.
Vì v y di n tích tồn ph n c a m t tr là A = 2πr + 2πrh .
Theo gi thi t cái can có đư c th tích là 1 lit = 1000 cm 3
1000

Do đó: V = Bh = πr 2 h = 1000 ⇒ h =
, thay vào bi u
πr 2
th c A , ta ñư c:
1000
2000
A = 2πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πr ( 2 ) = 2πr 2 +
r
πr
Bài tốn tr thành tìm giá tr nh nh t c a hàm s :
2000
A(r ) = 2πr 2 +
, r>0
r
2


- 23 -

- 24 -

2000 4(πr 3 − 500)
Ta có: A' (r ) = 4πr − 2 =
r
r2
500
⇒ A' (r ) = 0 ⇔ r = 3
, r>0
π
L p b ng bi n thiên:

r

0

3

A’(r)

-

A(r)

+∞

500

π

0

+

 500 

A 3
 π 



D a vào b ng bi n thiên ta th y A ñ t giá tr nh nh t khi

500
r=3
. Đ ng th i h = 1000 = 1000 2 = 23 500 = 2r .
π
π
πr 2
 500 

π3
 π 


V y ñ t n ít nguyên li u s n xu t can thì can hình tr này có
500
bán kính r = 3
(cm) và chi u cao g p đơi bán kính t c là

π

h = 2 r = 23

500

π

(cm) .

K T LU N
Lu n văn “ ng d ng ñ o hàm c a hàm s m t bi n vào
vi c gi i m t s l p bài tốn thu c chương trình Trung h c ph

thơng” đã th c hi n ñư c các v n ñ sau đây:
1. Thơng qua các tài li u v hàm s m t bi n ñ c bi t là ñ o hàm
ñ h th ng và phân lo i m t s l p bài toán thu c chương trình
Trung h c ph thơng có th gi i đư c b ng ñ o hàm c a hàm s
m t bi n. C th là: các bài toán liên quan đ n kh o sát hàm s , bài
tốn tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t; gi i phương trình, h
phương trình và b t phương trình, ch ng minh b t đ ng th c, m t
s bài tốn hình h c và lư ng giác.
2. Đ i v i m i l p bài tốn, ngồi nh ng nh n xét v đ nh hư ng
phương pháp gi i, cịn có nh ng ví d minh h a và ph n các bài
toán b sung.
3. Ph n cu i c a lu n văn gi i thi u m t s bài tốn th c t , gi i
đư c b ng ng d ng c a ñ o hàm hàm s m t bi n.
Hy v ng r ng, n i dung c a lu n văn còn ti p t c đư c hồn
thi n và m r ng hơn nh m góp ph n vào vi c d y, h c tốn thu c
chương trình Trung h c ph thông.