Luận văn một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GAN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYÊN TÍNH VOLTERRA
*

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
NGUYỄN THỊ HƯỜNG

*

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GAN ĐÚNG


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYÊN TÍNH VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS KHUAT VĂN NINH


Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS

Khuất Văn Ninh. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tìm hiểu, nghiên cứu để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán, chuyên
ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng
dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp và phản hồi từ phía các
thầy, cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện một cách tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyên Thị Hường


Lồi cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, luận văn
chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần đúng phương
trình tích phân tuyến tính Volterra ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của
bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Ngưòi thực hiện

Nguyễn Thị Hường

Mục lục
1

Lòi cảm dn
Lòi cam đoan

ii

Danh mục kí hiệu và viết tắt

1

Mỏ đầu
4

1 Kiến thức chuẩn bị
1 ■ 1 Một số kiến thức về giải tích hàm LU

4

Không gian metrỉc . . .

4

1.1.2

Không gian định chuẩn .

6

1.1.3

Không gian Hỉlbert . . .

7

1.1.4

Không gian L ( X , y) . .

1.1.5

Một số không gian hàm .

1

1.1.6

Khai triển Taylor . . . .

1

7

1
2 PHƯỜNG TRÌNH TÍCH PHẤN VQLTERRA
2.1 Phương trình tích phân Volterra.................................................................

14

14

2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một . . .

14

2.1.2

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai . . .

14

2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành
phương trình tích phân Volterra loại hai

15

2.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến
tính Volterra loại hai

17

3


2.2.1 Phương pháp phân tích Adomiar]
2.2.2 Phương pháp biến đổi phân tích

24

2.2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm

28

2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

31

2.2.5 Phương pháp biến đổi Laplac

e

2.2.6 Phương pháp chuỗi lũy thừa
3

37
42

GIẢI Số PHƯỜNG TRĨNH TÍCH PHẤN VQLTERRA

48

3.1 Công thức cầu phường.......................................................
3.2 Công thức hình thang.........................................................

48

3.3 Phường pháp số giải phường trình tích phân tuyến tính Volterra

48


loại 2
Kết luận

50
67


8

Danh mục kí hiệu và viết tắt
Các kí hiệu thưòng dùng

c1
c
R
n

M =
(X,d)
c
X €M
X Ệ M
'ixeM
3x

Không gian các hàm liên tục

Không gian các hàm khả vi liên tục
Không gian Euclid n chiều
Không gian metric
Biến đổi Laplace
X thuộc tập M
X không thuộc tập M
Với mọi X thuộc tập M
Tồn tại X


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp
phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng.
Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xuất hiện trong nhiều ứng dụng khoa học như lý thuyết động lực, thiết vị bán
dẫn, sự lan truyền bệnh dịch, ...
Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm chính xác của phương trình tích phân thường gặp nhiều khó khăn, lúc này
người ta quan tâm đến giải xấp xỉ phương trình. Để giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra người ta sử dụng rất
nhiều các phương pháp như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, ...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS

Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Voỉterra” để
thực hiện luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra, một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích
phân tuyến tính Volterra.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra và một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến

tính Volterra.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một, loại hai.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng


dụng vào giải gần đúng một số phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết phương trình tích phân .
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình tích phân tuyến tính Volterra.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập tùy ý. Một metric trong X là một ánh xạ
d ’ X X X —^ K
thỏa mãn các điều kiện sau đây
i) d ( x , y ) > 0, V x , y e X ;
ii) d ( x , y ) = 0 4=> X = y \

iii) d ( x , y ) = d ( y , x ) , \ / x , y e X ;
iv) d ( x , y ) < d ( x , z ) + d ( z , y ) , V x , y e X .
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi
là điểm của không gian ấy. số d ( x , y ) được gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y .
Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (x n), 71 = 1, 2,... trong không gian met- ric X được gọi là hội tụ đến điểm a E X nếu
lim d ( a , x n) = 0.
n—> 00

Khi đó ta kí hiệu lim x n = a hoặc x n —> a khi n —>• oo


Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong không gian metric X nếu với mọi £ > 0 cho
trước, tồn tại một số no G N* sao cho với mọi n > no và ra > no ta đều có
d{xn, xm)

£■

Nói cách khác ta có
n,m—>oo

lim d ( x n , x m ) = 0.

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong
X.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ và Ị : X —> X là một ánh xạ của X vào chính nó
thỏa mãn điều kiện
d{f{x),f{y)) < ad{x,y),
với hằng số a < 1 v à V x , y € . X . Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm X* G X sao cho f(x*) = X*. Hơn nữa, Xo G X,
dãy x n , n G N xác định bỏi Xk+1 = f ( x k ), Vfc G N hội tụ đến X* đồng thời ta có ước lượng

an
d ( x n , x * ) < --------d ( x \ , X o ) , Vn G N .
(1.1)
1 — 0!
Chứng minh. Dễ thấy
d ( x k + 1 , x k ) = d ( f ( x k), f ( x k _ i)) < a d ( x k , x k _ i) < ... < a k d ( x u x 0 ) , Vfc G N .
Từ đó Vn G N , Vp G N ta có
d(xn+p, xn) <
d(x
n+pt ■En+p—ì) ■■■ dịxn^xr
< {an+p~l + ... + a n ) d { x u x 0 ) ,


do đó
a
d[Xn+pi%n)
d(xi,x0).
1—a
—

(1.2)

ưóc lượng CỊl) chứng tỏ dãy x n , n G N là dãy Cauchy, mặt khác X là không gian metric đủ nên tồn tại duy nhất X* G X sao
cho lim xn = X*.
n — > 00

Cho p — > 00 trong bất đẳng thức (Ị1.2Ị) ta thu được ước lượng (|1.1|).
Ta lại có Xn+1 = f ( x n ) nên cho n — > 00 , ta có X * = f { x * ) . Vậy X * là điểm mà
/M =

x\

Giả sử ngoài ra còn có X cũng có tính chất f ( x ) = X khi đó ta có
d(x*,x) = d(f(x*),f(x)) < ad(x*,x),
với a < 1. Từ đó suy ra X * = X . Vậy X * là duy nhất.

1.1.2

□

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường p ( P = K hoặc C).
Định nghĩa 1.1.5. Một chuẩn, kí hiêu II • II trong X là một ánh xạ từ X vào K thỏa mãn các điều kiện:
i) ||a;|| > 0 với mọi X G X ;
ii) ||a;|| = 0 khi và chỉ khi X = 9 ( 9 là kí hiệu phần tử không);
iii) 11 X x 11 = IAI 11X11 với mọi số A e p và với mọi X e X;
iv) ||a; + yII < ||a;|| + ||y|| với mọi y e X .
Số II s|| đưọc gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto X e X .
Đinh nghĩa 1.1.6. Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy gọi là một không gian định
chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo p là thực hoặc phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Vói mọi X , y £ X đặt
d ( x , y ) = \ \ x - y II .


Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.7. Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến X o £ X nếu lim \\xn — X o II =0. Khi đó ta
kí hiệu
71—y 00

lim xn = X o hoặc xn —> X o khi n —> 00

71—y 00

Định nghĩa 1.1.8. Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy co bản, nếu
lim \\xm — xn\\ = 0.
7n,7ĩ—>oo

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d ( x , y ) = 11rc — y
II). Khi đó X được gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.10. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường p . Ánh xạ Ả từ không gian X vào không gian Y được
gọi là tuyến tính nếu Ả thỏa mãn
i) A ( x + y ) = A x + A y với mọi X , y £ X ;
ii) A ( a x ) = a A x , a G p.

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Nếu A chỉ thỏa mãn i) thì A được gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A
đưọc gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A đưọc gọi là phiếm hàm tuyến tính
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian định chuẩn X và F. Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn
nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho
II Ax\\ < c ||a;|| , với mọi X £ X.

1.1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tuyến tính X trên trường số p(p = R hoặc p = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian
X mọi ánh xạ từ

X X X vào trường p , kí hiệu (•, •), thỏa mãn các tiên đề:
(i) (y, x) = (x, y), với mọi X, y G X ; ( x , y ) là số phức liên hợp của ( x , y )

(ii) ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) , v ố i m ọ i x , y , z e X ;
(iii)

( a x , y ) = a ( x , y ) với mọi số a G p và mọi X , y G X ;

(iv)( x , x ) > 0 nếu X Ỷ 9 ì (ớ là kí hiệu phần tử không);


(v) ( x , x ) = 0 nếu X = 6 ;
Các phần tử X , y , z ,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số ( x , y ) gọi là tích vô hướng của X và y . Các tiên
đ ề i , i i , i i i , i v , v gọi là các tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.13. Không gian tuyến tính X trên trường p cùng với một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi X & X , ta đặt ||ar|| = \ / ( x , x ) . Khi đó ta có bất đẳng thức
sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz)

\ { x , y ) \ < | | x | | . \\y\\ , V x , y e X .
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn
||ar|| = \ / ( x , x ) .
Định nghĩa 1.1.14. Ta gọi không gian tuyến tính H Ỷ Q trên trường p là không gian Hilbert H nếu nó thỏa mãn các điều
kiện
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn ||a:|| = y /(X ,

1.1.4

x)

với X £ X .

Không gian L ( X , Y )

Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu L ( X , Y ) là tập họp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào

Y . Ta trang bị cho L ( x . Y ) hai phép toán sau:


a) Tổng của hai toán tử A , B G L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác địnhbằng hệ thức
(Ả + B){x) = Ax + Bx, 'ix G X.
b) Tích của vô hướng a G p ( p = K hoặc p = c) với toán tử Ả G L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu a A xác định bằng hệ thức
(aẨ)(x) = a ( A x ) , V x G X .
Dễ dàng kiểm tra A + B G L ( X , y), a A G L(X, Y ) là hai phép toán thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Do vậy L ( X , Y ) cùng
với hai phép toán trên là một không gian vectơ trên trường p .
Với toán tử bất kỳ A G L ( X , Y )
Ta đặt
||Ẩ|| = sup ||Ẩa;||

(1.3)
IMI- 1

Dễ thấy công thức (Ị1.3Ị) thỏa mãn tiên đề chuẩn. Như vậy L ( X , Y ) là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong không
gian định chuẩn L ( X , Y ) gọi là hội tụ đều của dãy toán tử bị chặn.
Dãy toán tử (A n ) c L ( X , Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A G L ( X , Y ) nếu với mỗi

X

£ X , lim \\Anx — Ax\\ = 0

trong không gian Y.
n — > 00

Một dãy toán tử (An) c L ( X , Y ) hội tụ đều tới toán tử A G L ( X , Y ) thì dãy ( A n ) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong
không gian Y .
Định lý 1.1.4. N ế u Y l à không gian Banach thì L ( x , V) cũng l à không gian Banach.
Chứng minh. Lấy một dãy co bản bất kỳ (An) c L ( x , y). Theo định nghĩa
(Ve > 0)(3n0 G N*)(Vn,ra > n0) II An — Am II < e.
Từ đó với mọi X G X ta có
11 Anx yi-m *3^ 11

11 (An

ylm)x|| ^ 11 An ylm|| ||a:|| ^ e ||x

(1.4)

(1.5)


Từ dl.4Ị),(fL5]) suy ra dãy điểm (Anx) c Y là dãy cơ bản trong Y. Mà theo giả thiết Y là không gian Banach, nên tồn tại giới
hạn

71—HX)

lim Anx = y G Y.

Đặt y = Ax. Nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào
không gian Banach Y. Cho qua giới hạn m —> 00 trong hệ thức (Ị1.5Ị) và kết hợp với hệ thức (Ịl.4|) ta được
II Anx — Ax II < £ ||æ|| , Vn > no, Væ G X,
hay
||(Ẩn — A)xII < £ ||æ|| ,Vn > no, Væ G X.
Do đó

\ \ A n - A \ \ < £ , Vn > n0.
Từ đó suy ra A = A n i — (A n i — A ) G L ( X , Y ) với ni > no và II A n — A \ \ — > 0 khi n — > 00 .
Vì vậy dãy toán tử (A n) c L ( X , Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian L ( X , Y ) . Vậy L ( X , Y ) là không gian Banach.
□
Bây giờ ta giả sử X = Y , nghĩa là ta xét không gian L ( X , X ) các toán tử tuyến tính liên tục trong X . Khi ấy ta có thể
định nghĩa phép nhân hai toán tử như sau
Tích của hai toán tử A , B trong X là toán tử A B trong X sao cho
{ A B ) x = A ( B x ) , V x G X.
Dễ thấy A B cũng là toán tử tuyến tính.
Mặt khác, ta có
( A B ) x II = ||A(ổa:)|| < ||A|| . ||-Sa:|| < ||A|| . ||ổ|| . ||ar


suy ra AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và
\\AB\\ < Pll . ||B|| .
Như vậy trong không gian L ( X , X ) có xác định phép cộng và phép nhân hai phần tử. Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép
nhân này thỏa mãn các tiên đề của một vành.
Do vậy ta có L ( X , X ) là
i) Một vành
ii) Một không gian định chuẩn
iii) Thỏa mãn điều kiện IIABII < IIAII . II.6II
iv) Có phần tử đon vị là toán tử đồng nhất I với \\I\\ = 1.
Người ta nói L ( X , X ) là một vành định chuẩn. Trong vành L ( X , X ) đưong nhiên có thể nói đến các lũy thừa của một toán
tử
A° = I , A n = A A n ~ l { n = 1,2,...)

1.1.5
Không gian K

Một số không gian hàm

n

R n là không gian vectơ
Rn là không gian metric với metric d ( x , y ) =

Vi)2
-

Hệ thức trên thỏa mãn 3 tiên đề về metric.

Vì vậy hệ thức trên định một metric trên không gian Rn. Không gian metric Rn thường đưọc gọi là không
gian Euclid. Rn là không gian metric đầy R n là không gian định chuẩn Với một trong các chuẩn sau

n
x

x

\\ì = \ í

i= 1

\x L =

ẺX

N

í=

1

\ x 1 = max
i =
l,n

Xi


M" là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach).
M" là không gian Hilbert.
Thật vậy, \ / x , y e R n , x = (xi,x2, ■ ■ ■ , x n ) ] y = ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) ta đặt
n
x

i ,y) =

(1-6)

¿=1
Dễ thấy hệ thức (Ị1.6Ị) thỏa mãn tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng (1.6)

yj(x,x) = .

x

hx

\3 = 1

\
x\

=

(Xl’X2’ ■■■>xn)

€ Kn.

(1.7)

Không gian vectơ thực R” cùng với tích vô hướng d 1,7Ị) là một không gian Hilbert.
Không gian C[a t b ]

C ị a Ị,] = {ÍC(Í) xác định, liên tục Ví G [ a , 6]} , —00 < a < b < +00 .
Không gian C ị a b] là không gian metric
\ / x , y e C [ a M , d ( x , y ) = max |x(í) - y { t ) \ .
a
Không gian C ị a Ị,] là không gian định chuẩn
||a;|| = max |a;(t)|.
a
Không gian C ị a Ị,] là không gian Banach.
Không gian C ị a Ị,] là không gian tách được (hay không gian khả ly).
Thật vậy tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C ị a Ị,].
Không gian C^ a M

Không gian ơ” b j gồm tất cả các hàm x ( t ) xác định trên đoạn [ a , b ] và có đạo hàm liên tuc đến cấp n , với chuẩn được

xác định bởi

a
||a;|| = max {|s(í)|; | a ; , ( t ) | , | s n ( í ) | } .


1.1.6

Khai triển Taylor

Định lý 1.1.5. N ế u h à m s ố y = f ( x ) c ó c á c đ ạ o h à m

f"{x), ..., f(n\x)

liên tục tại điểm XQ và có đạo hàm /(n+1)(æ) trong lân cận của XQ thì tại lân cận đó ta có công thức

c ở khoảng giữa XQ và X : c = XQ + d(x — £o), 0 < 9 < 1.
Công thức này gọi là công thức Taylor cấp n, số hạng cuối cùng được gọi là số hạng dư của nó. Ta nói f ( x ) khai triển
được theo công thức Taylor.


Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA
Dạng tổng quát của các

2.1

Phương trình tích phân Volterra

2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Voỉterra loại một

(2.1)

trong đó hạt nhân K ( x , t ) và hàm /(x ) là các hàm giá trị thực cho trước, hàm u ( x ) là hàm cần
phương trình tích phân tuyến được xác định và nó xuất hiện bên trong dấu tích phân của các phương trình tích phân Volterra
loại một.
tính Volterra loại một được
Dạng tổng
cho bởi
0

2.1.2

quát của

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại
hai
phương trình
(2.2)
tích phân tuyến tính Volterra loại hai
Hàm ẩn u ( x ) , sẽ được xác định, nằm bên trong và
được cho bởi
0

bên ngoài dấu tích phân. Hạt nhân K ( x , t ) và hàm
f ( x ) là các hàm giá trị thực, và A là một tham số cho

trưóc.


2.1.3

Biến đổi phương trình tích phân Voỉterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương
trình tích phân Volterra loại hai. Ta giả thiết K ( x , x ) Ỷ 0- Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tích phân Volterra loại
một
f{x)= / K(x,t)u(t)dt,
■'0
đối với X , và dùng quy tắc Leibnitz, ta tìm được

(2.3)
A

f'(x) = K(x,x)u(x)+ / Kx(x,t)u(t)dt.
■

Giải
tìm

u ( x ) , biết rằng K ( x , x )

Ỷ

'

(2.4)

0

0’ ta thư được phương trình tích phân

Volterra loại hai là
u

f ' ( x ) ỉx 1
(xì= K( \ / 1C( ,Kx{x,t)u{t)dt.
K{X,X)

JQ

K{X,

X

(2.5)

)

Đặt
^ 'ĨT

^ H

II

Crs

(2.6)

và
G{x

’t)=

Khi đó ta có phương trình tích phân Volterra loại 2

(2.7)

u(x) = g(x) + / G(x,t)u(t)dt
Khi đã biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai. Ta có thể áp dụng các
phương pháp giải phương trình tích phân Volterra loại hai. Nghiệm thu được chính là nhiệm của phương trình tích phân
Volterra loại một.


Ví dụ 2.1. Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trìnhtích phân Volterra loại hai
(2.8)

e — cosæ
Lấy đạo hàm cả hai vế của (|2.8|) và dùng quy tắc Leibnitz ta được

e x + sinz = u ( x ) + / e x ~ t u ( t ) d t .
■'O
Từ đó ta có phưong trình tích phân Volterra loại hai
u ( x ) = e x + sinz — / e x ~ t u ( t ) d t .
■'0
ví dụ 2.2. B iến đổi phưong trình tích phân Volterra loại một thành phưong trình tích phân Volterra loại hai

4

+ X — 4ex + 3xex = / (x — t + 2)u(t)dt.
■'0

(2.9)

Lấy đạo hàm cả hai vế của (|2.9|) và dùng quy tắc Leibnitz ta thu được 1 — ex + 3zex = 2'u(z) + / u ( t ) d t ,
Từ đó ta có phưong trình tích phân Volterra loại hai
u { x ) = ị { 3 x - l)ex +

\-\ JQ

u{t)dt.

Nhận xét 2.1. Đã biết rằng nếu K ( x , x ) = 0, thì không thể biến đổi phưong trình tích phân Volterra loại một thành loại hai.
Tuy nhiên, nếu K ( x , x ) = 0 và K ' x ( X .

X) Ỷ

0 thì bằng việc lấy đạo hàm phưong trình tích phân Volterra loại một nhiều

lần , với K ( x , t ) là hạch , thì phưong trình đã cho sẽ đưa đưọc về phưong trình tích phân Volterra loại hai.
Ở chú ý thứ nhất, khi K ( x , x ) = 0 , K'x(x, x) Ỷ 0’

ta

sẽ lấy đạo hàm hai lần, và áp dụng quy tắc Leibnitz để biến đổi

phưong trình đã cho về phưong trình tích phân Volterra loại hai.

Ví dụ 2.3. Biến đổi phương hình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai
2 / sinh(£ — t ) u ( t ) d t .
■'0

sinx — X
cosx

(2.10)

Lấy đạo hàm hai vế của (|2.1Q|) và dùng quy tắc Leibnitz ta được
f

x

£ S Ì n £ = 2 / cosh(a: — t ) u ( t ) d t , ■'0
phương trình trên vẫn là phương trình tích phân Volterra loại một. Tuy nhiên vì K'x(x, X) Ỷ 0’ nên ta lấy đạo hàm thêm một lần
nữa để thu được phương trình tích phân Volterra loại 1
u ( x ) = - s i n x + — c o s x — / sinh(a: — t ) u ( t ) d t .
2

2

J 0

Khi đã biến đổi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một thành phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai,
thì ta có thể áp dụng các phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai cho phương trình tích phân
tuyến tính Volterra loai một.

2.2
Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra
loại hai
Để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, ngươi ta đã đề xuất một số phương pháp giải tích và phương
pháp số như phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp biến đổi Laplace và nhiều phương pháp khác. Trong mục này ta sẽ áp
dụng một số phương pháp như phương pháp phân tích Adomian (ADM), phương pháp biến đổi khai triển (mADM), phương
pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa và phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Volterra
loại hai. Ta cần xác định nghiệm u ( x ) của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai.
Sau đây chúng ta sẽ trình bày các phương pháp nêu trên.


2.2.1 Phương pháp phân tích Adomian
Phương pháp phân tích Adomian (ADM) đã được giới thiệu và phát triển bởi George Adomian và là phương pháp tốt trong
nhiều phép kiểm tra.
Phương pháp phân tích Adomian bao gồm phân tích hàm u ( x ) của phương trình bất kỳ thành tổng vô hạn của các số hạng
được xác định bởi chuỗi
u{x) = ^2un(x),

(2.11)
71 =

0

hay tương đương
u ( x ) = U Q ( X ) + U i ( x ) + u 2 ( x ) + ..., (2 .12 )
trong đó các hàm u n ( x ) , n > 0 được xác định bằng phương pháp truy hồi.
Để thiết lập quan hệ truy hồi, ta thế (|2.1 lị> vào phương trình tích phân Volterra ( 2 . 2 ) ta thu được
00

rx

í

®

'71 =

00

Y^un{x) = f{x) + \Ị
71 =

0

0

\
n(t) j dt,
'

(2.13)

hay tương đương u 0 ( x ) + U ị ( x ) + u 2 { x ) + . . . = f ( x ) + X í K ( x , t ) [ u 0 ( t ) + U ị ( t ) + ...]dt.
dữ

Hàm U Q ( X ) được đồng nhất với tất cả các số hạng mà không ở dưói dấu tích phân. Còn lại, các thành phần U j ( x ) , j > 1
của hàm ẩn u ( x ) được xác định bằng dãy quan hệ truy hồi
U o i x ) = f x),
f

x

u n + i ( x ) = A / K ( x , t ) u n ( t ) d t , n > 0, d o
tương đương với
M x ) = f i x),

rx

Uị(x) = A / K(x,t)uo(t)dt, do

(2.14)