Luận văn về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân

1

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯONG GIANG

VÈ TÍNH ĐƠN ĐIÊU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DUNG
••

TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯONG GIANG

VÈ TÍNH ĐƠN ĐIÊU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DUNG
••

TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu

3

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận đuợc sụ dạy bảo tận
tình của các thầy cô giáo ở truờng Đại học Su phạm Hà nội II. Đặc biệt là sụ chỉ
bảo, huớng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Muu. Qua đây, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Lê Dũng Muu, các thầy cô giáo cùng các bạn
đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thục hiện luận văn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả
Lê Huơng Giang

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thục và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sụ
giúp đỡ cho việc thục hiện luận văn này đã đuợc cảm ơn và các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã đuợc chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Nguời cam đoan Lê
Huơng Giang

Mục Lục

Các ký hiệu và danh mục các từ viết tắt
H - Không gian Hilbert.

4

M-Tập số thực .
[a,b] - Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b. (a,
b) - Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b. V Với mọi.
3 - Tồn tại.
( . ) - Tích vô huớng.

I . I - Chuẩn.
domf - Miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị / gphf - Đồ thị của ánh xạ đa trị
/ rgef - Miền ảnh của ánh xạ đa trị /
2Y - tập gồm toàn bộ các tập con của Y.
2H - tập gồm toàn bộ các tập con của H.
Pc - Phép chiếu.
VIP - Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Soi - Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong các lĩnh vực của giải tích hiện đại, toán tử đơn điệu không những có ý
nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có đóng góp quan trọng trong lĩnh vục kinh tế.
Đặc biệt, toán tử đơn điệu là công cụ đuợc sử dụng nhiều và rất hiệu quả trong
toán học ứng dụng. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm, xây


5

dụng phuơng pháp giải các bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân và bài

toán tối uu. Bản luận văn này nghiên cứu toán tử đơn điệu và ứng dụng của nó
vào bất đẳng thức biến phân. Đề tài luận văn là “

về tính đơn điệu của toán tử

và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu và nắm đuợc các kiến thức về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức
biến phân, đặc biệt là tiếp cận đuợc ứng dụng của toán tử đơn điệu trong bất
đẳng thức biến phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
•
•

Nghiên cứu về tính đơn điệu của toán tử trong không gian Hilbert.
Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân.

•

ứng dụng về tính đơn điệu của toán tử vào bài toán bất đẳng thức biến

phân.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn đối tượng áp dụng chính là toán tử đơn điệu, bất đẳng thức
biến phân và áp dụng toán tử đơn điệu vào bất đẳng thức biến phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
•

Tìm tòi, thu thập các tài liệu về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến

phân.

•

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.

•

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới toán tử đơn
điệu, bất đẳng thức biến phân và xét một số ứng dụng của toán tử đơn

điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân.
6. Dự kiến đóng góp mới


6

Hoàn thành bản luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích theo đề tài “

về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”, với
mong muốn luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai có nhu
cầu tìm hiểu về đề tài này.


NÔI DUNG

Chương 1
Toán tử đơn điêu
*

Nội dung của chương gồm 2 phần chính: Một số kiến thức cơ sở về không gian
Hilbert, bất đẳng thức Schwarz, đẳng thức hình bình hành... Tiếp theo là toán tử
đơn điệu cùng các khái niệm liên quan đến tập lồi, hàm lồi. Các kiến thức trong
chương này lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9].
1.1 Không gian Hilbert
1.1.1

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.1. Cho không gian tuyển tính H trên R . Tích vổ hướng xác định trong
H là một ảnh xạ:

thỏa mãn các điều kiện sau:
i. { x , y ) = { y , x } , \ / x , y G Ỉ Ỉ .
ii. ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) , Vx,y , z G Ỉ Ỉ .
iii. ( Ẫ x , y ) = Ẫ ị x , y ) , \ / x , y e H , Ẫ e M.
ị x , x ) > 0, Vx e H ,
iv.

\ x , x j = 0 <=> X = 6.
trong đó ( x , y ) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ X và y.
Định lý 1.1. H được gọi là không gian tiền Hỉlbert (hay không gian Unita , không


gian với tích vô hướng) khỉ H là không gian tuyển tinh định chuẩn, với chuẩn được
xác định bởi công thức:
||x|| = y J ( x , x ) , V x e H .
Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Ví du 1.1.
1. Không gian vectơ thực k chiều M* là một không gian Hilbert cùng với tích

vô hướng:
k

(x’y) = Hxiyi
i=l
và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng

trong đó X = (*!,*2,= { y ì , y 1 , . . . , y i ) e M*.
2. c[a,b] là tập tất cả các hàm thực liên tục trên [a,b] cùng với tích vô hướng
{x,y) = ịbx(t)y(t)dt,x(t),y(t) e

c [ a , b ] và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
|x(í)|2í/í

||x|| =
không là một không gian Hilbert.

3. c ^ a b ] là không gian gồm L2[a,b] không gian các hàm bình phương khả
tích là một không gian tiền Hilbert không đủ với tích vô hướng:
{x,y) = ịb x(t)y(t)dt.
1.1.2

Một số tính chất quan trọng


Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Cho H là một không gian tiền Hilbert. Với V x , y £ H ta cỏ bất đẳng thức:

Dấu’ ’=” xảy ra khi ịx, y)| = ||x|| Ill’ll <=> (3 a £ M), X = ay hoặc y = ax
Định lý 1.3. (Đẳng thức hình bình hành)

H là không gian tiền Hilbert, với mọi x,y EH ta có:
¡x+y(+ịx-yf=2{ụ(+ịy().
Đẳng thức này có nghĩa là: tổng bình phương các cạnh của một hình bình hành
bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Định lý 1.4. Trong không gian tiền Hilbert thực, nếu lim xn = a và lim yn = b thì:
lim

n—»00

(wn ) = («>&)•
t\ỉ

1.2 Toán tử đon điêu
1.2.1

Tập lồi và hàm lồi

1.2.1.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.2. Cho H là không gian tuyển tinh thực, tập c cz // được gọi là tập lồi
nếu:

Vx,y e c,V/L eM:0Ví dụ 1.2. Trong không gian hữu hạn chiều thì hình vuông, hình tròn, hình elip
hay hình cầu... đều là tập lồi.
Định nghĩa 1.3. Tập

c nằm trong H đuợc gọi là tập đỏng nếu mọi dãy |x

tới điểm X thì X E c. Tức là:

n

j hội tụ


{xn} c= c , n = 0,l,2,...,lim||xn - x \ \ = 0=> X e c.
Ví dụ 1.3. Trong M2, c = e X 1 + y 1 < R2^ị là tập đóng.

1.4. Tập hợp c là lồi khỉ và chỉ khỉ nỏ chứa mọi tổ hợp lồi của các
điểm của nỏ, tức là c lồi khỉ và chỉ khỉ:
Định nghĩa

M
với mọi x1,^2,...,^* G C',yk e N;

= 1 => e
M
> 0.

Mệnh đề 1.1. (Giao các tập lồi)
Nếu A, B là các tập lồi trong M",

c là tập lồi trong thì các tập sau là lồi:


A n B := |x|x e A , x e B } ,
a A + P B := |x|x = a a +

;4xC:=ỊxeR" + m x =

p B , a e A , b e B , a , p e Rj,

n+
m

(ữ,c):aeyl,ceCj.

Định nghĩa 1.5. Siêu phẳng trong không gian R" là một tập hợp các điểm cỏ dạng:
|x e R" aT X = aj,
trong đó a e R, a e R" là các vectơ khác 0 và thường được gọi là vectơ pháp tuyến
của siêu phẳng.
Siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian.
Ví du 1.4.
•

1. Trong không gian R2, siêu phẳng là đường thẳng một chiều.
2. Trong không gian R3, siêu phẳng là chính là mặt phẳng hai chiều.
Định nghĩa 1.6. Cho x° G

c. Ta nói a X
T

= a là siêuphẳng tựa của

aTx° = a , a T x > a , Vx e

c tại x° nếu:

c.

Định nghĩa 1.7. Nửa không gian đóng là một tập hợp có dạng

Định nghĩa 1.8. Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu
hạn các nửa không gian đóng hay nói cách khác nó chính là tập hợp nghiệm của
một hệ hữa hạn các bất phưong trình tuyến tính, có nghĩa là:


Z) = jxeR" IA x < b } ,
trong đó A là ma trận có m hàng là các vectơ a J , j = ì , . . . , m và vectơ

bT= (b15b2,...,bm).
Định nghĩa 1.9. Một tập

c trong H được gọi là nón nếu VA > 0, Vx e c => Ẳx E

c.
Định nghĩa 1.10. Một nón

c

được gọi là nón lồi nếu

c

đồng thời là một tập lồi,

tức là:

Vx, y G

c, VA, ỊẨ, > 0 => Ax + juy G c.

Một nón lồi vừa là tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện.
Ví dụ 1.5. Trong M", tập jx = xì x 2 , . . . , x n : X ị > 0 , i = l,...,«j góc (orthant) không
âm là một nón lồi có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.11. Một tập

c

là nón lồi khỉ và chỉ khỉ

c

thỏa mãn hai điều kiện

sau:
i. ẮC c

c, V/L > 0.

ii. C+CcC.
Ví dụ 1.6.
1.

c := |x G M ịx ^ oj là nón nhưng không phải là một tập lồi.

2.

c := |x|^4x > oj là nón lồi đa diện với A là ma trận thực cấp hữu hạn.

c là một tập lồi trong H và X G c. Nc (x) được gọi là
nón pháp tuyến ngoài của c tại X khi và chỉ khi:
Định nghĩa 1.12. Cho


Ịw (w, y - x )
Định nghĩa 1.13. Cho

< 0, Vy e cj.

c là tập khác rỗng (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ

bất kỳ, đặt

Áy)-=™£\V-yị

d

Ta nói dc (y) là khoảng cách từ y đến

c, nếu tồn tại n £ c sao cho

dc (y) = \\ĩĩ - y|| thì ta nói n là hình chiếu (khoảng cách) của y trên

c.

Ký hiệu: n = p c { y ) hoặc p(y) nếu không nhấn mạnh đến tập chiếu
Mệnh đề

c.

1.2. Cho c là một tập đỏng khác rỗng. Khỉ đỏ: ỉ. Với mọi y £ //, n G c

hai tinh chất sau là tương đương:
a) x = P c ( y ) .
b) y-7teNc(à).
ìì. Với mọi y e H , hình chiểu pc (y) của y trên

c luôn tồn tại và duy nhất.

Ể c thì ( p ( y ) - y , x - P c ( y ) ) = 0 là siêu phẳng tựa của c tại Pc (T) và
tách hắn y khỏi c, tức là
iii. Nếu y

c

{pc(y)-y^x-Pc(y))íữ^x^c
và
iv. Ánh xạ y —» pc (y) có các tỉnh chất như sau:
(tỉnh không giãn)


b) (Pc M - Pc (

y )> * - y )

^ ||/>c w - Pc

ừ)|2 •

(tính đồng bức)

Chứng minh:
i. Giả sử có a). Lấy X G c và Ẳ G (0;l). Đặt:
XẮ := Ẳx + (1 - X)n.
Do n G c, X và c lồi nên XẨ G c mà n lại là hình chiếu của y.
Suy ra
\\7ĩ-y\\<\\y-xẮị
Hay
ll^-^ll2 < ||/l(x-;r) + (;r-_y)|2.
Khai triển vế phải, uớc luợng và chia hai vế cho cho Ẳ > 0, ta có:
/L||;r-x||2 + 2 ị x - 7 ĩ , 7 ĩ - y ) > 0.
Điều này đúng với mọi X G c và Ẳ G (0,1).
Do đó khi cho Ả —» 0, ta đuợc:
{ n - y , X - T l ) > 0, Vx G c.
Vậy y - ĩ ĩ £ N c ( 7 ĩ ) .
Giả sử có b). Với mọi X G c , ta có:
0>(y-7ĩỴ (x-7ĩ) = (y-7ĩ)T (x-y + y-7ĩ)
= ịy-4

+

(y-x)T (x-y).

Từ đây và b), ta dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, có:


\\y- H|2 £

(y-(y-x)

Suy ra |y-;r|| < ||_y-x|, V x E

IIy - Hlly -4

£

c, và do đó n = p ( y ) -

ii. Do d c (_y) = inT^c ||x-_y| nên theo định nghĩa của cận dưới đúng

k
lim x - y

= dc(y)<+cc.

k

(iníĩmum), tồn tại một dãy x k e

c sao cho

Vậy dãy |xk| bị chặn, do đó nó có một dãy con |x kj| hội tụ yếu đến một điểm K nào
đó.
Mà

c lồi đóng, nên n £ c.
n - v\\ =

lim

X * - y = lim x k - y = d c { y ) .
k

Vậy
Chứng tỏ n là hình chiếu của y trên

c.

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm n và
7ĩ~l đều là hình chiếu của y trên
y-ĩi

c, thì

ENC

Tức là
(K - y, 71X - > 0
va

( K 1 - y,7T - 7 T l S } > 0.
Cộng hai bất đẳng thức này lại ta suy ra n - n < 0 và do đó Ĩ I = 7Ĩ1


iii. Do y - 7t e îtNç (;r) nên (n - y, X - 7t) > 0, Vx e

c.

Vậy ( î i - y , x ) = ( î i - y , 7 i ) là một siêu phẳng tựa của
Siêu phang này tách y khỏi

c vì y

c tại n .

* K nên

( n - y , y - 7 t ) = - \ 7 t - y f <0.
iv. Theo phần iii. ánh xạ X —» p(x) xác định khắp nơi.
Do
z - p (z) e N c

(z)) với mọi z, nên áp dụng với Z = X, Z = y, ta có:
(x- j p(x), j p(^)- j p(x))<0

và

Cộng hai bất đẳng thức ta được:

{p(y)-p(x)tp(y)-p(x) + x-y)^0.
Từ đây và theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Suy ra

Đe chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) của i, lần lượt với p(x),p(y),
ta có:
(jơ(x)-x,jơ(x)-jơ(>;))<0.
Cộng hai bất đẳng thức ta được

{p(x)-p(y) + y-x9p(x)-p(y))


= {p(x)-p(y)iy-x)

+ ||jơ(x)-/?(^)||2 < 0.

Chuyển vế ta có:
(p(x)-p(^),x-^)>||p(x)-p(^)|| 2 Đây chính là tính đồng bức
cần chứng minh.

□

Định nghĩa 1.14. Cho hai tập

c và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a x = a tách c
T

và D nếu
aTx < a < a T y, Vx G
Ta nói siêu phang aTx = a tách chặt

c, Vy G D.

c và D

c, Vy e D.
Ta nói siêu phang a x = a tách mạnh c và D nếu
aTx < a < a T y, Vx e
T

supaTx < a < intaTy.
xcC
ỹã
Định lý 1.5. ( Định lý tách 1)

c và D là hai tập lồi, khác rỗng trong H sao cho CnD=0. Khi đó, cỏ một siêu
phang tách c và D.
Cho

Định lý 1.6. ( Định lý tách 2)
Cho

c và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho CnD = 0. Giả sử có ít nhất một

tập là tập compẳc. Khi đó, hai tập này có thể tách mạnh được bởi một siêu phang.
1.2.1.2
Hàm lồi
Định nghĩa 1.15. Trong H, cho

c là tập lồi và f \C —> R . Tập domf được gọi là

miền hữu dụng của f khi
domf :=Ịx e c|/(x) < +ooj.


Tập epif := j(x,//) G cX R|/(x) < //j được gọi là trên đồ thị của hàm f.
Định nghĩa 1.16. Trong H cho c lồi khác rỗng và /://—> R u I+QOj.
Hàm f được gọi là: ỉ.

lồi trên c nếu
f(Ẳx + (\-X)y)<Ẳf(x) + (\-X)f(y),Vx,y
ỉỉ. lồi chặt trên c nểu

/(ẨX + (1-Ẩ)^)<Ẩ/(X) + (1-Ẩ)/(^),VX,^GC,VẨG(0,1).
iii. lồi mạnh trên c với ¡3 > 0, Vx, y e C , V/i G (0,1) nếu

f(Ảx + (\-X)y)<Ảf(x) + (\-X)f(y)-Ả(\-Ả)pịx-yf.
Định nghĩa 1.17. Hàm f là hàm lõm trên

c nếu —f lồi trên c.

Định nghĩa 1.18. Một hàm f được gọi là chinh thường trên nếu domf + 0 và /
(*)> —00 với mọi X.
Định nghĩa 1.19. Hàm f được gọi là đỏng, nếu epỉf là một tập đóng trong

H.


Ví du 1.7.
1) Hàm mặt cầu
f

Cho mặt cầu 5:={jcetf X =

0

khi

X

f(x):=. h(x)
+0
0

khi
khi

X
X > M+ . Khi đó hàm

lj và một hàm bất kỳ /ỉ : *s —

<1

= 1.

>1
là lồi.
2) Hàm khoảng cách
Cho

c là tập lồi, đóng, hàm khoảng cách đến tập c, d

c

(x)

:= minllx-yl

' ' yçC

là hàm lồi.
Mệnh đề 1.3. Neu f là một hàm lồi trên H thì các tập mức

Lf (a) := Ịx|/(x) < aj,
là lồi với mọi a G M.
Định nghĩa 1.20. Hàm /:77—»i?u{+ooj và mọi dãy ị x k } ( ^ E , x k — » X đuợc
gọi là
i. nửa liên tục dưới đối với E tại điểm X khi
lim i n f ( x k ) > f ( x ) .
ii. nửa liên tục trên nếu —f nửa liên tục duới đối với E tại X.


iii. liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới đối với E tại X.
Mệnh đề 1.4. Với mọi hàm

Mu|+oo| các điều sau là tương

đương:
i. Trên đồ thị của f là một tập đóng trên H, nói cách khác f = /.
ii. Với mọi sổ thực a, tập mức dưới
Lf (ơ) := Ịx|/(x) < aj
là một tập đỏng.
iii. f nửa liên tục dưới trên tì.
Mệnh đề 1.5. Đổi với một hàm lồi chinh thường trên H và x° E
int {domf ), các khẳng định sau đây là tương đương:
ỉ. f liên tục tại điểm Xo.
ỉỉ. f bị chặn trên trong một lãn cận của Xo.
iii. ỉnt(epỉ J) ^ 0.

iv. int(dom ý) ^ 0 và ỉ liên tục trên tập ỉntịdom j).
Mệnh đề 1.6. Giả sử f là một hàm lòi chinh thường trên H. Khi đỏ, f liên tục tại mọi
điểm X E int ( domf).
Mệnh đề 1.7. Cho f là một hàm lồi chỉnh thường trên tì và Dç domf là một tập lồi đa
diện. Khi đó, f nửa liên tục trên đối với tập D tại mọi điểm của D.
Định nghĩa 1.21. Cho CçH khác rỗng và f:H^lu {+00} ■ Một điểm


X* G c được gọi là cực tiểu địa phương của f trên c nếu tồn tại một lân cận

u của X* sao cho
f (x*) < f (x) với VxeUnC.
Nếu

thì X* được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên c.
Mệnh đề 1.8. Cho f:H—>Ru|+ooj lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa
phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa,, tập họp các điểm
cực tiểu của f là một tập lồi. Neu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại sẽ duy
nhất.
Định nghĩa 1.22. Cho hàm f xác định trên một lân cận của X G H, hàm f được gọi
là khả vi tại X nếu tồn tại X* G H

Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả v ỉ tại mọi điểm X G H.
Nhận xét 1.1. Nếu điểm X* tồn tại thì sẽ là duy nhất và được gọi là đạo hàm
của hàm f tại X.
Kí hiệu: Vf(x) hoặc f'(x).
Định nghĩa 1.23. Cho f : H —» M U j+ooj ■ Ta nói X* G H là dưới đạo hàm của f
tại X nếu
^x*,z-x^ + f(x) < f (z),Vz.

Ký hiệu: dĩ (x) là tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại X.
Khi dĩ (x) + 0 thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại X.
Ví dụ 1.8. Trong H cho

c là một tập lồi, khác rỗng. Khi đó f = 8C là hàm chỉ

được định nghĩa bởi
' 0, xeC

+QO, X Ể c

Với x° e c thì
06 c (x°) = |^x*,x-x 0 ^ < Ỗ c (x),Vx|.

Với x° Ể c thì
06 c (x°) = |^x*,x-x 0 ^ < 0,Vx e
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của

cj = N (x°).
c

c tại một điểm x° e c là nón pháp tuyến ngoài

c

của tại x°.
Mệnh đề 1.9. (.Moreau- Rocka/eỉỉar)
Cho f; với i = l,2,...,m là các hàm lồi chính thường trên H. Khi đó
Nếu nri(domfi) + 0 t h ỉ

m

f m

^

i=l

V i=l

)

Ẽefi(x) = ổ Ẽfi(x)

,Vx.


1.2.2

Toán tử đon điêu

1.2.2.1 Ánh xa đa tri • •
Định nghĩa 1.24. Cho X, Y cz H và F : X —» 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm
toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2 Y ). Khi đó, ta nói F là ánh xạ đa trị đi
từ X vào Y. Như vậy, với mồi
Y, trong đó F(x) CÓ thể là tập rỗng.

là một tập con của

Nếu F(X) chỉ CÓ đúng một phần tử với mọi X £ X thì F là ánh xạ đơn trị từ X vào
Y và ký hiệu là F : X —> Y.
Định nghĩa 1.25. Đồ thị, miền hữu hiệu, miền ảnh của ánh xạ đa trị F \ X ^ 2 y . Đặt:

gphF = { ( x , y ) < = X x Y : y z F ( x ) } ;
domf = ị x & X :F(x)*0|;
rgef = {y £ Y : 3x £ X sao cho y £ F(x)|.
Định nghĩa 1.26. Ảnh xạ ngược

F-1 : Y —» 2X của ánh xạ đon trị

F : X —» 2Y. được xác định bởi công thức:
F _ 1 (y) = ịxeX:yeYnF(x)Ị.
Định nghĩa 1.27. Ánh xạ đa trị F : H —» 2H được gọi là
i. nửa liên tục trên tại X G domF nếu với mọi tập mở V ID F(X), tồn tại lân
cận mở

u của X sao cho

F(x')çV, Vx'eU.

ii. nửa liên tục dưới tại X £ domF nếu với mọi tập mở VcH thỏa mãn F (x) n

w 0, tồn tại lân cận mở u của X sao cho
F(x')nV^0, Vx'eUndomF.
iii. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên ( nửa liên tục dưới) trên H nếu F


nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc H.
iv. F được gọi là liên tục tại X G domF nếu F đồng thời nửa liên tục trên và

nửa liên tục dưới tại X.
V. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H.
Định nghĩa 1.28. (Khoảng cách Hausdorff)
Với A,B cz H là hai tập đóng bất kỳ và khác rỗng, khoảng cách Hausdorff giữa
hai tập A và B được xác định bởi
p(A,B) := max|d(A,B),d(B,A)j,
trong đó
d(A,B) = supinf ||a-b||; d(B,A) = supinf ||a — b||.
aeA beB
beB aeA
Định nghĩa 1.29. (Ánh xạ liên tục Lipschitz)
Cho CcH là tập khác rỗng. Ánh xạ đa trị F:c —»2 H được gọi là liên tục Lipschitz
với hệ số L > 0 (viết tắt là L- Lipschitz) trên c nếu
p(F(x),F(y))
1 thì ta nói F là ảnh xạ co trên c.
Nếu L = 1 thì ta nói F là ảnh xạ không giãn trên c.

i. Nếu L <
ii.
1.2.2.2

Toán tử đơn điêu

Định nghĩa 1.30. Cho toán tử đơn trị T:H->H* và KçH. Khi đó T được gọi là:
i. đơn điệu trên K nếu
^F( U )-F( V ), U -v^ >0,Vu,v G K.
ii. đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại y > 0 thì ta có
^F( U )-F( V ), U iii. giả đơn điệu trên K nếu

>

Y || U - V||2

,V U , V G K.


^F(u),v-u^ > 0 => (F( V ), V - U ) > 0,Vu,v G K.
iv. giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại y > 0 thì ta có
^F( U ), V - U ^ > 0=> ( F ( V ),

V-U^

> ỴIIV — u|| 2 ,Vu,V G K.

Ví du 1.9.
1. Trong R cho toán tử đơn trị T xác định như sau:
T(x) = 3x với Vx G M.
Khi đó, T là toán tử đơn điệu vì Vx,y G M ta có:
( T (x) - T(y), X - y) = (3x - 3y, X - y) = 3(x - y)2 > 0.
2. Cho D khác rỗng và là tập con của H. Cho T : D —» H, lấy a G [-1,1] và
tập A=Id+aT. Khi đó, với Vx G D, Vy G D, ta có