123doc tu chon chuyen de bat dang thuc lop 10

Tự chọn" CHỦ ĐỀ CM BẤT ĐẲNG THỨC"
Thời lượng: 04 tiết
Ngày soạn:22-24/12/07
CHƯƠNG I(tiết 1)
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong
các dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B ⇔ A - B ≥ 0. A > B A - B > 0.
.Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B
gọi là vế phải của bất đẳng thức.
.Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất
đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có: A > B ⇒ C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A >
B.
.Nếu ta có: A > B ⇔ C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng
thức tương đương.
.A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức
không ngặt.
.A ≥ B là A > B hoặc A = B.
.A ≠ B cũng là bất đẳng thức.
.Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng
thức kép. Ví dụ: A < B < C.
*Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu
đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là
" chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ".
II. Các tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất 1: a > b và b > c ⇒ a > c.
Tính chất 2: a > b ⇒ a + c > b +c.
Hệ quả: a > b + c ⇔ a - c > b.
Tính chất 3: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d.

Tính chất 4: a > b ⇔ ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ).
Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ⇒ ac > bd.
Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương ⇒ a n > b n .
Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương ⇒ n a > n b .
Hệ quả: a > b ≥ 0: a 2 ≥ b 2 ⇔ a ≥ b ⇔ a ≥ b .
1
a

Tính chất 8: a > b, ab > 0 ⇒ <

1
.
b

Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒ a m > a n .
0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒ a m < a n .
III. Các hằng bất đẳng thức.
2
1) a ≥ 0. Dấu " = " xảy ra ⇔ a = 0 .
2) − a 2 ≤ 0 . Dấu " = " xảy ra ⇔ a = 0 .
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.
a ≥ 0. Dấu " = " xảy ra ⇔ a = 0 .

1


a ≥ a. Dấu " = " xảy ra ⇔ a ≥ 0.
a + b ≤ a + b . Dấu " = " xảy ra ⇔ ab ≥ 0 .
a − b ≥ a − b . Dấu " = " xảy ra ⇔ b(a − b) ≥ 0 ⇔ a ≥ b ≥ 0; a ≤ b ≤ 0.

4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng
chúng như một bổ đề, chẳng hạn:
a 2 + b 2 ≥ 2ab. Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b.
1 1
4
+ ≥
; a, b > 0. Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b.
a b a+b
2
a+b
2

 ≥ ab ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab. Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b.
 2 
a b
+ ≥ 2; a, b > 0. Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b.
b a
2
a 2 + b 2 x 2 + y 2 ≥ ( ax + by ) . Dấu " = " xảy ra ⇔ ay = bx.

(

)(

)

5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng.
. Bất đẳng thức côsi.

a + a + ... + a n n

≥ a1 a 2 ...a n .
Cho n số dương a1 , a 2 ,...a n . Ta có: 1 2

Dấu " = " xảy ra ⇔ a1 = a 2 = ...a n .

n

. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho hai bộ số: a1 , a 2 , , , a n . và b1 , b2 , , , bn . Ta có:
2

(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) 2 ≤ (a1 + a 22 + ...a n2 )(b12 + b22 + ...bn2 ).
an
a1 a 2
Dấu " = " xảy ra ⇔ b = b = ... = b .
1
2
n

CHƯƠNG II.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương
pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học
sinh lớp 10 ( trong 03 tiết học theo phân phối chương trình và 03 tiết học theo chủ đề tự
chọn bám sát nâng cao, còn lại hướng dẫn thêm cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm ) nắm
vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mổi bài toán chứng minh
bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối
hợp nhiều phương pháp.
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC.

A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau:
. Lập hiệu số: A - B.
. Chứng tỏ A - B ≥ 0.
. Kết luận A ≥ B.
B. Ví dụ.
1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2(a + b + c).

2


1
a

1
b

1
c

b) (a + b + c)( + + ) ≥ 9; a, b, c > 0.
Giải:
(a + b + c + 3) − 2(a + b + c ) = a + b 2 + c 2 − 2a − 2b − 2c
2

2

2

2

a) Ta có: = (a 2 − 2a + 1) + (b 2 − 2b + 1) + (c 2 − 2c + 1)
= (a − 1) 2 + (b − 1) 2 + (c − 1) 2 ≥ 0.

Do đó: a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2(a + b + c).
1
a

1
b

1
c
a a b
b c c
= 1+ + + +1+ + + +1− 9.
b c a
c a b
a b
b c
a c
= ( + − 2) + ( + − 2) + ( + − 2).
b a
c b
c a
2
2
2
( a − b)

(b − c )
(c − a )
+
+
≥ 0; (a, b, c〉 0).
=
ab
bc
ca
1 1 1
Do đó: (a + b + c)( + + ) ≥ 9 . Với a, b, c > 0.
a b c

b) Ta có: (a + b + c)( + + ) − 9 .

2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1.
Giải:
Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
= ( x 2 − 5 x + 4)( x 2 − 5 x + 6) + 1 .
Dặt y = x 2 − 5 x + 5 , biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y 2 ≥ 0.
Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1.
II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.(tiết 2)

A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất
đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
A ≥ B ⇔ A 1 ≥ B 1 ⇔ ... ⇔ ( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B.
B. Ví dụ
1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức:
a) a + b ≥ a + b .

1

1

4

b) x + y ≥ x + y ; x, y > 0.
Giải:
a) a + b ≥ a + b ⇔ ( a + b ) ≥ ( a + b )
2

2

⇔ a 2 + 2 a b + bb 2 ≥ a 2 + 2ab + b 2
⇔ a b ≥ ab ⇔ ab ≥ ab .( bất đẳng thức đúng ).

Vậy a + b ≥ a + b .
b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó:

1 1
4
x+ y
4
+ ≥
⇔
≥
⇔ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy ⇔ ( x + y ) 2 − 4 xy ≥ 0.
x y x+ y
xy
x+ y

2
⇔ ( x − y ) ≥ 0 , ( bất đẳng thức đúng ).

3


Vậy

1 1
4
+ ≥
. Với x, y > 0.
x y x+ y

2. Ví dụ 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
1
a

1
b

Chứng minh rằng: (1 + )(1 + ) ≥ 9.
Giải:
1
1
a
b
a +1 b +1
⇔
.

≥ 9 ⇔ ab + a + b + 1 ≥ 9ab . Vì ab > 0.
a
b
⇔ a + b + 1 ≥ 8ab ⇔ 2 ≥ 8ab . ( Vì a + b = 1 ).
⇔ 1 ≥ 4ab ⇔ (a + b) 2 ≥ 4ab. ( Vì a + b = 1 ).
⇔ (a − b) 2 ≥ 0. ( 2 ).

Ta có: (1 + )(1 + ) ≥ 9 . ( 1 ).

Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương.
Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh.
C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có
điều kiện, chẳng hạn:
a 2 ≥ b 2 ⇔ a ≥ b. Với a, b > 0.
m > n ⇔ a m > a n . Với m, n nguyên dương, a > 1.
Cần chỉ rỏ các điều kiệ ấy khi biến đổi tương đương.
III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.

A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem
phần II. Chương I ).
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 >

1
.
8

Giải:

Do a + b > 1
( 1 ).
Bình phương hai vế: (a + b) 2 > 1 ⇒ a 2 + 2ab + b 2 > 1 ( 2 ).
Mặt khác: (a − b) 2 ≥ 0 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 . ( 3 ).
Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được: 2(a 2 + b 2 ) > 1.
Suy ra: a 2 + b 2 >

1
( 4 ).
2

Bình phương hai vế của ( 4 ): a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 >

1
. ( 5 ).
4

Mặt khác: (a 2 − b 2 ) 2 ≥ 0 ⇒ a 4 − 2a 2 b 2 + b 4 ≥ 0 . ( 6 ).
Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được: 2(a 4 + b 4 ) >
Suy ra: a 4 + b 4 >

1
.
4

1
.
8

2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức:

a2 b2 c2 c b a
+
+
≥ + + .
b2 c2 a2 b a c

Giải:
Ta có: ( x − y ) ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 2 xy. Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y.
2

2

2

4


áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
a2 b2
a b
a
+ 2 ≥ 2. . = 2 . ( 1 ).
2
b c
c
b
c
2
2

b
c
b
Tương tự : 2 + 2 ≥ 2 . ( 2 ).
a
c
a
2
2
c
a
c
+ 2 ≥ 2 . ( 3 ).
2
b
a
b

Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được:
a2 b2 c2
a b c
+ 2 + 2 ) ≥ 2( + + )
2
c a b
b
c
a
2
2
2

a
b
c
a b c
⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + .
c a b
b
c
a
IV. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
2(

A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn
hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc
bằng A, từ đó ta có A ≥ B.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

1
1
1
1
+
+ ... +
> . ( Với n ∈ N , n > 1 ).
n +1 n + 2
2n
2

Giải:

1
1
1
=
.
>
n +1
n + n 2n
1
1
Tương tự:
> .
n+2
2n

Ta có:

..................
1
1
≥
.
2 n 2n

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm.
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 1 +

1
1
1
n
+ 2 + ... + 2 >
; (n ∈ N , n ≥ 1).
2
n +1
2
3
n

Giải:

1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ 2 + ... + 2 >
=
2
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
2

3
n
1 1 1 1 1 1
1
1
1
n
− + − + − + ... + −
=
. Suy ra đpcm.
= 1−
1 2 2 3 3 4
n n +1
n +1 n +1
V. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG.

Ta có: 1 +

A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Như vậy, ta
đã dùng phương pháp phản chứng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a 2 + b 2 ≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2.
Giải: Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được:
a 2 + 2ab + b 2 > 4. ( 1 )

5


Mặt khác ta có:

Mà: 2 (a 2 + b 2 ) ≤ 4 ( giả thiết ), do đó a 2 + 2ab + b 2 ≤ 4. ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ).
Vậy phải có a + b ≤ 2.
2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
a 2 + 2bc ≥ 0; b 2 + 2ac ≥ 0; c 2 + 2ab ≥ 0.

Giải:
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có:
a 2 + 2bc < 0; b 2 + 2ac < 0; c 2 + 2ab < 0.
2
⇒ a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab < 0 ⇔ (a + b + c) < 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy
phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm )
VI. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ.

A. Kiến thức cơ bản.
Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ
bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a
a+c
a) Nếu a < b thì: <
.

b
b+c
a a+c
.
b) Nếu a ≥ b thì: ≥
b b+c
Bài toán 2. Với x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
1

4
a) xy ≥ ( x + y ) 2 .
1 1
4
b) x + y ≥ x + y .
1 1 1
9
c) x + y + z ≥ x + y + z .

* Chú ý:
Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng
đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
< 2.
b+c c+a a+b

Giải:

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a < b + c , theo bài toán 1a) ta có:
a
a+a
2a

=
. ( 1 ).
<
b+c
a+b+c a+b+c
b
2b
.
tương tự:
<
( 2 ).
c+a
a+b+c
c
2c
.
<
( 3 ).
a+b
a+b+c
a
b
c
2(a + b + c)
+
+
= 2.
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có:
<
b+c c+a a+b

a+b+c
2. Ví dụ 2. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:

6


1
1
1
+
≥
.
2
8ab (a + b) 2
4a + 4b
2

Giải:
Vì a, b > 0 ⇒ 4a + 4b > 0 và 8ab > 0. Theo bài toán 2b) ta có:
2

2

1
1
4
4
1
+
≥ 2

=
=
. ⇒ đpcm.
2
2
2
8ab 4a + 4b + 8ab 4(a + b)
4a + 4b
( a + b) 2
1
1
1
3
+
+
≥
.
3.Ví dụ 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
2a + b 2b + c 2c + a a + b + c
2

Giải:

Vì a, b, c > 0 ⇒ 2a + b > 0; 2b + c > 0; 2c + a > 0.
Theo bài toán 2c) ta có:

1
1
1
9

9
3
+
+
≥
=
=
. ⇒ đpcm.
2a + b 2b + c 2c + a 2a + b + 2b + c + 2c + a 3(a + b + c) a + b + c
VII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DUNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.(tiết 3)

A.Kiến thức cần nhớ.
Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các
bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a) a + b ≥ a + b . Dấu " = " xảy ra khi ab ≥ 0 .
b) a − b ≤ a − b . Dấu " = " xảy ra khi b(a − b) ≥ 0 .
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu x, y ≠ 0 thì:
x
y
x y
+ ≥ + ≥ 2. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = ± y .
y
x
y x
m n
1
Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1) + ≥ 2. 2) m + ≥ 2.
n m
m

Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán
trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: x + y + z ≤ x + y + z .
Giải:
Từ bài toán 1a) ta có: x + y + z ≤ x + y + z ≤ x + y + z .
* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng: a1 + a 2 + ... + a n ≤ a1 + a 2 + ... + a n .
2. Ví dụ 2. Cho a, b ≠ 0 . Chứng minh rằng:

a2 b2
a b
+ 2 − 3( + ) + 4 ≥ 0 .
2
b a
b
a

Giải:
a b
Đặt x= + , ta có: x ≥ 2 ( theo bài toán 2 ).
b a
2
a2 b2
a b
a b
a b
Ta được: 2 + 2 − 3( + ) + 4 =  +  − 3 +  + 2 = x 2 − 3x + 2
b a

b
a
b a
b a
 x ≤ −2
⇒ ( x − 2) và ( x − 1) cùng dấu.
= ( x − 2)( x − 1) ≥ 0 . Vì x ≥ 2 ⇔ 
 x≥2

7


a2 b2
a b
+ 2 − 3 +  + 4 ≥ 0 . ( đpcm ).
2
b
a
b a
3. Ví dụ 3. cho a ≤ 1, a − c ≤ 2008, b − 1 ≤ 2009. Chứng minh rằng:
ab − c ≤ 4017.
⇒ ( x − 2)( z − 1) ≥ 0 ⇔

Giải:
Vì: a ≤ 1, b − 1 ≤ 2009 ⇒ a b − 1 ≤ 2009 ⇒ ab − a ≤ 2009 .
Mà: a − c ≤ 2008 . Suy ra: ab − a + a − c ≤ 4017 .
Theo bài toán 1) ta có: ab − c = (ab − a) + (a − c) ≤ ab − a + a − c .
Vậy: ab − c ≤ 4017 .
VIII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA TỔNG BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG, TÍCH HAI SỐ.

A. Kiến thức cần nhớ.
Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của
tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ):
1) 2( x 2 + y 2 ) ≥ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy .
2) 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx) .
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x 4 + y 4 ≥

1
.
8

Giải:
Áp dụng bài toán 1) ta có:

 ( x + y) 2 


 2 

2

(x 2 + y 2 )
1.
≥
≥
2
2
8

4
4
4
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: a + b + c ≥ abc(a + b + c) .
x4 + y4 ≥

Giải:
Áp dụng bài toán 2) ta có:
a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab)
⇒ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c)
IX. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG.

A. Phương pháp.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X =
A1 A2 ... An và Y = B1 B2 ...Bn hoặc X = A1 + A2 + ... + An và Y = B1 + B2 + ... + Bn với
Ai , Bi (i = 1,2,..., n) là đa thức, phân thức mà các biểu thức Ai , Bi có chung quy luật. Dễ dàng
chứng minh được các bất đẳng thức riêng A1 ≥ B1 ,..., An ≥ Bn ⇒ Ai ≥ Bi .
B. Ví dụ.
a2 b2 c2
+
+
≥ a + b + c.
1. Ví dụ 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
b

c

a

Giải:

Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng:

2

a
≥ 2a − b . ( 1 )
b

a2
≥ 2ab ⇔ a 2 ≥ 2ab − b 2 (vì b > 0 ).
Ta có:
b

8


⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ (a − b) 2 ≥ 0 . ( bất đẳng thức luôn đúng ).

Vậy ( 1 ) được chứng minh !
b2
c2
≥
2
b
−
c
;
≥ 2c − a . ( 2 ).
Tương tự
c

a

Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm.
2. Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
.
2
2
2
2
2
2
3
a + b + ab b + c + bc c + a + ca

Giải:

a
2a − b
≥
. (1)
2
3
a + b + ab

Ta có ( 1 ) ⇔ 3a 3 ≥ (2a − b)(a 2 + b 2 + ab)
⇔ 3a 3 ≥ 2a 3 + 2ab 2 + 2a 2 b − a 2 b − b 3 − ab 2

Chứng minh bất đẳng thức riêng:

3

2

⇔ a 3 + b 3 − a 2 b − ab 2 ≥ 0
⇔ (a + b)(a − b) 2 ≥ 0

Vậy ( 1 ) đúng.
b3
2b − c
≥
. (2)
2
2
3
b + c + bc
c3
2c − a
≥
.(3)
2
2
3
c + a + ca

Tương tự

Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm.

X. PHƯƠNG PHÁP XÉT TỪNG KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA BIẾN.

A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của
biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: x 8 − x 7 + x 2 − x + 1 > 0.
Giải:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức.
Cách 1. * Nếu x ≥ 1 thì A = x 7 ( x − 1) + x( x − 1) + 1 > 0.
* Nếu x < 1 thì A = x 8 + x 2 (1 − x 5 ) + (1 − x) > 0.
Vậy ta có đpcm.
Cách 2. A = x 7 ( x − 1) − ( x − 1) + x 2 = ( x − 1)( x 7 − 1) + x 2 .
* Nếu x ≥ 1 ⇒ x 7 ≥ 1 ⇒ ( x − 1)( x 7 − 1) ≥ 0 , mà x 2 > 0. Nên A > 0.
* Nếu x < 1 ⇒ x 7 < 1 ( x − 1)( x 7 − 1) > 0, còn x 2 > 0. Nên A > 0.
2. Ví dụ 2. Cho a, b, c ∈ R , thoả mãn: a + b + c ≥ abc .
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc .
Giải:
Xét hai trường hợp:
2
2
2
1) a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 ⇒ a + b + c ≥ a + b + c ≥ abc .
2) Trong ba số a , b , c có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát, giả
2
2

2
2
2
sử c < 1. Ta có a + b + c ≥ a + b ≥ 2 ab ≥ abc ≥ abc .
XI. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.(tiêt 4)

9


A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán
quen thuộc dẫ biết cách giải
* Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng

A
A1 A2
+
+ ... + n ≥ h .
B1 B2
Bn

( h là hằng số, A1 ,..., An , B1 ,..., Bn là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách
đổi biến m1 = B1 , m2 = B2 ,..., mn = Bn , sau đó biểu diễn A1 theo m1 , m2 ,..., mn sẽ đưa về bài toán
quen thuộc sau:
x

y

Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì y + x ≥ 2 .
B. Ví dụ.

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007) 4 + ( x + 2009 ) 4 ≥ 2.
Giải:
4
Đặt x + 2008 = y, ta có : ( x + 2007 ) +( x + 2009 ) 4 = ( y - 1 ) 4 +( y + 1 ) 4
= 2 y 4 + 12 y 2 + 2 ≥ 2 .
( a − b) 4
* Chú ý: Ta có thể chứng minh tổng quát : ( x + a) + ( x + b) ≥
bằng cách đặt
8
a+b
y = x+
.
2
1
2. Ví dụ 2. Cho a + b + c = 1 .Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 ≥ .
3
4

4

Giải:
1
3

1
3

1
3

Đặt a = + x; b = + y; c = + z . Do a + b + c = 1 ⇒ x + y + z = 0.
1
1
1
3
3
3
1 2
= + (x + y + z) + x 2 + y 2 + z 2
3 3
1
1
= + x2 + y2 + z2 ≥
3
3
1
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z = 0 ⇔ a = b = c = .
3

Ta có: a 2 + b 2 + c 2 = ( x + ) 2 + ( y + ) 2 + ( z + ) 2

3. Ví dụ 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
≥ 3.

b+c−a c+a −b a+b−c

Giải:
Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c.
Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0.

y+z
x+z
x+ y
;b =
;c =
.
2
2
2
a
b
c
y+z z+x x+ y
Vậy b + c − a + c + a − b + a + b − c = 2 x + 2 y + 2 z .

1
x y
y z
x z
= 6 + ( + − 2) + ( + − 2) + ( + − 2)
2
y x
z y
z x



Suy ra a =

10


≥

1
( x − y ) 2 ( y − z ) 2 ( z − x) 2  1
6
+
+
+

 ≥ .6 = 3 .
2
xy
yz
zx  2

XII. PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ CÁC BIẾN.

A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán mà trong đó giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi
vai trò các biến. Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện thêm tính chất của biến,
giúp tim lời giải dễ dàng hơn.
Lưu ý rằng
1) Các biến tham gia trong bài toán hoán vị vòng quanh mà giả thiết và bất đẳng thức

cần chứng minh không thay đổi thì có thể xem một biến nào đó là lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2) Các biến tham gia trong bài toán có vai trò như nhau, nghĩa là nếu hoán vị tuỳ ý mà
giả thiết và bất đảng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xắp xếp trật tự các biến
( theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ).
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a, b, c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1.
Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
≤ 2.
bc + 1 ca + 1 ab + 1

Giải:
Vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử:
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Ta có ab + 1 ≤ ac + 1, ab + 1 ≤ bc + 1.
a
b
c
a
b
c
+
+
≤
+
+

.
bc + 1 ca + 1 ab + 1 ab + 1 ab + 1 ab + 1
a
b
c
a+b+c
⇒
+
+
≤
.
( 1 ).
bc + 1 ca + 1 ab + 1
ab + 1
Mặt khác: (1 − a)(1 − b) ≥ 0 ⇒ a + b ≤ ab + 1 ≤ 2ab + 1 . Mà c ≤ 1 nên
a + b + c ≤ 2ab + 1 + 1 = 2(ab + 1).
a + b + c 2(ab + 1)
≤
= 2.
Do đó:
(2)
ab + 1
ab + 1

Do đó:

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đpcm.
2. Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a 2 (−a + b + c) + b 2 ( a − b + c ) + c 2 (a + b − c) ≤ 3abc .

Giải:

* Nhận xét: Khi hoán vị vòng quanh a → b → c → a thì bất đẳng thức cần chứng minh
không đổi.
Giả sử c là số nhỏ nhất tức là a ≥ c, b ≥ c . Ta có:
3abc − a 2 (b + c − a ) + b 2 (c + a − b) + c 2 (a + b − c)
= a(a 2 − ab − ac + bc) + b(b 2 − bc − ba + ca) + c(c 2 − ca − cb + ab)
= a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a ) + c(c − a )(c − b)
= (a − b)[ a (a − c) − b(b − c)] + c(c − a )(c − b)
= (a − b) 2 (a + b − c) + c(c − a )(c − b) ≥ 0; (do : a ≥ c, b ≥ c)

Vậy ta được đpcm.
XIII. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.

A. Kiến thức cần nhớ.

11


Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi n ≥ 1(n ∈ N ) . ta có thể vận
dụng phương pháp quy nạp toán học.
Các bước chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học:
1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi n = 1 .
2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k .
Chứng minh bất đẳng thức đúng khi n = k + 1
3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi n nguyên dương.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 2 n+ 2 > 2n + 5 , với mọi n nguyên dương.
Giải:

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k , tức là: 2 k + 2 > 2k + 5 , ta cần chứng minh bất đẳng
thức đúng với n = k + 1 .
Ta có: 2 ( k +1)+ 2 = 2 k +3 = 2.2 k + 2 > 2(2k + 5) = 4k + 10 > 2k + 2 + 5 = 2(k + 1) + 5 .
Vậy bất 2 n+ 2 > 2n + 5 với mọi n nguyên dương.
n

an + bn
a+b
2. Ví dụ 2. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh rằng: 
, với mọi n nguyên dương.
 ≤
2
 2 

Giải:
1

a +b
a+b
Với n = 1 , ta có 
, hiển nhiên đúmg.
 ≤
 2 

1

1

2

k

ak + bk
a+b
≤
.Ta có:

2
 2 
k +1
k
a+b a+b
a + b a k + b k a k +1 + ab k + a k b + b k +1
a+b
=
.
≤
.
=




2  2 
2
2
4
 2 
k +1
k +1

k +1
k +1
k
k
k +1
k +1
a +b
a + b − a b − ab
a +b
(a − b)(a k − b k )
=
−
=
−
2
4
2
4
k
k
k
k
Mà: (a − b); (a − b ) cùng dấu nên (a − b)(a − b ) ≥ 0 .

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k

a+b
Do đó: 

 2 

k +1

, tức là: 

a k +1 + b k +1
≤
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
2
XIV. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH SỐ HẠNG.

A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có
dạng f (1) + f (2) + ... + f (n) , khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm
hàm F(k) thoả mãn hệ thức F (k + 1) − F (k ) = f (k ) . Từ đó dễ dàng thấy rằng:
f (1) + f (2) + ... + f ( n) = F (2) − F (1) + F (3) − F (2) + ... + F (n + 1) − F (n) = F (n + 1) − F (1) .
Do đó giúp ta tìm ra lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ.
1

1

1

1

1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) < 1.
Giải:
1

1

1

Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: k (k + 1) = k − k + 1 .
Vậy ta có:

12


1
1
1
1
1 1 1 1
1
1
1
+
+
+ ... +
= − + − + ... + −
= 1−
< 1. ( đpcm ).
1.2 2.3 3.4
n(n + 1) 1 2 2 3
n n +1
n +1
3 5
7

2n + 1
2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 4 + 36 + 144 + ... + n 2 (n + 1) 2 < 1.

Giải:
Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng:

2k + 1
1
1
= 2 −
. Ta có:
2
k (k + 1)
k
(k + 1) 2
3 5
7
2n + 1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... + 2
= 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 −
= 1−

< 1.
2
2
4 36 144
n (n + 1)
1
2
2
3
n
(n + 1)
(n + 1) 2
2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
XV. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ HÌNH HỌC.

A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán bất đẳng thức mấcc biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải
nếu sử dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất:
1). Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c.
2). Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin.
3). u + v ≤ u + v , dấu đẳng thức xảy ra u = k v, k > 0 ( tức u, v cùng hướng ).
4). u.v ≤ u . v , dấu đẳng thức xảy ra khi u = k v ( tức u, v cùng phương )
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: a + b > a + b .
Giải:
B
Xét tam ∆ ABC có ∠ A = 1v, AB = , AC = .
Theo định lý Pitago ta có:

BC 2 = AB 2 + AC 2 = a + b ⇒ BC = a + b
a
∆ ABC có AB + AC > BC ⇒ a + b > a + b .

A

b

C

2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực a,luôn có: a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 .
Giải:
2

2
1  3
1 3

Nhận xét: a + a + 1 =  a +  +   ⇒ u (a + , ) .
2  1 
2 2

2

2

1
3
1
  3 

a − a + 1 =  − a  + 
⇒
v
(
−
a
,
).
2
2
2
  2 
2

2

1
2

1
2

Mà u + v ≥ u + v = (a + + − a) 2 + (

3
3 2
+
) = 2 . đpcm
2
2

CHƯƠNG III.

13


MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC.
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) 4a 4 − 4a 3 + 5a 2 − 2a + 1 .
b) ( x + 5) 4 + ( x + 1) 4 ≥ 32 .
c) a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc .
d) a 4 + b 4 + a 3b + ab 3 ≥ 0 .
Hướng dẫn:
a) 4a 4 − 4a 3 + 5a 2 − 2a + 1 = ... = (2a 2 − a) 2 + (a − 1) 2 + 3a 2 ≥ 0 .
Dấu " = " không xảy ra nên ta có đpcm.
b) Đặt y = x + 3.
c) VT biến đổi được: (a 2 + b 2 c 2 − 2abc) + (a 2 b 2 + c 2 − 2abc) + (b 2 c 2 + a 2 − 2abc) + 6abc .
d) a 4 + b 4 + a 3b + ab 3 = ... = (a + b)(a 3 + b 3 ) .
Bài 2. Chứng minh rằng:
a)

a2 b2 c2 a b c
+
+
≥ + + .
b2 c2 a2 c a b

b)

a6 b6

+ 2 ≥ a4 + b4 .
2
b
a

d)

1
2
3


+ 2 2
≥ 2
.
4
4
4
2 2
2 2
2
2 
a +b +c
a b +b c +c a
a +b +c 

2

 a 2b 2 + 1 
c) a + b +  2 2  ≥ 2 .

 a +b 
4

4

2

Hướng dẫn:
a) Nhân cả hai vế với 2, biến đổi tương đương.
a6 b6
b) Biến đổi tương đương đưa về: 2 + 2 ≥ a 4 + b 4 ⇔ (a 6 − b 6 )(a 2 − b 2 ) ≥ 0 .
b
a
2 2
 a b +1
2
2 2
2 2
c) VT bằng: (a + b ) +  2 2  − 2a b ≥ ... = 2 .
a
+
b


1 1 1
9
d) Chứng minh bài toán phụ: với x, y, z > 0 thì: x + y + z ≥ x + y + z . Áp dụng bài toán trên
với: x = a 4 + b 4 + c 4 ; y = z = a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 .

Bài 3. Chứng minh rằng:

b2
c2
a2
a+b+c
a 8 + b8 + c 8 1 1 1
+
+
≥
≥ + + .
.
b)
a+b b+c c+a
2
a b c
a 3b 3c 3
2
b
a+b
≥b−
Hướng dẫn: a) Chứng minh:
.
a+b
4
b) Chứng minh bài toán phụ: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx .

a)

Bài 4. Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
a2
b2

c2
+
+
≥ 2.
a)
(b − c ) 2 ( c − a ) 2 ( a − b ) 2

a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 3
+
+
≥ .
b)
(a − b) 2 (b − c) 2 (c − a) 2 2

Hướng dẫn:
2
ab
bc
ca
b
c 
 a
+
+
=
−
1
+
+
a) Chứng minh: (b − c)(c − a) (c − a)(a − b) (b − c)(a − b)

. Mà: 
 ≥ 0.
b−c c−a a−b
b) Sử dụng hằng đẳng thức: 2( x 2 + y 2 ) = ( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 .
Bài 5. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
1
1
6
1 1
4
4
+
a) a 2 + b 2 + ab ≥ (a + b) 2 .
b) + ≥
.
a b 3a + b a + 3b

14


1

1

4

1

4

Hướng dẫn: Chứng minh bài toán phụ: x + y ≥ x + y ; xy ≥ ( x + y ) 2 .
Bài 6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3
41a 3 − b 3 41b 3 − c 3 41c 3 − a 3
+
+
≥
a
+
b
+
c
+
+
≤ 5(a + b + c) .
a)
.
b)
2ab
2bc
2ca
ab + 7 a 2
bc + 7b 2
ca + 7c 2
a3 + b3 a + b
41a 3 − b 3
≥
≤ 6a − b .
a) CMBĐT riêng:
.

b) CMBĐT riêng:
2ab
2
ab + 7 a 2
Bài 7. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
a+b
b+c
c+d
d +a
+
+
+
a) (a + b + c + d )( + + + ) ≥ 16 .
b) 2 <
< 3.
a b c d
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b
a
b
c
3
a
b
c
d
4
+
+
≥ .

+
+
+
≥ .
c)
d)
b+c c+a a+b 2
b+c+d c+d +a d +b+a a+b+c 3

Hướng dẫn:
a) BĐT côsi ( hoặc biến đổi vế trái ).

x
x+z
b) CM bài toán phụ: Cho x, y, z > 0, x > y . Chứng minh rằng: y < y + z .
c) Đặt x = a + b; y = c + a; z = a + b với x, y, z > 0 .
d) Đặt x = b + c + d, y = c + d + a, z = d + a + b, t = a + b + c; Với x, y, z, t > 0.
Bài 8. Chứng minh rằng:
3 8
n2 −1
+ + ... +
> n−2.
4 9
n2
n2 −1
1
Hướng dẫn: a) 2 = 1 − 2 .
n
n

a)

b)

1
1
1
1
5
+ 3 + 3 + ... + 3 <
.
3
4
1
2
3
n

3
b) (m − 1)m(m + 1) = m(m 2 − 1) < m ;

Bài 9. Cho a ≥ b ≥ c > 0. Chứng minh rằng:


1
1
1
1
= 
−

.
(m − 1)m(m + 1) 2  (m − 1)m m(m + 1) 

a2 − b2 c2 − b2 a2 − c2
+
+
≥ 3a − 4b + c .
c
a
b

a2 − b2
≥ 2a − 2b .
Hướng dẫn: CMBĐT riêng:
c
Bài 10. Cho a, b, c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1 . Chứng minh rằng:

a) a 3 + b 4 + c 5 ≤ a + b + c .

b) abc(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤

1
.
64

c) (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ 1 − a − b − c .
d) 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ≤ 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a .
Hướng dẫn: c) CM: (1 - a )( 1 - b )( 1 - c ) ≥ ( 1 - a - b )( 1 - c ).
d) Xét (1 − a 2 )(1 − b) ≥ 0 ⇒ ... ⇒ a 3 + b 3 ≤ 1 + a 2 b .
Bài 11. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giac. Chứng minh rằng:

a) a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) .
b) (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 2(a 3 + b 3 + c 3 ) + abc .
c) (a + b + c) 3 > 8abc .
d) a(b − c) 2 + b(c − a) 2 + c(a − b) 2 > a 3 + b 3 + c 3 − 4abc .
Hướng dẫn:
a) Dễ dàng CM được: a 2 < ab + ca .
b) biến đổi tương đương.
c) Ta có: a + b + c > 2c....
d) biến đổi tương đương.
2

a
Bài 12. a) cho a, b, c thoả mãn abc = 1; a 3 > 36. Chứng minh rằng: + b 2 + c 2 > ab + bc + ca .
3

15


b) Cho a, b, c thoả mãn c > 0 và (a + c) 2 < ab + bc − 2ac . Chứng minh rằng: b 2 − 4ac > 0.
2

a 3 − 36
a

Hướng dẫn: a) Biến đôit tương đương về:  − b − c  +
> 0.
12a
2

b) Từ GT biến đổi được: b 2 − 4ac > (a + c − b) 2 + (a + c) 2 > 0.

2

2

1 
1
25

Bài 13. a) cho a, b > 0 thoả mãn a + b = 1 . Chứng minh rằng:  a +  +  b +  ≥ .
a 
b
2

2

2

2

1 
1 
1
100

b) Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:  a +  +  b +  +  c +  ≥
a 
b 
c
3


.
2

Hướng dẫn:

2

2

1 
1
1
1
1

a)  a +  +  b +  ≥  a + + b +  . ( ý b - tương tự ).


a



b
2
a
b
1 1 1 1
a+b
b+c

+
≥ 4.
Bài 14. Cho a, b, c thoả mãn − = − . Chứng minh rằng:
a b b c
2a − b 2c − b
2ac
2ac + 3(a 2 + c 2 ) 2ac + 6ac
≥
=4
Hướng dẫn: Từ GT ⇒ b =
. Biến đổi VT được:
a+c
2ac
2ac
Bài 15. Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng ít nhất có một bất đqẳng thức sau là sai:
2a (1 − b) >1; 3b(1 − c) > 2; 8c(1 − d ) > 1; 32d (1 − a ) > 3.

Hướng dẫn: ( CM bằng PP phản chứng ).
 x 2 + xy + y 2 = 3
Bài 16. Giả sử hệ phương trình sau có nghiệm:  2
2
 y + yz + z = 16
Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ 8 .
x
2

Hướng dẫn: Từ hệ phương trình, ta có: u ( + y,

x 3
z 3

z
) & u = 3.v(
,y + )& v = 4.
2
2
2

áp dụng tính chất: u.v ≤ u.v ≤ u . v ....Ta được đpcm.
Bài 17. ( ĐH Huế ) Giải phương trình:

x +1
3
+
= 2.
x +1
3

Hướng dẫn: ( Xem chương IV - Ứng dụng của bất đẳng thức )
Sử dụng BĐT cosi để đánh giá hai vế của phương trình.
CHƯƠNG IV.

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.
Bất đẳng thức có rất nhiều ứng dụng trong đại số, nhất là trong giải toán cực trị đại
số, giải phương trình,... Đi sâu vào các loaị này đòi hỏi người thầy và học sinh phải biết
phân dạng bài toán, nắm vững các phương pháp, xây dựng các thuật toán,...
I. Giải toán cực trị đại số.
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Để tìm GTNN ( GTLN ) của biểu thức A(x) trong tập hợp D ta làm như sau:
* Chứng minh A(x) ≥ m ( hoặc B(x) ≤ M ) với m ( hoặc M ) là hằng số.
* Chỉ ra A(a) = m, ( Hoặc B(b) = M ) với a ∈ D ( hoặc b ∈ D ).

* Kết luận GTNN của A là m ( hoặc GTLG của B là M ).

16


2. Khi giải một bài toán cực trị đại số cần căn cứ vào dạng của bài toán mà chọn phương
pháp giải thích hợp. Các dạng toán tìm cực trị thường gặp là:
* Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Hàm đa thức
* Hàm phân thức.
* Các bài toán mà các biến có điều kiện ràng buộc.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. Tìm GTNN của hàm số: y = x − 5 + x − 7 . ( Bài này có nhiều cách sử dụng BĐT,
tôi chỉ trình bày một cách chứng minh ).
Giải: Chứng minh bài toán phụ: a + b ≥ a + b . Dấu " = " xảy ra ⇔ ab ≥ 0 .
Áp dụng bài toán trên ta có: x − 5 + x − 7 = x − 5 + 7 − x ≥ x − 5 + 7 − x = 2 . Dấu " = " xảy ra
⇔ ( x − 5)(7 − x) ≥ 0 ⇔ 5 ≤ x ≤ 7 . Vậy y min = 2 ⇔ 5 ≤ x ≤ 7 .
2. Ví dụ 2. Tìm GTLN của hàm số: y = x(1 − x) 3 , với x ∈ [ 0;1] .
1
3

1
3

Giải: Biến đổi: y = x(1 − x) 3 = .3x(1 − x) 3 = .3x(1 − x)(1 − x)(1 − x) . Áp dụng bất đẳng thức côsi
cho 4 số không âm gồm 3x và ba số 1-x, ta được:
4

4

1  3 x + (1 − x ) + (1 − x) + (1 − x) 
1 3
27
y ≤ .
= .  =
.

3
4
3 4
256

27
1
⇔ 3x = 1 − x ⇔ x = .
Vậy y max =
256
4
 a, b, c ≥ 0
3. Ví dụ 3. Cho 
Tìm Max của S = 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a .
a
+
b
+
c
=
1

2 2

( a + b) + +
Giải: Ta có: 3 a + b = 3 9 .3 (a + b). 2 2 ≤ 3 9 .
3 3.
4
33
4
3
2 2
(b + c ) + +
9
2 2
9
3 3.
3
b + c = 3 .3 (b + c). . ≤ 3 .
4
3 3
4
3
2 2
(c + a ) + +
9
2 2
9
3 3.
3
c + a = 3 .3 (c + a). . ≤ 3 .
4
3 3
4

3
9 2(a + b + c ) + 4 3 9 6 3 .
⇒ S = 3 a+b +3 b+c +3 c+a ≤ 3 .
=
. = 18
4
3
4 3
1
Vậy, Max S = 3 18 ⇔ a + b = b + c = c + a ⇔ a = b = c = .
3

II. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số.
A. Kiến thức cần nhớ.
Trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, một số bài toán đòi hỏi
các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức sẽ cho lời giải ngắn gọn. Các bài toán này rất độc đáo
đòi hỏi học sinh phải có óc phán đoán và suy luận thật hợp lý. Bước đầu làm quen với
phương pháp đánh giá giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, cần ghi nhớ các
điều sau:
1) Để giải phương trình f(x,y,...,z) = 0, ta có thể chứng minh f(x,y,...,z) ≥ 0 hoặc
f(x,y,...,z) ≤ 0 và chỉ ra điều kiện xảy ra dấu đẳng thức.

17


2) Có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng rồi chứng minh ngoài nghiệm này ra
không còn nghiệm nào khác nữa.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1. ( ĐHNN Hà Nội - 99): Giải phương trình: x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 .
Giải: Điều kiện x ≥ 1 .

Nhận xét rằng: VT = x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = ( x − 1) 2 + 4 + x − 1 ≥ 2 .
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 .
2. Ví dụ 2. Giải bất phương trình: x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 ≤ 2 .
Giải: Điều kiện x ≥ 1 .
Nhận xét rằng: VT = x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 ≥ 24 x − x 2 − 1 .4 x + x 2 − 1 = 2 .
( vì a 2 + b 2 ≥ 2ab ).
Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2 ⇔ 4 x − x 2 − 1 = 4 x + x 2 − 1 ⇔ x = 1 .
Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 1 .
6 x 2 . x 3 − 6 x + 5 = ( x 3 + 4)( x 2 + 2 x − 6)
(1)

2
2
3. Ví dụ 3. Giải hệ : 
(2)
x + ≥ 1+ 2

x
x
2
2
2
Giải: Do x, cùng dấu, nên từ x + ≥ 1 + 2 ⇒ x > 0 ⇒ x 3 + 4 > 0 ⇒ x 2 + 2 x − 6 > 0 .
x
x
x
 x < −1 − 7
 x −1 > 0
⇒
⇔ x > −1 + 7 ⇒  2

x + x − 5 > 0
 x > −1 + 7

Sử dụng bất đẳng thức cosi ta có: 3x 2 = 33

x3 x3
x3 x3
. .4 ≤
+
+ 4 = x3 + 4 .
2 2
2
2

và 2 x 3 − 6 x + 5 = 2 ( x − 1)( x 2 + x − 5) ≤ ( x − 1) + ( x 2 + x − 5) = x 2 + 2 x − 6 .
Do đó VT(1)≤VP(1). Dấu " = " xảy ra khi x = 2, thoả mãn (2).
Vậy, nghiệm của hệ là x = 2.
2008
2009
4. Ví dụ 4. Giải phương trình: x − 2 + x − 3 = 1 .
(1)
Giải: Nhận thấy x = 2, hoặc x = 3 thoả mãn phương trình (1).
. Nếu x > 3 ⇒ x − 2 > 1 ⇒ VT > VP = 1 . Vậy phương trình (1) không có nghiệm x > 3 .
. Nếu x < 2 ⇒ 3 − x > 1 ⇒ VT > VP = 1 . Vậy phương trình (1) không có nghiệm x < 2 .
. Nếu 2 < x < 3 ⇒ 0 < x < 1;0 < 3 − x < 1 ⇒ ( x − 2) 2008 < x − 2; (3 − x) 2009 < 3 − x ⇒ VT < VP = 1
Vậy phương trình (1) không có nghiệm 2 < x < 3 .
Do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = { 2;3} .

Chủ đề " BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH"
Tiết 1- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

I. Môc tiªu.

Ngµy 10/01/08

18


1. Về kiến thức
- Nắm vững cách giải và biện luận bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
2. Về kỹ năng.
- GiảI thành thạo các bất phơng trình bậc nhất một ẩn, hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
3. Về t duy và thái độ.
- Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học.
- Cẩn thận chính xác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
- Chuẩn bị của học sinh:
+ Đồ dùng học tập : Thớc kẻ, compa
- Chuẩn bị của giáo viên:
+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiếu học tập.
III. Phơng pháp dạy học.
+ Phơng pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển t duy và hoạt động đan xen
nhóm.
IV. Tiến trình của bài học và các hoạt động.
A. Các hoạt động:
* Chia nhóm họat động thành 4 nhóm.
- Nhóm 1: Dựa theo kết quả bài tập đã làm ở nhà chuẩn bị kết quả các bài;
28(a), 29(a), 30(b).
- Nhóm 2: Chuẩn bị báo cáo kết quả các bài tập:
28(b), 29(b), 30(a).

- Nhóm 3: Chuẩn bị báo cáo kế quả các bài tập:
28(c), 29(c), 31(a).
- Nhóm 4: Chuẩn bị báo cáo các bài tập:
28(d). 29(d), 31(b).
B. Tiến trình bài học.
* Kiểm tra bài cũ lồng vào các hoạt động của bài học.
* Bài mới.
- GV cho HS thảo luận theo từng nhóm.
- Gọi đại diện các nhóm lên nêu đáp số vừa thảo luận và trình bày chi tiết lời giải của một
bài.
- Nhóm 1: Nêu đáp số của các câu: 29(a), 30(b) và trình bày lời giải câu 28(a).
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Ghe hiểu nội dung câu hỏi nhận bài - Gọi đại diện nhóm một lên làm
tập.
nhiệm vụ.
- Trả lời câu hỏi.
- Cho học sinh nhóm khác nhận xét lời
- Trình bày chi tiết bài 28(a).
giải.
- Chỉnh sửa nếu cần.
- Chỉnh sửa cho học sinh nếu cần.
- Ghi nhận kiến thức.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Nhóm 2: Nêu đáp số của câu 28(b), 29(b) và trình bày lời giải của câu 30(a).
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Đọc đề.
- Chia nhóm học sinh và giao nhiẹm
- Nêu cách giải.

vụ.
- Ghi kết quả lời giải chi tiết.
- Phân tích đề bài.

19


- Trình bày lời giải.
- Ghị nhận kiến thức.

- Kiểm tra kết quả của từng nhóm.
- Trình bày lời giải ngắn gọn.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Nhóm 3: Nêu đáp số bài 28(c), 31(a) và nêu lời giải chi tiết câu 29(c).
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Trả lời câu hỏi của giáo viên.
- Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi.
- Trình bày chi tiết câu 29(c).
- Nhận xét kết quả của học sinh.
- Chỉnh sửa nếu cần.
- Chỉnh sửa nếu cần.
- HS khác nhóm nhận xét lời giải.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Ghi nhận kiến thức.
- Nhóm 4: Nêu đáp số các câu 28(d), 29(d) và trình bày chi tiết câu 31(b).
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Trình bày kết quả.
- Yêu cầu học sinh trình bày kết quả.

- HS khác nhóm nhận xét lời giải.
- Cho HS khác nhóm nhận xét lời giải.
- Chỉnh sửa nếu cần.
- Nhận xét kết quả của HS.
- Ghi nhận kiến thức.
- Chú ý cho HS những sai lầm thờng
mắc.
- Cho HS ghi nhận kiến thức.
* Củng cố.
- Nắm đợc cách giải của từng dạng toán.
* Bài tập: Làm các bài tập còn lại trong SGK.
Tit 2

dấu của nhị thức bậc nhất.
ngày 20/01/08

I. Mục tiêu.
1. Về kiến thức
- KháI niệm nhị thức bậc nhất, định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và ý nghĩa hình học của
nó.
- Cách xét dấu tích, thơng của nhị thức bậc nhất.
2. Về kỹ năng.
- Thành thạo các bớc xét dấu của nhị thức bậc nhát.
- Hiểu và vận dụng đợc các bớc lập bảng xét dấu để giảI bất phơng trình dạng tích và bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
3. Về t duy và thái độ.
- Rèn luyện t duy logíc, biết quy lạ về quen.
- Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
- Chuẩn bị của học sinh:
+ Đồ dùng học tập : Thớc kẻ compa

- Chuẩn bị của giáo viên:
+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiếu học tập.
III. Phơng pháp dạy học.
+ Phơng pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển t duy, đan xen hoạt đông
nhóm.

20


IV. Tiến trình của bài học và các hoạt động.
A. Các tình huống học tập.
- Hoạt động 1: Bài cũ
GiảI các bất phơng trình sau:
a. 5x 2 > 0.
b. -2x + 4 > 0
- Hoạt động 2: Xét dấu của nhị thức: f(x) = 2x - 8
- Hoạt động 3: Phát biểu và chứng minh định lý về dấu của f(x) = ax + b (a)
- Hoạt động 4:Xác định mối quan hệ giữa hàm số khi biết đồ thị của các hàm số là do tịnh
tiến đồ thị của hàm số kia song song với trục toạ dộ.
- Hoạt động 5: Củng cố toàn bài.
B. Tiến trình bài học.
1. Kiểm tra bài cũ:
2. Bài mới.
- Hoạt động 1: Các quy tắc sau có phảI là hàm số không, vì sao?
a. Đặt tơng ứng mỗi số thực dơng với căn bậc hai của nó.
b. Tơng ứng cho bảng sau:

Hoạt động của HS
- Chép (hoặc nhận) bài tập

- Đọc và nêu thắc mắc đề bài
- Định hớng cách giảI
- Chính xác hoá kết quả.

Hoạt động của GV
- Đọc(hoặc phát) đề bài cho học sinh
- Gọi hai học sinh lên bảng.
- Đánh giá kết quả hoàn thành nhiệm
vụ của từng học sinh.
- Đa ra lời giải.

* Bài mới.
- Hoạt động 2: Củng cố kháI niệm TXĐ, giá trị của một hàm số tại một điểm
2( x 2)
Cho hàm số f(x) = 2
x 1

1 x < 1
x 1

TXĐ của hàm số là?
a. R
b. (; 1] [1; +)

c. [1; +)

Hoạt động của HS
- Nghe và hiểu nội dung.
- Tìm phơng án thắng
- Ghi nhận kiến thức.

Hoạt động của GV
- Chia nhóm học sinh.
- Phát phiếu học tập cho các nhóm
- Chỉnh sửa kết quả khi học sinh hoàn
thành nhiệm vụ.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 3: Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên mỗi khoảng, lập bảng biến thiên của
hàm số.
Bài tập 13 SGK

21


Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
- Đọc đề bài và nghiên cứu cách giải.
- Đọc (hoặc phát) đề cho học sinh
- Độc lập tiến hành giảI toán
- Gọi học sinh lên bảng
- Thông báo kết quả cho giáo viên khi - Đánh giá kết quả của học sinh
đã hoàn thành nhiệm vụ
- Chỉnh sửa nếu cần.
- Chính xác hoá kết quả.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 4: Xác định mối quan hệ giữa hàm số khi biết đồ thị của các hàm số là do tịnh
tiến đồ thị của hàm số kia song song với trục toạ dộ.
- Bài 16 SGK
Hoạt động của HS

Hoạt động của GV
- Đọc đề bài và nghiên cứu cách giải.
- Đọc (hoặc phát) đề cho học sinh
- Độc lập tiến hành giảI toán
- Gọi học sinh lên bảng
- Thông báo kết quả cho giáo viên khi
- Đánh giá kết quả của học sinh
đã hoàn thành nhiệm vụ
- Chỉnh sửa nếu cần.
- Chính xác hoá kết quả.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 5:
* Củng cố.
- Hệ thống lại kiến thức toàn bài.
* Bài tập: Làm các bài tập còn lại trong SGK .
Tit 3.
DU CA TAM THC BC HAI
I. Mục tiêu.
1. Về kiến thức
- Học sinh nắm vững cách giảI bất phơng trình bậc 2 một ẩn, bất phơng trình tích bất phơng
trình chứa ẩn ở mẫu thức, hệ bất phơng trình bậc hai.
2. Về kỹ năng.
- GiảI thành thạo các bất phơng trình và hệ bất phơng trình đã nêu ơ r trên.
- GiảI đợc một số bất phơng trình đơn giản đã nêu ở trên.
- Vận dụng vào giảI đợc các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai.
3. Về t duy và thái độ.
- Rèn luyện t duy logíc, biết quy lạ về quen.
- Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

- Chuẩn bị của học sinh:
+ Đồ dùng học tập nh: Thớc kẻ compa
+ Bài cũ: Nắm vững tập con, tập hợp bằng nhau,cách biểu diễn trên trục số.
- Chuẩn bị của giáo viên:
+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiếu học tập.
III. Phơng pháp dạy học.
+ Phơng pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển t duy.
IV. Tiến trình của bài học và các hoạt động.
A. Các tình huống học tập.
* Tình huống 1: Ôn tập kiến thức cũ..

22


- Hoạt động 1: Xét dấu mỗi biểu thức sau:
a. f(x) = x2 3x +1
b. f ( x) =

2x + 1
.
3 x + 5

* Tình huống 2: GiảI bất phơng trình bậc hai.
- Hoạt động 2: - GiảI bất phơng trình: f(x) = x2 3x + 1 > 0
- Hoạt động 3: - Tìm tập nghiệm của mỗi bất phơng trình sau:
a. x2 + 5x + 4 < 0
b. 3x2 + 2 3 x < 1
7
3

c. 4x 5 x 2
* Tình huống 3: GiảI các bất phơng trình quy về phơng trình bậc hai.
- Hoạt động 4: GiảI bất phơng trình:

2 x 2 + 3x 2
0
x2 5x + 6

- Hoạt động 5: GiảI bất phơng trình (4 2x)(x2 + 7x +12) < 0
B. Tiến trình bài học.
1. Kiểm tra bài cũ:
- Hoạt động 1: Xét dấu mỗi biểu thức sau:
a. f(x) = x2 3x +1
b. f ( x) =

2x + 1
.
3 x + 5

Hoạt động của HS
- Nghe hiểu nội dung câu hỏi.
- Xét dấu của f(x) = x2 3x +1
- Xét dấu của f ( x) =

2x + 1
3 x + 5

Hoạt động của GV
- Giao nhiệm vụ cho học sinh.

- Kiểm tra kết quả của 1 đến 2 học sinh.
- Nhận xét kết quả
- Thông qua đó để chuẩn bị bit mới.

- Tìm phơng án thắng.
- Thông báo kết quả cho giáo viên.
- Hoạt động 2: - GiảI bất phơng trình: f(x) = x2 3x + 1 > 0
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
- Nghe hiểu nội dung.
-Phân nhóm học sinh.
2
- Xét dấu của f(x) = x 3x + 1
- Đa ra mối quan hệ gia dấu của tam
- Đa ra những giá trị của x để
thức bậc hai với những giá trị của x để
2
f(x) = x 3x + 1 > 0
f(x) = x2 3x + 1 > 0.
- Thông báo kết quả.
- Đa ra kháI niệm bất phơng trình bậc
- Ghi nhận kiến thức.
hai.
- Cho hoc sinh Ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 3: : - Tìm tập nghiệm của mỗi bất phơng trình sau:
a. x2 + 5x + 4 < 0
b. 3x2 + 2 3 x < 1
7
3

c. 4x 5 x 2
Hoạt động của HS
- Nghe hiểu câu hỏi
- áp dụng cách giảI đa ra tập nghiệm

Hoạt động của GV
- Giao niệm vụ cho học sinh.
- Kiểm tra kết quả của học sinh.

23


của các bất phơng trình.
- Chỉnh sửa nếu cần.
- Biết cách biểu diễn tập nghiệm trên
trục số.
- Ghi nhận kiến thức.

- Đa ra cách giảI bất phơng trình bậc
hai.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.

2 x 2 + 3x 2
0
- Hoạt động 4 GiảI bất phơng trình: 2
x 5x + 6

Hoạt động của HS
- Nghe hiểu câu hỏi.
- Tièm cách xét dấu của tử và mẫu của

bất phơng trình đã cho.
2 x 2 + 3x 2
0
- GiảI bất phơng trình 2
x 5x + 6

Hoạt động của GV
- Giao nhiệm vụ cho học sinh.
- Nhận xét kết quả của học sinh.
- Đa ra cách giải.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.

- Chỉnh sửa nếu cần.
- Ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 5: GiảI bất phơng trình (4 2x)(x2 + 7x +12) < 0
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
- Giao nhiệm vụ cho học sinh.
- Nghe hiu câu hỏi.
- Kiểm tra kết quả của học sinh.
- Tìm phơng án thắng.
- Đa ra phơng pháp giảI bất phơng
- Chỉnh sửa nếu cần.
trình tích.
- Ghi n hận kiến thức.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
* Củng cố.
- Cách giảI bất phơng trình bậc hai, bất phơng trình quy về bậc hai.
* Bài tập: Làm các bài tập trong SGK .
Tit 4 MT S PHNG TRèNH V BT PHNG TRèNH QUY V BC HAI

I. Mục tiêu.
1. Về kiến thức
- Cách giải các phơng trình và bất phơng trình (quy về bậc hai) chứa ẩn dới dấu giá trị tuyệt
đối.
- Cách giải một số phơng trình và bất phơng trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai.
2. Về kỹ năng.
- Vận dụng các khái niệm trong giải toán
- Biết cách giải một số bài toán cho dới dạng tổng quát
3. Về t duy và thái độ.
- Rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng giải thành thạo các phơng trình và bất phơng trình
quy về bậc hai .
- Cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
- Chuẩn bị của học sinh:
+ Đồ dùng học tập nh: Thớc kẻ, compa
- Chuẩn bị của giáo viên:
+ Các bảng phụ, đồ dùng dạy học.
+ Phiếu học tập.
III. Phơng pháp dạy học.
+ Phơng pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển t duy.

24


IV. Tiến trình của bài học và các hoạt động.
A. Các tình huống học tập.
Cũng cố và luyện tập về phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình quy về bậc hai.
- Hoạt động 1: Củng cố kiến thức thông qua giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Hoạt động 2: - Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Hoạt động 3: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải phơng trình chứa căn thức.

- Hoạt động 4: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa căn thức.
- Hoạt động 5: Thành lập bảng tóm tắt các dạng phơng trình và bất phơng trình.
B. Tiến trình bài học.
1. Kiểm tra bài cũ: Lồng vào các hoạt động học tập của giờ học.
2. Bài mới.
- Hoạt động 1: Củng cố kiến thức thông qua giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Nghe hiểu nội dung câu hỏi.
- Ra bài tập và hớng dẫn hs cách giải.
- Trình bày kết quả.
- Nhận xét kết quả của học sinh.
- Chỉnh sữa hoàn thiện lời giải.
- Lu ý HS khi giải phơng trình dạng
- Ghi nhận kiến thức.
phân thức.
- Yêu cầu nâng cao đối với trờng hợp
tổng quát .
- Cho HS ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 2: Củng cố kiến thức và kỹ năng giảI bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2
2
- GiảI bất phơng trình sau: x 5 x + 4 x + 6 x + 5 .
Hoạt động của học sinh
- Nghe hiểu nội dung.
- Suy nghĩ giải bài toán
- Chỉnh sữa nếu cần.
- Ghi nhận kiến thức.

Hoạt động của giáo viên

- Kiểm tra kiến thức về giá trị tuyệt
đối.
- Hớng dẫn học sinh giải toán.
- Lu ý học sinh khi lấy tập nghiệm của
bất phơng trình .
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 3: Củng cố kiến thức và kỹ năng giảI phơng trình chứa căn thức.
- Giải phơng trình x 2 + 3x + 12 = x 2 + 3x
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Nghe hiểu nội dung câu hỏi.
- Kiểm tra kiến thức cơ bản:
- Vận dụng kiến thức để giải bài toán
f ( x) = g ( x)
trên.
- Hớng dẫn học sinh giải bài tập toán.
- Chỉnh sữa nếu cần.
- Lu ý học sinh khi giải các bài toán
- Ghi nhận kiến thức
phơng trình có chứa căn thức.
- Tổng quát hoá bài toán.
- Cho học sinh ghi nhận kiến thức.
- Hoạt động 4: Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bất phơng trình chứa căn thức.
- Giải bất phơng trình :

2x 4

x 2 3 x 10

Hoạt động của học sinh

- Nghe hiểu nội dung.

>1

Hoạt động của giáo viên
- Nhận xét về dạng bất pt

25