Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 21

đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút
Bài 1(4đ): Cho hàm số y= (x-1)
2
(x+1)
2
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm giá trị b để Parabol y= 2x
2
+ b tiếp xúc với (C). Viết phơng trình
tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Bài 2(5đ):
a) Tính tích phân:


+
0
9
7
3
2
)1)(1( xx
dx
b) Tìm m để hàm số:
mxxxy 22
2
+++=
có cực đại và giá trị cực đại
y

CĐ
<10
Bài 3(3đ):
a) Giải phơng trình: 2
x
+ 3
x
= 3x + 2
b) Giải hệ phơng trình:
[ ]





+=+
=+
)2(1)()1(
5
22
22
yyyxyxy
yx
Bài(4đ):
a) Chứng minh rằng với mọi
[ ]
1;0

x
ta đều có:

)1(2
1
1
4
2
+
+
+
<

x
x
x
x
e
x
x
b) Cho ABC với các góc A, B đều là các góc nhọn và thỏa mãn
9
22
SinCBSinASin
=+
. Tính góc C.
Bài 5(4đ): Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, O y, Oz lần lợt
lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB= b, OC = c.
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c.
b) Cho A, B, C thay đổi trên các tia thỏa mãn
OA + OB + OC + AB + AC + BC = k , không đổi. Hãy xác định
giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
hớng dẫn chấm đề tham gia xây dựng đề thi

học sinh giỏi khối 12
Bài 1(4đ):
a) 2 điểm:
1) TXĐ: D= R 0,25 điểm
2) y
,
= 4x
3
- 4x =4x(x
2
-1)
y
,
= 0 khi x= 0 hoặc x= 1
Dấu của y
,
: y
,
> 0
);1()0;1(
+
x
y
,
< 0
)1;0()1;(

x
0,25
điểm

Hàm số đạt cực đại tại x= 0, và cực tiểu tại x=-1, x=1 0,25điểm
Tính lồi lõm, điểm uốn: y
,,
= 12x
2
-4
y
,,
= 0
3
3

=
x
, y
,,
> 0
);;
3
3
()
3
3
;(
+
x
đồ thị lõm
)
3
3

;
3
3
(0
,,
<
xy
đồ thị lồi 0,25 điểm
Đồ thị hàm số có hai điểm uốn M
1
(-
3
3
,
)
9
4
; M
2
(
3
3
,
)
9
4
Giới hạn
+=+=
+
yy

xx
lim;lim

Đồ thị không có tiệm cận 0,25điểm
Bảng biến thiên 0,25điểm
x
-

-1
3
3

0
3
3
1
+
y
,
- 0 + 0 - 0 +
y -

1 +


9
4

9
4

0 0
3) Đồ thị:
- Nhận Oy làm trục đối xứng
- Cắt Ox tại hai điểm (1;0); (-1;0)
- Cắt Oy tại (0;1)
- Đồ thị nh hình vẽ
- Đi qua (2;9); (-2;9) 0,25 điểm
0,5 điểm
c) Parabol y= 2x
2
+ b tiếp xúc với (C)





=
+=+

xxx
bxxx
444
212
3
224
có nghiệm 0,25điểm
d)

4x
3

- 4x= 4x
2;00)2(4
3,21
2
===
xxxx
0,25 điểm
Ta có:
32;10
3,21
====
bxbx
tiếp điểm M
1
(0;1);M
2
(-
2
;1); M
3
(
2

;1)
Kết luận: b= 1; b= -3 0,25 điểm
phơng trình tiếp tuyến chung tại M
1
: y= y
,
(0)(x-0)+ 1= 1 0,25điểm

- Phơng trình tiếp tuyến tại M
2
: y= y
,
(-
2
)(x+
2
)+ 1
hay tiếp tuyến (d
2
) y=
724

x
0,25điểm
- Phơng trình tiếp tuyến tại M
3
: y= y
,
(
2
)(x-
2
)+1
hay(d
3
) y= 4
2
x 7 0,25 điểm

Kết luận 0,25 điểm
Bài 2(5đ):
a)(2,5 điểm)
Tính I =


+
0
9
7
3
2
)1)(1( xx
dx
.
Đặt t =
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
t
t
x
x

x
t
x
x

+
=
+

=
+


dt
t
t
dx
3
2
)1(
6

=
0,25 điểm
Đổi cận ta có x=
2
9
7
=
t

; x=
10
=
t
. 0,25 điểm
Khi đó: I =
dt
t
t
dt
t
t
t
t






=



1
2
3
1
2
3

23
2
1
3
1
2
)1(
6
0,25
điểm
Tìm A,B,C để
3
1 t
t

=
2
1
1
tt
CBt
t
A
++
+
+


Đồng nhất thức :

=+
=+
=
0
1
0
CA
CBA
BA
0,25điểm
Khi đó: I= -3
dt
t
t




1
2
3
1
=-3

1
2
(
2
1
1
tt
CBt
t
A
++
+
+

)dt=
dt
tt
t
t
dt





++



1

2
2
1
2
1
1
1
=



++
+
=
++





1
2
22
1
3)12(
2
1
3
2
ln

1
22
2
1
2
1
1ln
tt
t
dt
tt
t
t
dt
=



++
+


++
1
2
22
2
)
2
3

()1(
2
3
2
1
1ln
2
1
3
2
ln
t
dt
tt
0,25 điểm
Đặt
duutgdtutgut )1(
2
3
)
2
;
2
(;
2
3
1
2
+==+

0,25 điểm
Đổi cận: Khi t=-2
6
1;
3


==

=
utu
0,25 điểm




++
1
2
22
)
2
3
()1(t
dt
=



+

+
6
3
22
2
)1()
2
3
(
)1(
2
3


utg
duutg
=
9
3
3
32
6
3



=

du
0,5 điểm
Kết luận: I=
3
2
ln
+
6
3
9
32
ln
6
3
3ln
2
1


+=+
0,25 điểm
b) (2,5đ):
Xét g(x)=x
2
+ 2x + 2m, có
,
= 1- 2m
Xét hai trờng hợp sau:
-Trờng hợp 1: Nếu
,

2
1
0 m
thì g(x)
0

với mọi x. Khi đó
y= x
2
+ 2x + 2m. hàm số không có cực trị, hay trờng hợp này loại.0,25 điểm
-Trờng hợp 2: Nếu
,

2
1
0 <> m
thì phơng trình g(x)= 0 có hai
nghiệm phân biệt:
x
1
= -1-
mxm 211;21
2
−+−=−


Khi ®ã ta cã:







<<−−−
≥∨≤++
=
21
2
21
2
;2
;23
xxxmxx
xxxxmxx
y
0,25 ®iÓm



−−
∨+
=⇒
21
21
'
;12
;32
xxxx
xxxxx

y


0,25 ®iÓm
XÐt c¸c kh¶ n¨ng sau:
a.NÕu
2
1
211
8
3
2
1
21211
2
3
21
−
−≤−+−=⇒≥⇔≤−⇔−−−=≤
−
mxmmmx
0,25 ®iÓm
ta cã b¶ng biÕn thiªn:
x
∞−

2
3
−
x

1
x
2

2
1
−

∞+
y
,
- 0 + + +
y
∞+

∞+
CT
Hµm sè kh«ng cã cùc ®¹i. 0,5 ®iÓm


b.NÕu
2
1
211
8
3
211
2
3
21

−
>−+−=⇒⇔−−−=
−
mxmmx 
0,25 ®iÓm
ta cã b¶ng biÕn thiªn :

x
∞−
x
1

2
3
−

2
1
−
x
2
∞+
y
,
- 0 + + 0 - 0 +