Tóm Tắt Tất Cả Công Thức Cần Nhớ Môn Toán THPT Hoàng Trung Hiếu

HỒNG TRUNG HIẾU

Gmail:

TÓM TẮT TẤT CẢ CÔNG
THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
KHỐI THPT



  0

af ( )  0

k /   x1  x2    af (  )  0
S
   0
2
S
  0
2
2. Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
a  b
*
ac
b  c

I/ ĐẠI SỐ:
1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai
f ( x)  ax 2  bx  c

b
(a  0;  ,   R;    ; S   ;   b 2  4ac)
a
  0
a / f ( x)  0, x  R  
a  0

  0
b / f ( x)  0, x  R  
a  0
c / x1    x2  af ( )  0

*a  b  a  c  b  c
c  0
*
 ac  bc
a  b
c  0
*
 ac  bc
a  b


  0

d /   x1  x2  af ( )  0
S
   0
2


  0

e / x1  x2    af ( )  0
S
   0
2
  x1  x2
  0
f /

af ( )  0
 x1  x2  

a  b
*
 ac bd
c  d
*a  c  b  a  b  c
a  b  0
*
 ac  bd
c  d  0
a  b  0
*
 a n  bn
*
n  N
*a  b  0  a  b
*a  b  3 a  3 b
Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:

 a  a  a a  R

af ( )  0
g / x1    x2    
af (  )  0
af ( )  0
h / x1      x2  
af (  )  0

x  a  a  x  a

 a  0

x  a  x  a  x  a

af ( )  0
i /   x1    x2  
af (  )  0
 x    x2  
j/ 1
 f ( ). f (  )  0


x



x

1

2

a  b  ab  a  b

( a, b  R )

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không
âm):
ab
 ab dấu “=” xảy ra khi a = b
*
2
abc 3
 abc
*
3
1


HỒNG TRUNG HIẾU
dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số
thực):

Gmail:
6. Phương trình , bất phương trình chứa
căn thức:
( B  0)
A  0
* A B

A  B

*ab  cd  (a 2  c 2 )(b2  d 2 )

Dấu “=” xảy ra khi ad= bc

*a1b1  a2b2  c3b3 

a

Dấu “=” xảy ra khi

a1 a2 a3
 
b1 b2 b3

2
1

 a22  a32 b12  b22  b32 

3. Cấp số cộng:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
un  un1  d

B  0
* AB
2
A  B

A  0
* A B
A  B
A  0

* A  B  B  0
 A  B2

 B  0

A  0
* A  B  
B  0

2
  A  B

b/Số hạng thứ n: un  u1  (n  1)d
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
n
n
Sn  (u1  un )  [2u1  (n)d ]
2
2
4. Cấp số nhân:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
un  un1.q

7. Phương trình, bất phương trình logarit:

0  a  1

*log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  0
f(x)=g(x)


b/Số hạng thứ n: un  u1.q n1

( g ( x)  0)

0  a  1
 f ( x)  0

*log a f ( x)  log a g ( x)  
 g ( x)  0
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0


c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
1  qn
Sn  u1
(q  1)
1 q
u
Nếu 1  q  1  lim Sn  1
n 
1 q
5. Phương trình, bất phương trình chứa giá
trò tuyệt đối:
* A  B  A  B

8. Phương trình , bất phương trình mũ:
 0  a  1

 f ( x)  g ( x)
f ( x)
g ( x)
*a
a

 a  1

  / f ( x), g ( x)

B  0
*A B
 A  B
A  B
*A B
 A  B

a  0
*a f ( x )  a g ( x )  
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0

* A  B  A2  B 2
A  B
*A B
 A  B

2


HỒNG TRUNG HIẾU
9. Lũy thừa:
*a .a  .a   a   

Gmail:
II. LƯNG GIÁC:
A.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản:
sin 2 x  cos 2 x  1
sin x
tgx 
cos x
cos x
cot gx 
sin x
tgx.cot gx  1
1
1  tg 2 x 
cos 2 x
1
1  cot g 2 x 
sin 2 x
2. Cung liên kết:
Cung đối:
cos( x)  cos x
sin( x)   sin x
tg ( x)  tgx



a
 a  

a
*(a )   a
*





* a a





a  a 
 
b  b 
*a b  (a.b)
1
*a   
a
*

k

* a  a a
10. Logarit:0*log a N  M  N  a M
n m

k

n.m

k

n .m

*log a a M  M
*a log a N  N
*N1log a N 2  N 2 log a N1

cot g ( x)   cot gx

*log a ( N1 N 2 )  log a N1  log a N 2

Cung bù:
sin(  x)  sin x
cos(  x)   cos x
tg (  x)  tgx
cot g (  x)  tgx

N 
*log a  1   log a N1  log a N 2

 N2 
*log a N    log a N
*log a N 
*log a N 

1



Cung phụ:

log a N



sin(  x)  cos x
2

log b N
log b a



cos(  x)  sin x
2

1
*log a b 
log b a



tg (  x)  cot gx
2



cot g (  x)  tgx
2
Cung hơn kém  :
sin(  x)   sin x
cos(  x)   cos x
tg (  x)  tgx
cot g (  x)  cot gx

3


HỒNG TRUNG HIẾU

Gmail:
6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx
x
theo t  tg
2
2t
sin x 
1 t2
1 t2
cos x 

1 t2
2t
tgx 
1 t2
7. Công thức biến đổi:
a/Tích thành tổng:
1
cos x.cos y   cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x sin y  cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 
2
b/Tổng thành tích:
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2sin
sin
2
2
x y
x y

sin x  sin y  2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 cos
sin
2
2
sin( x  y )
tgx  tgy 
cos x cos y
sin( x  y )
tgx  tgy 
cos x cos y
sin( x  y )
cot gx  cot gy 
sin x sin y
sin( x  y )
cot gx  cot gy 
sin x sin y


Cung hơn kém
2

sin(  x)  cos x
2


cos(  x)   sin x
2

tg (  x)   cot gx
2

cot g (  x)  tgx
2
3. Công thức cộng:
sin( x  y )  sin x cos y  sin y cos x
cox( x  y )  cos x cos y sin x sin y
tgx  tgy
tg ( x  y ) 
1 tgxtgy
4. Công thức nhân đôi:
sin 2 x  2sin x cos x
cos 2 x  2 cos 2 x  1
 1  2sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x
2tgx
tg 2 x 
1  tg 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
2
1  cos 2 x
sin 2 x 
2
5. Công thức nhân ba:
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
cos 3 x  4 cos 3 x  3cos x

3tgx  tg 3 x
1  3tg 2 x
3cos x  cos 3 x
cos3 x 
4
3sin x  sin 3 x
sin 3 x 
4
tg 3x 

Đặc biệt:





sin x  cos x  2 sin( x  )  2 cos( x  )
4
4





sin x  cos x  2 sin( x  )   2 cos( x  )
4
4
2
1  sin 2 x  (sin x  cos x)

4


HỒNG TRUNG HIẾU
II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:
1. Phương trình cơ bản:
 x  u  k 2
a / sin x  sin u  
 x    x  k 2

sin x  1  x 


2

Gmail:
và đặt t= tgx Chú ý:
1
d
 d (1  tg 2 x)
cos 2 x
5. Phương trình dạng:
a.(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  0
Cách giải: Đặt

t  sin x  cos x  2 sin( x  )   2  t  2
4
2
t 1
1 t2

 sin x.cos x 
(sin x.cos x 
)
2
2
và giải phương trình bậc hai theo t

k  Z

 k 2

sin x  1  x  
sin x  0  x  k


2

 k 2

 x  u  k 2
b / cos x  cos u  
(k  Z)
 x  u  k 2
cos x  1  x   k 2
cos x  1  x    k 2

III. Hệ thức lượng trong tam giác:
1. Đònh lý cosin:
a 2  b 2  c 2  2bc cos A

b 2  a 2  c 2  2ac cos B



k
2
c / tgx  tgu  x  u  k (k  Z )
d / cot gx  cot gu  x  u  k (k  Z )
cos x  0  x 

c 2  a 2  b 2  2ab cos C
b2  c2  a 2
2bc
2
a  c2  b2
cos B 
2ac
2
a  b2  c2
cos C 
2ab
2. Đònh lý hàm số sin:
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
3. Công thức tính độ dài đường trung

tuyến:
b2  c2 a 2
2
ma 

2
4
2
2
a  c b2
mb2 

2
4
2
2
a  b c2
mc2 

2
4
cos A 

2. Phương trình bậc n theo một hàm số
lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,
cotgx) ta chuyển về phương trình:
ant n  an1t n1  ......  a0  0
Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí
chú ý điều kiện 1  t  1

3. Phương trình bậc nhất theo sinx và
cosx:
a sin x  b cos x  c
Điều kiện để có nghiệm: a 2  b2  c 2
Cách giải: Chia hai vế cho a 2  b2 và
sau đó đưa về phương trình lượng giác
cơ bản
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối
với sinx và cosx:
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  0
Cách giải:
*Xét cos x  0  x 



2

 k có là

nghiệmkhông?
*Xét cos x  0 chia 2 vế chia cho cos2x
5


HỒNG TRUNG HIẾU
4. Công thức độ dài đường phân giác
trong:
A
2bc cos
2

la 
bc
B
2ac cos
2
lb 
ac
C
2ab cos
2
lc 
ab
5. Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S  bc.sin A  ab.sin C  ac.sin B
2
2
2
abc
S  p.r 
4R

S  p ( p  a )( p  b)( p  c)

 dx  x  C

x 1
 x dx    1
dx
 x  ln x  C
dx
1
 x2   x  C



 sin xdx   cos x  C
dx

 cos

Chú ý:

2

x

dx

 sin

x

x
 e dx  e  C

2

x

 tgx  C
  cot gx  C

1

 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C

3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể
tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình
phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:
a

S   f ( x)  g ( x) dx

III. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
1.
Đạo hàm các hàm số thường gặp:

1/( x ) '   .x 1
1
2 /( x ) ' 

2 x
1
1
3/ '   2
x
 x
4 /(sin x) '  cos x
5 /(cos x) '   sin x
1
6 /(tgx) ' 
cos 2 x
1
7 /(cot gx) '   2
sin x
x
x
8 /(e ) '  e

Gmail:
ax
x
 a dx  ln a  C
 C (  1)
cos xdx  sin x  C

b

a

S   f ( y )  g ( y ) dy

12 /(u ) '   .u  1.u '
u'
13 /( u ) ' 
2 u
u'
1
14 /   '   2
u
u
15 /(sin u ) '  u '.cos u
16 /(cos u ) '  u '.sin u
u'
17 /(tgu ) ' 
cos 2 u
u'
18 /(cot gu ) '   2
sin u
u
u
19 /(e ) '  u ' e

b

-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:
a

V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx
b

*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
a

V    f 2 ( y )  g 2 ( y ) dy
b

-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ
các giao điểm.
Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các
giao điểm.

9 /(a x ) '  a x ln a
1
10 /(ln x) ' 
x

20 /( a u ) '  u ' a u ln a
u'
21/(ln u ) ' 
u
1
u'
11/(log a x) ' 
22 /(log a u ) ' 
x.ln a
u.ln a

IV. HÌNH HỌC:
PHÉP DỜI HÌNH

 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong
mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi
điểm M thuộc mặt phẳng, xác đònh được
một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng
ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua
phép biến hình đó.

2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
6


HỒNG TRUNG HIẾU
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
 Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh tiến
theo vectơ u là một phép biến hình biến
điểm M thành điểm M’ sao cho MM '  u.
Phép tònh tiến theo vectơ u thường được
ký hiệu là T hoặc Tu . Vectơ u được gọi là


Gmail:
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
 Đònh nghóa phép đối xứng trục: Phép đối
xứng qua đường thẳng a là phép phép biến
hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng
với M qua a
 Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép
dời hình
 Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua

trục Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’;
y’) ta có:
x '  x

y'  y

vectơ tònh tiến.
Tính chất của phép tònh tiến:
Đònh lý 1: Nếu phép tònh tiến biến hai
điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’
và N’ thì M’N’ = MN







Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm
thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
biến tam giác thành tam giác bằng nó,
biến đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,
cho phép tònh tiến theo vectơ u .

Biết tọa độ của u là (a,b). Giả sử điểm
M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó
ta có:
x '  x  a

y'  y b

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua
trục Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’;
y’) ta có:
x '  x

y'  y


Trục đối xứng của một hình: Đường
thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H
nếu phép đối Đd biến H thành chính nó,
tức là Đd(H) = H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
 Đònh nghóa phép quay: Trong mặt phẳng
cho điểm O cố đònh và góc lượng giác 
không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O
thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và
(OM , OM ')   được gọi là phép quay

Phép dời hình: Phép dời hình là phép
phép biến hình không là thay đổi khoảng

cách giữa hai điểm bất kì.
Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến
đường thẳng thành đường thẳng, biến tia
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam
giác bằng nó, biến đường tròn thành đường
tròn có cùng bán kính , biến góc thành
góc bằng nó.

tâm O góc quay  .





7

Đònh lý: Phép quay là một phép dời hình
Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua
điểm O là một phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M’ đối xứng với M
qua O, có nghóa là OM  OM '  0
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,
cho phép đối xứng tâm I(a;b). Giả sử điểm
M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó

HỒNG TRUNG HIẾU
ta có:
 x '  2a  x

 y '  2b  y


Gmail:
Tọa độ điểm G được xác đònh bởi:
x A  xB  xC

x

G

3
G
 y  y A  yB  yC
 G
3

Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi
là tâm đối xứng của một hình H nếu phép
đối xứng tâm Đo biến hình H thành chính
nó, tức là Đo (H) = H

*Cho tam giác ABC có
AB  (a1 ; a2 ), AC  (b1 ; b2 )

HAI HÌNH BẰNG NHAU:

 Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam
giác bằng nhau thì có phép dời hình biến
tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai
tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép
dời hình biến tam giác này thành tam giác
kia.

1
a1b2  a2b1
2
2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng  :
-Phương trình tổng quát: Ax  By  C  0
 SABC 

Vectơ pháp tuyến n  ( A; B);
A2  B2  0
 x  x0  at
tR
-Phương trình tham số: 
y

y

bt
0

Vectơ chỉ phương u  (a; b) và qua điểm M(x0; y0)
x  x0 y  y0

-Phương trình chính tắc:

a
b
x y
-Phương trình đoạn chắn:   1
a b
 qua A( a; 0) ; B(0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Ax  By  C  0
A' x  B ' y  C '  0
A. A ' B.B '
Cos 
A2  B 2 . A '2  B '2
c/Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y0 ) đến

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG:
1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
* AB  ( xB  xA , yB  y A )
*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:

MA
k
MB

( k  1)
Tọa độ điểm M được xác đònh bởi:
x A  kxB


 xM  1  k
M
 y  y A  kyB
 M
1 k
*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác đònh bởi:
x A  xB

 xI  2
I
 y  y A  yB
 I
2
*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:

đường thẳng:
Ax0  By 0 C
dM /  
A2  B 2
d/Phương trình đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường thẳng:
AX  By  C
A' x  B ' y  C '

2
2
A B
A '2  B '2

e/Xác đònh phương trình đường phân giác trong
và phân giác ngoài
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía
so với   t1.t2  0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía
so với   t1.t2  0
8


HỒNG TRUNG HIẾU
Ax  By1  C
A ' x2  B ' y2  C '
(t1  1
; t2 
)
A2  B 2
A '2  B '2

Gmail:
5/Hypebol:

x2 y 2
a/ Phương trình chinh tắc Elip (E) 2  2  1
a b
2
2
2
c  a b
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)

c
-Tâm sai : e   1
a
a
-Phương trình đường chuẩn: x  
e
b
-Phương trình tiệm cận: y   x
a
-Bán kính qua tiêu:
MF1  exM  a

3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b)
và bán kính R
2
2
 x  a    y  b   R2
-Dạng 2: Phương trình có dạng
x2  y 2  2ax  2by  c  0
Với điều kiện a 2  b2  c  0 là phương trình
đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính

MF2  exM  a

R  a 2  b2  c
-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với
một đường tròn:
PM /(C )  x02  y02  2ax0  2by0  c

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
 (E)
x0 x y0 y
 2 1
a2
b
-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y 2
(E): 2  2  1 và  : Ax  By  C  0 là:
a b
2 2
A a  B2b2  C 2
6/ Parabol:
-Phương trình chính tắc của Parabol:
( P) : y 2  2 px
p
-Tiêu điểm: F ( ;0)
2
p
-Phương trình đường chuẩn: x  
2
-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ;
y0)  ( P) :
y0 y  p( x0  x)

4/Elip:
-Phương trình chinh tắc Elip (E)

x2 y 2


1
a 2 b2

(a  b); c2  a 2  b2
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)
c
-Tâm sai : e   1
a
a
-Phương trình đường chuẩn: x  
e
-Bán kính qua tiêu:
MF1  a  exM
MF2  a  exM
-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
 (E)
x0 x y0 y
 2 1
a2
b

-Điều kiện tiếp xúc của (P) và
   : Ax  By  C  0

2AC  B 2 p
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN:

1/ Tích có hướng của hai vectơ:
a/Đònh nghóa: cho hai vectơ

-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y 2
(E): 2  2  1 và  : Ax  By  C  0 là:
a
b
2 2
2 2
A a  B b  C2
9


HỒNG TRUNG HIẾU
u  ( x; y; z )

Gmail:
a /        d  A : B : C  A ' : B ' : C '

v  ( x '; y '; z ')

A B C D



A' B ' B ' D '
A B C
D
c /   //    




A' B ' C ' D '
3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
 Ax  By  Cz  D  0

A' x  B ' y  C ' z  D '  0

 y z z x x
u , v   
;
;
 
 y' z' z' x' x'

b /       

y 

y' 

Các ứng dụng:
- u , v cùng phương  u, v   0
- u, v, w đồng phẳng  u, v  .w  0
1
- SABC   AB, AC 
2
-ABCD là tứ diện   AB, AC  . AD  m  0

1
m
6
b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:
Ax  By  Cz  D  0

b/ Phương trình tham số:
 x  x0  at

 y  y0  bt
 z  z  ct
0

Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là
u  (a; b; c)
c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
2
2
2
(a  b  c  0)

n  ( A; B; C )
( A2  B 2  C 2  0)
Dạng 2:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian:
Giả sử đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có

- VABCD 

vectơ chỉ phương là u  (a; b; c) và đường thẳng d’
qua M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) và có vectơ chỉ phương là

n  ( A, B, C ), M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
-Phương trình mặt phẳng chắn:
x y z
  1
a b c
((  ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))
-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2
mặt phẳng khác:
( ) : Ax  By  Cz  D  0
là
( ) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
 ( Ax  By  Cz  D)   ( A ' x  B ' y  C ' z  D ')  0

u '  (a '; b '; c ')
a / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0
 u.u ' .M 0 M '0  0


b / d  d '  I  
a
:
b
:
c  a :b':c'

c / d d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0 
d / d  d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0 
e / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0

Trong đó  2   2  0
-Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt
phẳng:
  : Ax  By  Cz  D  0

5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian: trong không gian cho :

  : A' x  B ' y  C ' z  D  0

10


HỒNG TRUNG HIẾU
x  x0 y  y0 z  z0
d:



a
b
c
  : Ax  By  Cz  D  0

Gmail:

d : u  (a; b; c)

  : n  ( A; B; C )
00    900

a / d     I  aA  bB  cC  0

sin  

Aa  Bb  Cc

aA  bB  cC  0
b / d    
 Ax0  By0  Cz0  D  0
aA  bB  cC  0
c / d     
 Ax0  By0  Cz0  D  0

A2  B 2  C 2 a 2  b 2  c 2
- Góc giữa hai mặt phẳng:
  : AX  By  Cz  D  0

6/ Các công hức tính khoảng cách:

-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

cos  

  : A' x  B ' y  C ' z  D '  0

  : Ax  By  Cz  D  0
 d( M / ) 

Dạng 2: x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính

R  a 2  b2  c 2  d

x  x0 y  y0 z  z0
d:


a
b
c
 M 0 M .u 


 dM / d 
u

III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
-Đường thẳng và mặt phẳng:

Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường
thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một
mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt
thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm
chung ấy.
Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng cắt
nhau A  a  b
2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong
các điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng ( )  ( ABC)
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường
thẳng ( )  (a, A)
c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( )  (a, b)

-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
x  x0 y  y0 z  z0
:


a
b
c
x  x '0 y  y '0 z  z '0

':


a'
b'
c'

u.u ' .M 0 .M '0



u.u '



7/ Góc :
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:

d : u  (a; b; c)
d ' : u '  (a ', b ', c ')
cos  

u.u '
u . u'



A2  B 2  C 2 A '2  B '2  C '2

8/Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R
2
2
2
 x  a    y  b    z  c   R2

Ax0  By0  Cz0  D

A2  B 2  C 2
-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho điểm
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )

 d /  '

AA ' BB ' CC '

aa ' bb ' cc '
a 2  b 2  c 2 a '2  b '2  c '2

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi  là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
11


HỒNG TRUNG HIẾU
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’ ( )  (a, a ')

Gmail:

7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông
góc với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào
vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc
với một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không
chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường
thẳng khác thì song song nhau
12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song
song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng
thì cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng
nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với
giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng
kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào
cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ
hai và hai giao tuyến song song
16/ Đònh lý ba đường vuông góc
OH   

Giả sử OA là đường xiên

 A  d nằm trong 
 

Ta có OA  D  HA  D
O

Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm
trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường
thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng  thì d song song
với mặt phẳng 
3/ Nếu d//  , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d
và cắt  theo một giao tuyến thì giao tuyến đó
cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng
d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song
song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng
song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng
nào song song với đường thẳng này thì cũng song
song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của
2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao
tuyến mới song song nhau
8/ Nếu  //  thì  song song với mọi đường
thẳng nằm trong 
9/ Nếu  chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng

song với  thì  // 
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào
cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ
hai và hai giao tuyến song song nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng
thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt
phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì
cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng
nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng
vuông góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc
chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một
mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba
thì song song nhau.

d
H



12

A

HỒNG TRUNG HIẾU

Gmail:
Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương
1
1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy .h
3
2/ Thể tích chóp cụt:

Khoảng cách – góc – đường vông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn
OH  d
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với
các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng  là độ dài
đoạn OH  
4/ Khoảng cách từ O đến  là ngắn nhất so với
các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên 
5/ Khoảng cách giữa d //  là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên d đến 
6/Khoảng cách giữa  //  là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên  đến 
7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là
độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường
thẳng
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  là góc
nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống 
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc
nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai

đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi
hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng ấy
11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường
thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng
vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau d1 và d2:
- Dựng mặt phẳng  chứa d2 và song song với d1
- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên  , d’ cắt d2 tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với  cắt d1 tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và
d2

B,B' là diện tích 2 đáy
1
B  B ' B.B ' .h 
3
 h là chiều cao hình chóp
3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c
4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2 Rh
V=





5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  Sxq  2 Sđáy
6/ Thể tích hình trụ: V= R 2 h

7/ Diện tích xung quanh hình nón: Sxq   Ra
1
8/Thể tích hình nón V=  R 2 h
3
9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq 


2

 R  R ' a

1 2
R  R '2  RR '  h

3
11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq  4 R 2
10/ Thể tích hình nón cụt: V=

4
12 / Thể tích mặt cầu: V=  R 3
3

V/ GIẢI TÍCH TỔ HP
-Hoán vò: Pn  n!  n(n  1)(n  2)...3.2.1
n!
-Chỉnh hợp: Ank 
0  k  n
 n  k !
-Tổ hợp: Cnk 

n!
 n  k !k !

-Các hệ thức cần nhớ:
n !   n  1!n

0  k  n
Cnk  Cnk1  Cnk11
0  k  n
Cnk  Cnn  k

-Nhò thức Newton:
(a  b) n  Cn0 a nb0  Cn1 a n 1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n
k 0

  Cnk a n  k b k
n

-Các công thức cần nhớ:
Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n

Cn0  Cn1  Cn2  ...  (1)k Cnk  ...  (1)n Cnn  0
13