Vận dụng cặp phạm trù nội dung và hình thức trong triết học vào dạy học toán ở trường phổ thông

MỤC LỤC

1


1. Lý do chọn đề tài

Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai trò quan trọng của
toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển của khoa học, kinh tế và
kỹ thuật v.v… Vì vậy, việc sử dụng toán học như một công cụ không thể thiếu được
trong nền kinh tế tri thức là một thực tế quá rõ ràng. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng
đắn nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học
trong toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không
chỉ đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội.
Là một giáo viên dạy toán ở trường trung học phổ thông tôi có thể làm được gì
để giúp cho học sinh của mình hiểu được một cách đúng đắn các đối tượng toán học từ
đó giúp học sinh gắn kết các đối tượng toán học lại với nhau và có một phương pháp
học tập đúng đắn nhất đạt hiệu quả cao nhất. Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề
triết học khi phân tích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò
của sự phát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng việc dạy và học
theo hướng hiện đại như hiện nay “Lấy học sinh làm trung tâm”. Đồng thời, việc làm
đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với
thực tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của toán
học thông qua đối tượng của nó.
Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài “Vận dụng cặp phạm trù nội
dung và hình thức trong triết học vào dạy học toán ở trường phổ thông” làm đề tài
tiểu luận của mình.
2. Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Quan điểm của triết học Mác – Lênin về phạm trù nội dung và hình thức trong
phép biện chứng duy vật.

Vận dụng cặp phạm trù nội dung và hình thức trong triết học vào dạy học toán
ở trường phổ thông.

2


3. Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Đề tài sử dụng tổng hợp các phương pháp của chủ nghĩa duy vật biện chứng và
chủ nghĩa duy vật lịch sử. Trong đó đáng chú ý là các phương pháp: phân tích và tổng
hợp, logic và lịch sử, gắn lý luận với thực tiễn.

3


A. NỘI DUNG
QUAN ĐIỂM CỦA TRIẾT HỌC MÁC – LÊNIN VỀ PHẠM TRÙ

Chương 1:

NỘI DUNG VÀ HÌNH THỨC TRONG PHÉP BIỆN CHỨNG
DUY VẬT
1.1.

Một số vấn đề về phạm trù
1.1.1.

Định nghĩa phạm trù và phạm trù tiết học

Phạm trù là những khái niệm rộng nhất phản ánh những mặt, những thuộc

tính, những mối liên hệ chung, cơ bản nhất của các sự vật và hiện tượng thuộc một
lĩnh vực nhất định.
Mỗi bộ môn khoa học đều có một hệ thống phạm trù riêng của mình phản ánh
những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ cơ bản và phổ biến thuộc phạm vi
khoa học đó nghiên cứu. Ví dụ, trong toán học có phạm trù “số”, “hình”, “điểm”, “mặt
phẳng”, “hàm số”,... Trong vật lý học có các phạm trù “khối lượng”, “vận tốc”, “gia
tốc”, “lực”,...
Các phạm trù trên chỉ phản ánh những mối liên hệ chung trên một lĩnh vực nhất
định của hiện thực thuộc phạm vi nghiên cứu của môn khoa học chuyên ngành. Khác
với điều đó, các phạm trù của phép biện chứng duy vật như “vật chất”, “ý thức”, “vận
động”, “đứng im”, “mâu thuẫn”, “số lượng”, “chất lượng”, “nguyên nhân”, “kết quả”,
… là những khái niệm chung nhất phản ánh những mặt, những thuộc tính, những mối
liên hệ cơ bản và phổ biến của toàn bộ thế giới hiện thực. Mọi sự vật, hiện tượng đều
có nguyên nhân xuất hiện, đều có quá trình vận động, biến đổi, đều có mâu thuẫn, có
nội dung và hình thức,... Nghĩa là đều có những mặt, những thuộc tính, những mối liên
hệ được phản ánh trong các phạm trù của phép biện chứng duy vật.
1.1.2.

Bản chất của phạm trù

Trong lịch sử triết học, các trường phái triết học đã đưa ra cách giải quyết khác
nhau về vấn đề bản chất của phạm trù.
Những người thuộc phái duy thực cho rằng: Phạm trù là những thực thể ý niệm,
tồn tại bên ngoài và độc lập với ý thức của con người.

4


Ngược lại những người thuộc phái duy danh lại cho rằng: Phạm trù chỉ là
những từ trống rỗng, do con người tưởng tượng ra, không biểu hiện một cái gì của

hiện thực.
Cantơ và những người thuộc phái của ông lại coi phạm trù chỉ là những hình
thức tư duy vốn có của con người, có trước kinh nghiệm, không phụ thuộc vào kinh
nghiệm, được lý trí của con người đưa vào giới tự nhiên.
Khác với các quan niệm trên đây, chủ nghĩa duy vật biện chứng cho rằng: Các
phạm trù được hình thành trong quá trình hoạt động nhận thức và thực tiễn của con
người. Mỗi phạm trù xuất hiện đều là kết quả của quá trình nhận thức trước đó, đồng
thời lại là bậc thang cho quá trình nhận thức tiếp theo của con người để tiến gần đến
nhận thức đầy đủ hơn bản chất của sự vật.
V.I.Lênin viết: “Trước con người, có màng lưới những hiện tượng tự nhiên.
Con người bản năng, con người man rợ, không tự tách khỏi giới tự nhiên. Người có ý
thức tự tách khỏi tự nhiên, những phạm trù là những giai đoạn của sự tách khỏi đó, tức
là sự nhận thức thế giới, chúng là những điểm nút của màng lưới, giúp ta nhận thức và
nắm vững được màng lưới”1. Các phạm trù được hình thành bằng con đường khái quát
hóa, trừu tượng hóa những thuộc tính, những mối liên hệ vốn có bên trong của bản
thân sự vật. Vì vậy nội dung của nó mang tính khách quan, bị thế giới khách quan quy
định, mặc dù hình thức thể hiện của nó là chủ quan.
V.I.Lênin viết: “Những khái niệm của con người là chủ quan trong tính trừu
tượng của chúng, trong sự tách rời của chúng, nhưng là khách quan trong chỉnh thể,
trong quá trình, trong kết cuộc, trong khuynh hướng, trong nguồn gốc” 2. Các phạm trù
là kết quả của quá trình nhận thức của con người, là hình ảnh chủ quan của thế giới
khách quan. Thế giới khách quan không chỉ tồn tại độc lập với ý thức phạm trù không
thể phản ánh đúng đắn và đầy đủ hiện thực khách quan được. Vì vậy, hệ thống phạm
trù của phép biện chứng duy vật không phải là một hệ thống đóng kín, bất biến, mà nó
thường xuyên được bổ sung bằng những phạm trù mới cùng với sự phát triển của thực
tiễn và của nhận thức khoa học.

1 V.I.Lênin: Toàn tập, Nxb. Tiến bộ, Mátxcơva, 1981, t.29, tr. 102
2 V.I.Lênin: Toàn tập, Nxb. Tiến bộ, Mátxcơva, 1981, tr.223 – 224.

5


1.2.

Cặp phạm trù nội dung và hình thức
1.2.1.

Khái niệm nội dung và hình thức

Nội dung là phạm trù chỉ tổng hợp tất cả những mặt, những yếu tố, những quá
trình tạo nên sự vật. Còn hình thức là phạm trù chỉ phương thức tồn tại và phát triển
của sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật
đó.
Chẳng hạn, nội dung của một cơ thể động vật là toàn bộ các yếu tố vật chất như
tế bào, các khí quan cảm giác, các hệ thống, các quá trình hoạt động của các hệ
thống... để tạo nên cơ thể đó. Hình thức của một cơ thể động vật là trình tự sắp xếp,
liên kết các tế bào, các hệ thống... tương đối bền vững của cơ thể.
Bất cứ sự vật nào cũng có hình thức bề ngoài của nó. Song phép biện chứng
duy vật chú ý chủ yếu đến hình thức bên trong của sự vật, nghĩa là cơ cấu bên trong
của nội dung. Thí dụ, khi nói về số tự nhiên, nội dung của chúng chính là lực lượng
các tập hợp hữu hạn, và có nhiều hình thức thể hiện như số La Mã, Ả Rập,...
Trong cặp phạm trù nội dung và hình thức, phép biện chứng duy vật chủ yếu
muốn nói đến hình thức bên trong gắn liền với nội dung, là cơ cấu của nội dung chứ
không muốn nói đến hình thức bề ngoài của sự vật.
1.2.2.

Mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức

a) Sự thống nhất giữa nội dung và hình thức

Nội dung là những mặt, những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật, còn hình
thức là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của nội dung. Vì
vậy nội dung và hình thức luôn gắn bó chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất.
Nội dung và hình thức không tồn tại tách rời nhau, nhưng không phải vì thế mà
lúc nào nội dung và hình thức cũng phù hợp với nhau. Không phải một nội dung bao
giờ cũng chỉ được thể hiện ra trong một hình thức nhất định, và một hình thức luôn chỉ
chứa một nội dung nhất định, mà một nội dung trong quá trình phát triển có thể có
nhiều hình thức thể hiện, ngược lại, một hình thức có thể thể hiện nhiều nội dung khác
nhau. Thí dụ, quá trình sản xuất ra một sản phẩm có thể bao gồm những yếu tố nội
dung giống nhau như: con người, công cụ, vật liệu... nhưng cách tổ chức, phân công
trong quá trình sản xuất có thể khác nhau.
6


b) Nội dung giữ vai trò quyết định đối với hình thức trong qua trình

vận động và phát triển của sự vật
Vì khuynh hướng chủ đạo của nội dung là biến đổi, còn khuynh hướng chủ đạo
của hình thức là tương đối bền vững, chậm biến đổi hơn so với nội dung. Dưới sự tác
động lẫn nhau của những mặt trong sự vật, hoặc giữa các sự vật với nhau trước hết làm
cho các yếu tố của nội dung biến đổi trước; còn những mối liên kết giữa các yếu tố của
nội dung, tức hình thức thì chưa biến đổi ngay, vì vậy hình thức sẽ trở nên lạc hậu hơn
so với nội dung và sẽ trở thành nhân tố kìm hãm nội dung phát triển. Do xu hướng
chung của sự phát triển của sự vật, hình thức không thể kìm hãm mãi sự phát triển của
nội dung mà sẽ phải thay đổi cho phù hợp với nội dung mới.
Ví dụ, lực lượng sản xuất là nội dung của phương thức sản xuất còn quan hệ
sản xuất là hình thức của quá trình sản xuất. Quan hệ sản xuất biến đổi chậm hơn, lúc
đầu quan hệ sản xuất còn là hình thức thích hợp cho lực lượng sản xuất. Nhưng do lực
lượng sản xuất biến đổi nhanh hơn nên sẽ đến lúc quan hệ sản xuất lạc hậu hơn so với

trình độ phát triển của lực lượng sản xuất và sẽ trở thành yếu tố kìm hãm lực lượng sản
xuất phát triển. Để mở đường cho lực lượng sản xuất phát triển, con người phải thay
đổi quan hệ sản xuất cũ bằng quan hệ sản xuất mới phù hợp với lực lượng sản xuất.
Như vậy sự biến đổi của nội dung quy định sự biến đổi của hình thức.
c) Sự tác động trở lại của hình thức đối với nội dung

Hình thức do nội dung quyết định nhưng hình thức có tính độc lập tương đối và
tác động trở lại nội dung. Sự tác động của hình thức đến nội dung thể hiện ở chỗ: Nếu
phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều kiện thuận lợi thúc đẩy nội dung phát
triển; nếu không phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ ngăn cản, kìm hãm sự phát
triển của nội dung.
Thí dụ, trong cơ chế bao cấp ở nước ta trước đây, do quan hệ sản xuất chưa phù
hợp với trình độ phát triển của lực lượng sản xuất nên không kích thích được tính tích
cực của người sản xuất, không phát huy được năng lực sẵn có của lực lượng sản xuất
của chúng ta. Nhưng từ sau đổi mới, khi chúng ta chuyển sang xây dựng nền kinh tế
hàng hóa nhiều thành phần, hoạt động theo cơ chế thị trường, định hướng xã hội chủ
nghĩa, quan hệ sản xuất phù hợp với trình độ của lực lượng sản xuất nước ta, do vậy

7


tạo điều kiện thuận lợi thúc đẩy sản xuất phát triển. Như vậy hình thức có tác động trở
lại đối với nội dung.
1.2.3.

Một số kết luận về mặt phương pháp luận

Nội dung và hình thức luôn gắn bó với nhau trong quá trình vận động, phát
triển của sự vật, do vậy trong nhận thức không được tách rời tuyệt đối hóa giữa nội
dung và hình thức. Đặc biệt cần chống chủ nghĩa hình thức. Cùng một nội dung trong

quá trình phát triển của sự vật có thể có nhiều hình thức, ngược lại, một hình thức có
thể chứa đựng nhiều nội dung. Vì vậy trong hoạt động thực tiễn cải tạo xã hội cần phải
chủ động sử dụng nhiều hình thức khác nhau, đáp ứng với yêu cầu thực tiễn của hoạt
động cách mạng trong những giai đoạn khác nhau.
Nội dung quyết định hình thức, do vậy để nhận thức và cải tạo được sự vật,
trước hết ta phải căn cứ vào nội dung, nhưng hình thức có tính độc lập tương đối và
tác động trở lại nội dung, do vậy trong hoạt động thực tiễn phải thường xuyên đối
chiếu giữa nội dung và hình thức và làm cho hình thức phù hợp với nội dung để thúc
đẩy nội dung phát triển.
VẬN DỤNG CẶP PHẠM TRÙ NỘI DUNG VÀ HÌNH THỨC

Chương 2:

TRONG TRIẾT HỌC VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ
THÔNG
2.1.

Mối liên hệ giữa triết học và toán học

Theo quan điểm của chủ nghĩa Mác-Lênin: “Vật chất dùng để chỉ thực tại
khách quan được đem lại cho con người trong cảm giác, được cảm giác của chúng ta
chép lại, chụp lại, phản ánh và tồn tại không lệ thuộc vào cảm giác”. Các đối tượng
toán học cũng có những đặc điểm như vậy. Thế giới toán học như thể một thế giới vật
chất thu nhỏ mà trong có các đối tượng toán học như thể vật chất, còn các tính chất
trong toán học như thể các hiện tượng. Điều đó nói lên mối quan hệ biện chứng chặt
chẽ giữa toán học và triết học.
2.1.1.

Thế giới vật chất toán học.

a) “Vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất quyết định ý thức”.

Trong toán học, tất cả các đối tượng toán học đều là một thế giới vật chất sinh
động. Từ những con số hay tập số, kí hiệu toán học, biểu thức toán học, phương trình
8


toán học… đều là một dạng vật chất. Chúng có trước và tồn tại khách quan, không phụ
thuộc vào cảm giác con người. Vì vậy, chúng sẽ bị chi phối bởi các quy luật khách
quan, chẳng hạn: hằng đẳng thức, quy luật tương ứng 1-1 của hàm số, các bất đẳng
thức Cauchy,... Tất cả các đối tượng toán học đều có trước những người khám phá ra
nó. Tất cả đã các đối tượng đều có trong thực tiễn. Thật vậy:
Những con số hay tập số: Một đội tuyển bóng đá ra sân gồm 11 cầu thủ, lớp
học gồm 30 học sinh, một tá bút chì có 12 cây bút, … Những con số 11, 30, 12 là ngẫu
nhiên khách quan. Nếu con người không khám phá thì tự bản thân nó vẫn mang bản
chất là 11, 30 và 12, chỉ có điều nó chưa được gán cái tên là “11”, “30” và “12”… Như
vậy, trước khi con người tìm ra số, thì bản thân nó vẫn tồn tại một cách khách quan.
Việc con người khám phá ra chúng chỉ mang tính chất định dạng lại.
Các quy luật toán học: Luật tương ứng 1-1 cho ta khái niệm về hàm số. Điều
này thể hiện ở thực tiễn một cách rộng rãi. Như mỗi đồ dùng, vật dụng có một cái tên.
Mỗi con vật gắn liền với một cái tên. Mỗi người có một số tiền lương nhất định… Tất
cả đều xuất phát từ thực tiễn.
b) Vật chất tồn tại theo quy luật khách quan.

Qua việc nghiên cứu thực tiễn, con người đã khái quát hóa nên các đối tượng
toán học và định dạng lại bằng việc gán cho nó một cái tên như là “tập số”, “phương
trình”, “hình lập phương”… Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học duy vật
biện chứng khẳng định tính chất “tồn tại khách quan, độc lập với ý thức của con
người, không ai tạo ra và không ai có thể tiêu diệt được”.
Trong toán học, từ những hoạt động toán học (khám phá các đối tượng, chứng

minh các tính chất toán học) đã làm cho “thế giới toán học” phát triển ngày càng nâng
cao, nhưng toán học vẫn có sự phát triển theo quy luật chung khách quan không phụ
thuộc vào con người, con người không thể thay đổi được các quy luật đó. Trong hình
học phẳng “2 đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thì
chúng song song với nhau” thì mãi mãi là như vậy…
“Con người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thức được
thế giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Con người có khả năng nhận thức
được, tác động vào thế giới tự nhiên và khám phá ra nó, nhằm phục vụ cho mục đích

9


con người. Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con người hiểu rõ hơn về thế
giới vật chất, nâng cao thế giới quan và phương pháp luận biện chứng của con người.
2.1.2.

Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất toán học.

Thế giới vật chất toán học luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận động và
phát triển đó thể hiện là sự vận động trong nội tại toán học. Chẳng hạn như:
Tập số: Số tự nhiên, số nguyên hữu tỉ, số thực, số phức…
Các phép toán: phép cộng, phép nhân, lũy thừa, logarit…
Phép biến hình: Phép tịnh tiến đồ thị, phép biến hình trong hình học, quỹ tích
và tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm số…
Sự vận động còn thể hiện ở phương trình và bất phương trình chứa tham số, khi
tham số thay đổi phương trình và bất phương trình thay đổi…
Sự vận động phát triển đó còn là sự vận động và phát triển của các kiến thức
toán học nói chung. Tất cả các kiến thức toán học phát triển hàng ngày hay thậm chí
hàng giờ. Không chỉ lý thuyết toán phát triển, mà công cụ giải toán cũng phải phát
triển.

Ví dụ:
Trong vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số xác định điểm để vẽ đồ thị cho
đến công cụ giải tích (dùng bảng biến thiên) thông qua các tính chất đặc trưng như tính
tuần hoàn, tính đối xứng, tính đồng biến, nghịch biến...
Rồi với các bài toán đố, chỉ với những phép toán thông thường đa phần là tính
nhẩm, hay là mò mẫm… thì rõ ràng việc giải một số bài toán này bất tiện và không
nhanh chóng hơn bằng phương pháp dùng phương trình để giải…
Toán học vận động theo cách thức cái mới ra đời thay thế cái cũ, cái tiến bộ ra
đời thay thế cái lạc hậu. Nhưng sự thay thế đó không phải là phủ nhận hoàn toàn, mà
là trên cơ sở kế thừa cái cũ. Điều này thể hiện rõ bản chất triết học trong toán học.
Chẳng hạn, khi giải phương trình bậc 2 một ẩn, ta đã xây dưng được phương
pháp cụ thể. Cũng từ đó một số phương trình bậc ba, bậc 4 dạng đặc biệt cũng được
giải bằng cách đưa về phương trình bậc hai. Không chỉ thế, nhờ việc xét trường hợp vô

10


nghiệm trên trường số thực khi delta âm, ngươi ta còn xây dựng lên trường số phức
bởi nhiều tính chất và ứng dụng đặc biệt…
Tất cả sự phát triển đó là tất yếu trong toán học, và vì sự tất yếu đó, nên khi
xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ cái mới, tránh thái độ bảo thủ. Ngày nay, toán
học phát triển một cách vượt bậc với những tính chất đa dạng và phong phú. Sự vận
động đó đem lại cho con người nhiều ứng dụng, không chỉ đơn thuần là trong nội tại
toán học mà còn trong các khoa học khác như tin học, hóa học, vật lý, sinh học, y
học… Toán học ngày càng phát triển thì khả năng ứng dụng của nó vào thực tiễn ngày
càng cao, càng hiệu quả.
2.1.3.

Phép duy vật biện chứng trong toán học.

Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật, hiện tượng
trong sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và phát triển không
ngừng của chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều là phương pháp luận biện
chứng.
Khi giải quyết một vấn đề toán học, các đối tượng toán học được nhà toán học
xem xét dựa trên sự ràng buộc giữa chúng, và trong sự vận động không ngừng. Từ đó
tìm ra quy luật chi phối chúng để tổng kết nên thành quả toán học.
Ví dụ là giải bài toán tìm hai số nguyên dương x và y thỏa . Rõ ràng biểu thức
trên đã cho thấy mối liên hệ ràng buộc giữa x và y. Và chúng còn mỗi quan hệ nữa
chính là đều là các số nguyên dương, tức là và đều không nhỏ hơn 1 và không lớn
hơn 3. Từ đó, và chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Kiểm nghiệm thấy x=1, y=2 hoặc x=2,
y=1 là hai căp nghiệm. Một ví dụ đơn giản thôi, nhưng ta thấy rằng, khi làm việc với
các đối tượng toán học, chúng ta cần phải xét chúng trong sự ràng buộc, trong sự vận
động và phát triển của chúng.
Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng. Cụ thể, tất
cả các công thức trong toán học đều thể hiện mối quan hệ biện chứng. Như xét định lý
“Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng giữa 2 góc đối đỉnh; “hai
tam giác có 2 cặp góc bằng nhau thi đồng dạng”: Mối quan hệ biện chứng giữa 2 tam
giác, giữa các góc trong 1 tam giác. Nói rộng ra, tất cả các định lý, tính chất đều thể
hiện mối quan hệ biện chứng trong đó.

11


Trong triết học “thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái
có sau. Thế giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách
quan”. Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính chất các đối
tượng) là cái có trước còn tất cả các chứng minh toán học là cái có sau. Con người có
khả năng nhận thức được các quy luật của các đối tượng đó. Sự nhận thức này là từ
phương pháp luận biện chứng đã nói ở trên. Như vậy, toán học và phương pháp luận

biện chứng có mối quan hệ không thể tách rời nhau, mà gắn bó chặt chẽ với nhau.
2.2.

Vận dụng cặp phạm trù nội dung và hình thức vào dạy học toán.
Tìm các hình thức thể hiện khác nhau của cùng một nội dung

2.2.1.

Khi đó chọn một hình thức nào đó phù hợp với trình độ học sinh và yêu cầu họ
chứng minh tính đúng đắn của nó
Ví dụ: Chọn hai vectơ có tọa độ
Từ nội dung

cos 2 x ≤ 1, ∀x

r
ur
a = (a1 ; a 2 ; a 3 ) , b = (b1 ; b 2 ; b 3 )

ta có :

rr
r r
a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3
a.b
cos(a, b) = r r =
≤1
a b
a12 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b32

Ta có bất đẳng thức Bunhacopxki :

( a1b1 + a 2 b 2 + a 3b 3 )

Cho

b1 = b 2 = b3 = 1

Chứng minh rằng

2

≤ ( a12 + a 22 + a 32 ) ( b12 + b 22 + b 32 )

ta có ngay bài toán:

∀a, b, c ∈ R

( a + b + c)
ta có

2

≤ 3 ( a 2 + b2 + c2 ) .

Có thể biến hóa để có rất nhiều hình thức của bất đẳng thức trên nhằm tìm ra
nhiều bài với mức độ khó khác nhau:
1 1 1
∀A, B, C > 0 : ( A + B + C )  + + ÷ ≥ 9
A B C

12


Nếu chọn

2
2
A = a 2 + 2bc B = b + 2ac, C = c + 2ab

và

a + b + c =1

thì

A + B+C =1

và ta có bài toán:
Chứng minh rằng nếu

a + b + c = 1 , a, b, c > 0

thì

1
1
1
+ 2
+ 2

≥9
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
2

Phối hợp giữa các hình thức thể hiện của cùng một nội dung để

2.2.2.

lời giải hay cho bài toán
Các hình thức của cùng một nội dung có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, chuyển
hóa được cho nhau, do đó có thể tìm được lời giải hay cho bài toán.
a) Chuyển bài toán trong đại số, giải tích sang giải bài toán trong hình học.
•

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Quan sát thấy việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên qua công cụ đạo hàm
không phải là đơn giản. Tuy nhiên nếu nhìn các căn thức trên như là biểu thức độ dài
của véctơ trong phẳng thì bài toán cho ta kỳ vọng chuyển sang giải bằng hình học toạ
độ phẳng. Với kỳ vọng này buộc ta phải tìm cách đưa hai căn thức trên gần gũi hơn
với công thức tính độ dài véctơ
Ta có: xác định trên ,

Trong mặt phẳng chọn

Ta có:
Mặt khác ta có
Vậy:
•

Ta có thể tổng quát bài toán trên như sau:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Hướng dẫn:
13


Trường hợp 1: Xét
Trên mặtt phẳng toạ độ chọn điểm .
Khi đó:

Ta có:
Mà
Vậy ta luôn có
Dấu xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng.

Ta có:
Mà thẳng hàng khi và chỉ khi:

Do không thay đổi với mọi vị trí của nên ta có:

Trường hợp 2: Xét
Lúc này
Tóm lại, với mọi trường hợp ta đều có:

•

Phân tích:

14


Như vậy với một bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số trong giải tích, ta đã
thay đổi cả nội dung và hình thức bài toán bằng cách chọn tọa độ của hai điểm và
thích hợp. Ta đưa về bài toán tìm vị trí của hai điểm và sao cho ba điểm thẳng hàng.
b) Chuyển bài toán đại số sang lượng giác

Ví dụ: Giải phương trình:
Hướng dẫn:
Điều kiện: . Đặt , .
Phương trình đã cho trở thành:

2.2.3.

Chuyển hóa nội dung bài toán
Trong toán học có nhiều dạng toán liên quan với nhau. Mối liên hệ giữa chúng

trong những điều kiện nhất định cho phép ta chuyển việc giải bài toán này sang giải
bài toán khác mà cách giải dễ dàng hơn.
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác:
Để giải phương trình ta đặt .
Khi đó phương trình trở thành:
Như vậy ta đã chuyển từ 1 bài toán lượng giác sang bài toán giải phương trình
bậc hai đại số đơn giản hơn
Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi :

Bất đẳng thức đúng với mọi nếu:

15

Chứng minh được hàm số có giá trị nhỏ nhất là . Như vậy, ta đã chuyển bài
toán chứng minh bất đẳng thức thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Sáng tạo ra bài toán mới

2.2.4.

Thay đổi hình thức của bài toán ban đầu nhờ vào thao tác khái quá hóa bài toán
Ví dụ: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

Một số bài toán tổng quát rút ra từ bài toán trên: khi thay bởi , ta thu được bài
toán mới
Bài toán mới: Chứng minh rằng

•

Nếu chú ý tới hệ số ở vế phải của đẳng thức , ta có:

•

Nếu chú ý thêm số mũ của các hàm lượng giác, ta có:

Dựa vào mối liên hệ giữa nội dung và hình thức, chúng ta có thể

2.2.5.

áp dụng trong xây dựng hệ thống bài tập.

Dưới một nội dung (bài tập), giáo viên có thể tìm ra nhiều hình thức khác nhau
để diễn tả nội dung đó. Sau đó, căn cứ vào tình hình của lớp mà lựa chọn hình thức
cho phù hợp.
Ví dụ:
Từ nội dung: giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm những chứng minh sau:

16


17


B. KẾT LUẬN
Tóm lại, Triết học và Toán học có mối quan hệ biện chứng với nhau, từ mối
quan hệ chặt chẽ đó chúng ta thấy việc vận dụng Triết học vào công tác giảng dạy môn
Toán góp phần đổi mới phương pháp, tránh việc giảng dạy một chiều thầy cung cấp
kiên thức, trò chép mà ở đây ta giúp học sinh tự tư duy vấn đề, biết qui các bài toán lạ
về những bài toán quen bằng cách đặc biệt hóa chúng, cũng như sau khi giải xong một
bài toán các em biết tổng quát hóa thành một bài toán tổng quát hơn và tự hình thành
phương pháp giải cho loại toán đó hay là từ một bài toán đề ra các em có thể dự đoán
được khi thay đổi giả thuyết thì yêu cầu bài toán sẽ thay đổi như thế vào … Nói tóm
lại việc nghiên cứu triết học không còn là nghiên cứu gì ở đâu xa xôi mà chính là
nghiên cứu và vận dụng vào công tác giảng dạy là hành động thiết thực nhất và cần
phải được làm thường xuyên bổ sung vào giáo án giảng dạy của mình để góp phần
nâng cao chất lượng giảng dạy Toán ở phổ thông và tạo cho bản thân có thói quen
sáng tạo toán học, hình thành sự say mê sáng tạo. Luôn có niềm tin vào hướng đi toán
học của mình. Kết thúc tôi xin có lời nhắn nhủ: hãy tìm cái đẹp trong những con số và
những con người trong sự vận động và biến đổi!

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hội đồng trung ương chỉ đạo biên soạn Giáo trình quốc gia các bộ môn khoa

học Mác – Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh (2001), Giáo trình triết học Mác –
Lênin, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội.
2. GS.TS. Nguyễn Ngọc Long (2006), Giáo trình triết học (dùng cho các trường đại

học và cao đẳng), Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội.
3. V.I.Lê nin (1981), Toàn tập, Nxb Tiến bộ, Mátxcơva.
4. PGS.TS. Đoàn Quang Thọ (2007), Giáo trình triết học (dùng cho học viên cao

học và nghiên cứu sinh không thuộc chuyên ngành Triết học), Nxb Chính trị - hành
chính, Hà Nội.
5. Nuyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học,dạy

học và nghiên cứu toán học, (tập 1+2), Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội.
6. Nguyễn Cảnh Toàn (2009), Nên học toán thế nào cho tốt, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

19