on thi tot nghiep 12

Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán
Chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
A. Sơ đồ khảo sát hàm số:
1. Txđ
2. Sự biến thiên
a) Giới hạn và tiệm cận (Chỉ xét tiệm cận của các hàm phân thức)
b) Bảng biến thiên:
- Tính y
- Tìm các điểm x
i
sao cho phơng trình y (x
i
) = 0. Tính y(x
i
)
- Lập bảng biến thiên.
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các khoảng đồng biến và cực trị.
3. Vẽ đồ thị:
- Tìm giao với các trục toạ độ (Hoặc một số điểm đặc biệt)
- Vẽ đồ thị
.
B. Bài tập
I. Dạng 1: Khảo sát hàm bậc 3, y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
VD1 : Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2

- 2
a) Khảo sát hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn.
Giải:
a) Khảo sát hàm số:
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
lim
x
y

= m
b) Bảng biến thiên:
y = - 3x
2
+ 6x, y = 0 - 3x
2
+ 6x = 0
1 1
2 1
0 2
2 2
x y
x y
= =



= =

- Hàm số đồng biến
trên khoảng (0 ; 2) và
nghịch biến trên
khoảng
(- ; 0) và (2 ; +)
- Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2)
3. Đồ thị : - Điểm uốn : y = - 6x + 6; y = 0 khi
x = 1 y = 0. Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0)
- Giao Ox :
(1 3;0); (1 3; 0); (1;0)A B U +
- Giao Oy : D(0 ; -2)
Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm
tâm đối xứng.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(1 ; 0)
Hệ số góc k = f(1) = 3
Vậy ta có phơng trình tiếp tuyến là :
y - y
0
= k(x - x
0
) hay : y - 0 = 3(x - 1)
y = 3x - 3
Một số chú ý khi khảo sát hàm số bậc ba :
1. Txđ: R
2.
0 lim ; 0 lim
x x
a y a y

> = < = m
1
x
- 0 2 +
y - 0 + 0 -
y
+ 2
-2 -
2
-2
y
x
O
Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán
3. a > 0 : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị nếu y > 0 hoặc
y < 0

x

R)
4. Tìm điểm uốn trớc khi vẽ đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số:
3
12 12y x x= +
(C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = - 4
Bài 2: Cho hàm số
3 2

1
( )
3
y x x C=
(Đề thi TN 2002)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 0)
Bài 3: Cho hàm số
3
1
3 ( )
4
y x x C=
(Đề TN 2001)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng
2 3
(d)
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến (d)
Bài 4: (Đề TN 99) Cho hàm số y = x
3
- (m + 2)x + m
a) Tìm m để hàm số có cự đại tơng ứng với x = 1
b) Khảo sát hàm số tơng ứng với m = 1(C)
c) Biện luận số giao điểm của (C) với đờng thẳng y = k
Bài 5 : (Đề 97) Cho hàm số y = x
3
- 3x + 1 (C)
a) Khảo sát hàm số (C)
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đờng thẳng

x = 1
Bai 6: (Đề 93) Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 9 (C)
a) Khảo sát hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn.
c) Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm của phơng trình x
3
- 6x
2
+ 9 - m.
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đờng thẳng
x = 1 và x = 2
Bài 7 : Cho hàm số y = x
3
- mx
2
+ x + 1 (1)
a) Khảo sát hàm số ứng với m = - 2
b) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cự đại và cực tiểu
Bài 8: Cho hàm số y = x
3
- 3mx + m (C
m
)
a) Khảo sát với m = 1
b) Tìm m để (C
m

) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 9 : Cho hàm số y = - x
3
+ 3x + 2 (C)
a) Khảo sát hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 10 : Cho hàm số
3 2
1
2,( )
3
y x x C= +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đờng
thẳng d:
1
2
3
y x= +
II. Dạng 2: Hàm số bậc 4 trùng phơng y = ax
4
+ bx
2
+ c
VD2: Cho hàm số
4 2
1 9
2 ( )
4 4
y x x C= + +

a) Khảo sát hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
2
6
4
2
y
5
x
O 1
Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán
c) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Giải:
a) Khảo sát hàm số
1. Tập xác định : R
2. Sự biến thiên
a) Giới hạn:
lim
x
y

=
b) Bảng biến thiên:
1 1
3
2,3 2,3
9
0
4
y' = - x + 4x; y' = 0

25
2
4
x y
x y

= =




= =



x
- - 2 0 2 +
y + 0 - 0 + 0 -
y

25
4

25
4
-
9
4
-
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-; -2) và (0; 2), nghịch biến trên

khoảng ( -2; 0) và (2; +)
Cực trị:
CD CD
25 9
x = 2 y = ; 0
4 4
CT CT
x y = =
3. Đồ thị : (H2)
- Điểm uốn: y = - 3x
2
+4; y = 0
2 161
36
3
x y = =
- Giao với Ox : A(-3 ; 0) và B(3 ; 0)
- Giao Oy :
9
(0; )
4
C
(H2)
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành là :
3
3 3
4 4 5 3
2 2
3 3
3

9 9 2 9
2 ( 2 ) ( ) 9
4 4 4 4 20 3 4
x x x x x
S x dx x dx


= + + = + + = + + =

c) x
0
= 1 y
0
= 4, y(x
0
) = y(1) = 3. Nên phơng trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 4
= 3(x - 1), hay : y = 3x + 1.
Một số lu ý khi khảo sát hàm số bậc 4 trùng phơng :
a) Txđ : R
b)
0 : lim
x
a y

> = +
đt hàm số có hai cực tiểu - một cực đại hoặc chỉ có một cực
tiểu (y = 0 chỉ có một nghiệm, khi đó đồ thị giống đồ thị parabol)

0 : lim ;
x

a y

< =
đt hàm số có hai cực đại - một cực tiểu hoặc chỉ có một cực
đại.
c) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Không có tiệm cận.
Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
- 3 (C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Dựa vào (C), tìm m để phơng trình x
4
- 2x
2
+ m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 2: Khảo sát hàm số: y = - x
4
+ 4x
2
- 5
3
2
-2
-4
y
5
x

1
O
I
Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán
Bài 3: Cho hàm số: y = x
4
+ mx
2
- m - 5 (C
m
)
a) Khảo sát hàm số với m = 1 (C)
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
c) Tìm m để (C
m
) có cực đại và cực tiểu.
Bài 4: Cho hàm số:
4 2
1 9
2 4
y x mx=
(C
m
)
a) Khảo sát hàm số với m = 3.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
9
(0; )
4
A

.
Bài số 5. Khảo sát các hàm số sau:
4 2
4 2
4 2
1) y x 4x 3
2) y x x 2
3) y x 2x 1
= +
= +
= +
III. Dạng 3: Hàm số b1/b1:
( . 0)
ax b
y a c
cx d
+
=
+
VD3: Cho hàm số:
4
( )
1
x
y C
x
+
=

a) Khảo sát hàm số.
b) Xác định toạ độ giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = 2x + 2. Viết phơng
trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm trên.
Giải:
a) Khảo sát hàm số:
1. Tập xác định : D = R\{1}
2. Sự biến thiên :
a) Chiều biến thiên:
2
3
' 0,
( 1)
y x D
x

= >

.
Nên hàm số nghịch biến trên (-; 1) và (1; +)
b) Cực trị: Đồ thị hàm số không có cực trị.
c) Giới hạn và tiệm cận:
1
lim
x
y

+ =
x = 1 là tiệm cận đứng.
lim 1
x

y

+ =
y = - 1 là tiệm cận ngang.
d) Bảng biến thiên :
x
- 1 +
y - -
y
+
-1 -1
-
3. Đồ thị : (H3)
- Giao với Ox : A(4 ; 0)
- Giao với Oy : B(0 ; -4)
- Đồ thị nhận I(1 ; - 1)
làm tâm đối xứng
b) Hoành độ giao điểm của(C)
và đờng thẳng d là nghiệm
Của phơng trình:
4
Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán
1 1
2
2 2
4
2 2
1
2 2
2 6 0

3
5
2
x
x
x
x y
x x
x y
+
= +

= =


+ =

= =


Vậy giao điểm của (C) và đờng thẳng d là:
1 2
3
( 2; 2), ( ;5)
2
M M
- Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M
1
có hệ số góc là:
1

1
'( 2)
3
k y= =
Nên có phơng trình là:
1 1 8
2 ( 2)
3 3 3
y x y x+ = + =
- Phơng trình tiếp của (C) tại M
2
có hệ số góc là:
2
3
'( ) 12
2
k y= =
. Nên có phơng
trình là:
3
5 12( ) 12 23
2
y x y x = = +
Những lu ý khi khảo sát hàm b1/b1:
1. Tập xác định:
\ { }.
d
D R
c
=

2. Hàm số luôn đồng biến (y >0) hoặc luôn nghịch biến (y <0) trên các
khoãng xác định.
3. Đồ thị hàm số không có cực trị.
4. Giới hạn và tiệm cận:
) lim
d
x
c
d
y x
c

+ = =
là tiệm cận đứng.
) lim
x
a a
y y
c c

+ = =
là tiệm cận ngang
+) Không có tiệm cận xiên.
Bài số 2. Cho hàm số
3x 1
y
x 3

=

có đồ thị (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1
3) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên [0; 2].
Hớng dẫn giải.
1) Hs tự khảo sát. Đồ thị:
2) Có
( )
2
10 5
y' y'( 1)
8
x 3

= =

;
y( 1) 1 =
Phơng trình tiếp tuyến:
( )
5 5 3
y x 1 1 y x
8 8 8
= + + = +
3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0;
2].
Do đó:
[ ] [ ]
0;2 0;2
1

max y y(0) ; min y y(2) 5
3
= = = =
.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hàm số:
2 1
( ).
1
x
y C
x

=
+
5
Các chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp & cao đẳng - đại học THPT Môn Toán
a) Khảo sát hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 2: Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y C
x

=

a) Khảo sát hàm số

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ
độ.
Bài 3: Cho hàm số
4
( )
2
x
y C
x
+
=

a) Khảo sát hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các trục toạ độ
Bài 4: (Đề TN - 99)
Cho hàm số
1
( )
1
x
y C
x
+
=

a) Khảo sát hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tai điểm A(0; 1)
Bài 5: Cho hàm số
2
( )

1
x
y C
x

=
+
a) Khảo sát hàm số
b) Chứng minh rằng đờng thẳng d
m
: y = 2x + m (m là tham số) luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị
c) Tìm toạ độ của M thuộc đồ thị (C) sao cho điểm M cách đều các trục toạ độ
Bài 6: Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x
+
=
+
a) Khảo sát hàm số
b) Tìm m để đờng thẳng d
m
: y = mx + m + 3 (m là tham số) cắt (C) tại hai điểm
phân biệt.
Bài 7: Khảo sát các hàm số
a)

2
2
x
y
x
+
=

b)
2
1
x
y
x
=

phần Dành cho ôn thi cao đẳng và đại học :
vấn đề 1: Hàm số bậc ba và các bìa toán liên quan
Bài số 1. Cho hàm số:
3 2
y (m 2)x 3x mx 5= + + +
a) Khảo sát hàm số với m =0
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên [2; +)
Hớng dẫn giải
a) Với m =0, ta có hàm số
3 2
y 2x 3x 5= +

Hs tự giải. Đồ thị (Xem hình vẽ bên)

b) Ta có:
2
y' 3(m 2)x 6x m= + + +
Hs có cực đại và cực tiểu Phơng trình y = 0 có 2 nghiệm
phân biệt.
6