Bài tập giữa kỳ môn Xác suất thống kê.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUYÊN
——————–o0o——————–

BÀI KIỂM TRA GIỮA KÌ
Môn: Xác suất thống kê

Giảng viên : TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
Học viên: Lê Thị Mai
Lớp: K7Y

HƯNG YÊN, 12/2014


1

Câu 1
Câu 1.1 Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu
được cá ở những chỗ tương ứng là 0,7 ; 0,6 ; 0,8. Đến một chỗ người đó
thả câu 3 lần. Tính xác suất để người đó câu được 2 con cá.
Lời giải:
Gọi A là biến cố " người đó câu được 2 con cá"
A1 là biến cố "câu được 2 con cá ở chỗ I "
A2 là biến cố "câu được 2 con cá ở chỗ II"
A3 là biến cố "câu được 2 con cá ở chỗ III"
A4 là biến cố "câu được 2 con cá:1 con ở chỗ I và 1 con ở chỗ II"
A5 là biến cố "câu được 2 con cá:1 con ở chỗ I và 1 con ở chỗ III"
A6 là biến cố "câu được 2 con cá:1 con ở chỗ II và 1 con ở chỗ III"

Khi đó A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 là hệ đầy đủ.
p(A) = p(A1 ).p(A/A1 ) + p(A2 ).p(A/A2 ) + p(A3 ).p(A/A3 ) + p(A4 ).p(A/A4 ) +
p(A5 ).p(A/A5 ) + p(A6 ).p(A/A6 )

1
1
1
1
1
1
= .p(A/A1 ) + .p(A/A2 ) + .p(A/A3 ) + .p(A/A4 ) + .p(A/A5 ) + .p(A/A6 )
6
6
6
6
6
6

Ta có:
p(A/A1 ) = P3 (2) = C32 .(0, 7)2 .(0, 3) = 0, 441
p(A/A2 ) = P3 (2) = C32 .(0, 6)2 .(0, 4) = 0, 432
p(A/A3 ) = P3 (2) = C32 .(0, 8)2 .(0, 2) = 0, 384
p(A/A4 ) = P3 (1).P3 (1) = C31 .(0, 7).(0, 3)2 .C31 .(0, 6).(0, 4)2 = 0, 054432
p(A/A5 ) = P3 (1).P3 (1) = C31 .(0, 7).(0, 3)2 .C31 .(0, 8).(0, 2)2 = 0, 018144
p(A/A6 ) = P3 (1).P3 (1) = C31 .(0, 6).(0, 4)2 .C31 .(0, 8).(0, 2)2 ) = 0, 027648

Khi đó p(A) =

1
1
1
1
1
.0, 441 + .0, 432 + .0, 384 + .0, 054432 + .0, 018144 +

6
6
6
6
6

1
.0, 027648 = 0, 226204
6

Vậy xác suất để câu được 2 con cá là 0,226204.
Câu 1.2 Có hai chuồng thỏ: Chuồng I có 7 con thỏ trắng, 3 thỏ đen; chuồng


2

II có 8 con thỏ trắng, 2 con thỏ đen. Bắt ngẫu nhiên 2 con thỏ từ chuồng
I sang chuồng II, sau đó từ chuồng II bắt ngẫu nhiên ra 2 con thỏ được 2
con thỏ trắng. Tính xác suất để 2 con thỏ trắng bắt ra sau cùng ở chuồng
II.
Lời giải:
Gọi B là biến cố: "2 con bắt ra sau cùng là thỏ trắng"
Bi là biến cố: "2 con bắt ra từ chuồng I chuyển sang chuồng II là i con thỏ

trắng"(i = 0, 2)
A là biến cố: "2 con bắt ra sau cùng thuộc chuồng II"

Khi đó B0 , B1 , B2 là hệ đầy đủ.
p(B) = p(B0 ).p(B/B0 ) + p(B1 ).p(B/B1 ) + p(B2 ).p(B/B2 )
=

2
C32 C82
C71 .C31 C92
C72 C10
.
+
.
+
.
2 C2
2
2
2 C2
C10
C10
C12
C10
12
12

14
14
7
+
+
495 55 22
119
=
198

=

2 C2
C10
. 8
2 C2
C12
p(A).p(B/A)
12
10
Ta có P (A/B) =
=
=
119
p(B)
17
198

Vậy xác suất để 2 con thỏ trắng bắt ra sau cùng thuộc chuồng II là

12
.
17

Câu 1.3 Có hai lô sản phẩm: lô 1 có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm; lô 2 có 7
chính phẩm, 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên 1
sản phẩm thì được chính phẩm, rồi trả sản phẩm này lại lô vừa lấy. Sau đó
lại lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm (từ lô đã chọn). Tính xác suất để sản phẩm
lấy ra sau cùng là phế phẩm.

Lời giải:
Gọi A là biến cố: "Sản phẩm lấy ra sau cùng là phế phẩm"
Ai là biến cố: "Sản phẩm lấy ra thuộc lô thứ i "(i = 1, 2)

Khi đó A1 , A2 lập thành hệ đầy đủ.


3

p(A) = p(A1 ).p(A/A1 ) + p(A2 ).p(A/A2 )
1 C 1 .C 1
1 C 1 .C 1
= . 12 21 + . 13 31
2 C10 .C10 2 C10 .C10
1 1 1 1 3 3
= . . + . .
2 5 5 2 10 10
= 0, 065

Vậy xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là phế phẩm là 0,065.
Câu 1.4 Trong học kì I, học viên phải thi 4 học phần. Xác suất để học viên
thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8, nếu thi không đạt học
phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để 1 học viên thi đạt cả
4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.
Lời giải:
Gọi A là biến cố: "Thi đạt cả 4 môn"
Ai là biến cố: " Thi đạt i môn ở lần 1 "(i = 0, 4)

Khi đó A0 , A1 , A2 , A3 , A4 lập thành hệ đầy đủ.

p(A) = p(A1 ).p(A/A1 ) + p(A2 ).p(A/A2 ) + p(A3 ).p(A/A3 ) + p(A4 ).p(A/A4 )
=

1 256
16 64
96 16 256 4 256
.
+
.
+
. +
. +
625 625 625 125 625 25 625 5 625

= 0, 849347

Câu 2
Câu 2.1
 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là:
−π π

0
, x∈
/
,

f (x) =

2

2


 acos2 x , x ∈ −π , π
2

2

1) Tìm hằng số a.
2) Tìm hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Y = 2X + 5
Lời giải:
1) Vì f (x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nên ta có


4

các tính chất sau:
*)f (x) ≥ 0
Với f (x) ≥ 0 ⇔ acos2 x ≥ 0 ⇔ a ≥ 0
*)

+∞
f (x)dx
−∞

=1

−

+∞

f (x)dx = 1 ⇔

π
2

−∞

−∞

π
+∞
2
f (x)dx +
π f (x)dx + π f (x)dx = 1
−
2
2

π
2
2
⇔
π (a cos xdx) = 1
−
2
π
a
2
⇔

π (1 + cos 2x). 2 dx = 1
−
2
a
⇔ .π = 1
2
2
⇔a=
π

Vậy a =

2
π

b)Ta có
FY (x) = P (Y < x) = P (2X + 5 < x)
= P (X <

x−5
2

= P (−∞ < X <

x−5
)
2

x−5
) − FX (−∞)

2
x−5
= FX (
)
2
= FX (

Ta có FX (x) =





0




1






1

2

+

1
sin 2x
.(x +
)
π
2

π
, x ∈ (−∞; − )
2
π
, x ∈ ( ; +∞)
2
π π
, x ∈ (− ; )
2 2


5
π
x−5
< − ⇒ x < −π + 5 thì FY (x) = 0
2
2
x−5
π
Nếu
> ⇒ x > π + 5 thì FY (x) = 1
2

2
π
x−5
π
1 1
Nếu − <
< ⇒ −π+5 < x < π+5 thì FY (x) = + .
2
2
2
2 π

Nếu

Vậy FY (x) =




0






x − 5 sin(x − 5)
+
2
2

, x ∈ (−∞; −π + 5)
, x ∈ (π + 5; +∞)

1






1 1 x − 5 sin(x − 5)


+
 + .

, x ∈ (−π + 5; π + 5)
2 π
2
2
Câu 2.2 Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác

suất là
F (x) = a + barctgx

(−∞ < x < +∞)

1) Tìm a và b?.
1

4

2) Tìm giá trị của m sao cho P (X > m) = .
Lời giải:
1) Vì F (x) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nên ta
có:

F (+∞) = 1 ⇔ F (+∞) = a + b.arctg(+∞) ⇔ a + b.
F (−∞) = 0 ⇔ a − b.

π
=0
2

Từ
 (1) và (2) ta có: 


 a + b. π = 1
 a= 1
2


 a − b.( π ) = 0
2

⇔

2


 b= 1

π

π
=1
2

(1)
(2)


6

2) Ta có
P (X > m) = P (m < X < +∞) ⇔ FX (+∞) − FX (m) =

1
4

1
4
1 1
1
⇔ 1 − − arctgm =
2 π
4
1
1

⇔ .arctgm =
π
4
π
⇔ arctgm =
4
⇔ 1 − [a + b.arctgm] =

⇔m=1

Vậy m = 1
Câu 2.3 Có hai chuồng thỏ: chuồng I có 8 con thỏ trắng, 2 con thỏ đen;
chuồng II có 7 con thỏ trắng, 3 con thỏ đen. Bắt ngẫu nhiên 3 con thỏ từ
chuồng I sang chuồng II, sau đó từ chuồng II bắt ngẫu nhiên ra 2 con thỏ.
Lập bảng phân phối xác suất, tính kì vọng của số thỏ trắng được bắt ra từ
chuồng II.
Lời giải:
Gọi B là biến cố:" số thỏ trắng được bắt ra từ chuồng II"
Ai là biến cố:" ba con thỏ bắt ra từ chuồng I sang chuồng II có i con thỏ

trắng"(i = 1, 3)
Khi đó ta có
C81 .C22
1
=
3
15
C10
2
1

C .C
7
p(A2 = 2) = 8 3 2 =
15
C10
3
0
C .C
7
p(A3 = 3) = 8 3 2 =
15
C10
p(A1 = 1) =

Ai

1

2

3

p(Ai )

1
15

7
15

7
15

Gọi Bj là biến cố:" hai con thỏ bắt ra từ chuồng II có j con thỏ trắng"(i =
0, 2)


7

Với j = 0 ta có:
C80 .C42
1
=
2
11
C12
0
2
C .C
1
p(B0 /A2 ) = 9 2 3 =
22
C12
0
2
C .C
1
p(B0 /A3 ) = 10 2 2 =
66
C12

p(B0 /A1 ) =

Khi đó A1 , A2 , A3 lập thành hệ đầy đủ.

p(B0 ) = p(A1 ).p(B0 /A1 ) + p(A2 ).p(B0 /A2 ) + p(A3 ).p(B0 /A3 )
1 1
7 1
7 1
. + . + .
15 11 15 22 15 66
17
=
495
=

Tương tự ta có:
C81 .C41
16
=
2
33
C12
1
1
C .C
9
p(B1 /A2 ) = 9 2 3 =
22
C12
1

1
C .C
10
p(B1 /A3 ) = 10 2 2 =
33
C12
p(B1 /A1 ) =

p(B1 ) = p(A1 ).p(B1 /A1 ) + p(A2 ).p(B1 /A2 ) + p(A3 ).p(B1 /A3 )
7 9
7 10
1 16
. + . + .
15 33 15 22 15 33
361
=
990

=

p(B2 ) = 1 − p(B0 ) − p(B1 ) =

119
Ta có bảng phân phối của số thỏ trắng bắt
198

ra từ chuồng II là:

Bi

p(Bi )

0

1

17
495

361
990

2
119
198

*) Kỳ vọng của số thỏ trắng bắt ra từ chuồng II.
E(B) =

Câu 3

2
i=0 Bi .p(Bi )

=

47
.
30

8

Câu 3.1 Sản phẩm của một xí nghiệp đúc cho phép số khuyết tật trung
bình của một sản phẩm là 3. Sau khi đổi mới thiết bị, kiểm tra ngẫu nhiên
36 sản phẩm kết quả thu được:

Số khuyết tật trên 1 sản phẩm

0

1

2

3

4

5

6

Số sản phẩm

7

4

4

6

8

6

1

1)Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số khuyết tật trung bình của mỗi sản
phẩm sau khi đổi mới thiết bị.
2) Nếu đòi hỏi sản phẩm loại A là không quá 2 khuyết tật và việc sản
xuất phải đạt 40% là loại A thì sau khi đổi mới thiết bị yêu cầu đó có đạt
không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 5%.
Lời giải:
Bài toán ước lượng của khoảng kỳ vọng, trường hợp chưa biết phương sai,
n = 36 > 30 . Bảng tính toán

xi

ni xi

7

0

0

0

4

1

4

4

4

2

8

16

6

3

18

54

8

4

32

128

6

5

30

150

1

6

6

36

ni = 30

Ta có:
x=

1
.
n

ni x2i

ni

n i xi =

98
= 2, 7222
36

ni xi =98

ni x2i =388


9
1
. ni x2i − (x2 ) = 3, 3674
n
n 2
2
sˆ =
s = 3, 4636 ⇔ sˆ = 1, 861
n−1
s2 =

1)Ước lượng số khuyết tật trung bình của mỗi sản phẩm sau khi đổi mới
thiết bị
Sˆ
Sˆ
x − tα . √ < a < x + tα . √
n
n

2, 1143 < a < 3, 3301

2) Đây là bài toán kiểm định giả thiết của tỷ lệ, chưa biết xác suất p của
tổng thể với n = 36 > 30
Giả thiết :
H : p = 0, 4
H : p = 0, 4

Khi đó ta có:
U=

√
15
. 36 trong đó f =
= 0, 4167
36
(0, 4).(1 − 0, 4)
f − 0, 4

Miền bác bỏ: Wα = {U : |U | > 1, 96}
uqs =
⇔ uqs

0, 4167 − 0, 4
(0, 4).(1 − 0, 4)
= 0, 2045 ∈
/ Wα

√
. 36

⇒ Chấp nhận H

Vậy sau khi đổi mới thì thiết bị đó đạt yêu cầu.

Câu 3.2 Định mức thời gian hoàn thành một sản phẩm là 14 phút.
1)Có cần thay đổi định mức không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành
một sản phẩm ở 25 công nhân ta thu được bảng số liệu sau:

Thời gian để SX 1 sản phẩm(phút)
Số công nhân tương ứng

10-12

12-14

14-16

16-18

3

6

10

4

18-20
2

10

Hãy kết luận với mức ý nghĩa α = 0, 05, biết rằng thời gian hoàn thành một
sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
2) Hãy ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng
khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 98%.
Lời giải:
1) Đây là bài toán kiểm định giả thiết của kỳ vọng trong trường hợp chưa
biết phương sai với n = 25 < 30
. Bảng tính toán

ni

xi

ni xi

ni x2i

3

11

33

363

6

13

78

1014

10

15

150

2250

4

17

68

1156

2

21

42

88

ni = 25

ni xi =371

ni x2i =5665

Ta có:
1
371
. n i xi =
= 14, 84
n
25
1
s2 = . ni x2i − (x2 ) = 6, 3744
n
n 2
2
sˆ =
s = 6, 64 ⇔ sˆ = 2, 5768
n−1
x=

Giả thiết :
H : a = 14
H : p = 14

Khi đó ta có:
U=

x − 14 √
(n−1)
. 25 Miền bác bỏ: Wα = U : |U | > tα
sˆ

⇔ Wα = {U : |U | > 2, 064}
14, 84 − 14 √
uqs =
. 25
(6, 64)


11
⇔ uqs = 1, 6299 ∈
/ Wα
⇒ Chấp nhận H

Vậy không cần thay đổi định mức thời gian hoàn thành một công việc.
2)Ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng khoảng
tin cậy đối xứng:

(n−1)

x − tα

ˆ
Sˆ
(n−1) S
. √ < a < x + tα

.√
n
n

Câu 4
Câu 4.1 Cho bảng tương quan thực nghiệm hai chiều:
1) Tính hệ số tương quan mẫu, cho nhận xét.

2) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của Y theo X.
Lời giải:
1) Tính hệ số tương quan mẫu:
Ta có:
1
n
1
y=
n
1
xy =
n

7240
= 144, 8
50
1855
mj yj =
= 37, 1
50
270900
nij xi yj =

= 661
50
1
1058000
s2 (x) =
ni x2i − (x)2 =
− (144, 8)2 = 192, 96
n
50
1
69925
s2 (y) =
mj yj2 − (y)2 =
− (37, 1)2 = 22, 09
n
50
x=

ni xi =

Hệ số tương quan mẫu:
r=

xy − x.y
5418 − 144, 8.37, 1
= √
= 0, 70335
s(x).s(y)
192, 96.22, 09

12

Nhận xét:X, Y có liên quan thuận và liên quan chặt chẽ.
2) Phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của Y theo X:
s(y)

y − y = r s(x) (x − x)
⇒ y = 37, 1 + 0, 238 (x − 144, 8)
⇒ y = 0, 238x + 2, 6376.

Câu 4.2 Cho bảng tương quan thực nghiệm hai chiều:
1) Tính hệ số tương quan mẫu, cho nhận xét.

2) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của X theo Y.
Lời giải:
1) Tính hệ số tương quan mẫu:
Ta có:
4650
= 155
30
3390
mj yj =
= 113
30
512000
nij xi yj =
= 17066, 667
30
1

847500
ni x2i − (x)2 =
− (155)2 = 4225
s2 (x) =
n
30
1
386300
mj yj2 − (y)2 =
s2 (y) =
− (113)2 = 107, 667
n
30

1
n
1
y=
n
1
xy =
n
x=

ni xi =

Hệ số tương quan mẫu:
r=

xy − x.y

17066, 667 − 155.113
√
=
= −0, 6647
s(x).s(y)
4225.107, 667

Nhận xét:X, Y có liên quan nghịch và liên quan tuyến tính.
2) Phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của X theo Y:
s(x)

x − x = r s(y) (y − y)
⇒ x = 155 − 4, 1639 (y − 113)
⇒ x = −4, 1639y + 625, 5207.