Một số bài toán về hàm số liên quan đến khoảng cách

KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT
1.Khoảng cách giữa hai điểm A( xa ; ya ), B( xb ; yb )
AB =

( xb − x a ) 2 + ( y b − y a ) 2

2. Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y 0 ) đến đường thẳng
∆ : ax + by + c = 0
d ( M , ∆) =

ax0 + by 0 + c
a2 + b2

3. Khoảng cách từ điểm

M ( x0 ; y 0 )

đến tiệm cận đứng x = a

M ( x0 ; y 0 )

đến tiệm cận ngang y = b

h = x0 − a

4. Khoảng cách từ điểm
h = y0 − b


B. BÀI TẬP

DẠNG 1: Cho hàm số y = f (x) ( hàm phân thức) có đồ thị ( ؏ )
hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho khoảng cách
AB ngắn nhất
Cách giải:
Giả sử ( ؏ ) có tiệm cận đứng : x = a
Do tính chất của hàm phân thức đồ thị nằm về hai phía của tiệm
cận đứng. Với α, β là hai số dương nào đó.
Nếu A thuộc nhánh trái x a < a

⇒

x a = a − α < a ∈ (؏)

Nếu B thuộc nhánh phải xb > a ⇒ xb = a + β > a ∈ (؏)
2
2
Tính f ( xa ), f ( xb ) sau đó tính AB 2 = ( xb − xa ) + ( yb − y a )

Khi đó AB có dạng là: AB 2 = g [ ( a + b ) , ( α + β ) , αβ ] áp dụng bất đẳng
thức côsi ta có kết quả cần tìm.
Ví dụ:
Cho hàm số y =

x+3
(؏)
x−3

Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho
khoảng cách AB ngắn nhất.
Lời giải

y=

x+3
6
= 1+
x−3
x−3

Hàm số có tiệm cận đứng: x = 3
Gọi A( x a ; y a ) là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị nên x a < 3


6

6

6

Với α > 0 , ta có x a = 3 − α ⇒ y a = 1 + x − 3 = 1 + 3 − α − 3 = 1 − α
a
Gọi B( xb ; yb ) là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị nên xb > 3
6

6

6

Với β > 0 , ta có xb = 3 + β ⇒ y b = 1 + x − 3 = 1 + 3 + β − 3 = 1 + β
b
Ta có:

AB = ( xb − x a ) + ( y b − y a ) = [ ( 3 + β ) − ( 3 − α ) ]
2

2

= (α + β )

≥ 4αβ .2

2

2

2

6 6
36
2
+  +  = ( α + β ) 1 + 2 2
α β 
 α β

2


6 
6 
+ 1 +  − 1 − 
 β   α 

2





36
= 48
α 2β 2

Dấu “=’’ xảy ra khi và chỉ khi:
α = β
α = β

⇔
⇔α = β = 6 ( vì α , β > 0 )
36 ⇔
1
=
α
β
=
6


α2 β2


Vậy A(3 − 6 ;1 − 6 ); B (3 + 6 ;1 + 6 ) là hai điểm thỏa mãn yêu cầu
bài toán.

Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số

y=

x2 − x +1
1
= x+
x −1
x −1

(؏)

Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho
AB ngắn nhất.


Bài 2 :Cho hàm số y =

x 2 + 3x + 3
13
= x+5+
x−2
x−2

(؏)

Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho
AB ngắn nhất.
Bài 3: Cho hàm số y =

x2
x −1

(؏)

Tìm trên ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho
AB ngắn nhất.


DẠNG 2. Hàm số y = f (x) ( ؏). Tìm trên ( ؏ ) điểm M sao cho:
1. Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Cách giải :
Gọi M ( x0 ; y 0 ) thì tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:
d = x0 + y 0

- Xét các khoảng cách từ M đến hai trục khi M nằm ở các vị trí đặc
biệt : trên trục hoành , trên trục tung .
- Sau đó xét tổng quát, nhữngđiểm M có hoànhđộ , hoặc tung độ
lớn hơn hoành độ hoặc tungđộ của M khi nằm trên hai trục, để suy
ra cách tìm GTNN của d
Ví dụ . Cho hàm số y =

x+2
( ؏ ). Tìm trên ( ؏ ) những điểm M
x −3

sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
Lời giải
Giả sử M ( x; y )

+ Xét điểm M nằm trên trục Ox :
cho y = 0 ⇒ x = −2 , tồn tại M (−2;0) ∈ ( ؏ )
Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = − 2 + 0 = 2
+ Xét điểm M nằm trên trục Oy :
2
2
cho x = 0 ⇒ y = − , tồn tại M (0;− ) ∈( ؏ )
3
3


Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:
 2 2
d = 0 + −  = < 2
 3 3

+ Xét những điểm M có hoành độ:

x >

2
3

Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = x + y >
+ Xét những điểm M có hoành độ: x <

2
3

2

3

2
3

i) Trường hợp: 0 < x ≤ .
Xét hàm số y =

x+2
 2
trên khoảng  0;  ta chứng minh được:
x −3
 3
y<−

2
3

d= x+ y >

Suy ra

2
3

2
3

i) Trường hợp : − ≤ x < 0
Xét hàm số y =

−

x+2
 2 
trên khoảng  − ;0  ta chứng minh được :
x−3
 3 

2
4
< y≤−
3
11

d = x + y = − x − y = − x −1 −
d ′ = −1 +

5
( x − 3) 2

d′ = 0 ⇔ x = 3 ± 5

5
x −3


Lập bảng biến thiên ta được: d >

2
3

2
Vậy M (0;− ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3

Bài tập tương tự
Bài 1: . Cho hàm số y =

x2 − 2
( ؏ ). Tìm trên ( ؏ ) những điểm M
x−2

sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
x 2 + 3x + 3
Bài 2: . Cho hàm số y =
( ؏ ). Tìm trên ( ؏ ) những điểm
x+2

M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
2. Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau( hay
khoảng cách từ M đến trục hoành bằng k lần khoảng cách từ
M đến trục tung)
Cách giải:
 y = kx
 g ( x, k ) = 0
y =kx ⇔
⇔
 y = − kx
 h ( x, k ) = 0

Từ phương trình ta giải được nghiệm bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số

y=

x−2
x +1

( ؏ ). Tìm trên ( ؏ ) những điểm M sao

cho khoảng cách từ M đến Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến
Oy
Lời giải
Giả sử M ( x; y )
Khoảng cách từ M đến Ox là: d1 = y


Khoảng cách từ M đến Oy là: d 2 = x
Khoảng cách từ M đến Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến Oy
nên ta có:

x−2
 x + 1 = 3x
 y = 3x
− 2 ± 10
d1 = 3d 2 ⇔ y = 3 x ⇔ 
⇔
⇔x=
3
 y = −3 x

 x − 2 = −3x
 x + 1
 − 2 ± 10 − 8 ± 10 

;

3
1
±
10



Vậy M 

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số

x 2 + 5 x + 15
y=
x+3

( ؏ ). Tìm trên ( ؏ ) những điểm

M sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng hai lần khoảng cách từ
M đến Oy

DẠNG 3: Cho đường cong ( ؏ ) có phương trình y = f (x) và
đường thẳng ∆ : y = kx + m . Tìm m để ∆cắt ( ؏ ) tại hai điểm
A,B sao cho:
- AB là hằng số a
- AB ngắn nhất .
Cách giải
- Tìm điều kiện (*) của m để phương trình hoàn độ giao điểm :
f ( x) = kx + m (1) có hai nghiệm

- Gọi A( x1 ; y1 ), B( x 2 ; y 2 ) là hai giao điểm của ∆và ( ؏ ) thì x1 , x2
là nghiệm của (1)
- Tính AB =

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

= g ( x1 , x2 , x1 x2 , m) (2)

- Áp dụng vi ét cho (1) thay vào (2) ta được h(m) = 0 (3). Giải (3)
ta tìm được m
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 ( ؏)
Cho điểm I (−1;0) . Xác định các tham số thực m để đường thẳng
∆ : y = mx + m cắt đồ thị ( ؏) tại ba điểm phân biệt I ,A ,B sao cho
AB < 2 2

Lời giải
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
 x = −1
x − 3 x + 4 = mx + m ⇔ x − 3x − mx + 4 − m = 0 ⇔ 
2
( x − 2) − m = 0(1)

3

2

3

2


Theo giả thiết đồ đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt nên
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và khác -1
m ≠ 9
⇔
(∗)
m > 0

Gọi I (−1;0) , A( x1 ; mx1 + m) , B( x 2 ; mx 2 + m) là tọa độ ba giao điểm
của đường thẳng ∆và đồ thị ( ؏ ) , trong đó x1 , x 2 là nghiệm của
(1)
AB = ( x 2 − x1 ) 2 + (mx2 + m − mx1 − m) 2 = x2 − x1 m 2 + 1
AB < 2 2
⇔ 2 + m − 2 + m m 2 + 1 < 2 2 ⇔ 2 m(m 2 + 1) < 2 2
⇔ m3 + m − 2 < 0 ⇔ m < 1

Kết hợp với điều kiện (∗) ta có 0 < m < 1
Vậy 0 < m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2 : Cho hàm 1số y =

2x + 1
( ؏ ) . Tìm m để đường thẳng

x+2

∆ : y = − x + m cắt (؏ ) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất.

Lời giải
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

2x +1
= −x + m
x+2

(1)
Để ∆cắt ( ؏ ) tại A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt hay phương
trình : x 2 + (4 − m) x − 2m + 1 = 0 (2) có hai nghiệm phân biệt khác
-2


(4 − m) 2 − 4(−2m + 1) > 0
⇔ m 2 + 12 > 0 ( luôn đúng)

− 3 ≠ 0

Vậy ∆luôn cắt ( ؏ ) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị m
Giả sử A( x1 ;− x1 + m), B( x 2 ;− x 2 + m)
AB 2 = ( x1 − x 2 ) 2 + ( x 2 − x1 ) 2 = 2( x 2 − x1 ) 2

Áp dụng định lí viet cho phương trình (2) ta được :
( x2 − x1 ) 2 = ( x2 + x1 ) 2 − 4 x1 x2 = (m − 4) 2 − 4(−2m + 1) = m 2 + 12 ≥ 12
⇔ AB 2 ≥ 24 ⇔ AB ≥ 2 6

Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi m = 0
Bài tập tương tự
x2 + 4x + 5
Bài 1: Cho hàm số y =
( ؏). Tìm M trên ( ؏) sao cho
x+2

khoảng cách từ M đến d : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất.
x 2 + (m + 1) x + m + 1
Bài 2: Cho hàm số y =
( ؏). Chứng tỏ với
x +1

mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng
bằng

20 .

Bài 3: Cho hàm số y = − x + 3 +

3
( ؏). Chứng minh rằng với
x −1

mọi m đường thẳng d : y = 2 x + m luôn cắt ( ؏) tại hai điểm A,B có
hoành độ x1 , x 2 .Tìm m để ( x2 − x1 ) 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
x2 − 2x + 4
4
Bài 4: Cho hàm số y =
= x+

( ؏)
x−2
x−2


Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 2 − 2m cắt ( ؏) tại hai điểm A,B
sao cho AB = 2
Bài 5: Cho hàm số y =

1 3
x − mx 2 − x + m + 1 ( ؏). Chứng minh
3

rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để khoảng
cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.