các bài toán đa thức casio

TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP
CHUN ĐỀ:
I KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TỐN ĐA THỨC :
Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a) “
Hệ quả : Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a
 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f
b
a
ỉ ư
-
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
 Nếu đa thức P(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x + a
0
( n  N) có n nghiệm x

1
, x
2
…x
n
thì đa thức P(x) phân tích
được thành nhân tử : P(x) = a(x – x
1
)(x – x
2
) ….(x – x
n-1
)(x – x
n
)
II BÀI TẬP :
Bài 1 : Tìm m để đa thức f(x) = 4x
4
– 5x
3
+ m
2
x
2
– mx – 80 chia hết cho x – 2
Giải : Đặt g(x) = 4x
4
– 5x
3
– 80 ta có f(x) = g(x) +mx

2
– mx
f(x)  (x – 2 )  f(2) = 0 hay g(2) +4m
2
– 2 x = 0
Ta có g(2) = –56  f(2) = 0 khi 4m
2
– 2m = 56  4m
2
– 2x – 56 = 0
Giải phương trình ẩn m , ta được m
1
= 4 và m
2
= –3,5
Nghĩa là hai đa thức f
1
(x) = 4x
4
– 5x
3
+ 16 x
2
– 8x – 80 và f
2
(x) = 4x
4
– 5x
3
+ 12,25 x

2
+3,5 x – 80 đều
chia hết cho x – 2
Bài tập tương tự :
Cho đa thức f(x) = x
5
– 3x
4
+5 x
3
– m
2
x
2
+ mx + 861 . Tìm m để f(x)  (x + 3)
KQ :
1 2
1
m 5 ; m 5
3
= = -
Bài 2 :
Tìm a và b sao cho hai đa thức
f(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2x + 2a + 3b và
g(x) = 5x
4

– 4x
3
+ 3x
2
– 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)
Giải: f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0
Đặt

A(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2x và B(x) = 5x
4
– 4x
3
+ 3x
2
– 2x
Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b
g(x)=B(x) –3a +2b
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  f(3) = 0  2a + 3b = –87
g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b  g(3) = 0  –3a +2b = –318
Ta có hệ phương trình :
2a 3b 87
3a 2b 318
ì
+ = -
ï
ï

í
ï
- + = -
ï
ỵ
Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm
( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .
Bài tập tương tự :
Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )
P(x) = 4x
4
– 3x
3
+ 2x
2
– x +2m – 3n
Q(x) = 5x
5
– 7x
4
+ 9x
3
– 11x
2
+ 13x – 3m + 2n (m = –4128,8 ; n = –2335,2)
Bài 3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x
2
+ 514x – 304
 Nếu khơng có sự hổ trợ của MTBT thì việc phân tích đa thức trên thành nhân tử là 1 bài tốn khó

Giải tốn trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Ngun Thao
Một số bài toán
về đa thức

TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP
Giải: Ấn
MODE MODE 2U
Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
1 2
8 38
x , x
15 7
= = -
Vậy đa thức 105x
2
+ 514x – 304 được phân tích thành
8 38 8 38
105 x x 15.7 x x (15x 8)(7x 38)
15 7 15 7
æ öæ ö æ öæ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
- + = - + = - +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è øè ø è øè ø

Bài tập tương tự :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 65x
2
+ 4122x +61093
b) 299 x
2
– 2004x + 3337
c) 156x
3
– 413 x
2
– 504 x+ 1265
Bài 4 :
Cho đa thức x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e .
Biết f(0) = 1 , f(1) = –2 , f(2) = –3 , f(3) = –2 ; f(4) = 1 . Tính f(100)
Giải :
Rõ ràng nếu ta thế 0,1,2,3,4, chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà
máy CASIO không thể giải quyết được . Giải bằng tay thì rất vất vả . Bài toán này có thể giải quyết như sau :
 Xét đa thức phụ k(x) = x
2
– 4x + 1

Ta có : k(0) = 1 ; k(1) = –2 ; k(2) = –3 ; k(3) = –2 ; k(4) = 1
Đặt g(x) = f(x) – k(x)
Ta có : g(0) = f(0) – k(0) = 0
g(1) = f(1) – k(1) = 0
g(2) = f(2) – k(2) = 0
g(3) = f(3) – k(3) = 0
g(4) = f(4) – k(4) = 0
Từ đó suy ra 0,1,2,3,4 là nghiệm của g(x)
Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với f(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = f(x) – k(x) ) và có hệ số
cao nhất là là 1
Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :
g(x) = (x – 0)(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
mà g(x) = f(x) – k(x)  f(x) = g(x) + k(x)
Vậy f(x) = x .(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) +x
2
–4x + 1
f(100) = 9034512001
 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) ?
Ta giả sử k(x) = ax
2
+ bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 1 k(2) = –3 , k(3) = –2
(nhận 3 trong 5 giá trị của f(x) đã cho)
ta có hệ phương trình :
a b c 2
4a 2b c 3
9a 3b c 2
ì
+ + = -
ï
ï

ï
ï
+ + = -
í
ï
ï
+ + = -
ï
ï
î

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = –4 , c = 1
 k(x) = x
2
– 4x + 1 . Thử tiếp thấy k(0) = 1 và k(4) = 1
Vậy k(x) = x
2
– 4x + 1 là đa thức phụ cần tìm . Tất nhiến khi thử k(0) ≠ 1 hoặc k(4) ≠ 1 thì buộc phải
tìm cách giải khác .
Bài tập tương tự :
a) Cho đa thức P(x) = x
5
+ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx + e . Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;
P(5) = 25 . Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)

b) Cho đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11
Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
c) Cho đa thức f(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hãy tính f(15) f(16) f(18,25)
d) Cho đa thức f(x) = 2x
5
+ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx + e . Biết f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21
Tính f(34,567)
Bài 5:
Giải toán trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Nguyên Thao

TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP
Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + 132005
Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)
Giải :
Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + 5
Ta có Q(1) = 8 ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14 ; Q(4) = 17
Đặt k(x) = P(x) – Q(x)
Ta có k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = 0 hay k(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .
Lời bình :
Tới đây , làm như bài 5 thì …trật lất bởi vì k(x) phải là đa thức bậc 5 mà ta mới chỉ tìm được có 4
nghiệm !!. Bài toán này quá hay !
Đa thức k(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của f(x) nên k(x) được phân tích thành nhân tử
như sau k(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) . Vấn đề còn lại là tìm số J như thế nào ?
Tiếp tục :
Vì k(x) = P(x) – Q(x)  P(x) = k(x) + Q(x)
Hay P(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
 Hệ số tự do của P(x) là J.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005 hay 24J = 132000
 J = 132000:24 = 5500
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
 P(15) = 132492410
Bài tập tương tự :
Cho đa thức f(x) = 2x

5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + 115197
Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 . Tính f(12) (KQ : 38206101)
Bài 6:
Cho f(2x – 3) = x
3
+ 3x
2
– 4x + 5
a) Xác định f(x)
b) Tính f(2,33)
Giải:
a) Đặt t = 2x – 3 
t 3
x
2
+
=

 f(t) =
3 2
t 3 t 3 t 3
3 4 5
3 3 3

æ ö æ ö æ ö
+ + +
÷ ÷ ÷
ç ç ç
+ - +
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
f(x)
3 2
x 3 x 3 x 3
3 4 5
2 2 2
æ ö æ ö æ ö
+ + +
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + - +
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
b)f(2,33)
Qui trình ấn phím :
3 2

( 2.33 3) 2 shift STO A alpha A x 3 alpha A x 4 alpha A 5+ + - + =¸
KQ : 34,57410463
Bài 7
Cho đa thức P(x) =
9 7 5 3
1 1 13 82 32
x x x x x
630 21 30 63 35
- + - +
a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)
b) Chứng minh rằng với mọi x Z thì P(x) nhận giá trị nguyên .
Giải :
a) Câu a thật ra là gợi ý để giải câu b .
Dễ dàng tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0
b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x)
 P(x) được phân tích thành nhân tử như sau :
P(x) =
1
630
(x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Với x Z thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số nguyên liên tiếp
Tong đó có ít nhân 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5 1 số chia hết cho 7 và 1 số chia hết cho 9
Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Giải toán trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Nguyên Thao
TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP
Vì ƯCLN(2,5) = 1  A  10
ƯCLN(7,9) = 1 A  63
ƯCLN(10 ,63) = 1  A  630

1

A
630
là một số nguyên hay P(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x Z
Giải toán trên máy tính CASIO fx 500MS Lâm Nguyên Thao